ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP
CONCOURS D'ADMISSION 2003
DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
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'I'rigonalisation simultanée d'endomorphismes unipotents
Notations. On désignera par K le corps des réels ou celui des complexes; pour
tout entier
n > 1, on note M (n,K ) l'espace des matrices a n--lignes et n--colonnes à
coefficients dans K
et on l'identifie à l'espace des endomorphismes de K ". On note S O(n, R) le
sous-ensemble de
M (n, R) formé des matrices orthogonales de déterminant 1.
La lettre E désignera toujours un K --espace vectoriel de dimension n > 1; L(E)
désignera
l'ensemble des endomorphismes de E et GL(E ) désignera celui des endomorphismes
inversibles.
On dit qu'une partie F de E est laissée stable par un endomorphisme T si l'on a
T(F) C F.
On appelle commutant d'une partie X d'une algèbre Y l'ensemble des éléments de
Y qui
commutent a tous les éléments de X.
Première partie
1. Soit A une matrice de M (n,R), diagonale avec coefficients diagonaux a1, .
.. ,on; on
suppose qu'il existe deux indices i et j tels que ai # aj. Vérifier que si une
matrice B commute
a A, on a b...-- = O.
2. Déterminer le commutant de SO(2, R) dans M (2, R).
3.a) Montrer que, si n > 3, le commutant de SO(n, R) dans M (n, R) est formé de
matrices
diagonales.
b) Déterminer ce commutant.
Deuxième partie
Une partie W de L(E) sera dite irréductible si {0} et E sont les seuls
sous--espaces vectoriels
de E laissés stables par tous les éléments de W.
4. Vérifier que, si E = R", n > 2, SO(n, R) est irréductible.
5. Vérifier que, si deux éléments A et B de L(E) commutent, tout sous--espace
propre de
l'un deux est laissé stable par l'autre.
6. Montrer que, si K = C, le commutant d'une partie irréductible de L(E) est
réduit aux
multiples scalaires de l'endomorphisme identité, id E.
7. Ce résultat subsiste--t-il lorsque K = R?
Troisième partie
Un élément A de L(E) est dit unipotent si A -- id E est nilpotent
(c'est--à--dire s'il existe un
entier [EUR > 0 tel que (A -- idE)k = 0).
On se propose de démontrer que, si K = C et si G est un sous--groupe de GL(E)
formé
d'éléments unipotents, E admet une base dans laquelle tous les éléments de G
sont représentés
par des matrices triangulaires supérieures avec coefficients diagonaux égaux à
1.
8. Montrer que tout élément unipotent A est inversible, et déterminer la somme
Z (id E -- A)".
n20
9. Traiter le cas où n = 2 et où G est l'ensemble des puissances d'un élément
go. Dans ce
cas, est--il nécessaire de supposer K = C ?
On suppose maintenant n > 1. On rappelle que K = C.
10. Vérifier que le sous--espace vectoriel W de L(E) engendré par G est une
sous--algèbre de
L(E).
11. Calculer Tr (g ---- idE), Tr (g), Tr ((g -- idE)g') pour g,g' E G.
12. Supposant en outre G irréductible, montrer que G est réduit à id E, et
préciser la valeur
de n. '
[On pourra utiliser le résultat suivant, qui sera démontré dans la quatrième
partie : si
K = C et si W est une sous--algèbre de L(E), irréductible et contenant id E,
alors W = L(E)].
13. Ne supposant plus G irréductible, démontrer l'existence d'un vecteur non
nul a: de E tel
que g(oe) = :c pour tout 9 E G.
14. Conclure.
Quatrième part ie
Le but de cette partie est de démontrer le résultat admis à la question 12.
Procédant par
l'absurde, on suppose W # L(E).
On fixe une base (el, . .. ,en) de E et on identifie les éléments de L(E) a
leurs matrices
représentatives dans cette base. Pour tout z' = 1, . . . ,n on désigne par
-- V.- l'ensemble des matrices A telles que a... = 0 si EUR # i;
-- L.- l'application de E dans V}; définie par
(Li(oe))k,EUR = 673,EUR 9% ;
---- P.; l'application de L(E) dans V.; définie par
(Pi(A))l--c,£ = 51,5 Ak,i --
Enfin on note (1) l'application linéaire de L(E) dans L(L(E)) définie par
(A), A E L(E) et OE(A)(Lz(oe)) = L.(A(oe)).
b) (A) 0 PL-- = R- o (A).
c) W n V.- est nul ou égal à Vi.
16. Construire un sous--espace vectoriel W' de L(E), supplémentaire de W et
laissé stable
par tous les <Ï>(A), A EUR L(E).
On note 7r le projecteur de L(E) sur W parallèlement à W'; pour i,j = 1, . ..
,n, on pose
A...- =L;10PjO7r0Li & L(E) .
17. Montrer que A...-- est un multiple scalaire de id E, que l'on notera &...
id E.
18. Vérifier les égalités suivantes :
&) 7r(idE) = idE.
b) 2 L.)--(ei) = idE.
C) Pz(ldE) = Li(EURz')-
19. Déterminer a....
20. Conclure.
