X Maths B MP 2017

ECOLE POLYTECHNIQUE
CONCOURS D'ADMISSION 2017

FILIERE MP

COMPOSITION DE MATHEMATIQUES ­ B ­ (X)
(Duree : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisee pour cette epreuve.

On utilise la notation allegee pour l'integrale d'une fonction f : R  R 
continue par morceaux
et integrable sur R
Z
Z +
f (x)dx =
f (x)dx.
-

Si f est une fonction de deux variables reelles t, x, on note t f =
les derivees partielles de f (sous reserve de leur existence).

f
2f
f
, x f =
, xx f =
t
x
x2

Si n est un entier naturel, on note Cbn l'ensemble des fonctions f : R  R de 
classe C n et dont
toutes les derivees f , f  , . . . , f (n) , jusqu'a l'ordre n, sont bornees.
On dit qu'une fonction m : R  R est une mesure si elle est continue, positive, 
integrable sur R
et telle que
Z
m(x)dx = 1.
On considere la fonction h : [0, +[  R definie par h(0) = 0 et pour x > 0,
h(x) = x ln(x).
On dit qu'une fonction f : R  R admet une entropie relativement a une mesure m 
si f est
continue et h(f 2 )m est integrable sur R. De meme, on dit que f admet une 
variance relativement
a m si f est continue et f 2 m est integrable sur R.
On admet que la fonction µ definie sur R par
1
2
µ(x) =  e-x

est une mesure.
Ce probleme etudie certaines inegalites fonctionnelles. Dans les parties I et 
II, on etudie un
operateur differentiel lie a la mesure µ et on demontre une inegalite pour 
cette mesure. Dans la
partie III, on voit comment une telle inegalite en entraine une seconde, et on 
etudie une forme
de reciproque. La partie IV est independante des autres, et s'interesse a une 
inegalite pour les
fonctions caracteristiques.
1

Preliminaires
Soit m une mesure.
1. Soit f : R  R une fonction qui admet une variance relativement a m. Montrer 
que f m est
integrable. En consequence, le reel
Varm (f ) =

Z

2

f (x) m(x)dx -

Z

f (x)m(x)dx

2

est bien defini. Montrer que Varm (f ) > 0.

2.

Soit f : R  R une fonction qui admet une entropie relativement a m.

2a.

Montrer que f 2 m est integrable. En consequence, le reel
Z

Z
2
2
f (x) m(x)dx
Entm (f ) = h(f (x) )m(x)dx - h

est bien defini.
2b.

Soit a > 0. Montrer que
x > 0,

h(x) > (x - a)h (a) + h(a),

avec inegalite stricte si x 6= a.
2c.

Montrer que Entm (f ) > 0.

On pourra utiliser la question precedente avec a =

Z

f (x)2 m(x)dx.

2d. On suppose ici que pour tout x  R, m(x) > 0. Caracteriser les fonctions f 
telles que
Entm (f ) = 0.

Partie I
On note L l'operateur qui a une fonction f : R  R de classe C 2 , associe la 
fonction Lf definie
par
1
x  R, Lf (x) = f  (x) - xf  (x).
2
On etend egalement cette definition aux fonctions f (t, x) de deux variables, 
en posant
1
Lf (t, x) = xx f (t, x) - xx f (t, x),
2
sous reserve que ces quantites soient definies au point (t, x)  R2 .
On rappelle que la mesure µ a ete definie dans l'introduction.
2

1 !  
µf .
2µ

3a.

Soit f : R  R de classe C 2 . Montrer que Lf =

3b.

Soient h1 , h2 deux fonctions de Cb2 . Montrer que
Z
Z
1
h1 (x)(Lh2 )(x)µ(x)dx = -
h1 (x)h2 (x)µ(x)dx,
2

apres avoir justifie l'existence de chacun des termes de la formule.
On considere une fonction f  Cb0 . On definit pour (t, x)  R2
Z
f (t, x) = f (x cos t + y sin t)µ(y)dy.
4.

Montrer que la fonction f : R2  R est bien definie et continue.

5.

On suppose que f  Cb2 .

5a.

Montrer que, sur R2 , f est de classe C 1 et xx f est bien definie, continue et 
bornee.

5b.

Soit (t, x)  R2 . Trouver une relation entre x f (t, x) et f  (t, x).

5c.

Montrer que pour tout (t, x)  R2 , on a t f (t, x) cos t = Lf (t, x) sin t.

5d.

Z

Montrer que pour tout t  R, on a

f (t, x)µ(x)dx =

Z

f (x)µ(x)dx.

On admet pour la suite du probleme que cette egalite reste vraie pour tout f  
Cb0 .

Partie II
Soit f : R  R+ une fonction de Cb0 positive. On definit pour t  R
Z
J(t) = h(f (t, x))µ(x)dx.

6.

Montrer que J : R  R est continue, et calculer J(0) et J

7.

On suppose dans toute cette question que f  Cb2 et qu'il existe  > 0 tel que
x  R,

7a.

2

.

f (x) > .

Montrer que J est alors de classe C 1 sur R et que
Z
(x f (t, x))2
sin t
t  R, J  (t) cos t = -
µ(x)dx.
2
f (t, x)

On note g = (f  )2 /f .
3

Soit (t, x)  R2 . Montrer que

7b.

f  (t, x)2 6 f (t, x)g (t, x).
Conclure que
Z

7c.

8.

h(f (x))µ(x)dx - h

Z

f (y)µ(y)dy

6

1
4

Z

g(x)µ(x)dx.

Montrer que pour tout f  Cb2 , f admet une entropie relativement a µ et que
Z
Entµ (f ) 6 |f  (x)|2 µ(x)dx.

On pourra considerer la famille de fonctions definies par f =  + f 2 pour  > 0.

Partie III
Soit m une mesure. On suppose dans cette partie qu'il existe une constante C > 
0 telle que, si
f : R  R est de classe C 1 et de derivee f  bornee, alors f admet une entropie 
relativement a
m et
Z
Entm (f ) 6 C |f  (x)|2 m(x)dx.
(1)
9.

Montrer que

10.

Z

(1 + |x| + x2 )m(x)dx < +. Soit f  Cb1 . On souhaite montrer que f admet une variance relativement a m et que Z C |f  (x)|2 m(x)dx. (2) Varm (f ) 6 2 Montrer que f m et f 2 m sont integrables, et qu'il suffit de montrer (2) dans le cas ou on Z Z a de plus f (x)m(x)dx = 0 et f (x)2 m(x)dx = 1. 10a. 10b. Sous les hypotheses de la question precedente, montrer (2). On pourra appliquer (1) a la famille de fonctions f = 1 + f pour  > 0.
11. Soit f une fonction de Cb1 , telle que pour tout x  R, on a |f  (x)| 6 1. 
On note, pour
  R,
Z
H() = ef (x) m(x)dx.
On admet que H est de classe C 1 et que l'on obtient une expression de H  () en 
derivant sous
le signe integral de maniere usuelle (on pourrait le demontrer comme 
precedemment).

4

11a.

Montrer que pour tout   R,
H  () - H() ln H() 6

11b.

C2
H().
4

En deduire que pour  > 0,
 Z

Z
C2
f (x)
e
m(x)dx 6 exp  f (x)m(x)dx +
.
4

On pourra etudier la fonction  7

(3)

1
ln H().

Montrer que l'inegalite (3) s'applique a la fonction definie par f (x) = x.
x
.
On pourra utiliser la suite de fonctions definies par fn (x) = n arctan
n

12.

13a.

Soient M =

Z

xm(x)dx et a > M . Montrer que

Z
13b.

+
a

Conclure que pour tout  < (a - M )2 m(x)dx 6 exp - C . 1 2 , la fonction x 7 ex m(x) est integrable sur R. C Partie IV 14. Soient p, q, r : R  R+ trois fonctions continues, a valeurs strictement positives et integrables sur R. 14a. Montrer qu'il existe une fonction u : ]0, 1[  R de classe C 1 bijective telle que Z t  ]0, 1[ , u (t)p(u(t)) = p(x)dx. De meme, il existe une fonction analogue v : ]0, 1[  R pour q. 14b. On suppose que x, y  R, 2 x+y . p(x)q(y) 6 r 2 (4) Montrer que Z p(x)dx Z q(x)dx 6 Z r(x)dx 2 . (5) On pourra utiliser, apres avoir justifie son caractere licite, le changement de variable defini par u(t) + v(t) x= dans le membre de droite de l'inegalite (5). 2 5 On admet pour la suite du probleme que l'inegalite (5) reste vraie en supposant uniquement que p, q, r : R  R+ sont des fonctions a valeurs positives, continues par morceaux, integrables sur R, et qui verifient (4). Si A  R, on note A sa fonction caracteristique definie par A (x) = 1 si x  A et x / A. On note d(x, A) = inf{|x - y| : y  A} la distance de x  R a A. A (x) = 0 si On note Int le sous-ensemble de P(R) dont les elements sont les reunions finies d'intervalles de R. Si A  Int, alors A est continue par morceaux, et on definit le reel Z µ(A) = A (x)µ(x)dx  [0, 1]. 15. Soit A  R. 15a. Montrer que pour tous x, y  R, on a ! 2 1 (x + y)2 2 2 d(x, A) - x A (y) exp -y 6 exp - . exp 2 2 15b. On suppose que A  Int et que µ(A) > 0. En deduire que

Z
1
1
2
d(x, A) µ(x)dx 6
.
exp
2
µ(A)

16.

Soit A  Int. Pour t > 0, on definit l'ensemble At = {x  R : d(x, A) 6 t}.

16a.

Montrer que At  Int pour tout t > 0.

16b.

On suppose de plus que µ(A) > 0. Montrer que pour tout t > 0, on a
2

1 - µ(At ) 6

6

e-t /2
.
µ(A)