X Maths 2 MP 2010

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

FILIÈRE

MP

CONCOURS D'ADMISSION 2010

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Sur les sous-groupes finis de GL2 (C)
Le but de ce problème est de caractériser les sous-groupes finis de GL2 (C)
ne contenant pas d'homothétie autre que l'identité.
Notations et conventions
Soit G un groupe fini (noté multiplicativement) de cardinal |G|. On note 1G 
l'unité de G. On
rappelle que tout élément g de G vérifie g|G| = 1G et on admet que si p est un 
nombre premier
qui divise |G|, alors il existe g  G \ {1G } tel que gp = 1G .
Si E est un C-espace vectoriel de dimension finie, on note GL(E) le groupe des 
endomorphismes inversibles de E et IdE l'identité de E. Si  un endomorphisme de 
E, on note Tr() la
trace de  et det() son déterminant.
Si G est un sous-groupe fini de GL(E), et V un sous-espace vectoriel de E, on 
note V G
l'ensemble des vecteurs fixés par G : V G = {v  V | g  G, g(v) = v}. On dit que 
V est stable
par G si quels que soient g  G, v  V , on a g(v)  V et on dit que E est 
irréductible pour G
si ses seuls sous-espaces stables par G sont E et {0}.
On note Mn (C) l'espace des matrices carrées de taille n à coefficients 
complexes et GLn (C)
le groupe des matrices inversibles dans Mn (C).
On note Dn le sous-groupe de GL2 (C) à 2n éléments formé des matrices

Ç

ck 0
0 c-k

å

et

0
-ck
, où k est un entier compris entre 0 et n - 1 et c = e2i/n (on ne demande pas de
-k
-c
0
vérifier que Dn est un groupe).
Ç

å

I ­ Sous-groupes finis de GL(E)
1. Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie et soit G un sous-groupe 
fini de GL(E).
Démontrer que, pour tout g  G, g est diagonalisable et que, si G est 
commutatif, tous les
éléments de G sont diagonalisables dans une même base.
1

II ­ Isométries du triangle
2. On se place dans le plan euclidien, muni d'un repère orthonormé centré en O. 
On s'inté<3 des isométries du plan qui préservent un triangle équilatéral ABC de resse au sous-groupe D centre O. <3 et démontrer que D <3 est de cardinal 6. 2a. Faire l'inventaire des éléments de D - - <3 2b. En se plaçant dans la base (non orthonormée) (OA, OB), que le groupe D Ç démontrer å a b est isomorphe à un sous-groupe de GL2 (C) formé de matrices où a, b, c, d sont dans c d {-1, 0, 1}. 2c. Diagonaliser dans C la matrice Ç groupe D3 . å 0 -1 <3 est isomorphe au . En déduire que le groupe D 1 -1 III ­ Lemme de Schur Notons A = Mn (C) et E = Cn . Notons In la matrice identité de Mn (C). On appelle homothétie une matrice de la forme In ,   C. Soit G un sous-groupe fini de GLn (C). Pour tout B  G, on note i(B) l'application : i(B) : ( A - A M 7 BM B -1 . 3. Montrer que i : B 7 i(B) est un morphisme de groupes de G dans GL(A), et que i est injectif si et seulement si G ne contient pas d'homothéties autres que l'identité. e < l'image par i de G et AG On note G l'ensemble des matrices M  A telles que i(B)(M ) = M pour tout B dans G. 4. Soit M  AGe . Démontrer que Ker(M ) et Im (M ) sont des sous-espaces stables par G. 5. On suppose que E est irréductible pour G. Soit M  AGe , démontrer que M est soit nulle, soit inversible. En déduire que AGe est de dimension 1. 6. Soient M, N  A. On considère l'endomorphisme de A suivant,  : X 7 M XN . Démontrer que Tr() = Tr(M ) Tr(N ). 7. Soit P = 1 X B. |G| BG 7a. Démontrer que P 2 = P . En déduire que P est diagonalisable. 7b. Démontrer que Im (P ) = E G et en déduire que dim(E G ) = e 8. Démontrer que dim(AG ) = 1 X Tr(B -1 ) Tr(B). |G| BG (On pourra considérer d'abord le cas où i est injectif.) 2 1 X Tr (B). |G| BG On suppose, jusqu'à la fin de cette partie, que E est irréductible pour G. 9a. Soit X dans A une matrice qui commute avec toutes les matrices de G. Démontrer que 1 X = Tr(X)In . n 9b. Soit Y = X Tr(B -1 )B. Démontrer que Y = BG |G| In . n 10. On garde la notation Y jusqu'à la fin de cette partie. Soit  = e2i/|G| . On note ZG = {a0  0 + a1  1 + · · · + a|G|-1  |G|-1 , ai  Z} et ZG [G] les combinaisons linéaires, à coefficients dans ZG , de matrices de G. 10a. Démontrer que pour tout B  G, Tr(B) est dans ZG , puis que Y est dans ZG [G]. 10b. On note (Ck )1k|G|2 les |G|2 matrices  i B (où 1  i  |G| et B  G) de ZG [G]. Démontrer que pour tous 1  k  |G|2 , on peut trouver des coefficients (aij )1i,j|G|2 dans Z X tels que Y Ck = ak C . 1|G|2 10c. On pose A = (aij )1i,j|G|2 et R = |G| I 2 - A. Démontrer que det(R) = 0. n |G| |G| est racine d'un polynôme à coefficients dans Z de degré |G|2 et de n terme dominant égal à 1. En déduire que n divise |G|. 10d. Démontrer que IV - Une caractérisation de Dn , n impair Soit G un sous-groupe fini de GL2 (C). Notons h. , .i le produit scalaire hermitien usuel sur C2 , et posons pour tout v, w  C2 1 X hv, wi0 = hB(v), B(w)i. |G| BG 11a. Montrer que h. , .i0 est un produit scalaire hermitien sur C2 , vérifiant quels que soient v, w  C2 et B  G, hB(v), B(w)i0 = hv, wi0 . 11b. Démontrer que si C2 n'est pas irréductible pour G, il existe une base orthogonale de pour le produit scalaire hermitien h. , .i0 qui diagonalise les matrices de G. En déduire que G est commutatif. C2 12a. On note SL2 (C) le sous-groupe de GL2 (C) des matrices de déterminant 1. Quels sont les matrices B  SL2 (C) telles que B 2 = I2 ? 12b. Démontrer que si G  SL2 (C) est non commutatif, alors |G| est pair. En déduire que -I2  G. (Utiliser les rappels du préambule.) On suppose par la suite que G est un sous groupe fini de GL2 (C) ne contenant aucune homothétie autre que l'identité. On note G0 = G  SL2 (C) 13a. Démontrer que G0 est commutatif. En déduire qu'il existe P dans GL2 (C) et un sous3 groupe 0 de GL2 (C) formé de matrices diagonales de la forme Ç 0 0 -1 å tels que B 7 P BP -1 soit un isomorphisme de G0 sur 0 . 13b. Démontrer qu'il existe un entier m tel que 0 soit le groupe Zm des matrices Ç ck 0 0 c-k å où c = e2i/m et k prend les valeurs de 0 à m - 1. 13c. Si G0 = {I2 } démontrer qu'alors G est commutatif (considérer le morphisme de groupe det : G  C ). On suppose dans les questions 14 et 15 que G n'est pas commutatif et que G0 est exactement le groupe Zm . 14. Soit B0 une matrice dans G qui n'est pas diagonale. -1 14a. Démontrer Ç å que pour tout C  Zm on a B0 CB0  Zm . En déduire que B0 est de la 0 b forme B0 = avec b, b  C. b 0 14b. Calculer B02 et en déduire que b = b-1 . 14c. Montrer qu'il existe Q  GL2 (C) diagonale telle que QB0 Q-1 = Ç å 0 -1 . -1 0 15a. Soit B une matrice diagonale dans G. Montrer que B  Zm . 15b. Montrer que B 7 QBQ-1 est un isomorphisme de G sur le groupe Dm . 16. Soit G un sous-groupe fini commutatif de GL2 (C) qui ne contient pas d'homothétie autre que l'identité. 16a. Montrer qu'il existe une matrice P  GL2 (C)Çet deux morphismes de groupes å 1 (B) 0 1 , 2 : G  C tels que toute matrice de G s'écrive B = P P -1 . 0 2 (B) 16b. Montrer que B 7 1 (B)2 (B)-1 est un isomorphisme de G dans le groupe des racines |G|-ièmes de l'unité. ck 0 16c. Montrer que G est le groupe des matrices de la forme P P -1 , k variant de 0 0 dk à |G| - 1, où l'on a posé c = e2ip/|G| et d = e2iq/|G| , p et q étant deux entiers tels que p - q est premier avec |G|. Ç å 17. Décrire à partir des questions précédentes tous les sous-groupes finis de GL2 (C) ne contenant pas d'homothétie autre que l'identité. 18. Montrer que le groupe fini commutatif Z/2Z × Z/2Z × Z/2Z ne peut pas être isomorphe à un sous-groupe de GL2 (C). 4