X Maths 1 MP 2014

ÉCOLE POLYTECHNIQUE -- ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2014 FILIÈRE MP

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES -- A -- (XLCR)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

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Ce sujet porte sur l'étude des formes quadratiques sur un corps de 
caractéristique nulle
et des groupes d'isométries associés.

Notations, Définitions

Dans tout ce problème, K désignera un corps de caractéristique nulle, 
c'est--à--dire un corps
tel que, pour tout entier n # 0, on a n - 1 # 0 dans K où 1 désigne l'unité de 
la loi multiplicative
deK, etn-1=1+---+1.

Soit V un K--espace vectoriel de dimension finie. On rappelle les trois points 
suivants.

-- Une forme bilinéaire symétrique sur V est une application () : V >< V --> K 
telle que
b(aî, y) = b(ya a?) et b(OE + Àya z) = b(âæ z) + Wii; Z)

pour tous a:,y,z E V et À E K.

-- Une forme quadratique sur V est une application q : V --> K telle que :
i) q(Àu) : À2q(u) pour tout À E K et tout U E V;
ii) l'application qN: V >< V --> K définie par (a:, y) l--> qN(aî, y) : â(q(oe 
+ y) -- q(a:) -- q(y))
est bilinéaire symétrique.
-- Une forme quadratique est dite nou dégénére'e si, pour tout U E V -- {0}, il 
existe il) E V
tel que q(u, w) # 0.

On notera Q(V) l'ensemble des formes quadratiques nou dégénére'es sur V.

Soient V et V' deux K--espaces vectoriels de dimension finie.

-- Une isométrie entre deux formes quadratiques q : V --> K et q' : V' --> K 
est un isomor--
phisme linéaire f : V --> V' tel que q' 0 f = q. On notera q % q' si q et q' 
sont isométriques,
c'est--à--dire s'il existe une isométrie entre q et q' .

On notera O(q) := { f E GL(V) \ q 0 f = q} le sous ensemble de GL(V) des 
isométries
f : V --> V entre q et elle--mème. On appelle O(q) le groupe orthogonal de q.

Les deuoeième et troisième parties du problème sont largement indépendantes.

Préliminaires sur les formes quadratiques et les isométries

Soit V un K--espace vectoriel de dimension finie n. Soient al, . . . ,on E K -- 
{0}. On note
(al, . . . ,on) la forme quadratique q définie sur K" par la formule
_ 2 2
q(oe1,...,oen) -- 611561 +---+anoen.
1. Démontrer que (al, . . . ,on) est bien une forme quadratique sur K".

2. Démontrer que l'application q |--> qust une bijection de l'ensemble des 
formes quadratiques
sur V sur les formes bilinéaires symétriques sur V.

3. Soit 13 := (e1,. . . ,en) est une base de V. On associe a toute forme 
bilinéaire symétrique
() sur V une matrice symétrique OE3(b) := (b(eiflej))tj=1...n appelée matrice 
de b dans la
base 13 . On rappelle que () |--> g(b) est un isomorphisme entre l'espace 
vectoriel des formes

bilinéaires symétriques sur V et celui des matrices symétriques carrées de 
taille n.

(a) Démontrer qu'une forme quadratique q sur V est non dégénérée si et 
seulement si le
déterminant det (g(â)) est non nul.

(b) Quelle est la matrice de (al, . . . ,on) dans la base canonique de K" ? En 
déduire que
(al, . . . ,on) EUR Q(K").

4. Soit q EUR Q(V) une forme quadratique non dégénérée sur V.

(a) Soit V' un K--espace vectoriel de dimension finie et q' une forme 
quadratique sur V' .
Démontrer que si q et q' sont isométriques, alors q' est dans Q(V'), 
c'est--à--dire non
dégénérée.

(b) Pour a: # 0, on note {a:}L := {y E V \ â(oe,y) = 0}. Montrer que {a:}l est 
un
sous--espace vectoriel de V de dimension n -- 1.

(c) A quelle condition sur a: le sous--espace {a:}l est--il un supplémentaire 
de la droite Ka:
dans V ?

5. Soient q EUR Q(V) et (J' E Q(V' ) où V' est un K--espace vectoriel de 
dimension finie.
Démontrer que O(q) est un sous--groupe de GL(V) et que si q % q', alors O(q) et 
O(q')
sont deux groupes isomorphes.

Première partie : Existence des bases orthogonales
Soit V un K--espace vectoriel de dimension finie non nulle et q EUR Q(V).

6. On dit que q est isotrope s'il existe a: E V -- {0} tel que q(:c) : 0. Dans 
le cas contraire,
on dit que q est anisotropc.

(a) Démontrer qu'il existe a: E V tel que q(a:) # 0.

(b) On note h la forme quadratique sur K2 définie par Man, 552) = 561562 (on ne 
demande
pas de vérifier que h est une forme quadratique). Montrer que si V est de 
dimension
deux et q est isotrope alors q est isométrique a h.

(c) Démontrer que si q EUR Q(V) est isotrope, alors q : V --> K est surjective.

7. Une base (el, . . . ,en) de V est dite orthogonalc pour q si qN(eZ-, ej) : 0 
pour tout 75 # j.

(a) Montrer qu'il existe une base orthogonale pour q.
Indication : on pourra considérer {a:}L = {y E V \ çÎ(oe,y) : O} et utiliser 
les ques--
tions 4c et 6a.

(b) En déduire qu'il existe 0.1, . . . ,an E K -- {0} tels que q % (al, . . . 
,a").

Deuxième partie : Etude de O(q) quand K = K
On suppose dans cette partie que K = K.

8. Soit q EUR Q(K") (n 2 1). Démontrer qu'il existe un couple d'entiers (T, 3) 
(r + 8 = n) tel
que q soit isométrique a Q... définie sur la base canonique de K" par

7' 'ÏL
2 2
QT7S(ÇÜ17...7ÇÜn)=ZÇÜ,À _ z OEj.
i=1

j=r+1

Soit j : £(K") --> MAK) l'isomorphisme linéaire qui a tout endomorphisme 
associe sa
matrice dans la base canonique de K". On note 0... := j(O(Q...)) le 
sous--ensemble de matrices
associé au groupe orthogonal O(Q...) de Q....

9. Soit f : K" --> K" une application linéaire et M = j( f ) sa matrice dans la 
base canonique

de K".

Démontrer que M E 0... si et seulement si tMI...M : [... où [... est la matrice 
[... =
I 0 , . . . . , . . .

{ 0 T '}8 } , Ip des1gne la matr1ce 1dent1te de ta1lle p >< p et Op,q la matr1ce nulle de ta1lle sm _'3 p >< q pour tous entiers p et q. Que peut--on dire du déterminant det(M ) de M si M E O... ? 10. Démontrer que 0... est un sous--groupe fermé de GLn(K) (on munit MAK), l'ensemble des matrices carrées de taille n a coefficients dans K, de sa topologie de K--espace vectoriel de dimension finie). 11. 12. 13. 14. 15. 16. On note O(n) le groupe orthogonal usuel de R" (qui s'identifie a 071,0). On note K... := O... D O(n). Démontrer que K... est compact et en bijection avec O(r) >< O(s). Démontrer que SO(2) = {M EUR O(2) \ det(M) = 1} est connexe par arcs. Soit H := {(a:, y, 75) E R3 \ z2 = 5132 + y2 + 1} un hyperboloïde a deux nappes. (a) Démontrer que si f E O(Q271), alors f(H) = H. (b) On note 50271 := {M EUR 0271 \ det(M) = 1}. Démontrer que 50271 est un sous--groupe fermé de 02,1. Pour f E O(Q2,1), on note (oef,yf,zf) le vecteur f(0,0,1). On note également SO?)1 := {M =j(f) EUR SOQ)1'Zf > 0}.
(a) Démontrer que, pour tout t E R, l'application linéaire rt dont la matrice 
(dans la
1 0 0
base canonique de R3) vaut 0 ch(t) sh(t) est dans SO?)1 (on pourra appeler
0 sh(t) ch(t)
par la suite une telle application linéaire une rotation hyperbolique).
(b) Soit M = j(f). On suppose que M EUR 50%. Montrer qu'il existe une rotation 
(au sens
usuel) p d'axe (O, O, 1) et t E R tels que rt 0 po f E SO?)1 et vérifie rt opo 
f(0, O, 1) =
(0,0,1).

(c) Démontrer que 3031 est connexe par arcs.

Déduire de la question 14 que 0271 est la réunion de quatre sous-ensembles 
fermés disjoints
deux a deux et connexes par arcs.

Démontrer qu'il existe un morphisme surjectif de groupes w : 0271 --> Z/2Z >< Z/2Z dont le noyau est S U;: 1. Troisième partie On revient dans cette dernière partie au cas où K est un corps quelconque de caractéristique nulle. Si V et V' sont deux K--espaces vectoriels de dimension finie, q EUR Q(V) et (J' E Q(V' ) sont deux formes quadratiques non dégénérées, la somme orthogonch q J. q' de q et q' est la forme quadratique sur V >< V' définie par (1 L Q'(% OE') = Q(OE) + Q'(OE') pour tout a: E V et tout a:' E V'. 17. Soient V,V' et V" trois K--espaces vectoriels de dimension finie et (q,q' ,q" ) EUR Q(V) >< Q(V') >< Q(V"). (a) Montrer que q J. (J' E Q(V >< V') puis que (q J. q') J. q" % q J. (q' J. q"). (b) Montrer que si q' % q" alors q J. q' % q J. q". (c) Démontrer que si V = V' @ V" et â(a:, y) = 0 pour tout a: E V' et tout y E V", alors q % q' J. q" où q' est la restriction de q a V' et q" celle de q a V". 18. Soient V un K--espace vectoriel de dimension finie, q EUR Q(V) et o,w E V deux vecteurs distincts de V tels que q(o) : q(w) # 0. On veut montrer dans cette question qu'il existe alors une isométrie h EUR O(q) telle que h(o) : w. (a) Soit a:NE V tel que q(a:) # 0. On note soe l'endomorphisme de V défini par y |--> soe(y) =

y -- 2%oe. Montrer que sa; et --soe appartiennent a O(q).

(b) On suppose ici que q(w -- o) # 0. Montrer que l'application s..._v est une 
isométrie
telle que sw_v(o) : w.

(c) On suppose ici que q(w -- o) = 0. Montrer qu'il existe une isométrie g E 
O(q) telle
que g(o) : w et conclure.

19. Soient (VZ-)1953 trois K--espaces vectoriels de dimension finie et qi EUR 
Q(VÙ pour 1 S i S 3
vérifiant en J. Q3 % (12 J. (13. Montrer que q1 % q2.
Indication : on pourra raisonner par récurrence et utiliser les questions 17 et 
18.

20. Soit V un K--espace vectoriel de dimension finie et q EUR Q(V). Montrer 
qu'il existe un
unique entier m positif ou nul et une forme quadratique anisotrope q..., unique 
& isométric
près, tels que q % q... J. m - h où m - h = h J. J. h est la somme orthogonale 
de m
copies de h et h est la forme quadratique introduite par la question 6b.

Indication : on pourra utiliser la question 6b et la question précédente.