X/ENS Maths A MP-MPI 2023

ECOLE POLYTECHNIQUE
ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2023

LUNDI 17 AVRIL 2023
08h00 - 12h00

FILIERE MP-MPI - Epreuve n° 1

MATHEMATIQUES A (XLSR)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Notations On note R et C les corps des nombres réels et complexes. Pour
z EUR C on note Z le conjugué complexe de z et |z] le module de z.

Si V est un espace euclidien, on note End(V) l'espace des applications R-
linéaires de V dans lui-même. On note aussi GL(V) le groupe des applications
R-linéaires bijectives de V sur lui-même, et on note O(V) EUR GL(V) (respective-
ment SO(V) EUR GL(V)) le groupe orthogonal (respectivement spécial orthogonal)
de V.

Par convention, les R-algèbres considérées dans ce problème seront non nulles,
associatives et unitaires, mais pas forcément commutatives. Deux R-algèbres À et
B sont dites isomorphes s'il existe une bijection R-linéaire f : À -- B telle 
que

fxy) = f(x) f(y) pour tous x, y EUR À.

Soit À une R-algèbre et soit e EUR À l'élément unité de À pour la 
multiplication.
On notera R1 la sous-algèbre {ael a EUR R} de À. Un élément x de À est dit in-
versible s'il existe y EUR À tel que xy = yx = e. On note A* l'ensemble des 
éléments
inversibles de À. On admet que AÀA* est un groupe pour la multiplication.

On note M(C) la C-algèbre des matrices de taille 2x2 à coefficients complexes.

Pour 2,22 EUR EUR on note
Z1 --22
Z(21. 22) -- _" }.
2) = (5 7)

Soit  H = {7(21,22)| 21,22 EUR C} EUR MC). On admet que H est un sous-R-espace
vectoriel de M,(C), admettant comme base les matrices

1 0 rt Ù 0 1 0 2
(Due ue (2 ue)

qui vérifient les relations suivantes dans M(C) :
[=J=K°= _E, IJ=-JI=K, JK=-KJ=I, KI=-IK =.

On veillera à ne pas confondre l'élément à de EUR et la matrice 7 de H EUR 
A2(C), ni
la matrice Î avec la matrice identité À.

On note H = {71 + yJ + 2K | (x, y, 2) ER*} CH.

On définit une application N : H --R par N(Z(2, 22)) := |21[° + |20/°.

Onnote S={UEH|N(U)=1}.
I Préliminaires

Si À = (a;;) EUR M(C) on note A* = (a;;).
1. a) Montrer que H est une sous-R-algèbre de AZ(C) stable par Z + ZX.

b) Soit Z EUR H. Calculer ZZ* et en déduire que tout élément non nul de H
est inversible.

c) Soit Z EUR H. Montrer que Z EUR Ry si et seulement si 777 = 7/7 pour tout
Z' EH.

2. a) Montrer que l'on a N(Z77) = N(Z)N(7") pour tous Z, 7' EUR H.

b) Montrer que S est un sous-eroupe de H* et que 1 Z EUR S pour tout
) q group mue Az P

Z EUR HF.

3. a) Montrer que pour tous x,y,2,4ERona

N(xE + yIl + 2J +tK) = +y +2 +.

b) Montrer que pour tout U EUR H°" on a U? = ---N(U)E et que
H° = {U EH|U*E]-c,0]E}.

La question 3a) montre que l'on définit un produit scalaire (, ) sur H en
posant, pour Z,7e H

N(Z +7) -- N(Z) - N(Z
5 |

(Z; 7") --
et que l'on dispose d'une isométrie
D: RH, Y(x,y,2t):=2xE + yl +2] +tK

de R* muni du produit scalaire usuel sur H. On munit par la suite H de
sa structure d'espace euclidien induite par le produit scalaire (, ). Aïnsi
(E,1,J, K) est une base orthonormée de H.

4. Montrer que S' est une partie fermée et connexe par arcs de H.

5. Soient U, V EUR H".

a) Montrer que U et V sont orthogonaux si et seulement si UV + VU = 0.
Dans ce cas montrer que UV EUR H" et que le déterminant de la famille
(U, V,UV) dans la base (7,J, K) de H°" est positif ou nul.

b) Montrer que si (U, V) est une famille orthonormale dans H°, alors (U, V, UV)
est une base orthonormée directe de H°.
IT Automorphismes de H et rotations

On munit S$ x S de la loi de composition x donnée par (ui, u2) X (vi, V2) --
(uiv1, uav2) et on admet qu'elle munit $ x $ d'une structure de groupe. On
considère l'application

a:S x S$ --> GL(HI
(uv) (Zr uZu
en admettant que a(u,v) est bien dans GL(H). Pour u EUR $S, on admet que
l'endomorphisme a(u,u) de H laisse stable le sous-espace H" de H, et on note

Cy EUR End(H") l'endomorphisme induit. On a donc C,(Z) = uZu | pour Z EUR
He.

6. Montrer que « est un morphisme de groupes et décrire son noyau.

7. Montrer que @ est continu et que l'image de a est contenue dans SO(H). On
pourra commencer par montrer que a(u,v) EUR O(H) pour (u,v) ES x S.

8. Soient 0ERetveH"ANS,et soit u = (cos0)E + (sin0)v.
a) Montrer que u EUR S et que u_! = (cos 0)E -- (sin Ov.
b) Soit w EUR H" ANS un vecteur orthogonal à vw. Décrire la matrice de C,

dans la base orthonormée directe (v,w,vw) de H°".

9. Montrer que l'application u + C,, induit un morphisme surjectif de groupes
S -- SO(H") et décrire son noyau.

10. a) En déduire que a(S x $) = SO(H).

b) Montrer que N := a(S x {1}) est un sous-groupe de SO(H), puis que
gng EUR N pour tous n EUR N et g EUR SO(H) et que {+id} EUR N EUR SO(H).

Soit Aut(H) l'ensemble des automorphismes de la R-algèbre H. Un élément
de Aut(H) est donc une application R-linéaire bijective f : H -- H satisfaisant

Îles = idr, et f(uv) = f(u)f(v) pour tout (u,v) EUR HF.

11. Montrer que Aut(H) est un sous-groupe de GL(H), contenant a(u,u) pour
tout u EUR S.

12. Montrer que (f(1), f(J), f(K)) est une base orthonormée directe de H"
pour tout f EUR Aut(Hl).
13. a) Montrer que l'application de restriction à H°" induit un isomorphisme de
groupes

Aut(H) + SO(H).

b) Montrer que
Aut(H) = {a(u,u)| u EUR S'}.

III Normes euclidiennes sur R°

Le but de cette partie est la preuve du résultat suivant, qui sera utilisé dans 
la
partie IV.

Théorème A. Soit || - || une norme sur le R-espace vectoriel R°. Si
Ie ++ 1x - vf 4

pour tous x,y EUR R° vérifiant |}x|| = ||y|[| = 1, alors || - || provient d'un 
produit
scalaire sur R°.

On note ||: |} la norme euclidienne canonique sur R° et on note
C:={xeR°| ||xlh = 1}.
On fixe une norme quelconque || - || sur R° et on note
K= {AE MR) Vr ER [xl 2 [lAx||}.

14. a) Montrer que Æ est une partie compacte et convexe de M (R).
b) Montrer qu'il existe À EUR K tel que det À = sup, det B.
On fixe par la suite un élément À de K tel que det À = sup. det B.

15. Montrer que det À > 0 et qu'il existe x EUR C tel que |[Ax|| = 1.
On fixe par la suite x EUR C tel que || Ax|| = 1.

16. Soit B EUR SO(R*) une matrice telle que x = B (0)

a) Montrer que pour tout r EUR |0,1| il existe x, EUR C tel que

Tr 0
LAB fi ) rr|| > 1

r

4

- [Ur 9 2
b) Montrer que si x, -- (u) alors 27 > 55.

17. En utilisant ce qui précède, montrer qu'il existe une base (e:,e2) de R° 
telle
que | Ax|| = |}x|l2 pour x EUR {e:,e2}.

18. Soit Tune partie fermée de C, telle qu'il existe x,y EUR T' avec y # 
{--x,x}.

On suppose que pour tous a,b EUR T' avec b EUR {--a,a}, on a que TG et
IE appartiennent à T. Montrer que T = C.

19. Montrer le théorème A.

IV Algéèbres valuées

Soit À une R-algèbre et e son élément neutre. Dans cette partie, on identifiera 
R4
avec R, et on notera (abusivement) a l'élément ae de À pour a EUR R. On dit que
À est algébrique si pour tout x EUR À il existe un entier n > 1 et &o,...,an-1 
EUR R
tels que

a + an at +, + aix + ao = 0.

On dit que À est sans diviseur de zéro si xy Z 0 pour tous x,y EUR A \{0}. Dans
cette partie, nous allons montrer le théorème B ci-dessous, puis l'utiliser pour
prouver le théorème C plus loin.

Théorème B. Une R-algebre algébrique et sans diviseur de zéro est isomorphe
à R,C ou H.

Soit À une R-algèbre algébrique et sans diviseur de zéro.

20. a) Montrer que x° EUR R + Rx pour tout x EUR À.
b) Montrer que si x EUR A\R, alors R+Rzx est une R-algèbre isomorphe à C.

On suppose que À n'est pas isomorphe à une des algèbres R ou C.

21. Montrer qu'il existe 14 EUR À tel que 54 = --1.

On fixe par la suite un élément 44 de À tel que 14 = --1. On note U = R+Ri:
et on définit l'application

T:A-- À, T(x) --= LALTA.

On note id : À -- À l'application identité de À.
22. a) Montrer que T(xy) = --T(x)T (y) pour tous &,y EUR À.
b) Calculer T° = To T et en déduire que À = ker(T -- id) @ ker(T + id).

23. Montrer que ker(T + id) = U et en déduire que ker(T'-- id) £ {0}.

24. On fixe 5 EUR ker(T -- id) \ {0}.

a) Montrer que l'application x + 5x envoie ker(T -- id) dans ker(T' + id).
En déduire que 8° EUR U et que ker(T -- id) = BU.

b) Montrer que B° EUR ]---c, 0[.

c) Démontrer le théorème B.

On se propose maintenant de démontrer le résultat suivant:

Théorème C. Soit À une R-algèbre. S'il existe une norme || -|| sur le R-espace
vectoriel À telle que
Vr,y EUR À [lxyll = [il 1Iyll

alors À est isomorphe à R,C ou HI.

On fixe une R-algèbre comme dans l'énoncé du théorème ci-dessus.

25. Soient x,y EUR À tels que xy = yx et tels que V = Rx + Ry soit de dimension
2 sur R. Montrer que

Vu,veV [u+olf+ lu vf 2 Alull: [lol
et que la restriction de || - || à V provient d'un produit scalaire sur V.

26. Montrer que x° EUR R+ Rx pour tout x EUR À. On pourra utiliser le résultat 
de
la question 25 avec y = 1.

27. Conclure.