ECOLE POLYTECHNIQUE
ECOLES NORMALES SUPERIEURES
CONCOURS D'ADMISSION 2024
LUNDI 15 AVRIL 2024
08h00 - 12h00
FILIERES MP-MPI - Epreuve n° 1
MATHEMATIQUES A (XLSR)
Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve
COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Le problème comporte deux parties qui sont indépendantes.
Notations
On note N l'ensemble des entiers naturels et N* l'ensemble des entiers naturels
non nuls.
Soit n un entier naturel non nul. On note G, le groupe des permutations de
{1,...,n} et
E(o) la signature d'une permutation o EUR G;.
Si o EUR G», on appelle point fixe de o un élement à EUR {1,...,n} tel que o(i)
= à. On note (0)
le nombre de points fixes de &. On appelle dérangement une permutation o EUR 6,
n'ayant
aucun point fixe. On note D,, l'ensemble des dérangements de 6, et D, son
cardinal.
S1 £ est un entier naturel tel que k < n, on note (e) le coefficient binomial correspondant au nombre de parties à k éléments d'un ensemble à n éléments. Par convention, on pose (e) = 0 pour un entier naturel k > n.
On note R|X1] l'ensemble des polynômes à une indéterminée et à coefficients
réels. Si de plus
n > O0 est un entier naturel, on note R,[X] l'ensemble des éléments P EUR RIÎX]
de degré
inférieur ou égal à n.
Sin > 0 et d > 1 sont deux entiers naturels, on note d | n la relation « d
divise n ».
Si x est un réel, on note E(x) sa partie entière, c'est-à-dire l'unique entier
E(x) tel que
E(x) < x < E(x) +1. Si p est un nombre premier et n un entier naturel non nul, on note v)(n) = max{v EN : p'|n}. Soit n un entier naturel non nul. On note .#,(R) l'ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients réels. Pour tout ensemble FE, on note (FE) l'ensemble des parties de E. On note In2 la fonction de |1,+|[ dans R définie par In2(x) = In(In(x)). Si (an)nen* désigne une suite de nombres réels, on note, pour tout nombre réel x EUR R, E(x) E(x) E(x) Don Doüm D, Ge D, 4 Ï[ oe= Il © n 2. Pour tout nombre réel x, on considère la matrice
de .#h(R)
suivante : 1
T .
Mi
1 1 -.. x !I
1 1 1 x)
la. Montrer que la matrice --W est diagonalisable et déterminer ses valeurs
propres et ses
sous-espaces propres.
1b. En déduire que pour tout x EUR R,ona
Y_e(o)r 9) = (x 1)" l(r+n--1).
CEGn
2. Calculer
3. Établir que
Card{o EUR 6, : e(o) = 1} = Card{o EUR Gy : E(o) = ---1}
et en déduire la probabilité qu'une permutation de G,, tirée uniformément au
hasard soit de
signature prescrite.
4. Pour o EUR G», préciser à quelle condition sur v(o), on à o EUR D. En
déduire que
Card{o EUR D, : e(o) = 1} = Card{o EUR D, : e(o) = ---1}+(---1)" ln -- 1).
Soit m EUR N. On considère la matrice
M=| mo l'E Adinu(R).
5a. Justifier que les familles (1, X,...,X"") et (1,(X --1),...,(X -- 1)") sont
des bases de
Rn[X|.
5b. Montrer que la transposée de M est la matrice de l'application linéaire
identité
Rn[X] -- R;[X
P + P
dans les bases (1, X,..., X"?) au départ et (1,(X --1),...,(X -- 1)7) à
l'arrivée.
5c. Établir que M est inversible et expliciter son inverse.
5d. En déduire que pour tous (uo,..., um), (Vo, ...; Um) EUR RT,
= /k " k
si Vk LM, Ug -- 2_ (4) ve, alors Vk » s(n, k)x"
i=0 k=1
1
12. Démontrer que EÏX,] = In(n)+7+0 U)
n--++00 nm
13a. Montrer que
Len EE E-Y
k=1 1 ji Y 1
13b. En déduire que
D, K°s(n,k) = E[X,] + 5 2»)
k=1 i=1 j=1
14a. Montrer que
n! Du -- . 7 + 1)In(n) +c+In(n)? +0O (ee)
n-- + TT
OEGn
pour un réel c à préciser.
14b. Montrer que
1 In(n)
ni 22 (we MG, = tn) ++ 0 ( n )
15. Justifier qu'il existe un nombre réel C' > 0 tel que, pour tout réel EUR >
0 et tout entier
n>l,ona
C
P(IXh --In(n)| > eln(n)) < int) Deuxième partie Pour tout entier naturel n non nul, on pose w(n) = Card{p premier : p|n} -- >» 1.
pin
p premier
Par exemple, w(6) = w(12) = 2.
16. Soit (ay)n>2 une suite de nombres réels. Pour &t EUR R, on pose Aft) -- >»
ak. SOit
2 2,
ne
S_ axb(k) = A(n)b(n) -- | DH A(E) dE.
k=--2 =
17. L'objectif de cette question est de démontrer que si n est un entier
naturel non nul,
alors El p < 4". p 4 et le résultat connu au rang k pour tout entier #
compris entre
letn--T.
17b. Établir le résultat au rang n si n est pair.
17c. Soit n = 2m + 1 avec m EUR N. Justifier que El p divise (0) et montrer que
m+i» mp) _ nin(4) » In(p) +n >» In(p)
AU P AU P pen p(p EE 1)
p premier p premier p premier
In(k
19c. Justifier que la série >» L . | converge.
es RU -- 1)
]
19d. Conclure que >» n(p) -- In(n) +O(1).
Den D n-- +00
p premier
20a. On pose, pour tout réel t > 2,
RO= VS MO)
p» 5 =1+m(n) na) + po + 7 dé.
p» -- = Im(n)+a +0 ) , pour un réel c EUR R à préciser.
n(n
p» w(n) =
m2(x)+O(1).
x
n» >» Card{n e N° :n 3 : > (at) Montrer que
1
lim ---Card{n
