X Maths B MP 2015

ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2015

FILIERE MP

COMPOSITION DE MATHEMATIQUES ­ B ­ (X)
(Duree : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisee pour cette epreuve.

Toute affirmation doit etre clairement et completement justifiee.
Les quatre parties sont largement independantes les unes des autres.

Premiere partie
Dans cette partie, on utilisera a plusieurs reprises la fonction  : ]0, +[  R 
definie par
^ 
(y) =
e-t ty-1 dt.
(1)
0

1
= .
On admettra que 
2
1a.
Montrer que  est bien definie et que pour tout y > 0, y(y) = (y + 1). En deduire
que, pour tout n  N, (n + 1) = n!.
1b.

Montrer que pour tout y > 0, on a (y) = y
-y y

(y) = e

y

^

-1

^

+

e-t ty dt, puis que

0

+

e-y(s) ds,

-1

ou  est la fonction definie sur ]-1, +[ par (s) = s - ln(1 + s).
2.
On considere dans cette question une fonction f : ]0, +[  R continue par 
morceaux
verifiant les deux proprietes suivantes :
(a) il existe un entier K > 0 et un reel C > 0 tels que |f (t)| 6 CtK sur [1, 
+[,
(b) il existe un entier N > 0, deux reels  > 0 et µ > 0 et des reels a0 , . . . 
, aN tels que
f (t) =

N
X
k=0

On note N (t) = f (t) -

N
X

ak t(k+-µ)/µ + o t(N +-µ)/µ

quand t  0.

ak t(k+-µ)/µ le reste du developpement asymptotique de f .

k=0

1

2a.
On fixe  > 0 et   R. Montrer que pour tout x > 0, la fonction t 7 e-t/x t est
integrable sur [, +[ et que pour tout n  N, on a :
^ +
e-t/x t dt = o(xn ) quand x  0+ .

En deduire que pour tout n  N,
^ +
e-t/x N (t)dt = o(xn ) quand x  0+ .

2b.
On fixe  > 0. Montrer l'existence de  > 0 et d'une constante C  independante de 
 et
 tels que
^ 
x > 0,
e-t/x N (t)dt 6 C  x(N +)/µ .
0

2c.

2d.

En deduire que
^

+

e-t/x N (t)dt = o(x(N +)/µ ) quand x  0+ .

0

On note F la fonction definie par :
^
F (x) =

+

e-t/x f (t)dt.
0

Montrer que F est bien definie sur ]0, +[ et qu'elle verifie la formule 
asymptotique suivante :

N

X
k+
F (x) =
ak 
x(k+)/µ + o x(N +)/µ
quand x  0+ .
(2)
µ
k=0

3.

On rappelle que la fonction  a ete definie a la question 1b.

3a.
Tracer le graphe de . Montrer que  definit par restriction aux intervalles ]-1, 
0[ et
]0, +[ respectivement
­ une bijection - : ]-1, 0[  ]0, +[,
­ une bijection + : ]0, +[  ]0, +[.
-1
On notera -1
- : ]0, +[  ]-1, 0[ et + : ]0, +[  ]0, +[ les bijections reciproques.

3b.

Montrer que si s  ]-1, 1[,
(s) = s2

X
(-1)k
k=0

k+2

sk .

P
P
On admet l'existence de deux series entieres k>1 bk q k et k>1 ck q k , de la 
variable q, et de
rayon de convergence strictement positif, ou b1 > 0 et c1 < 0, et telles que l'on ait, pour q dans un voisinage de 0 dans [0, +[, ! ! X X k k bk q = ck q = q2 . k=1 k=1 2 3c. Calculer b1 , b2 , b3 et c1 , c2 et c3 . En deduire les developpements asymptotiques suivants -1 quand q  0, q > 0, pour les fonctions -1
- et + ainsi que leurs derivees :
q 3/2
2q
+  + o(q 3/2 ),
3
9 2

q
2

1
-1 
(+ ) (q) =  + +  + o( q),
2q 3 6 2
-1
+ (q) =

3d.

p

p

2q +

Montrer que
(y) = e-y y y

^

0

3e.

q 3/2
2q
-  + o(q 3/2 ),
3
9 2

q
1
2

-1 
(- ) (q) = -  + -  + o( q).
2q 3 6 2
-1
- (q) = -

2q +

-1 
e-yq (-1
+ ) (q) - (- ) (q) dq.

En deduire que
-y y

(y) = e

y

2
y

1/2 

1
1+
+o
12 y

1
y

quand y  +.

Deuxieme partie
On considere dans cette partie la fonction F : ]0, +[  R definie par
^ +
F (x) =
e-t/x t-1 dt.
1

On va voir qu'une serie divergente peut etre utile pour calculer une valeur 
approchee de F en
un point particulier.
4.

Montrer que F est bien definie et de classe C  sur ]0, +[.
Pour N  N et x > 0, on pose
rN (x) = (-1)N N ! xN +1 e-1/x ,
SN (x) =

N
X
k=1

(-1)k-1 (k - 1)! xk e-1/x ,

RN (x) = (-1)N N ! xN

5.

^

+
1

Montrer que, pour tout N > 1 et tout x > 0, F (x) = SN (x) + RN (x).

6a.
Preciser le domaine de convergence de la serie
la suite (RN (x))N >1 n'est pas bornee.
6b.

e-t/x t-(N +1) dt.

P

Montrer que, si N  N et x > 0,
|RN (x)| 6 |rN (x)|.

En deduire que RN +1 (x) = o(rN (x)) quand x  0.
3

k-1 (k
k>1 (-1)

- 1)! xk et montrer que

6c.
Montrer que le reste est de l'ordre du premier terme neglige, c'est-a-dire que 
pour tout
N > 1,
RN (x)  rN (x) quand x  0.
6d.
Montrer que, pour 0 < x < 1/2, la suite (|rN (x)|)N >1 est decroissante jusqu'a 
un certain
rang, puis croissante. (On ne demande pas de montrer cela pour la suite (|RN 
(x)|)N >1 .)
Quand on utilise SN (x) comme valeur approchee de F (x), on dit que l'erreur 
relative est
RN (x)
.
F (x)

EN (x) =

7a.
et

Montrer que, si N est pair : N = 2M avec M > 1, et si 0 < x 6 1/N , on a SN (x) > 0
EN (x) 6

N ! xN +1
M
-1
X

(1 - (2 + 1)x) (2)! x

.
2+1

=0

7b.

Verifier que E4

1
10

6 3 . 10-3 .

Troisieme partie
Soit d > 1 un entier. On considere l'espace Cper (Rd ) des fonctions f : Rd  C 
continues et
1-periodiques en chacune de leurs variables, c'est-a-dire que si l'on note ej 
les vecteurs de la base
canonique de Rd , on a
  Rd , j  {1, . . . , d},

f ( + ej ) = f ().

Cper (Rd ) est muni de la norme uniforme :
kf k = sup |f ()|.
Rd

On appelle polynome trigonometrique (en d variables) toute fonction de la forme
X
 = (1 , . . . , d ) 7
ck e2ik· ,
kK

ou K est une partie finie de Zd et on a note pour k = (k1 , , . . . , kd ), kq
·  = k1 1 + · · · + kd d le
d
produit scalaire canonique sur R ; la norme associee est notee kkk = k12 + · · 
· + kd2 .
L'objectif de cette partie est de montrer que les polynomes trigonometriques en 
d variables
sont denses dans Cper (Rd ), c'est-a-dire que si on se donne f  Cper (Rd ) et  
> 0, il existe un
polynome trigonometrique Q tel que
kf - Qk 6 .

4

On admet que ce resultat est vrai en dimension d = 1, et on va en deduire la 
preuve dans le
cas de la dimension d = 2. On constatera qu'elle se generalise aisement a 
toutes les dimensions
d > 2.
Dans toute la suite de cette partie, on se place donc en dimension d = 2. On 
introduit le
sous-espace vectoriel Csep (R2 ) de Cper (R2 ) constitue des fonctions de la 
forme
 = (1 , 2 ) 7

n
X

fi (1 )gi (2 ),

i=1

ou n  N et f1 , . . . , fn , g1 , . . . , gn  Cper (R).
8.
Montrer que l'ensemble des polynomes trigonometriques en deux variables est 
dense dans
Csep (R2 ).
On considere, pour j > 2 un entier, la fonction j : R  R 1-periodique definie 
sur ]-1/2, 1/2]
par
t  ]-1/2, 1/2] ,

j (t) = max(0, 1 - j|t|).

En outre, pour les entiers 0 6 k < j, on definit les fonctions j,k : R  R par k t  R, j,k (t) = j t - . j 9. 10. Montrer que j,k  Cper (R). On se donne f  Cper (R2 ) et j > 2 un entier, et on pose
Sj (f )(1 , 2 ) =

j-1 X
j-1
X

k1 =0 k2 =0

10a.

Montrer que Sj (f )  Csep

(R2 )

f

k1 k2
,
j j

j,k1 (1 )j,k2 (2 ).

et coincide avec f aux points

1 2
,
j j

pour (1 , 2 ) 

Z2 .
Soient j > 2, k1 et k2 deux entiers tels que 0 6 k1 , k2 < j, et k1 k1 + 1 k2 k2 + 1 , × , . j j j j 1 2 ou 1  {k1 , k1 + 1} et 2 , Exprimer Sj(f )() comme un barycentre des points f j j {k2 , k2 + 1}. En deduire que kSj (f ) - f k  0 quand j  +. 10b. 11. Conclure que l'ensemble des polynomes trigonometriques en deux variables est dense dans Cper (R2 ). 5 Quatrieme partie On se donne f : R2  C et g : R2  R2 deux fonctions continues et 1-periodiques en chacun de leurs arguments, et   R2 , x  R deux parametres. On considere le probleme suivant ( F  (t) = f ((t)) (3) (t) =  + xg((t)) assorti des conditions initiales F (0) = 0 et (0) = (0, 0), ou  : R  R2 et F : R  C sont les fonctions inconnues. Si  : R2  C est continue, on admet que ^ ^ 1 ^ 1 (1 , 2 )d1 d2 = 0 0 On note cette quantite ^ 0 1^ 1 0 1 ^ 1 (1 , 2 )d2 d1 . 0 (1 , 2 )d1 d2 et on l'appelle moyenne de . 0 On suppose dans toute la suite que f est de moyenne nulle, c'est-a-dire ^ 1^ 1 f (1 , 2 )d1 d2 = 0. 0 0 On commence par supposer x = 0. 12. Determiner l'unique solution (F, ) du systeme (3) avec conditions initiales F (0) = 0 et (0) = (0, 0). Le vecteur  = (1 , 2 ) est dit resonnant s'il existe (k1 , k2 )  Z2 \ {(0, 0)} tel que k1 1 + k2 2 = 0. 13. Montrer que, si  est resonnant, il existe une fonction f pour laquelle F (t) = t. 14. Supposons que  n'est pas resonnant. 14a. Montrer que, si f est un polynome trigonometrique, alors F est bornee sur R. 14b. Montrer que plus generalement, si f  Cper (R2 ), alors F (t) = o(t) quand t  +. 15. On suppose desormais x 6= 0 (mais proche de 0). L'expression determinee dans la question 12 n'est generalement plus une solution. On suppose donnee une solution  : R  R2 de classe C 1 : l'objectif de cette derniere question est d'en obtenir un developpement asymptotique. Pour cela, on considere une nouvelle fonction inconnue  : R  R2 , de la forme (t) = (t) + xh((t)), 6 ou h : R2  R2 est une fonction auxiliaire judicieusement choisie. On cherche h qui soit 1periodique en chacun de ses arguments, de classe C 1 et de moyenne nulle, et que de plus, pour un certain   R2 , elle satisfasse l'equation R2 , dh() ·  + g() = . (4) (On a note dh la differentielle de h). 15a. Determiner  en fonction de g. Dans le cas ou les deux composantes g1 et g2 de g sont des polynomes trigonometriques, en deduire l'existence d'une solution h de l'equation (4), que l'on explicitera. Dans la suite, on suppose g de classe C 1 , et on admet l'existence d'une telle solution h. 15b. Montrer qu'il existe une fonction  : R2  R2 telle que (t) =  + x + x(x, t) et suptR k(x, t)k  0 quand x  0. 15c. Soit T > 0 fixe. Montrer qu'il existe une fonction  : R2  R2 telle que
(t) = ( + x) t + x(h(0, 0) - h(t)) + x(x, t)

et supt[0,T ] k(x, t)k  0 quand x  0.

7