X Maths B MP-MPI 2024

ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2024

MARDI 16 AVRIL 2024
08h00 - 12h00

FILIERES MP-MPI - Epreuve n° 3

MATHEMATIQUES B (X)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Le sujet comporte quatre parties. La première partie est indépendante des trois 
autres.

Notations

On note N l'ensemble des entiers naturels, N° l'ensemble des entiers naturels 
non nuls, Z
l'ensemble des entiers relatifs, R l'ensemble des nombres réels et C l'ensemble 
des nombres
complexes. On note également C* l'ensemble des nombres complexes non nuls.

Si E désigne un R-espace vectoriel et si v1,...,vx4 sont des éléments de Æ, on 
note Vect(vi,...,"4)
le sous-espace vectoriel de Æ engendré par les vecteurs v1,...,Ug.

Si & Z 1 est un entier et si E désigne un R-espace vectoriel de dimension 
finie, on note
EURK(R, £) l'ensemble des fonctions de classe EUR" de R dans E.

Soit (E,|-|) un R-espace vectoriel normé de dimension finie. Si U est un ouvert 
de E et
f: U -- E une fonction différentiable, pour tout x EUR U on note df(x) la 
différentielle de
f en x. On rappelle que df(x) est alors un endomorphisme R-linéaire de E. Si g 
est un
endomorphisme R-linéaire de E, on note |[g|| sa norme d'opérateur, c'est-à-dire

lg = sup{lig(v)ll lv EUR E, ol < 15. Pour a EUR E et r > 0 un nombre réel positif, on note B(a,r) la boule ouverte 
de centre à et
rayon r et B(a,r) la boule fermée de centre a et rayon r.

On note Idg l'application identité de ÆE dans E,.

Si p et q désignent deux entiers naturels non nuls, on note .#,,4(C) l'ensemble 
des matrices à
p lignes et q colonnes à coefficients dans C. Si p = q, on note .#,(C) pour 
.#,p(C) et GL,(C)
l'ensemble des matrices inversibles de .#,(C). On identifie également le 
C-espace vectoriel
C? avec le C-espace vectoriel des vecteurs colonnes .#,1(C).

Si AE .#,(C), on note exp(4) EUR .#,(C) l'exponentielle de la matrice A.
Première partie

Soit q : R -- R une application continue, périodique de période T > 0. On 
considère l'équa-
tion différentielle

y" + qy = 0. (1)

la. Justifier l'existence de deux solutions y1 et y> dans @°(R, C) à (1) telles 
que :

po =1 on = 0
yi(0) --0 y2(0) =1.

Justifier que Vect(y1,y2) est l'ensemble des solutions de (1) dans EUR?(R, C).
1b. Montrer que :
VER, y1(t)yo(t) -- yi(t)yo(é) = 1.

2. Montrer que si y EUR EUR°(R, C) est une solution de (1), alors la fonction t 
+ y(t + T') l'est
aussi. En déduire que pour tout t EUR R :

y +T) = y(Tyi(t) + y (T)y2(E).

3. Soit u EUR C*, et soit À EUR C tel que u = e 7. Montrer que les trois 
assertions suivantes
sont équivalentes.

(a) L'équation (1) possède une solution y EUR &?(R,C) non nulle qui vérifie :
VER, y(t+T) = uy(t).
(b) Le nombre complexe y est solution de l'équation d'inconnue x :
2 -- (y1(T) + y(T))x + 1 = 0.
(c) L'équation différentielle (1) possède une solution y EUR #?(R,C) non nulle 
telle que :
VER, ylt)=e"tu(t).

où u EUR E2(R,C) est une fonction T-périodique.

4, Soient 1,12 les racines complexes de l'équation d'inconnue x :
27 -- (1 (T) + yo(T))x +1 = 0.

AT. alors pour

4a. Montrer que si u1 Æ 2 et si À est un nombre complexe tel que 1 = e
toute solution y de (1), il existe deux fonctions T-périodiques w1 et w2, ainsi 
que deux

nombres complexes a et 5 tels que

VER, y(t) = ae tuwi(t) + Be "wo(t).

Ab. Supposons que 1 = u2. Montrer que 41 = 2 = +1 et que l'équation (1) admet 
une
solution périodique dans EUR?(R, C).

Deuxième partie

Soit a EUR E et soit U un ouvert de Æ contenant a. Soit f : U -- E une 
application de classe
EUR? sur U telle que df(a) = Idg.

5a. Soient V un ouvert convexe de E et h une fonction de classe EUR! de V dans 
E. On
suppose qu'il existe un réel C > 0 tel que pour tout x EUR V, [dh(x)|| < C. Montrer que pour tous æ1 et x2 dans V, on à |h(x2) -- h(x1)] < CÎx2e -- x ||. 5b. Montrer qu'il existe un nombre réel r > 0 tel que B(a,r) CU et

1
Var, 22 EUR Bar), [f(i) -- f(&2)|l 2 Si -- oeil.

Nous fixons désormais un réel r > 0 vérifiant ces conditions dont la valeur 
sera utilisée dans
la suite des questions de cette deuxième partie.
5c. Montrer que pour tout æ EUR B(a,r), l'application linéaire df(x) est 
injective.
6. Soit yo EUR E tel que |yo -- f(a)| < 7: 6a. Montrer que l'application B(a,r) -- R x [y - f(x)? admet un minimum atteint en un point xo de B(a,r). 6b. Montrer que f(xo) = Yo. 7. Onnote W={yeE {y f(a)| < 5}et V=f1{(W)n Bar). 7a. Justifier que V et W sont des ouverts de E. 7b. Montrer que v x Jiv : -- -- f(x) est une bijection continue de V sur W dont la réciproque est une fonction continue sur W/. Troisième partie Soit À EUR .#n(C). On note C|A] l'ensemble des éléments de .#,(C) de la forme P(A) où P E C[X] est un polynôme. On note (C[A])* = {B e C[A]N GL,(C) | B°! e C[A}}. 8a. Justifier que C[A[* est un sous-groupe abélien de GL, (C). 8b. Montrer que (C|A])* = CA] N GL,(C). 9. Montrer que exp(C[A]) EUR (C{A])*. 10. Pour a EUR R, on définit l'application [0,1] -- C CE 1) 10a. Montrer que l'application est injective. 10b. Soient M, et M2 deux éléments de (C{A[)*. Montrer qu'il existe a EUR R tel que Vte (0,1, Mt) = Z.(t)M + (1 -- Z(t))M EUR (C[A))*. 10c. En déduire que (C{A])* est connexe par arcs. 11a. Montrer qu'il existe un ouvert U de C]A] contenant 0 et un ouvert V de C{[A] contenant la matrice identité J, tels que la fonction exponentielle induit une bijection continue de U EUR C{A] sur V dont la réciproque est une fonction continue sur V. 11b. En déduire que exp(C|A]) est un ouvert de C|A|. 12. Montrer que exp(C{[A|) est un fermé de (C{A])*. 13. On veut montrer que exp(C|A]) = (C{A])*. On suppose que exp(C{[A]) £ (C{A])* et on fixe M, VB EUR (CIA])* telles que M EUR exp(C[A]) et M & exp(C[A|). 13a. Montrer qu'il existe une application continue f de (C[A])* dans {0,1} telle que JM) =0 et f(M) = 1. 13b. Conclure. 14. Conclure que exp(.#,(C)) = GL,(C). Quatrième partie Soient T' > 0 un nombre réel et n EUR N* un entier naturel. Soit

R -- .#n(C)

A4 4

une application continue sur R et T-périodique. On considère le système 
différentiel
X°(t) = A(L)X (4) (2)
où X est une fonction de R dans C", de classe EUR! sur R.
15. Montrer qu'il existe u EUR C* et une solution Y EUR &!(R,C") non nulle de 
(2) tels que
VER, Y(Ü+T)=uY(t).
Soit .7 l'espace des solutions dans @!(R,C") de (2). Soit (Y1,Y2,...,YA) une 
base de 7.

PourteR, on note M(t) la matrice dont les colonnes sont Y1(t),...,YA(t). On 
dispose ainsi
d'une application M de R dans .#,(C).

16a. Montrer que pour tout nombre réel t, M(t) EUR GL,(C) et M'(t) = A(t)M(t).

16b. Montrer que la matrice (M(t)) 1M(t+ T) est indépendante de t EUR R.
16c. En déduire qu'il existe B EUR .#,(C) telle que :

VER M(t+T)= M(t)exp(TB).

16d. En déduire qu'il existe une application Q : R -- GL,(C) continue sur R et 
7-

périodique telle que
VER, Mt) = Q(t)exp(tB).

(On appelle cette identité la forme normale de la matrice M).
On admet qu'il existe deux matrices D et N de .#,(C) telles que D est 
diagonalisable, N

est nilpotente et
B=D+N et DN = ND.

Il existe donc une matrice P EUR GL,(C) et une matrice diagonale A telles que D 
= PAP"À.

17a. PourtEe R, on note Zi(t), Zo(t),...,Zn(t) EUR C" les colonnes de la 
matrice M(t)P.
Montrer que (71, Z2,..., Zn) est une base de l'espace .S.

17b. Soient ÀA1,...,À, les nombres complexes tels que À = Diag(A, X2,...,À,). 
Pour tous
l ,

O