X Maths 2 MP 2000

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2000

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

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On attache... la plus grande importance à la clarté, a la précision et a la 
conciston de la
rédaction.

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Ce problème a pour objet l'étude de certains cônes dans des espaces euclidiens.

On désigne par E l'espace euclidien R"(n Z 1), par (.l.) son produit scalaire 
usuel, et par H."
la norme associée. Pour toute partie X de E , on note X * (resp. X +) 
l'ensemble des éléments 3:
de E satisfaisant (m'y) : O (resp. (Æ|y) Z 0) pour tout y de X.

Une partie C' de E sera appelée cône à faces s'il existe une famille finie 
d'éléments
T

c17... ,cT (r > O) de E telle que C soit l'ensemble des combinaisons linéaires 
ZÀici avec
i=1
/\1, . .. ,/\T 2 0. On supposera toujours les ci non nuls, et on dira qu'ils 
engendrent C. Enfin on

appelle face de C toute partie de C de la forme C' 0 {w}l avec M EUR C+.

La première partie est indépendante des suivantes.

Première partie

1. Vérifier que tout sous-espace vectoriel non nul de E est un cône à faces.

2. Supposant n = 7" = 2, décrire (sans démonstration mais avec des figures) les 
ensembles C,
C+ et donner sous chaque figure la liste des faces de C suivant les diverses 
positions relatives
de c1 et 02.

3. Supposant que n = 7" = 3 et que (c1,c2,03) est une base orthogonale de E7 
décrire sans
démonstration C7 C+ et les faces de C .

Deuxième partie

On se propose, dans cette partie, de démontrer que tout cône à faces est fermé 
dans E.

4.a) Soit K une partie compacte de E ne contenant pas 0. Montrer que l'ensemble 
des
éléments de la forme Àoe, où A G R+ et 117 E K , est fermé dans E.

b) Ce résultat subsiste-t--il si l'on suppose K seulement fermé, ou si K, 
compact, contient
0 ?

5. On considère maintenant un cône à faces C engendré par des éléments c1, . .. 
,cT.

&) Montrer que C' est fermé lorsqu'il ne contient aucune droite vectorielle. 
[On pourra

T' T'
introduire l'ensemble K des éléments 2 /\iCi avec Ài EUR R+ et z Ài : l.]
i:1 i=1

b) Soit V un sous--espace vectoriel de E (éventuellement réduit à 0) contenu 
dans C et
distinct de C . On note P le projecteur orthogonal de E sur VL. Vérifier que 
P(C) est un cône
à faces contenu dans C.

c) Supposant que P(C) contient une droite vectorielle, construire un 
sous--espace vectoriel
de E contenu dans C et contenant strictement V.

d) Montrer que C est fermé dans E.
Troisième partie

6. On se propose ici de démontrer que tout cône à faces C vérifie (C+)+ : C.

&) Soit (L un élément de E. Montrer que la fonction réelle définie sur C par c 
»--> ||c -- a||
atteint sa borne inférieure en un point unique de C . On le notera p(a).

b) Déterminer le signe de (p(a) -- ale) lorsque 0 E C, ainsi que la valeur de 
(p(a) -- a|p(a)).

c) Conclure.
Quatrième partie

On souhaite maintenant démontrer que tout cône à faces est l'intersection d'une 
famille finie
de demi--espaces fermés (on appelle demi-espace fermé tout sous--ensemble de E 
de la forme {a}+

avecaEUR E, a;£0).

7. Démontrer l'équivalence des conditions suivantes relatives à un cône à faces 
C :
(a) le sous-espace vectoriel de E engendré par C est égal à E;
(B) l'intérieur de C est non vide.

8. On suppose dans cette question les conditions de la question 7. satisfaites 
pour un cône
à faces C .

a) Démontrer l'équivalence des conditions suivantes relatives à un élément a: 
de C :
(ON) x est un point frontière de C;
(fi') ac appartient à une face de C distincte de C .

b) Que subsisterait--il de ce résultat si l'on ne supposait pas satisfaites les 
conditions de la
question 7. ?

EUR) Soit &: un point de E n'appartenant pas à C . Construire une face F de C, 
distincte de
C et ayant la propriété suivante : pour tout 11) EUR C'+ tel que F = C D {w}l, 
on a (æ|w) < 0. [On pourra considérer le segment de droite joignant a: a un point mo de l'intérieur de C]. 9.3) Montrer que l'ensemble des faces d'un cône à faces est fini. b) Montrer que tout cône à faces est l'intersection d'une famille finie de demi--espaces fermés. 10. Déduire de ce qui précède que, si C est un cône à faces, il en est de même de C+.