CCINP Physique 1 MP 2003

 

SESSION 2003 | MPP106

CONCOURS COMMUNS POlYTECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - F ILIERE MP

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la
rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa
copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été amené à
prendre.

THERMODYNAMIQUE

La première partie de ce problème rappelle certaines notions de la théorie des 
transferts thermiques
par conduction, convection et rayonnement.

Dans la deuxième partie, un local situé dans une maison doit être rénové et 
l'on dispose en hiver
d'un chauffage de puissance maximale 1%. On veut évaluer les températures du 
local et de la paroi

séparant ce local de l'extérieur selon que la paroi est constituée :

a) d'une fenêtre entourée d'un mur de béton,
b) d'une baie vitrée en simple vitrage,
c) d'une baie vitrée en double vitrage.

Hypothèses : Les échanges thermiques entre le local et les autres pièces de la 
maison sont négligés.
Pour la paroi séparant le local de l'extérieur, on prendra en compte les 
transferts thermiques par
conduction, convection et rayonnement.

I -- Etude préliminaire

1. Conduction thermique

On considère un corps homogène (figure 1) de section droite S, de longueur L, 
de masse
volumique p, de conductivité thermique À, de capacité thermique massique c, 
avec X, p , c

constants. La température du matériau ne dépend que de x et de t et sera notée 
T (x,t). Les

parois parallèles à l'axe x sont isolées thermiquement et on note Î(x,t) = 
J(x,t)èî le vecteur
densité de courant thermique.

...--.

x=O x x+dx x=L e

x : vecteur unitaire

Figure 1

a) Que représente J(x,t) ? Quelle est son unité ? Enoncer alors la loi de 
Fourier.

b) Effectuer un bilan énergétique pour un volume élémentaire de matériau 
compris entre les
abscisses x et x+dx entre les instants t et t+dt en supposant qu'il n'existe 
pas d'apport
énergétique autre que par conduction et qu'il n'y a pas production d'énergie 
interne. Donner

alors l'équation aux dérivées partielles vérifiée par T (x,t) .

On se glace désormais (your la suite des questions! en régime stationnaire.

c) Donner les lois de variation T (x) et J(x) en supposant que les extrémités 
du matériau sont
maintenues à températures constantes, T (O) = 7}, et T (L) = T L .

2. Résistance thermique due à la conduction

B,, représentant le flux thermique à travers la section droite S du matériau, 
on définit Rth ,

résistance thermique de conduction du matériau de longueur L et de surface S 
par la relation
76 _ TL = Rth --3h-

a) Exprimer Rth en fonction de L, S et À. En faisant l'analogie avec 
l'électrocinétique, justifier
le terme de résistance thermique et préciser l'unité de R,,,. Quelle doit être 
la condition sur

R,,, pour que le flux transmis soit faible ?

b) On associe deux corps A, et A 2 (figure 2) de résistances thermiques Rthl et 
Rch de même

section S, l'un de conductivité thermique X] est compris entre x = 0 et x = L 1 
, le second de
conductivité thermique À2 est compris entre x : L1 et x = L 1+ L2. On note 76, 
1], T2 les

températures pour x = 0 , x = L 1 , x = L 1+ L 2. Etablir l'expression de 
résistance themique

R:}: de l'ensemble en fonction de Rth, et Rch .

6) Même question lorsque les deux corps A], de section SI et de longueur L1 et 
A2 de

section S2 et de longueur L2 sont associés en «parallèle » (figure 3). On note 
Ib, la
température sur les faces d'entrée pour x = 0 et ?} la température sur les 
faces de sorties

pourx=Ll pourAl, et x=Lz pourA2.

3. Transfert convectif

On considère une surface S à la température T, en contact avec de l'air à la 
température 7}, et
échangeant par convection avec celui-ci une puissance thermique Pc (sortant 
algébriquement

de la surface S) s'écrivant : Pc = hc .S (T -- T a) où hc est le coefficient de 
convection.

On remarquera que l'énergie thermique correspondante s'écoule du milieu où la 
température est
la plus élevée vers le milieu où la température est la plus faible.

Montrer que cet échange convectif est décrit par une résistance thermique de 
convection RC

dont on donnera l'expression.

4. Transfert par rayonnement

La puissance PR rayonnée par l'unité de surface d'un corps noir et répartie sur 
toutes les

3
fréquences v est donnée par PR : EP(v)dv avec P(v)=--------ZËÆ---- où
c'lexplf'Xl--ll

kT
h =6,62.10'34 J.s (constante de Planck) et k =1,38.10"23 J.K"1 (constante de 
Boltzmann).

c = 3.108 m.s'1 (vitesse de la lumière dans le vide).

a) Montrer que PR est donnée par la loi de Stephan : PR : o.T4 . Exprimer o en 
fonction de k,
00 3 4
hetc. Ondonne: ! --£--dÂ--=n-- .
0 exp(x)--l 15
b) On rappelle que la loi de Wien liant la longueur d'onde km du maximum 
d'émission

thermique du corps noir, à sa température T s'écrit: Àm.T : 2898 um.K. On admet 
que

l'ensemble des couches de l'atmosphère rayonne comme un corps noir à la 
température
Te : 263K. Calculer les valeurs respectives des longueurs d'onde Àma et kms du

rayonnement thermique de l'atmosphère terrestre et du rayonnement thermique 
solaire
(température de la surface du soleil TS de l'ordre de 57OOK ).

A quels domaines du spectre électromagnétique, ces longueurs d'onde 
appartiennent--elles ?

c) On considère une surface S délimitant un corps à la température T en contact 
avec un
environnement à la température T,. Le corps et l'environnement se conduisant 
comme des

corps noirs, donner l'expression de la puissance P échangée par rayonnement à 
travers S
entre le corps et l'environnement (sortant algébriquement du corps vers 
l'environnement).

d) On suppose que T est très proche de T, et on pose T = T, + AT avec AT << T,. Montrer que P peut se mettre sous la forme approchée : P = G.(T -- T,) et donner l'expression de G en fonction de T,, 6 et S. Quelle est la résistance thermique de rayonnement RR correspondante ? Montrer qu'on peut confondre T, et T dans l'expression de RR lorsque la forme approchée de P est du premier ordre en (T -- 72). e) Donner l'expression de la résistance thermique R si l'on considère à la fois un transfert par convection et par rayonnement entre un corps à la température T délimité par une surface S et un environnement à la température T,. II -- Transfert à travers le mur séparant le local de l'extérieur. On considère dans cette partie que les lois d'association des résistances thermiques vues précédemment sont vérifiées, que la puissance transmise associée soit rayonnée, de nature conductive ou convective. 1. On souhaite évaluer les pertes en puissance entre un local à la température 7}... et le milieu extérieur à la température T,xt. On suppose que la paroi (figure 4) séparant le local à la température 7}... de l'air extérieur à la température Text , est constituée d'une vitre (conductivité À, surface S, épaisseur 9) et d'un mur de béton (conductivité kb , surface Sb, épaisseur e,, ), orthogonaux à l'axe x. La paroi, le milieu extérieur et le milieu intérieur au local se conduisent comme des corps noirs. Les transferts thermiques se font en régime stationnaire et le rayonnement solaire direct n'est pas pris en compte. On considèrera pour la surface de la paroi en contact avec l'extérieur, un transfert thermique par convection avec l'air extérieur, à la température 1}, = ... , et par rayonnement avec l'ensemble des couches de l'atmosphère, à la température ]; = ... ; on exprimera la contribution du rayonnement àla résistance thermique en fonction de 72m Pour la surface en contact avec l'intérieur, on considère un transfert convectif et un transfert radiatif avec l'intérieur du local ; on exprimera la contribution du rayonnement à la résistance thermique en fonction de Y}... . . On note 11,-- et he les coefficients de convection pour la surface interne et externe de la paroi. Ondonne: k=l,2Wm_lK--l, S=2m2, e=3mm, Àb=0,9Wm_lK_l, Sb=3m2, eb=0,3m, h,. = 15 Wm"'K"1 , he = 35Wm"'K"' , 7;... = 73K, Tint = 293K, (: = 5,67.10'8 Wm'2K"4. ------béton A | | ------ béton Figure 4 a) Exprimer la résistance thermique totale RH de la partie vitrée en fonction de Km la résistance thermique due à la conduction, Rext et Rim les résistances thermiques dues à la convection et au rayonnement respectivement sur la surface en contact avec l'extérieur et l'intérieur. En déduire la puissance thermique BI sortant du local à travers la partie vitrée. b) A l'aide des résultats obtenus aux questions I.4.e) et 1.2.a), calculer numériquement R,] et Pn- c) Exprimer et calculer numériquement la résistance thermique totale Rt2 de la partie en béton de la paroi ainsi que la puissance thermique 32 à travers celui--ci. Comparer les valeurs numériques de 31 et 32- Conclusion ? (1) Que vaut la puissance totale E' si la paroi est constituée simplement d'une baie vitrée de surface S " = 5 m2 ? 2. Pour des raisons de luminosité, on opte pour une paroi (figure 5) entièrement constituée d'une vitre de surface S =5m2 et d'épaisseur e = 3mm. Les échanges thermiques sont de même nature que dans la question 1, sauf pour l'échange par rayonnement entre la surface extérieure de la paroi et le milieu extérieur. En effet, un modèle plus réaliste envisage que l'ensemble des couches de l'atmosphère rayonne comme un corps noir à une température Te : Tèl--e, inférieure à T C températures des surfaces en x = 0 (surface S] ) et x = e (surface S2 ). xt . Un chauffage fournit au local la puissance calorifique & = 1500W et on note îî et T2 les Po Surface S] à la température T1 x=0 Local à la Surface SZ a la____ température T,... température T 2 T..., =263K "" Vitre Figure 5 On désire calculer T, T2, 7}... en fonction de 1%, Il..., TZ,--el et des grandeurs relatives à la conduction, à la convection et au rayonnement. a) Que vaut, en régime stationnaire, le flux thermique à travers S1 et S2 ? En exprimant la contribution du rayonnement à la résistance thermique en fonction de T , exprimer l'écart T nt -- 7l ' 1 b) Exprimer l'écart ]] --T2. c) Ecrire l'équation vérifiée par le flux thermique s'écoulant vers l'extérieur à travers Sz- En supposant que T2 puisse s'écrire sous la forme T2 = Text+AT2 avec AT2 << Text , montrer que l'écart de température T2--Text peut se mettre sous la forme: T2--T __ PO_f(Text' Tete!) -- et donner l'expression de f T , T . . ext he S + 46 S Te3xt ( ext czel ) d) A.N. : Tciel : 263K. Calculer alors T2, ]] et 7{.... Evaluer les importances respectives de la conduction, de la convection et du rayonnement. e) Par grand vent, le coefficient de convection externe peut atteindre la valeur he : 60Wm_2K_l . Que valent alors, T2, ]] et T,... ? Conclusion. 3. Afin de réaliser des économies d'énergie, la paroi est finalement réalisée en double vitrage composé de deux vitres d'épaisseur e : 3mm , de surface S : Sm2 , séparées par une épaisseur e' : 5mm d'air de conductivité thermique N : 0,0ZSWm"'K"'. Les différentes températures envisagées sont indiquées sur la figure 6. e=3mm e=3 mm Tciel : 263K Surface intérieure (Tla) Po Text: 273K x Surface extérieure Extérieur ( T2 b) Local (Ti...) e '=5mm Figure 6 a) Montrer que l'on peut confondre îîa et ]{ b en s'appuyant sur les résultats de la question H.2.d)e), ainsi que T2a et T2], . On note alors ]}a : 7ib : îî et T2a = T2b--= T2. b) Les échanges thermiques sont de même nature que précédemment, mais l'on considère maintenant que chacune des vitres est assimilable à un corps noir rayonnant dans 2 demi-- espaces (à la température 7{ pour la première vitre et à la température T2 pour la seconde). Pour l'air emprisonné entre les vitres, on néglige le phénomène de convection et de rayonnement pour ne considérer qu'un transfert purement conductif. Montrer que la relation entre 7{m et 71 est identique au cas du simple vitrage et exprimer l'écart Tnt _]î . 1 0) Ecrire l'équation vérifiée par le flux thermique s'écoulant de la vitre 1 vers la vitre 2. En déduire ]} en fonction de T2 et 1%. Quelle est la modification par rapport au cas du simple vitrage ? d) Montrer que la relation entre 7}_ et I}... est identique au cas du simple vitrage et exprimer l'écart T2 -- Te xt' e) Calculer T2, 71 et Tim. Montrer alors qu'une valeur de l% divisée par 2 donnerait une valeur plus raisonnable de I}... (voisine de celle obtenue en Il.2d). MECANIQUE Conséquence de l'effet de marée sur la distance Terre--Lune Ce problème est formé de trois parties. La première partie étudie l'effet de marée exercé par la Lune sur la Terre. La seconde partie étudie l'orbite de la Lune autour de la Terre dans le cadre du système à deux corps. La dernière partie met en évidence, à partir de la conservation du moment cinétique total du système Terre Lune, le ralentissement de la rotation de la Terre sur elle-même provoqué par l'effet de marée et l'augmentation de la distance Terre Lune qui en résulte. Notations et données numériques : Constante gravitationnelle g = 6,67.10"1 1Nm2kg_2 Masse du Soleil : mS =1,99.1030 kg Distance Terre Soleil : DS =1,50.10"m Masse de la Lune : mL : 7,34 . 1022 kg Distance moyenne Terre Lune : DL : 3,84.108m Rayon dela Lune: RL =1,75.106m Masse de la Terre : mT : 5,98 . 1024 kg Rayon dela Terre: RT : 6,37.106m Définition des différents référentiels et repères associés utilisés dans le problème : On rappelle que le référentiel de Copernic, noté Rdont l'origine est le centre de masse O du système solaire et les trois axes x, y, z pointent vers trois étoiles lointaines de la sphère céleste, réalise une excellente approximation d'un référentiel galiléen. Le repère associé est (0, ex,ey,ez) . On note T, le centre de masse de la Terre et R]-- le référentiel barycentrique de la Terre (ou référentiel géocentrique) de repère associé (T, ex,ey,ez) avec ez : vecteur unitaire de l'axe des pôles. On note L, le centre de masse de la Lune et RL le référentiel barycentfique de la Lune (ou référentiel sélénocentfique) de repère associé (L, ex,ey,ez ). Le Soleil, la Lune et la Terre sont supposés être sphériques à répartition de masse à symétrie sphérique. I -- Etude de l'effet de marée 1. Quel est le mouvement du référentiel géocentrique RT dans le référentiel de Copernic si l'on suppose mL << mT ? Dans ces conditions, RT est-il galiléen ? 2. On considère une particule de masse m assimilée à un point matériel se trouvant au point P, au voisinage de la Terre à l'instant t. On appelleî' , la résultante des forces autres que les forces de gravitation et d'inertie s'exerçant sur la particule. On note GE(P), GL(P), G;(P), les champs gravitationnels créés respectivement en P par le Soleil, la Lune, et la Terre. Les seuls astres contribuant au champ gravitationnel en P étant la Lune, la Terre et le Soleil, montrer que l'on peut écrire le principe fondamental de la dynamique pour la particule dans le référentiel RT sous la forme : mä(P)/RT =î+mîî;(P)+mäg(P)+mäg(P)--mE(T)Æ où 5(P)OET et Z:(T)OE désignent les accélérations des points P et T, respectivement dans RT et R . 3. On suppose P= Ô. M étant un point de la Terre, on montre qu' en faisant un développement de GS(M ) et de GL(M ) au voisinage de T, on peut écrire: GS(M )-- GS(T)+ [(TM. grad )GS]T et GL(M ) GL(T )+[(TM grad)GL]T où (TM. grad) est un opérateur appliqué à GS ou GL, dont le résultat est calculé en T. a) En considérant la Terre comme un système de points discrets A,-- , de masse m,, tels que 2 mi : mT , exprimer Ïz(T ) en appliquant le théorème du centre d'inertie à la Terre. i /R b) Montrer alors que l'on peut écrire : mâ(P)/RT =mGË(P)+mGL(P)+mG£(P) où GL(P) : GL(P)-- GL(T ) représente le champ de marée dû à la Lune en P et GE(P) : OE(P) -- GÊ(T ) représente le champ de marée dû au Soleil en P. 4. On suppose l'astre considéré (Soleil ou Lune), de centre A (A = S ou A =L) de masse mA situé àla distance D A de T telle que T = D A E; , dans le plan équatorial. ' On considère les points R et P2 de la surface terrestre de coordonnées (RT,O,O) et (--RT,O,O) ' ' I ' I ' R dans le repere assoc1e au referent1el RT. En considérant que --b--Ï-- <<1 évaluer le champ de A marée G;(P) et GÂ(PZ). Quelle est la direction de ces deux vecteurs ? Faire un schéma. 2 R Evaluer numériquement le terme £%LË dans le cas où l' astre A est le Soleil, puis la Lune. A Quel est l'astre qui a l'effet le plus important ? Il -- Trajectoire de la Lune On néglige les effets dus au Soleil; le système Terre--Lune est donc considéré isolé et on s'intéresse aux mouvements relatifs de la Terre et de la Lune. On considère le référentiel barycentrique R* du système Terre--Lune et on appelle C le centre de masse de l'ensemble. 52 et E); désignent le vecteur vitesse angulaire de rotation propre respectivement de la Lune dans RL et de la Terre dans Q{T. 2 J L : ;mLRÊ désigne le moment d'inertie de la Lune par rapport à son axe de rotation dans RL . 2 , . . . . . ] T = --5-mTR% de51gne le moment d'1nert1e de la Terre par rapport a son axe de rotat10n dans RT. On désigne par L* (T, L) le moment cinétique du système Terre--Lune dans le référentiel QÜ. On désigne res ectivement par L* T , L* L les moments cinéti ues au oint C dans le P C C q P référentiel R* de la Terre, de la Lune. T.; (T ) / RT et ÎZ (L) / 411. sont respectivement, les vecteurs moments cinétiques de rotation propre de la Terre au point T dans le référentiel RT et de la Lune au point L dans le référentiel Q{L . 1. a) Montrer que L* (T,L) se conserve. b) La répartition de masse de la Lune et la Terre étant à symétrie sphérique, montrer que LT (T ) / RT et LL (L) / RL se conservent. En déduire que QT et QL sont constants. 2. a) En considérant la Terre comme un système de points discret, montrer que Î(Ê(T)=ËÎAmT ___--.. VT/R... +LT (T) ou VT/R* represente le vecteur v1tesse de T dans le /RT ' I ' * referent1el Q{ . _. b) Donner la relation analogue pour L} (L). __ c) En déduire que L* (T ,L) peut se mettre sous la forme : L* (T, L) : L2rb +Î7Î (T ) / RT +Σ (L) / RL où L2rb désigne le moment cinétique orbital dans R* du système Terre--Lune. Exprimer L:,rb en fonction de (ÎT, mT, VTOE* et de CL, mL, VL/R* . meL 3. On appelle M la particule fictive, telle que C--Â;Ï : ÎÎ de masse réduite u = de vecteur mT+mL v1tesse VMOE* . a) Calculer les vecteurs CIÎ et C? en fonction de mT, mL et ÎÎ. En déduire les vecteurs . . , , . * . v1tesses VT/R* et VUR* des pomts T etL dans le referent1el R , en fonct10n de VM /R. . b) Ecrire la relation fondamentale de la dynamique dans R* pour L et T, et montrer que cela revient à considérer la particule fictive soumise à la force exercée par la Terre sur la Lune. 4. a) Exprimer LÏ,rb en fonction de VM /Q* et u. Montrer alors que le mouvement de la particule fictive est plan. b) En considérant que mT >> mL , à quels points peut--on assimiler les points C 
et M ? Avec

quel référentiel peut--on confondre R* '?

5. On suppose la condition précédente remplie. On se place dans le plan de la 
trajectoire de L et on

__

introduit le repère des coordonnées polaires (T , e,,e9) tel que ÎÏ : ré: .

1
"(9)'

où l'on donnera les

a) Etablir par la méthode de votre choix l'équation différentielle suivie par 
u(6) =

P

Montrer que l'équation de la trajectoire s'écrit : r =----------+
1+ecos(9)

significations de p et 6.

b) Le périgée est caractérisé par rp : 363 000km et l'apogée par ra : 405 
000km. Calculer p

et e.

c) Montrer que la trajectoire de la Lune autour de la Terre peut être assimilée 
à un cercle dont
on donnera le rayon DL. Calculer la vitesse angulaire orbitale mL de la Lune 
autour de la

Terre, puis la vitesse vL de la Lune sur son orbite par rapport au référentiel 
RT.

6. a) Evaluer numenquement le moment c1net1que orb1tal L0rb , am31 que les 
moments c1net1ques

de rotation propre E (T ) / R , Ïî (L) / R et les comparer entre eux.
T L

Données : QL : 2,66 10"6 rad s"1 QT = 7,29 10"5 rad s"1

_

b) En supposant les vecteurs QT et (13L colinéaires et dirigés suivant ez , 
montrer alors que l'on

peut écrire: Î(T,L)z(mL./ÇDLmT +JTQT)EUR.

III ---- Eloignement de la Lune

En généralisant à un point quelconque de la Terre, le calcul fait dans la 
partie l, on peut montrer
que l'effet de marée se traduit par l'existence de deux bourrelets 
diamétralement opposés, alignés

avec la ligne des centres de l'astre A et de la Terre.
En fait, les bourrelets de marée sont entraînés par la rotation de la Terre, 
plus rapide que le
mouvement de la Lune sur son orbite et se trouvent donc décalés par rapport à 
la direction Terre--

Lune d'un angle ou (voir figure 7). La Lune exerce alors une action dont le 
moment sur les
bourrelets tend à freiner la rotation de la Terre. Le système Terre--Lune étant 
toujours considéré

1sole dans l'espace, son moment cmet1que total L (T ,L) se conserve. La 
d1mmut10n du moment

cinétique de rotation propre de la Terre est alors compensée par une 
augmentation du moment
cinétique orbital de la Lune et donc par une augmentation progressive de la 
distance Terre--Lune.
Cette troisième partie veut quantifier cet effet.

1. La surface de la Terre étant essentiellement recouverte par les océans, on 
modélise le
phénomène des marées par deux bourrelets d'eau symétriques de hauteur h formant 
un

ellipsoïde tangent à la sphère terrestre (voir figure 7). Calculer la masse m,, 
de l'ensemble des

deux bourrelets.

Données : Volume d'un ellipsoïde de demi grand axe a et de demi petit axe b : V 
= %nab2

Masse volumique de l'eau : p = 1000 kg m"3 h = 0,50m

2. On admettra que le moment en T des forces exercées par la Lune sur 
l'ensemble (Terre

sphérique + bourrelets) 9Vl peut s'écrire en première approximation 914 = W11 + 
M2 où 9141 et

_, _ ___--> _

fil; sont les moments en T des forces FI = %.CAH) et F2 : %°CL(PZ) résultant de 
l'action

de la Lune sur les pomts R et Pz de masse --ä'-- 51tues sur la dr01te de 
deformatmn max1male

_.

formant l'angle ou avec l'axe e,. .

Exprimer % en fonction de m,, et des vecteurs Oî(fi), ÎÏZ(Tä_) et T_H .

. . R --' , .
3. On admettra qu'en fa1sant l'hypothese que -- << 1 , 9Vl peut s'ecnre : 9Vl =------3---- ez DL DL où A=--â--Ç mb.mL.(R+h)2.On obtientpour oc=3°, M"=9Vl=4,5.101681. . . . dû a) JT gardant la même valeur définie dans la part1e Il, expnmer alors _ÆT_ et calculer sa valeur numérique. b) On appelle T la période de rotation propre terrestre. Exprimer fil en fonction de QT et dt dQT dt Comparer avec la valeur observée qui est de 1,65 .lO"5 secondes par an. et calculer sa valeur numérique en secondes par an avec QT =7,29.10"5 rad s']. c) En considérant l'expression du moment cinétique total L* (T ,L) du II-6-b, donner d (DL) dt valeur observée qui est de 3,4 cm par an. l'expression de et calculer sa valeur numérique en cm par an. Comparer avec la âl @ N'" 1 --------------------.>

Figure 7

Fin de l'énoncé.