X/ENS Maths A MP 2015

ÉCOLE POLYTECHNIQUE ­ ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES
CONCOURS D'ADMISSION 2015

FILIÈRE MP

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES ­ A ­ (XLCR)
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
 
Pour n  1, l'espace des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou 
égal à n est
noté Rn [X]. Étant donnés deux polynômes non nuls P et Q à coefficients réels, 
leur plus grand
commun diviseur (pgcd) unitaire est noté P  Q.
Si r > 1 est un second entier, Mr,n (R) désigne l'espace vectoriel des matrices 
à r lignes et
n colonnes à coefficients complexes. La notation M = (mij ) signifie que le 
coefficient à la ligne
i et colonne j de la matrice M est mij . On note plus simplement Mn (R) = Mn,n 
(R), dont la
matrice identité est In  Mn (R). Le polynôme caractéristique M de M  Mn (R) est 
défini
par
M (X) = det(XIn - M ).
Le polynôme caractéristique est donc unitaire.

Pour M  Mr,n (R), tM  Mn,r (R) désigne la matrice transposée. On rappelle qu'une
matrice carrée M  Mn (R) est symétrique si tM = M , orthogonale si tM M = In . 
On notera
Sn (R) (respectivement On (R)) l'ensemble des matrices symétriques (resp. 
orthogonales) de taille
n. Étant donné un n-uplet (a1 , . . . , an ) de nombres réels,

a1

..
(a1 , . . . , an ) = 

.
an

désigne la matrice diagonale associée.
Si M  Sn (R), son spectre est réel. On convient de ranger ses valeurs propres 
(comptées
avec leurs ordres de multiplicité) dans l'ordre décroissant 1 > · · · > n . On 
note alors Sp(M ) =
(1 , . . . , n ), qui est donc un n-uplet ordonné.
b = (1 > · · · > n+1 )  Rn+1 et un n-uplet µ
Un n + 1-uplet 
b = (µ1 > · · · > µn )  Rn ,
ordonnés, sont dit enlacés si j > µj > j+1 pour tout j  {1, . . . , n}. Ils 
sont strictement
enlacés si j > µj > j+1 pour tout j. Par exemple, (4, 3, 2, 1) et (, e, 2) sont 
strictement
enlacés.

Questions préliminaires
1. (a) Montrer que On (R) est un sous-groupe du groupe GLn (R) des matrices 
inversibles.
(b) Montrer que On (R) est une partie compacte de Mn (R).

2. Soit M et N dans Sn (R). Montrer qu'il existe U  On (R) tel que N = U M U -1 
, si et
seulement si M = N .
b = (1 > · · · > n+1 )  Rn+1 et µ
3. Soit 
b = (µ1 > · · · > µn )  Rn . Soit x  R. Formons
b = (1 > · · · > i > x > i+1 > · · · > n+1 )

en choisissant l'entier i  {0, . . . , n + 1} convenablement. Si x > 1 , on a 
donc i = 0, tandis
que si x 6 n+1 , on a i = n + 1. On forme de même
µ
b = (µ1 > · · · > µj > x > µj+1 > · · · > µn ).
b et µ
On suppose que 
b sont enlacés. Montrer que j 6 i 6 j + 1. En examinant chacun des
b et µ
deux cas j = i ou i - 1, montrer que 
b sont enlacés.

1

Première Partie

Soit µ
b = (µ1 > · · · > µn )  Rn .

4. On définit les polynômes
Q0 =

n
Y

(X - µk ) et j  {1, . . . , n},

Pj =

k=1

Q0
.
(X - µj )

(a) Montrer que la famille (Q0 , P1 , P2 , . . . , Pn ) est une base de Rn [X].
(b) Soit j  {1, . . . , n}. Vérifier que (-1)j-1 Pj (µj ) > 0.
5. Soit P  R[X] un polynôme unitaire de degré n + 1.
(a) Montrer qu'il existe un unique vecteur (a, 1 , 2 , . . . , n )  Rn+1 tel que
P = (X - a)Q0 -

n
X

(1)

j Pj .

j=1

(b) On suppose que les nombres réels 1 , . . . , n sont tous strictement 
positifs. Montrer
b = (1 > · · · > n+1 )
que P a n + 1 racines réelles distinctes 1 > · · · > n+1 , et que 
et µ
b sont strictement enlacés.

(c) Réciproquement, on suppose que P a n + 1 racines réelles distinctes 1 > · · 
· > n+1 ,
b = (1 > · · · > n+1 ) et µ
et que 
b sont strictement enlacés. Montrer que, pour tout
j  {1, . . . , n}, j > 0.

6. On se donne des entiers mk > 1 pour k = 1, . . . , n. On pose
Q1 =

n
Y

(X - µk )mk

et, cette fois-ci, Pj =

k=1

Montrer que
Q1  Q1

=

n
Y

(X - µk )mk -1 .

k=1

Page 2

Q1
.
X - µj

7. Soit (a, 1 , 2 , . . . , n )  Rn+1 et soit P  R[X] défini par la formule
P = (X - a)Q1 -

n
X

j Pj .

j=1

(a) Donner une expression de P  Q1 en fonction des µj , des mj et de l'ensemble 
J des
indices pour lesquels j = 0.
(b) On suppose que les nombres 1 , . . . , n sont positifs ou nuls.
Montrer que les racines de P sont toutes réelles.
On admettra par la suite que, dans ce cas le plus général, le (N + 1)-uplet des 
racines
de P et le N -uplet des racines de Q1 sont enlacés.

2

Deuxième Partie

8. Soit r et s deux entiers naturels non nuls. Soit A  Mr (R), B  Mr,s (R), C  
Ms,r (R)
et D  Ms (R). On suppose de plus que A est inversible. On considère la matrice 
M 
Mr+s (R) ayant la forme par blocs suivante

A B
M=
.
C D
Trouver deux matrices U  Mr,s (R) et V  Ms (R) telles que

A 0
Ir U
M=
·
.
C Is
0 V
et en déduire que
det(M ) = det(A) · det(D - CA-1 B).
On pourra admettre par la suite que cette formule reste vraie lorsque M et ses 
blocs A, . . . , D
sont à coefficients dans le corps R(X) des fractions rationnelles.
9. Soit M  Sn+1 (R) une matrice symétrique. On écrit M sous la forme par blocs

A y
M= t
.
y a
avec a  R, y  Mn,1 (R) et A  Sn (R).
(a) Si le spectre de A est Sp(A) = (µ1 > · · · > µn ), montrer qu'il existe U  
On+1 (R) et
z  Mn,1 (R) tels que

(µ1 , . . . , µn ) z
t
UM U =
.
tz
a
(b) En déduire qu'il existe des nombres réels positifs ou nuls j (pour j = 1, . 
. . , n) tels
que
n
n
Y
X
Q0
,
où Q0 =
(X - µk ).
j
M = (X - a)Q0 -
(X - µj )
j=1

k=1

(c) Montrer que Sp(M ) et Sp(A) sont enlacés.

Page 3

10. Pour T = (tij )  Mn+1 (R), on note T6n la matrice extraite de taille n dont 
les coefficients
sont les tij pour 1 6 i, j 6 n. Soit M  Sn+1 (R). Montrer que l'ensemble
{Sp((U M U -1 )6n )  Rn , pour U parcourant On+1 (R)},
noté CM , est une partie compacte de Rn .
11. On suppose de plus que les valeurs propres de M sont distinctes. On a donc 
Sp(M ) = (1 >
· · · > n+1 ).

(a) Soit µ
b = (µ1 > · · · > µn ) tel que Sp(M ) et µ
b soient strictement enlacés. Montrer que
µ
b appartient à CM .

(b) Montrer que

CM = {b
µ = (µ1 > · · · > µn ), tels que Sp(M ) et µ
b soient enlacés}.

3

(2)

Troisième Partie

On considère l'application
Diagn :

Sn (R)
-
Rn
M = (mij ) 7- (m11 , m22 , . . . , mnn ).

Soit M  Sn (R). Dans cette partie, on se propose d'étudier l'ensemble suivant
DM = {Diag n (U M U -1 ), pour U parcourant On (R)}.
12. On étudie d'abord le cas n = 2. On note alors Sp(M ) = (1 > 2 ).
Montrer que DM est le segment de R2 dont les extrémités sont (1 , 2 ) et (2 , 1 
).
13. Soit M = (mij )  Sn (R). On note Sp(M ) = (1 > · · · > n )  Rn . On se 
propose de
démontrer que, pour tout s  {1, . . . , n}, on a :
s
X
i=1

mii 6

s
X

i .

(3)

i=1

(a) Que pensez-vous du cas s = n ?
Pn-1
(b) Exprimer
i=1 mii au moyen des valeurs propres de la matrice M6n-1 obtenue en
supprimant la dernière ligne et la dernière colonne de M . En déduire 
l'inégalité (3)
lorsque s = n - 1.
(c) En procédant par récurrence sur n, montrer l'inégalité (3), pour tout s  
{1, . . . , n}.

4

Quatrième Partie

14. On note E l'espace vectoriel R2 muni du produit scalaire standard et de la 
base 
canonique
1
B = {e1 , e2 }. On définit une base C = {1 , 2 } de E par 1 = e1 et 2 = 2 (e1 + 
3 e2 ).

(a) Soit s1 : E-E la symétrie orthogonale
par
 rapport à la droite R1 . Montrer que la

1 1
.
matrice de s1 dans la base C est
0 -1
Page 4

(b) Soit s2 : E-E la symétrie orthogonale
par

 rapport à la droite R2 . Montrer que la
-1 0
matrice de s2 dans la base C est
.
1 1
15. Soit H l'ensemble des vecteurs (m1 , m2 , m3 )  R3 tels que m1 + m2 + m3 = 
0. On note H +
le sous-ensemble des (m1 , m2 , m3 )  H tels que m1 > m2 > m3 . On considère 
l'application
 :

H
-
E
(m1 , m2 , m3 ) 7- (m1 - m2 )1 + (m2 - m3 )2 .

(a) Montrer que  est un isomorphisme linéaire. Décrire (H + ).
(b) Montrer que, pour tout (m1 , m2 , m3 )  H, on a
s1  (m1 , m2 , m3 ) = (m1 , m3 , m2 ) et s2  (m1 , m2 , m3 ) = (m2 , m1 , m3 ).
b = (1 , 2 , 3 )  H tel que 1 > 2 > 3 . On note Qb l'ensemble des
(c) Soit 

(m1 , m2 , m3 )  H + tels que m1 6 1 et m1 + m2 6 1 + 2 . Montrer que (Qb )
est un quadrilatère dont on décrira les sommets.
16. Soit M  S3 (R) une matrice de trace nulle. On note Sp(M ) = (1 > 2 > 3 ). 
On se
propose de décrire (DM ).
(a) Soit (m1 , m2 , m3 )  H. Soit  une permutation de {1, 2, 3}. Montrer que 
(m1 , m2 , m3 ) 
DM si et seulement si (m(1) , m(2) , m(3) )  DM .
(b) En utilisant la question 13, montrer que l'intersection H +  DM est incluse 
dans Qb .
(c) Soit (m1 , m2 , m3 )  DM . Montrer que le segment de H dont les sommets 
sont (m1 , m2 , m3 )
et (m2 , m1 , m3 ) est inclus dans DM . On pourra utiliser la question 12.
De même, montrer que le segment de H dont les sommets sont (m1 , m2 , m3 ) et 
(m1 , m3 , m2 )
est inclus dans DM .
(d) Montrer que DM contient Qb .
(e) Montrer que si 1 > 2 > 3 alors (DM ) est un hexagone, dont on déterminera 
les
sommets.

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