X Maths B MP 2022

ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2022

MARDI 26 AVRIL 2022
08h00 - 12h00

FILIERE MP - Epreuve n° 3

MATHEMATIQUES B (X)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

On appelle fonction cotangente, la fonction

cotan: R\rZ -- R

cos(t)
l 7? sin(t)

+00
Pour tout entier k > 2, on pose Ç(k) -- > mn".
n=1

Les parties I et IT sont indépendantes.

Première partie

Soient les fonctions f,g et D définies sur R \ Z par :

+00
foe) = rcotan(rrr) = 7) g() = LE Ve 1,1 | |

sin(Tx) x THEN T-n

On pose D = f -- q.

la. Pour x EUR R\7Z, justifier que la série définissant g(x) est convergente.
1b. Montrer que les fonctions g et D sont impaires.

1c. Montrer que les fonctions g et D sont périodiques de période 1.

1d. Montrer que les fonctions g et D sont continues sur R \ Z.

2a. Montrer que pour tout x ER\Z,ona

F(E)+r (5)  92h17 2h .
k=1
5b. En déduire :
1x 2 72
VrE]-2r,2%|\{0} = ER DR
Soit À la fonction de R dans R définie par
æ 0
VrER, ha=let ST#
1  six--0.

6. Montrer que pour tout z EUR C tel que |z] < 27, on a 2k = (e°-- 1) (1-5 De Le 1 L # ] 7a. Montrer que la fonction À est de classe C'© sur R et que, pour tout n EUR N*,on a n (DT (2n)! REP (0) -- 72n92n1 G(2n). 7b. On définit une suite de nombres réels (b,)1en en posant bo = 1, bi = --5, puis . --1)%-1(2n)!l((2n Vn EUR N", Don+1 -- 0 et bo, -- ( nel ) Montrer que pour tout n EUR N: 5 D _ [1 sin=0 Zi kl(n+1-k)l O sin >l.

7c. Calculer b2, b4 et b6 puis C(2), Ç(4) et C(6).

Deuxième partie

Soit E = {x1,%2,...,%n,...} un ensemble infini dénombrable où les x; sont des 
éléments deux
à deux distincts. On note .#(E) l'ensemble des mesures de probabilité sur E. Si 
u E.W(E),

on note (x) pour u({x}).
On note (FE) l'ensemble des parties de E. Soit Z((E),R) le R-espace vectoriel 
des
fonctions bornées de P(E) dans R. Si f EUR Z(P(E),R), on pose

IfIl= sup{|f(4)} A EUR Z(E)}.

8a. Montrer que .#(E) est une partie de Z(P(E),R).
8b. Montrer que ||:}} définit une norme sur l'espace vectoriel Z(Z(E),R).

9. Soient (U{n)nen une suite d'éléments de .#(E) et soit u un élément de .#(E). 
Montrer
que si la suite (un )nen Converge vers u dans l'espace vectoriel normé 
Z(Y(E),R), alors

VxeE, lim yy(x) = (x). (1)

n-- +00

On se propose réciproquement de montrer qu'une suite (4h )nen d'éléments de 
.#(E) vérifiant
la condition (1) pour un élément u EUR .#W(E) converge vers 4 dans Z(P(E),R). 
On fixe donc
une suite (Un)nen d'éléments de .#(E) et u E .W(E) vérifiant la condition (1). 
On fixe
également un réel EUR > 0.

10a. Montrer qu'il existe une partie finie F: de E et un entier N° > 0 tels que 
L(F:) > 1--EEUR
et pour tout entier n > Ne

D n(x) -- u(x)| < EUR. xEFe 10b. Montrer que pour toute partie À de E : Un(A) -- (A)! < lun (ANNEE) -- (AN ES) + a(E \ Fc) + an (E \ Fe) et en déduire que si n > N:, alors |[un(A) -- u(A)] < 4EUR. 10c. En déduire que la suite (4»)neN converge vers u dans Z(%(E),R) si et seulement si elle vérifie la condition (1). 11. Pour tout entier k EUR N°, on note Ô4 la mesure de probabilité sur Æ telle que, pour tout n EUR N*, 1 sn--=k O sinon. (Ent) = La suite (04)zen* converge-t-elle dans Z(P(E),R) ? Soit (Un)nen une suite d'éléments de .#(E). 12a. Montrer qu'il existe une suite (@x)ren* d'applications strictement croissantes de N* dans N* telle que, pour tout 4 EUR N* et pour tout entier 1 < à < k, la suite (Hi ow2o....ox(n) (xi)) converge. neN* 12b. Montrer que pour tout à EUR N* et tout entier k > 1, la limite de la suite 
(Hi ow2o....ovx(n) (xi))
ne dépend que de à et pas de k. On note cette limite 1 (x;).

neN*

12c. Montrer que l'application
di N° -- N°
k + ÿpi0w20...0w(k)

est strictement croissante, et que, pour tout entier à EUR N°, la suite 
(u4,(4)(ti))xen* converge

VETS LHoo(Ti).
12d. Montrer que ux(x;) > 0 pour tout à de N*, et que » 37, Hoo(ti) < 1. On dit que la suite ({n)nen d'éléments de .#(ÆE) est tendue si pour tout réel EUR > 0, il existe
une partie finie F: de E telle que y, (F2) > 1 -- EUR pour tout entier naturel 
n.

12e. On supose de plus que la suite (4»)nen est tendue. Montrer alors que 4 
définit un
élément de .#(E) qui est une valeur d'adhérence de la suite (u»)nen dans 
Z(P(E),R).

Troisième partie

Soit E une partie infinie dénombrable de R. Soit (Q,.7, P) un espace 
probabilisé sur lequel
seront définies les différentes variables aléatoires apparaissant dans la suite 
de ce problème.
On admet que toutes les variables aléatoires introduites peuvent être 
construites sur cet
espace. On note E(X) l'espérance d'une variable aléatoire réelle X sur (Q,.4, 
P).

Soit X une variable aléatoire définie sur (Q,.4, P) et à valeurs dans Æ. On 
appelle loi de la
variable X et on note ux l'application

ux: P(E) -- 10: 1
A r P({XE A})

où {X EUR A} = {w EUR Q tel que X(w) EUR A}.
13. Vérifier que u x est une probabilité sur E,.

14. Montrer que pour toutes variables aléatoires X et Y sur (Q,.4, P) et pour 
toute partie
A de E :

x (A) -- ny (A)|  N*
Vp; (x)
z > [Lin

Où (p;)ien- est la suite des nombres premiers, classés par ordre croissant.
16. Soit À une variable aléatoire définie sur (Q,.2, P) et à valeurs dans N*. 
Montrer que

VxEN*, P(X =x)= lim P(v,(X) = x)

n-- +00

Quatrième partie

Si X est une variable aléatoire à valeurs dans N* et si N EUR N*, on note 
P(N]X) la probabilité
de l'évènement « N divise X ». Sir EUR N°, on note N°7 l'ensemble des multiples 
strictement
positifs de r.

17. Soient u1 et 2 deux probabilités sur N*. On suppose que Vr EUR N*, 3 (N*r) 
= u2(N*r).
On veut montrer que 1 = 2.

17a. On rappelle que l'on note (p;);en+ la suite des nombres premiers, classés 
par ordre
croissant. Montrer que pour tout r EUR N* et tout entier n > 1 :

n+1 n n
() N°rp; -- (U wrr] U (arr \ () Nr) :
=] i=1

= 1

17b. Montrer que pour tout r EUR N* et tout entier n > 1 :

Li fur () wrr] -- 12 fur () nr]

17c. Conclure.

18. Soit (Xh»)nen une suite de variables aléatoires définies sur (Q,.27, P) et 
à valeurs dans
N* et soit X une variable aléatoire définie sur (Q,., P) et à valeurs dans N*. 
On suppose
que :

i. La suite (4x, }nen est tendue (on rappelle que le qualiticatif tendue a été 
défini en 12e).
ii. Pour tout r E N*, lim P(r|X}) = P(r|X).
n--++00

Montrer qu'alors, la suite (ux, }nen tend vers ux dans Z(%(N*),R).
(1) (2) (s)

Soit s EUR N°. Pour n EUR N, soient X, ,Xn ,...,Xn  s variables aléatoires 
mutuellement
indépendantes suivant toutes la loi uniforme sur {1,2,...,n}.

On note 75) -- x A... A x{°) le pgcd de x ... x).

19. Pour r EN*etie {1,2,...,s}, calculer P(rlX®) et montrer que P(r|X®) < T. En déduire que lim P(r|Z\)) = L n-- +00 TS Pour s > 1 fixé, on définit une loi de probabilité 4, sur N° en posant, pour n 
EUR N*,

1
Ls({n}) = C

(s}ns

9
20a. Soit Z une variable aléatoire définie sur (Q,.7, P) qui suit la loi 4. 
Calculer P(k|7)
pour k EUR N*.

20b. Soit s > 2 un entier. En déduire que la suite (y1,(: ne converge dans 
Z(%(N*),R)
VETS

21. Soit s,n EUR N* avec 2 < s < n. On tire au hasard s nombres dans {1,2,...,n} et on note P,(s) la probabilité que ces nombres soient premiers entre eux. Montrer que lim P,(s) = -- im $) = ----, n-- +00 " C(s) et donner la valeur de lim P,\{s) dans le cas où s = 2, puis s = 4, et enfin s -- 6. Nn-- +OO