X Maths 2 MP 2011

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

FILIÈRE

CONCOURS D'ADMISSION 2011

MP

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES ­ B ­ (X)
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Transformation d'Euler et accélération de la convergence
Dans ce problème, R désigne l'ensemble des réels, R+ est l'ensemble des réels 
positifs et R+
l'ensemble des réels strictement positifs. La notation N désigne l'ensemble des 
entiers naturels
et N l'ensemble des entiers naturels non nuls.
On note E l'espace vectoriel des suites réelles. On note u = (un )nN une suite 
réelle de terme
général un . On considère l'endomorphisme  de E qui à toute suite u = (un )nN 
associe la suite
de terme général (u)n = un+1 - un , n  N.
On pose, pour k et n dans N,
Ç å

n
k

Ç å

n
k

=

n!
si n  k. On convient que 0! = 1 et que
k!(n - k)!

= 0 si k > n.

Les candidats vérifieront la convergence des séries qu'ils rencontrent, même si 
cela n'est pas
explicitement demandé.
Première partie : suites complètement monotones
Pour tout p  N , on note p le p-ième itéré de  défini par p =   p-1 , et par
convention, 0 est l'identité de E.
On dit qu'une suite (un )nN est complètement monotone si pour tous entiers 
naturels p et n
on a
(-1)p (p u)n > 0.
1. Soit f une fonction sur R+ à valeurs réelles et indéfiniment dérivable. On 
considère la
suite de terme général un = f (n).

1

1a. Montrer que pour tout entier p  1 et tout entier n, il existe un réel x 
dans l'intervalle
]n, n + p[ tel que
(p u)n = f (p) (x).
On pourra raisonner par récurrence en considérant la fonction g(x) = f (x + 1) 
- f (x) et la suite
de terme général vn = g(n).
1
. Montrer que (an )nN est complète1b. On considère la suite de terme général an 
=
n+1
ment monotone.
2a. Démontrer que pour tout p  1, on a
(p u)n =

p
X

(-1)p-k

k=0

Ç å

p
k

un+k .

2b. Soit b ]0, 1[. On considère la suite de terme général bn = bn . Calculer (p 
b)n pour tous
les entiers naturels n et p et en déduire que (bn )nN est complètement monotone.
Soit  une fonction continue et positive sur [0, 1], non identiquement nulle. 
Jusqu'à la fin de
la première partie, on considère la suite de terme général un =

Z 1

tn (t) dt.

0

3a. Montrer que la série de terme général (-1)k uk converge et que
+
X

k

(-1) uk =

k=0

Z 1
(t)
0

1+t

dt.

3b. Montrer que la suite (un )nN est complètement monotone.
3c. Démontrer que
+
X

(-1)k uk =

k=0

X
1 +
2 p=0

Z 1Å
ã
1-t p
0

2

(t) dt.

3d. En déduire que l'on a
+
X

(-1)k uk =

k=0

+
X

(-1)p p
( u)0 .
2p+1
p=0

4. Déduire des questions précédentes que
ln 2 =

5. On pose En =

n
1X
2 k=0

+
X

+
X
(-1)n
1
=
.
n+1
(p + 1)2p+1
n=0
p=0

Z 1Å
ã
1-t k
0

2

(t) dt.

2

5a. Montrer que
En =

n
X
(-1)p
p=0

5b. On pose S =

+
X

2p+1

(p u)0 .

(-1)k uk . Montrer que |S - En | 

k=0

S
.
2n+1

Deuxième partie : Transformée d'Euler
Dans cette partie, on se donne une suite (un )nN telle que la série de terme 
général (-1)n un
soit convergente, et l'on note S sa somme. On ne suppose aucune autre propriété 
particulière de cette suite (un )nN . Le but est de démontrer que
S=

+
X

(-1)k uk =

k=0

On dit que la série

X (-1)p

2p+1

+
X

(-1)p p
( u)0 .
2p+1
p=0

(p u)0 est la transformée d'Euler de la série

X

(-1)k uk .

6a. Montrer que pour tout p  N, on a lim (p u)n = 0.
n

p
1 X p
rk = 0.
de limite nulle, on a lim p
p 2
k
k=0

Ç å

6b. Montrer que pour toute suite (rn )nN
7a. Montrer que pour tout n  N, on a
un =

Ç
+
X
p=0

(-1)p p
(-1)p+1 p+1
(
u)
-
( u)n .
n
2p
2p+1
å

7b. Montrer que pour tout p  N, on a
+
X
(-1)p p
(
u)
=
(-1)n
0
p+1
2
n=0

8a. On pose En =

n
X
(-1)p
p=0

2p+1

Ç

(-1)p p
(-1)p+1 p+1
(
u)
-
( u)n .
n
2p
2p+1
å

(p u)0 . Montrer que

En - S = -

1
2n+1

Ç
n+1
X
p=0

åÑ

n+1
p

8b. Conclure.

3

X

é

(-1)k uk

kp

.

Troisième partie : une amélioration de la méthode
Dans cette partie, comme dans la question 3, on se donne une fonction  continue
et positive
Z
1

sur [0, 1], non identiquement nulle. On considère la suite de terme général un =
on pose
S=

+
X

tn (t) dt et

0

(-1)k uk .

k=0

On se donne aussi une suite de polynômes à coefficients réels (Pn )nN telle que 
pour tout n,
Pn (-1) 6= 0. Pour tout n  N, on pose
1
Tn =
Pn (-1)
9a. Montrer que S - Tn =

Z 1
0

9b. En déduire que |S - Tn | 

Z 1
Pn (-1) - Pn (t)

1+t

0

(t) dt.

Pn (t)
(t) dt.
Pn (-1)(1 + t)
SMn
où Mn = sup |Pn (t)|.
|Pn (-1)|
t[0,1]

10. Dans cette question, on choisit comme suite de polynômes Pn (x) = (1 - x)n 
. Donner une
majoration explicite de |S - Tn |, en fonction de S et n.
11. Dans cette question, on choisit comme suite de polynômes Pn (x) = (1 - 2x)n 
. Donner
une majoration explicite de |S - Tn |, en fonction de S et n.
12a. Démontrer l'existence et l'unicité d'une suite de polynômes (Pn )nN 
vérifiant les conditions suivantes : pour tout n  N, pour tout t  R,
deg Pn = n,

Pn (sin2 t) = cos(2nt)

12b. Calculer Pn (-1) pour tout n  N.
12c. Donner une majoration explicite de |S - Tn |.
Quatrième partie : comparaison des méthodes sur un exemple
+
n
n
X
X
X
1
1
,S=
(-1)k uk , Sn =
(-1)k uk , En =
et
n+1
(k + 1)2k+1
k=0
k=0
k=0
Pn (-1) - Pn (t)
dt, où les Pn sont les polynômes de la question 12.
1+t

Dans cette partie, un =
1
Tn =
Pn (-1)

Z 1
0

13. Donner un équivalent de S - Sn et de S - En . Comparez la vitesse de 
convergence de Tn
avec celle de Sn et En . Donner un équivalent de S - Tn .

4