CCINP Physique 1 MP 2002

SESSION 2002 A MPP105
CONCOURS (OMMUNS POlYÏECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

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NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la
rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa

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copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été amené a
prendre.

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A. Thermodynamique : étude d'un climatiseur pour avion pressurisé

Les avions de ligne actuels subissent des conditions variées. Dans ce problème, 
on considérera
deux situations :
-- Altitude de croisière (de l'ordre de 10000 m): l'air est très froid 
(température extérieure

Te = 215 K) et la pression très faible (pression extérieure pe : 25><103 Pa ). -- Au sol : la pression est normale ( pe =105 Pa ), mais il peut être nécessaire de refroidir la cabine en été ou dans les pays chauds. On prendra Te : 308 K . D'autre part, pour assurer le confort des passagers, il faut renouveler l'air dans l'avion. Le débit volumique à fournir est dp : 280 litres par minute et par passager, à une pression pc : 105 Pa (pour simplifier, on considère que cette valeur ne varie pas avec l'altitude de l'avion) et une température TC : 293 K. C'est le but de l'appareil étudié dans ce problème, qui sera nommé conditionneur d'air dans la suite, que de prélever l'air à l'extérieur et de faire circuler le débit prescrit en maintenant l'air de la cabine à la température TC et à la pression pc. Dans une première partie, on analyse les pertes thermiques et on effectue un bilan énergétique de l'air de la cabine. Dans une deuxième partie, on cherche le travail minimal à fournir pour maintenir TC et pc avec le débit d'air prescrit. Enfin, la troisième partie est une étude d'un dispositif effectivement utilisé. Dans tout le problème, on n'envisagera que le régime stationnaire. Tournez la page S.V.P. A.I. Bilan énergétique de la cabine \ On assimile la cabine a un cylindre de diamètre intérieur D = 5 m, de longueur L=3O m et d'épaisseur E = 0,1 m, plongé dans une atmosphère extérieure à température uniforme Te. Pour les échanges énergétiques avec l'extérieur, on ne considère que la conduction thermique à travers les parois du cylindre (en négligeant la conduction par les coins) et on supposera les contacts thermiques entre l'air extérieur et la paroi extérieure d'une part et l'air intérieur et la paroi intérieure d'autre part comme parfaits (pas de différence de température entre la paroi et l'air ambiant). La conductivité thermique est  : 0,151 . Figure 1 : Schéma de la cabine De plus, chaque passager dégage une puissance thermique P,) = 75 W. Le nombre de passagers est N p = 150. A.I.l) Écrire explicitement l'unité de À. A.I.2) On s'intéresse d'abord aux parois de la base du cylindre. En supposant que la température en un point de la paroi n'est fonction que de la variable z selon l'axe du cylindre, exprimer la différence de température Te --Tc en fonction de la puissance thermique ((D...)b traversant la base du cylindre (comptée positivement de l'extérieur vers l'intérieur) et de À, D et E. A.I.3) Pour le transfert à travers la paroi cylindrique, on suppose que la température ne dépend que de la distance [) à l'axe du cylindre. Calculer de nouveau Te --TC en fonction maintenant de la puissance thermique (< g ? B.II. Approximation gyroscopique On considère un solide de révolution de moment d'inertie I par rapport à son axe de révolution. On note 11 le vecteur unitaire porté par cet axe. Le montage est tel que l'orientation de u est libre mais que le centre de masse A du solide est lié à l'avion. Ce type de montage est appelé gyroscope. On introduit le référentiel du centre de masse du solide RCM (Axyz ). Un moteur impose au solide une vitesse angulaire de rotation Q=Qu par rapport à RCM (Q = 12000 tours/min maintenue constante). Le moment cinétique en A du solide par rapport à RCM est noté L . On peut considérer avec une très bonne approximation que L = Lu , même si la direction de u est variable au cours du temps (approximation gyroscopique). B.II.1) Quelle est l'unité de I '? B.II.2) Équation d'évolution de u : on suppose que des forces extérieures exercent sur le gyroscope un moment en A noté M. 3) Écrire L en fonction de 52. b) En appliquant le théorème du moment cinétique dans RCM, donner l'équation d'évolution de L . En déduire que : du M ÎJÎ Î RCM B.III. Système érecteur Du fait de sa stabilité, le gyroscope gardera assez longtemps une direction fixe dans l'espace. Toutefois, cette direction n'est pas la verticale. Il faudrait donc ramener u sur ez. Malheureusement, il n'y a aucun système mécanique lié à l'avion qui puisse faire la différence entre la verticale apparente (ez ) et la verticale vraie (eZ ). La seule chose possible est de a construire un dispositif tendant à ramener 11 sur ez . En effet, en moyenne, eZ est confondu avec a a ez. Si le dispositif ramenant 11 sur ez est suffisamment lent, u restera toujours proche de el. a Un tel dispositif s'appelle « système érecteur ». B.III.1) Détermination du moment à appliquer Figure 6 : u doit être ramené vers la verticale apparente. a) En vous aidant de la figure 6, déterminer la direction du moment M appliqué au gyroscope pour que u soit ramené vers ez . a L . . b) Vérifier que M = -- [ez -- (u - eza )u] est dans la bonne direction. Quelle est l'unité de la T a constante T ? B.III.2) Évolution de u : le système érecteur applique en permanence au gyroscope le moment M ci--dessus, avec une constante 7: = 360 81 . a) On note [3 l'angle (ela ,u). On suppose eza fixe dans RCM (avion en ligne droite). Écrire l'équation différentielle pour [3 . b) Vérifier que la solution est donnée par tan(,B / 2) : tan(flO/2)exp(-- t/T). B.IV. Comportement de l'horizon artificiel en virage L'avion, muni de son horizon artificiel à système érecteur, effectue maintenant un virage à droite dans le plan horizontal avec une inclinaison 9 = 30 ° et une vitesse constante (comme au BJ). La vitesse est telle que l'avion effectue un tour complet en 2 mn. On se place dans le repère Ra lié à Tournez la page S.V.P. 10 l'avion. La vitesse de rotation de ce repère par rapport à R est notée Qa. On suppose qu'au début du v1rage, u : ez . B.IV.1) Montrer que 323 : Qaez, où Qa est une constante positive. Calculer numériquement le produit QaT qui servira dans la suite du problème. B.IV.2) Montrer que Qa est aussi le vecteur rotation de Ra par rapport à RCM. B.IV.3) Écrire l'équation d'évolution de u par rapport à Ra. B.IV.4) On cherche une solution stationnaire de l'équation précédente, c'est-à--dire telle que 11 soit fixe dans Ra. Pour cela, on repère le vecteur u par les angles sphériques a et ,B , où [3 est le même que précédemment et O! est l'angle entre eX et la projection de 11 sur le plan (eXa ,eya ). Figure 7 : définition des angles 06 et fl. a) Projeter l'équation donnant la solution stationnaire sur ey et ez . a a b) Exprimer sind et cosa en fonction de 6 , ,B et QaT . c) En déduire une équation pour sin ,8 ne faisant intervenir que sin 9 et {lat . (1) Montrer que, avec la valeur calculée précédemment de QaT , sin fi est très proche de sin6. e) Montrer que u--ez est dirigé suivant eX avec une très bonne approximation et en a déduire l'angle entre u et ez. Application numérique. Un pilote est sensible à une déviation de l'ordre du degré sur l'horizon artificiel. Conclusion. Fin de l'énoncé