X Maths 1 MP 2011

ÉCOLE POLYTECHNIQUE ­ ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2011

FILIÈRE

MP

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES ­ A ­ (XLC)
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Valeurs singulières d'une matrice et inégalités de traces
Notations et conventions
Dans ce problème l'espace vectoriel Cn est muni du produit scalaire hermitien 
usuel noté (.|.) ;
on rappelle qu'il est linéaire à droite, semi-linéaire à gauche et que la base 
canonique (e1 , . . . , en )
de Cn est orthonormale. On note Mn (C) l'espace vectoriel sur C des matrices à 
n lignes et n
colonnes à coefficients complexes qu'on identifie à l'espace vectoriel des 
endormorphismes de Cn
et In la matrice identité de Mn (C) . Le coefficient de la i-ième ligne et 
j-ième colonne d'une
matrice A est noté Aij . On note A , appelée adjointe de la matrice A de Mn 
(C), la matrice
définie pour tous 1 6 i, j 6 n par Aij = Aji .
On définit les sous-ensembles de Mn (C) suivants :
Hn = {A  Mn (C)| A = A}
Hn+ = {A  Hn | (x  Cn ), (x|Ax) > 0}
Un = {A  Mn (C)| (x, y  Cn ), (Ax|Ay) = (x|y)}
Nn = {A  Mn (C)| AA = A A}
Dn désigne l'ensemble des matrices diagonales dans Mn (C)
Enfin, pour tout sous-espace vectoriel F de Cn , F  désigne le sous-espace 
orthogonal pour le
produit hermitien usuel.
Ce problème a pour but l'étude de quelques inégalités de traces sur les 
matrices carrées à
coefficients complexes via l'introduction de la décomposition en valeurs 
singulières et le calcul de
la distance minimale pour la norme de Frobenius entre deux matrices de Hn 
définies à équivalence
près par des changements de bases dans Un .

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Première partie : étude de Nn
1. Soit A une matrice de Mn (C). Montrer pour tout couple (x, y) de vecteurs de 
Cn × Cn :
(A x|y) = (x|Ay).
2a. Montrer que A  Un si et seulement si A A = AA = In .
2b. Montrer que A  Un si et seulement si les colonnes de A forment une base 
orthonormale
de Cn .
3a. Montrer que si A  Nn , A((ker A) )  (ker A) . En déduire que si  est une 
valeur
propre de A et si E est le sous-espace propre associé, alors A(E )  E .
3b. En déduire que Nn = {U DU  , U  Un , D  Dn }.
4. Soit A une matrice de Mn (C). On note 1 , 2 , · · · , n les racines du 
polynôme caracP
téristique (non nécessairement distinctes) de A. Montrer que si A  Nn , alors 
ni=1 |i |2 =
Pn
2

i,j=1 |Ai,j | . (On pourra calculer la trace de AA .)
5a. Soit A une matrice de Mn (C). Montrer que si A  Nn , alors A et A ont même 
noyau.
5b. Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes :
(i) A  Nn .
(ii) Tout vecteur propre de A est vecteur propre de son adjointe A .
Pour (ii)  (i), on pourra procéder par récurrence sur la dimension n et pour un 
vecteur
propre x de A considérer l'orthogonal de l'espace vectoriel engendré par x.
6a. Prouver que si la matrice A  Nn , son adjointe A peut s'exprimer comme un 
polynôme
en A à coefficients complexes. (On pourra utiliser les polynômes 
d'interpolation de Lagrange.)
6b. Prouver que si A et B sont dans Nn et commutent alors AB  Nn .
7. Prouver que si A est une matrice de Mn (C) les deux propositions suivantes 
sont équivalentes :
(i) A  Nn
(ii) Il existe une matrice U  Un commutant avec A telle que A = AU .
On pourra construire U à partir des valeurs propres de A et raisonner dans une 
base orthonormale bien choisie.
Deuxième partie : valeurs singulières d'une matrice
8. Montrer que A  Hn (resp. Hn+ ) si et seulement si A est diagonalisable dans 
une base
orthonormale et ses valeurs propres sont réelles (resp. réelles positives).

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9. Montrer que si A  Hn+ il existe une unique matrice S  Hn+ telle que S 2 = A. 
(Pour
l'unicité, on pourra se ramener au cas où A est un multiple de l'identité en 
considérant les
sous-espaces propres de A.)
Si A est une matrice de Mn (C) on dit que A = U S est une décomposition polaire 
de A si
S  Hn+ et U  Un . Dans la suite du problème, on admettra l'existence d'une 
décomposition
polaire pour toute matrice A de Mn (C).
Si A est une matrice de Mn (C) on dit que A = U DW est une décomposition en 
valeurs
singulières de A si U, W  Un et D  Dn est à coefficients réels positifs ou nuls.
10. Prouver que toute matrice A de Mn (C) admet une décomposition en valeurs 
singulières.
(On pourra commencer par écrire une décomposition polaire de A.)
11. Soit A  Mn (C). Montrer qu'il existe une décomposition en valeurs 
singulières de A pour
laquelle les coefficients diagonaux i = Dii de D vérifient 1 > · · · > n et que 
ces coefficients
sont alors déterminés de façon unique. On les appelera les valeurs singulières 
de A.
Troisième partie : inégalités de traces
12. Soit P  Mn (C) une matrice vérifiant
(Pk )

P 2 = P = P ,

rang(P ) = k.

12a. Montrer que les coefficients de P vérifient :
(i) 0 6 Pii 6 1 pour tout entier i entre 1 et n,
(ii)

Pn

i=1 Pii

= k.

12b. Soit 1 > 2 > · · · > n des réels et D la matrice diagonale telle que Dii = 
i pour
P
tout entier i entre 1 et n. Montrer que Tr (P D) 6 ki=1 i . Trouver une matrice 
P vérifiant les
Pk
conditions (Pk ) telle que Tr (P D) = i=1 i .
12c. Montrer que si P1 , P2 sont deux matrices vérifiant les conditions (Pk ), 
il existe U  Un
P
telle que P2 = U P1 U  . En déduire que ki=1 i = max Tr (U P U  D) où P est une 
matrice
U Un

vérifiant (Pk ).
On dit qu'une matrice A de Mn (C) est doublement stochastique si A est à 
coefficients réels
P
P
positifs et vérifie ni=1 Aik = 1 et nj=1 Akj = 1, pour tout entier k compris 
entre 1 et n. On
note DSn l'ensemble des matrices doublement stochastiques dans Mn (C).
13. Montrer que si U  Un , la matrice dont les coefficients sont les |Ui,j |2 
est doublement
stochastique.
14. Soit A une matrice doublement stochastique de Mn (C) et soient
1 > 2 > · · · > n ,

1 > 2 > · · · > n
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des réels. On suppose que A n'est pas la matrice identité In et on note k le 
plus petit entier tel
que Akk 6= 1.
14a. Montrer qu'il existe deux entiers m et  vérifiant k < m 6 n, k <  6 n et tels que Amk 6= 0, Ak 6= 0, Am 6= 1. 14b. Construire une matrice doublement stochastique A de Mn (C) vérifiant : (i) Aij = Aij si (i, j) / {(k, k), (m, k), (k, ), (m, )}, (ii) Amk ou Ak est nul, (iii) Pn i,j=1 Ai,j i j >

En déduire que max

ADSn

Pn

i,j=1 Ai,j i j .

Pn

i=1,j=1 Ai,j i j

Pn

i=1 i i .

=

15. Soient A et B deux matrices dans Mn (C).
15a. Soit D la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux i = Dii sont 
les valeurs
singulières de A et soit T la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux 
i = Tii sont les
valeurs singulières de B telles que
1 > 2 > · · · > n ,

1 > 2 > · · · > n .

Montrer qu'il existe U et V dans Un telles que Tr (AB) = Tr (U DV T ).
15b. Montrer que Tr (AB) =

Pn

i,j=1 Uij Vji j i

|Tr (AB)| 6

et en déduire que

n
X

i i .

i=1

15c. Soient A et B dans Hn+ . Montrer que |Tr (AB)| 6 Tr (A)Tr (B).
16. Soient A et B dans Hn et soient
1 > 2 > · · · > n ,

1 > 2 > · · · > n .

leurs valeurs propres.
Montrer que
min kA - U  BU k =

U Un

Ã
n
X

(i - i )2 ,

i=1

où la norme sur Mn (C) est donnée par kAk2 = Tr (A A). On pourra commencer par 
déterminer
max Tr (AU  BU ).

U Un

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