X/ENS Maths A MP 2019

ECOLE POLYIECHNIQUE - ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2019

JEUDI 18 AVRIL 2019 - 8h00 - 12h00
FILIERE MP - Epreuve n° 1

MATHEMATIQUES A
(XLCR)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve
Notations

On notera respectivement C, R et © les corps des nombres complexes, réels et
rationnels, et Z l'anneau des entiers relatifs.

Pour un entier n > 1 on dit qu'un nombre complexe z est une racine n-ième
de l'unité si 2° = 1, et que z est une racine de l'unité s'il existe k > 1 tel 
que z
soit une racine k-ième de l'unité.

Pour R EUR {Z,Q,R,C} on notera R|X] l'anneau des polynômes à coefficients
dans À. Un polynôme non nul est unitaire si son coefficient dominant est égal à
1. Un polynôme P EUR Q[X] est irréductible dans Q[X1] si P n'est pas constant 
et si
l'égalité P = QR avec Q, R EUR Q[X] implique que Q ou R est constant.

Un nombre complexe x est appelé nombre algébrique s'il existe P EUR QIX] non
nul tel que P(x) = 0. On dit que x EUR C est un entier algébrique s'il existe P 
EUR ZX]
unitaire tel que P(x) = 0.

On admet le résultat suivant.

Théorème: L'ensemble des entiers algébriques est un sous-anneau de C.

Le problème est consacré à l'étude des polynômes unitaires P EUR ZÏX|, irré-
ductibles dans Q[XT et qui possèdent beaucoup de racines de module 1.

La partie 1 est préliminaire et utilisée en fin de parties 2 et 3. La partie 3 
est in-
dépendante de la partie 2. La partie 4 utilise les notions introduites 
précédemment
mais est, à l'exception des questions 19 et 20, indépendante du reste.
Partie 1

Le but de cette partie est d'introduire les notions de polynôme minimal et de
degré d'un nombre algébrique, et de montrer que le polynôme minimal d'un entier
algébrique est à coefficients entiers.

Dans les questions 1 à 4, on fire un nombre algébrique a. Soit

I(a) = {P EUR QIX] | P(a) = 0.

1. Montrer que /(a) est un idéal de Q[X |, différent de {0}.

Il existe donc un unique polynôme unitaire Il, EUR QIX], appelé polynôme min-
imal de «, tel que

T(a) = {IQ | Q EUR QIX}.

On appelle degré de a le degré du polynôme IT...

2

3.

. Montrer que a est de degré 1 si et seulement si & EUR Q,.

Montrer que IT, est irréductible dans Q[X|.

Soit P EUR QIX] un polynôme unitaire, irréductible dans Q[X]. Montrer
que si z est une racine complexe de P, alors P est le polynôme minimal
de z.

Soient À, B EUR Q[X] deux polynômes qui possèdent une racine commune
dans C. Montrer que À et B ne sont pas premiers entre eux dans Q[X.

Montrer que les racines de IT, dans EUR sont simples.

Montrer que si & EUR Q est un entier algébrique, alors « EUR Z.

Montrer que si à EUR C est un entier algébrique alors IL, EUR ZIX|.

Indication: utiliser le théorème admis en introduction ainsi que la ques-
tion 9a.

Soit à EUR C un entier algébrique de degré 2 et de module 1. Montrer
que « est une racine de l'unité.

Montrer que Se est un nombre algébrique de degré 2 et de module 1
mais n'est pas une racine de l'unité.
Partie 2

Le but de cette partie est de caractériser les polynômes unitaires P EUR ZIX|,
irréductibles dans QIX |, dont toutes les racines sont de module 1.

Pour n un entier supérieur ou égal à 1 on dit qu'une racine n-ième de l'unité
z est primitive si 2% 1 pour tout entier d tel que 1 < d < n. On note P, l'ensemble des racines primitives n-ièmes de l'unité. On a donc P, = {1}. On définit b, EUR C[X] par D, = [[(X -- 2). zEUReP, Si a et b sont des entiers, on écrit a | b si a divise b. 7. Montrer que pour tout n > lona

X7--1=1[[D,
dl

le produit étant pris sur l'ensemble des entiers d > 0 divisant n.
8. (a) Montrer que si p est un nombre premier et 4 > 1 est un entier, alors
D, -- XE-DP LE XP LE XP 7
(b) Calculer &, pour n = 1,2,3,4,5,6.
On fixe un entier n > 2 pour toute la suite de cette partie.

9. (a) Calculer P,(0).

(b) Calculer &,(1) en fonction de la décomposition en facteurs premiers de
n.

Indication: raisonner par récurrence sur ñn, en utilisant la question 7.
10. Montrer que ®, EUR ZX].

Soit P E ZX] un polynôme unitaire de degré n > 1, irréductible dans QIX]
et dont toutes les racines complexes sont de module 1. L'objectif des questions
11 et 12 est de montrer que toutes les racines de P sont des racines de l'unité.
Soient z1, ..., 2% les racines complexes de P comptées avec leurs 
multiplicités, de

sorte que
nm

P=TI(X - 2).

i=1
Pour tout entier k > O0 on note

k k k
= +2 tT' +2.
11. (a) Montrer que la série 53-0 42° converge pour tout z EUR C tel que [2] < 1. (b) Soit z EUR EUR non nul tel que |z| < 1 et soit f(z) la somme de la série > &>0 a,2*. Montrer que

l l
zf(z)P () -- P (-)
z z
(c) En déduire que ax EUR Z pour tout k > 0.

12. (a) Montrer qu'il existe deux entiers 0 < k < { tels que ax:; = @+; pour tout à EUR {0,1,...,n}. On fixe deux tels entiers k,{ dans les questions 12b et 12c. (b) Montrer que 5%, F(z;)(2% -- 2*) = 0 pour tout polynôme F EUR C[X] de degré inférieur ou égal à n. (c) Montrer que 21,22,...,2, sont deux à deux distincts. En déduire que JS -- 1 pour tout 4 EUR {1,2,...,n} et conclure. Soit z EUR P,. Le but des questions 13 et 14 est de montrer que ®,, est le polynôme minimal de z, 1.e. D, = IT,. Soit p un nombre premier ne divisant pas n. 13. (a) Soient F,G EUR ZÏX]. Montrer qu'il existe À EUR Z]X] tel que (F+G) = EP + CG +pH. (b) Montrer que Il, EUR Z|X\ et en déduire l'existence d'un polynôme F EUR ZX] tel que IL, (XP) = IL (XX) + pF(X). (z?) (c) Montrer que 2 est un entier algébrique. 2 \ , OU 21, 22,...,2n 14. (a) Exprimer en fonction de n le nombre [[4,:;<,(2i--2;) sont les racines du polynôme P = X7 -- TI. Indication: On pourra considérer les nombres P'(2;). (b) Montrer que IL, (2?) = 0. Indication: montrer que si Il,(2?) 0, alors il existe un entier al- gébrique u tel que n° = u - IT,(2?). (c) Conclure que ®, = IL. Partie 3 Le but de cette partie est d'introduire et d'étudier une certaine classe d'entiers algébriques, qui ne sont pas des racines de l'unité et dont le polynôme minimal possède beaucoup de racines de module I. Un polynôme unitaire de degré d > 1

d
P=S aX' EeC[X)

i=0
est dit réciproque si a; = ag-; pour 0 << d. 15. (a) Montrer qu'un polynôme P EUR C[X] unitaire de degré d est réciproque si et seulement si XYP(<) = P. (b) Soit P EUR C[X] un polynôme unitaire réciproque. Montrer que si x EUR C est une racine de P, alors x Æ 0 et 1 est aussi une racine de P, avec la même multiplicité. Si a est un nombre algébrique de polynôme minimal IT,,, les racines complexes de IT, différentes de a sont appelées les conjugués de a. On notera C(a) l'ensemble des conjugués de à. L'ensemble C(a) est donc vide si a est de degré 1. 16. Soit x un nombre algébrique de module 1 et tel que x EUR {--1,1}. Montrer que À est un conjugué de x. En déduire que IL, est réciproque. TX On note S l'ensemble des nombres réels à EUR |1,+oo[ qui sont aussi des entiers algébriques de degré au moins 2 et qui vérifient max -- ], max 7 17. Soit à un élément de S et soit y EUR C'(a) de module 1. (a) Montrer que le polynôme minimal de « est réciproque et que L est un conjugué de @. (b) Montrer que 7 n'est pas une racine de l'unité. (c) Montrer que tous les conjugués de à autres que L sont de module 1. 18. Montrer que le degré de tout élément de $S est un entier pair, supérieur ou égal à 4. Partie 4 Dans cette partie on étudie une famille infinie d'éléments de l'ensemble S introduit dans la partie 3, avant la question 17. Pour tout entier n > 1, on définit P, EUR Z\X\] par

P, = X°--(6+n)X*+(10+n)X° --(6+n)X +1.

19. Vérifier que PF, n'a pas de racine dans Q et que P, a au moins une racine
réelle strictement plus grande que 1. On fixe une telle racine a, dans la
suite.

20. Montrer que si x EUR EUR est une racine de P,, alors est aussi une racine de
P,,. avec la même multiplicité.

On note a», a Yn: _ les racines de P, dans EUR et on pose

l l
bn = Ant --, Sn = In + --.

nm VYn

21. Montrer que t,, +5, = 6+netthsn = 8 +n.

22. Montrer que 5, est réel et que 0 < 5, < 2. En déduire que 7, n'est pas réel et que 7, est de module I. 23. (a) Montrer que t, et 5, sont irrationnels. (b) En déduire que P, est irréductible dans Q[X1] et que a, EUR S. (c) Montrer que lim, 14 An = +00. 24. Soit 7 l'ensemble des & EUR $S de degré 4. Montrer que 7 possède un plus petit élément et calculer ce nombre. On ne sait pas si l'ensemble S possède un plus petit élément. Le plus petit élément de S connu est la plus grande racine réelle du polynôme X1 + X° -- XT -- X6---XS- X- X8+EX +1.