X Maths 1 MP 2013

ECOLE POLYTECHNIQUE -- ECOLES NORMALES SUPÉRIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2013 FILIÈRE MP

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES -- A -- (XLC)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
***

On se propose d'étudier des algèbres d'endomorphismes remarquables d'espaces 
vectoriels de di-
mension infinie.
Préambule

Une racine n--ième de l'unité est dite primitive si elle engendre le groupe des 
racines n--ième
de l'unité.

Dans le problème, tous les espaces vectoriels ont pour corps de base le corps 
des nombres
complexes C. Si 8 est un espace vectoriel, l'algèbre des endomorphismes de 8 
est notée £(8 ) et
le groupe des automorphismes de 8 est noté GL(8 ) On note ldg l'application 
identité de 8 . Si
u EUR £(5), on note C[u] la sous--algèbre {P(u) \ P E C[X]} de £(5) des 
polynômes en u.

On note CZ l'espace vectoriel des fonctions de Z dans C. Si f est une fonction 
de Z dans C,
on note Supp( f ) l'ensemble des le E Z tels que f (lc) # 0. On appelle cet 
ensemble le support de

f. Dans tout le problème, V désigne l'ensemble des fonctions de Z dans C dont 
le support est
un ensemble fini.

I - Opérateurs sur les fonctions à support fini

la. Montrer que V est un sous--espace vectoriel de CZ. Étant donné f E CZ, on 
définit
E(f) @ 62 par E = f(k+ 1). k 6 z.

lb. Montrer que E E £(CZ) et que V est stable par E.
Dans la suite) E désignera uniquement l'endomorphisme de V induit.
2. Montrer que E E GL(V).

3. Pour i E Z7 on définit ui dans CZ par

1°k='
wUEUR)= 8? '."
Os1k;£7...

3a. Montrer que la famille {v,-}OEZ est une base de V.
3b. Calculer E(o,).

Soient À, M EUR CZ. On définit les applications linéaires F, H E £(V) 
respectivement par
H(v,) : À(7Ç) v,- et F(v,) : u(7Ç) ?),-+1, 756 Z .
4. Montrer que H 0 E = E 0 H + 2E si et seulement si pour tout 75 EUR Z, À(7L) 
: À(O) -- 275.

Dans la suite de cette partie I (mais pas dans les parties suivantes), on 
suppose
que les conditions de la question 4 sont vérifiées.

5. Montrer que E 0 F = F 0 E + H si et seulement si pour tout 75 EUR Z,

u(75) = u(0) + 75(À(0) -- 1) -- i2 -

6a. Montrer que pour f E V, l'espace vectoriel engendré par les H "( f), n E N, 
est de
dimension finie.

6b. En déduire qu'un sous--espace non réduit a {0} de V, stable par H, contient 
au moins un
des c,.

Dans la suite de cette partie I (mais pas dans les parties suivantes), on 
suppose
que les conditions de la question 5 sont vérifiées et que À(O) : O, ,u(O) : 1.

7a. Montrer que F E GL(V).

7 b. Montrer que E et F ne sont pas d'ordre fini dans le groupe GL(V).

7 c. Calculer le noyau de H et montrer que H "' # Idv pour r 2 1.

8. On note C]X ] l'algèbre des polynômes a coefficients complexes en une 
indéterminée X.
8a. Montrer que C]E] est isomorphe (en tant qu'algèbre) a C]X ]

8b. Montrer que C]F ] est isomorphe (en tant qu'algèbre) a C]X ]

8c. Montrer que C]H ] est isomorphe (en tant qu'algèbre) a C]X ]
II - Intermède

Dans toute la suite du problème, on fixe un entier impair EUR 2 3 et q une 
racine
primitive Æ-ième de l'unité.

9. Montrer que (12 est une racine primitive Æ--ième de l'unité.

Soient Wg : ®05i V par Pa(vi) : apr}. où pour 75 
EUR Z, on définit
?" et p respectivement comme le reste et le quotient de la division euclidienne 
75 par E ; autrement
dit,i=p£+roù0îr<ÆetpEURZ 11. Montrer que Pa est un projecteur d'image Wg. III - Opérateurs quantiques 12. Montrer que H 0 E : q2E @ H si et seulement si pour tout 75 EUR Z, À(7L) : À(O)q_2i. Dans la suite du problème, on suppose que les conditions de la question 12 sont vérifiées et que À(O) # O. 13. Montrer que H E GL(V). 14. Montrer que E 0 F = F 0 E + H -- H_1 si et seulement si pour tout 75 EUR Z, W) = u(i -- 1) + À(0)q_2l -- À(0)_1q2i -- Dans la suite du problème, on suppose que les conditions de la question 14 sont vérifiées. 153. Montrer que À et ,a sont périodiques sur Z, de périodes divisant EUR. 15h. Montrer que la période de À est égale a E. 15c. Montrer que la période de ,u est aussi égale a E. 16. Soit G = (q -- q_1)E @ F + q_1H + qH_1 avec H_1 l'inverse de H. 163. Montrer que C = (q -- q_1)F 0 E + qH + q_1H_l. 16h. Pour 75 EUR Z, montrer que 1),- est un vecteur propre de C . 16c. En déduire que C est une homothétie de V dont on calculera le rapport R(À(O), ,u(0), q) en fonction de À(O), ,u(0) et q. 16d. On fixe q et À(O). Montrer que l'application u(0) l--> R(À(O), ,u(0), q) 
est une bijection
de C sur C.

16e. On fixe q et ,u(0). Montrer que l'application À(O) l--> R(À(O), ,u(0), q) 
est une surjection
de C* sur C mais pas une bijection.

IV - Opérateurs quantiques modulaires

Soient EUR, Wg, &, Pa comme dans la partie II. On dit qu'un élément çb de £(V) 
est compatible
avec Pa si PaoçboPa =Paoçb.

17 a. Montrer que si çb EUR £(V) commute avec P... alors çb est compatible avec 
Pa.
17 b. Montrer que H et H _1 sont compatibles avec Pa.

Soit Z/{q l'ensemble des endomorphismes çb EUR £(V) qui sont compatibles avec 
Pa.
18. Montrer que Z/{q est une sous--algèbre de £(V).

19. Montrer que E E Mq et F E Uq.

20a. Montrer qu'il existe un unique morphisme d'algèbre \Ifa : Z/{q --> £(Wg) 
tel que
VçbEURMq, OEa(çb)oPa=Paoçb.

20h. Montrer que çb EUR Z/{q est contenue dans le noyau de \11a si et seulement 
si l'image de çb est
dans le sous--espace de V engendré par les vecteurs @@ -- GPU... 75 EUR Z7 où 
75 : p£ + r est la division
euclidienne de 75 par E.

21. On étudie dans cette question \Ifa(E).

21a. Déterminer \Ifa(E)(v0).

21h. En déduire \Ifa(EE).

21e. Calculer la dimension du sous--espace vectoriel C[\Ifa(E)].

21d. Calculer les vecteurs propres de \Ifa(E).

22. Soit W un sous--espace non nul de WE stable par \Ifa(H )

22a. Montrer que W contient au moins un des vecteurs m.

22h. Que dire si W est de plus stable par \IJOE(E) ?

23. Donner une condition nécessaire et suffisante sur R(À(O), ,u(0), q) pour 
que l'opérateur
\Ifa(F ) soit nilpotent.