CCINP Physique 1 MP 2004

 

SESSION 2004 . MPP1006

CONCOURS COMMUNS POlYÏECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

***

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la

rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa

copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été amené à

prendre.
* * *

MECANIQUE

' Ce problème étudie les performances en accélération et freinage d'une 
automobile se déplaçant en
ligne droite. On considère le référentiel terrestre R associé au repère (Oxyz) 
comme étant

----o--p--p

galiléen. On note (O,ex, ey,ez) le trièdre associé. On considère que la voiture 
(figure 1) est
composée de 3 systèmes notés (SI),(SZ),(S).

On appelle R* le référentiel du centre de masse de la voiture.

Le système ( SI) , de masse m1 est constitué par l'essieu de longueur L et les 
deux roues avant de

la voiture. On note Jl , son moment d'inertie par rapport à l'axe G 1 y , où G] 
est le centre d'inertie

(16 (S1) .
Les roues avant, assimilées à deux disques de rayon a de centre 01 et O' , sont 
motrices et donc

soumises pendant la phase d'accélération à un couple de forces dont le moment 
résultant en G1

est assimilable à Î : Fé; avec F > 0.

On considère que la résultante des actions de contact du sol sur (SI) est 
représentée par:
[î : T] e: + N] e; s'exerçant sur chaque roue en Il et I{.

On appelle RÎ le référentiel du centre de masse de (S1) .

. , * , . , . .
(SI) est amme dans R 1 , d un mouvement de rotation autour de G 1y a la v1tesse 
angulaire oo.

Le système (SZ) , de masse m2 est constitué par l'essieu et les deux roues 
arrières de la voiture.

On note J2 , son moment d'inertie par rapport à l'axe G2 y , où G2 est le 
centre d'inertie de (S2) .

Les roues arrières sont également assimilées à deux disques de rayon a de 
centre 02 et 05 .

On considère que la résultante des actions de contact du sol sur (52) est 
représentée par:
F; : TZËÇ+NZÈZ s'exerçant sur les deux roues en 12 et 15.

On appelle @; , le référentiel du centre de masse de S2 .

(S2) est animé dans R; , d'un mouvement de rotation autour de G2 y à la vitesse 
angulaire ou.

Le système (S), de masse M, est constitué du reste de la voiture. On néglige 
les mouvements de (S)
par rapport à (S1) et (52) considérés comme faibles et on ne prend pas en 
compte les

déformations de la suspension.
Le centre d'inertie G de l'ensemble du véhicule se trouve à une hauteur h du 
sol, une distance Il

de G1 et une distance 12 de G2 suivant l'axe Ox.

Le coefficient de frottement de glissement, noté fo , entre une roue et le sol 
est identique pour les

quatre roues.

On considère que les forces de frottement de l'air sur le véhicule sont 
équivalentes à une force

2
_ . , c v S ---- . , ,
un1que E... apphquee en G avec: F..., =--p 3 ex lorsque la v01ture se deplace d 
un
mouvement de translation rectiligne suivant l'axe Ox.
où : p est la masse volumique de l'air avec p = 1,23 kg.m"3 ,

cx est le coefficient de traînée qui dépend du profil de la voiture avec cx : 
0,3 ,

v est la vitesse de la voiture,
S est la valeur du maître couple, c'est--à--dire l'aire de la plus grande 
section transversale de

la voiture avec S = 1,93 m2 .
On note 5Ô(t) : x(t)éî .

Données numériques:
On donne: !] =1,3m ;12=1,7m ; h=0,8m ; a=0,3m ;M=1370kg et g=9,81ms".

I -- Etude de la phase d'accélération

1.

Ecrire le théorème du centre d'inertie dans R pour la voiture. En déduire deux 
relations
notées 1 et 2. '

Ecrire le théorème du moment cinétique en G pour la voiture dans R* ; la 
relation obtenue
est notée 3.

Ecrire le théorème du moment cinétique respectivement en G1 et GZ pour le 
système (SI)

dans R? et ( S2) , dans R;. En déduire deux relations notées 4 et 5.

a) Ecrire la relation de non glissement des roues liant la vitesse linéaire 
v(t) : 5c(t) de la
voiture et la vitesse angulaire co des roues.

b) Donner alors l'équation différentielle du mouvement relative à x(t) .

On ne fait aucune supposition sur la nature du mouvement des roues dans les 
questions
suivantes et on considère pour la suite du problème (y compris la partie Il) 
que la masse de

(SI) et celle de (S2) sont très petites devant celle de (S), ce qui revient à 
poser m1 : m2 = 0

et J] : J2 : 0 dans les relations des questions 1. 1, 2 et 3.

5.

a) Que deviennent les relations ], 2 et 3 ? Donner alors l'expression de T , T2 
, Nl et N2

' en fonction de l, , 12, h, a, M, g et F. Comparer N] et N2. Quel est le sens 
de ÎÎ et
ï,' ?
b) Déterminer la valeur maximale de F, notée FmaX qui assure un roulement sans

glissement des roues de la voiture. Comment varie F

max en fonction de 12 , de h et de

fo '? Quel est le sens physique de ces dépendances ?
Application numérique : calculer les valeurs de Fmax pour fo : 0,7 (pneus en 
bon état
et route sèche), pour fo : 0,4 (route mouillée) et pour fo : 0,1 (route 
verglacée).

c) Pour P < I'maX , la roue avant peut-elle décoller ? La roue arrière peut-elle décoller ? Le fonctionnement à la limite du roulement sans glissement n'étant jamais atteint en raison d'une puissance moteur insuffisante, on considère une valeur de F inférieure à F max . a) Donner l'expression de la vitesse limite, notée vlim , atteinte par la voiture ainsi que sa » valeur numérique en km.h"1 . Application numérique : F = 300 Nm b) Intégrer alors l'équation du mouvement afin de donner la vitesse instantanée v(t) en F fonction de va , en considérant v(0) = 0. On posera ou : ---- . a .M . Vlim c) Estimer et calculer le temps 1 tel que pour t< O '?

3. a) Donner l'expression des valeurs maximales des valeurs absolues de l] et 
F2, notées
F1 M et F2M , pour que le freinage s'effectue sans glissement.

b) Exprimer le rapport F] M /Î2 M en fonction de l1,l2, fo et h. Quelles sont 
les roues qui se

bloquent en premier ?
c) Application numérique : calculer I] M et Î2M pour fo : 0,7 , fo : 0,4 et fl) 
: 0,1.

4. On se place à la limite du roulement sans glissement.
3) Donner la valeur numérique du module de la résistance de l'air Fair pour

v=130kmh"', v=50km h"' et v=lOkm h"'.
b) En négligeant la résistance de l'air, quelle est la décélération maximale de
l'automobile ? Donner la valeur numérique de la force de freinage FF due aux

frottements s'exerçant sur la voiture pour fl) : 0,7 , fl) : 0,4 et fo : 0,1 .

c) Montrer alors que la résistance de l'air peut être négligée et exprimer 
alors la distance
parcourue d.... depuis l'instant où la voiture roule à une vitesse VO jusqu'à 
l'arrêt.

Application numérique : calculer dar avec fo : 0,7 pour VO =130km h'1 ,
vo : 90km h"1 et V0 : 50km h"l. Que deviennent ces résultats si fl) : 0,4 puis
fo : 0,1 ?

5. Retrouver l'expression de dar en appliquant le théorème de l'énergie 
cinétique à la voiture.

THERMODYNAMIQUE

Ce problème étudie le système de climatisation d'une voiture. Destiné à 
maintenir dans l'habitacle

un débit d'air et une température régulée, le système de climatisation (figure 
1) se compose : d'un
circuit d'air pulsé dans lequel un débit d'air est crée par la rotation d'un 
ventilateur, et d'un circuit
frigorifique composé d'un compresseur, d'un condenseur, d'un détendeur et d'un 
évaporateur,
dans lesquels circule un fluide frigorigène dont la vaporisation dans 
l'évaporateur absorbe de
l'énergie provenant de l'habitable, permettant ainsi la régulation de 
température souhaitée.

Le fluide frigorigène utilisé depuis 1995, en remplacement du fréon utilisé 
jusqu'alors est du
tétrafluoroéthane, connu sous l'appellation R134A, plus respectueux de 
l'environnement.

logement moteur habitacle

(D--
fi
@
:$
0--
(D
C

----> fluide fri_ori ène

va . orate

ventllateur air réfrigéré
___-->
. ___-->
air de ""--'

refroidissement .
motoventflateur

|
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' .
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ll}X{

habitacle

Figure 1

Données :
Pour le fluide R134A, on donne :

La capacité thermique du liquide 0 = 1,35 kJ kg'lK_l .

La capacité thermique massique du gaz à pression constante : cp : 0,488 kJ 
kg--1K--1 .

La masse molaire du fluide R134A : M = 102 g.mol'l .

On suppose que le fluide à l'état liquide est incompressible et qu'il se 
conduit à l'état vapeur
comme un gaz parfait.

TH = 323 K(SO°C)

Température de changement TB : 278K( 5 °C)
d'état

Chaleur latente massique de ()TB --196 k] kg"' Lv (TH) : 150 k] kg"'
vaporisation

On rappelle que LV T ) h( () 11, (T ) où il (T ) et h, (T ) sont respectivement 
l'enthalpie

massique de la vapeur saturante et l' enthalpie massique du liquide saturant à 
la température T.

Description du cycle :
On désire maintenir une température T F = 293K (20°C) dans l'habitacle, la 
température de

l'extérieur étant TC = 308K(35°C) .
Dans un premier temps, on considère que, le fluide décrit, entre les pressions 
p B et PH , le cycle

suivant :

Compresseur : A la sortie de l'évaporateur, de l'état l' où il se trouve à 
l'état de vapeurs saturées
sèches, le fluide est comprimé jusqu'à l'état 2.

Condenseur : Le condenseur situé à l'avant du véhicule entre le radiateur de 
refroidissement du
moteur et des motoventilateurs de refroidissement, est un échangeur thermique 
dans lequel le
fluide fiigorigène échange de l'énergie avec le flux d'air crée par les 
motoventilateurs.

Dans la première partie du condenseur, le fluide passe de l'état 2 à l'état 3 
en se refroidissant à

la pression constante pH jusqu'à ce que sa température atteigne la température 
de vapeur

saturante correspondant à p H . La condensation totale du fluide s'effectue 
ensuite dans la partie

centrale à la pression p H (état 4).

Détendeur : Dans le détendeur, parfaitement calorifugé et ne comportant pas de 
pièces mobiles, le
fluide, de l'état 4, subit une détente de Joule Thomson jusqu'à la pression 
193, au cours de

laquelle, une partie du fluide se vaporise (état 5).

Evaporateur: L'évaporateur est un échangeur thermique placé dans l'habitacle 
devant un
ventilateur commandé par le conducteur, soufflant l'air qui se refroidit en 
échangeant de

l'énergie avec le fluide frigorigène.

Le fluide fiigorigène, partiellement vaporisé en 5 achève de se vaporiser à la 
pression pB
jusqu'à l'état 1.

Pour être sûr que le compresseur n'aspire que de la vapeur sèche (le liquide 
peu compressible
peut provoquer la rupture de certaines pièces), la vapeur est surchauffée à la 
pression constante

pH de la température T] à la température T], (état l').

Régulation du débit du liquide frigorigène : Le fonctionnement correct du 
compresseur exige que
la température à la sortie de l'évaporateur T1' soit supérieure à celle du 
changement d'état T B

afin d'éviter les traces de liquide dans le compresseur.

Un capteur de température mesurant ]} est relié au détendeur par un dispositif 
qui module le
débit massique Dm du fluide (en modifiant l'ouverture du détendeur) de telle 
manière que la

température de sortie T1' reste égale à une valeur de consigne TO : 283 K.

On suppose que les conduites reliant les différents appareils sont parfaitement 
calorifugées et que
la pression qui y règne est constante. On néglige toutes les variations de 
vitesse du fluide et on

raisonne sur 1 kg de fluide.

I -- Etude du cycle dans un diagramme entropique

1. Montrer, en définissant soigneusement le système fermé choisi, que la 
variation
d'enthalpie massique h du fluide, à la traversée d'un système (condenseur, 
évaporateur,

compresseur, détendeur) est donnée en régime stationnaire par : Ah : WM + Q

où WM représente le travail échangé avec les parties mobiles du système 
(excluant le

travail des forces de pression du fluide en amont et en aval).
Q représente la chaleur échangée avec le systeme, Q étant positive lorsque le 
transfert

thermique se fait du système vers le fluide.

2. a) Quelle est la représentation graphique de ôQ, chaleur échangée lors d'une

transformation réversible infinitésimale dans un diagramme entropique (T ,S ) 
où T est

en ordonnée et S en abscisse '?
b) Quelle est l'interprétation graphique de Q pour un cycle '? Quelle est la 
correspondance
entre le signe de Q et le sens de parcours du cycle '?

3. a) Etablir l'expression de l'enthalpie massique hGP (T, p) et de l'entropie 
massique

SGP (T, p) d'un gaz parfait en fonction de la température T, de la pression p, 
de la

c

masse mola1re M du gaz, et de y = --p où cp et cv dés1gnent respect1vement la 
capac1té
c
V

thermique massique à pression constante, et la capacité thermique massique à 
volume

constant.
b) Quelle est l'équation de l'isobare de côte po notée T (s)po obtenue lorsque 
p : Po ?

Quelle est la courbe représentative de T (s)po dans le diagramme entropique ,?

4. a) Etablir l'expression de l'enthalpie massique h(T , x) et de l'entropie 
massique s(T ,x)
d'un fluide diphasé (liquide, vapeur) en fonction de l'enthalpie massique de la 
phase

liquide en équilibre avec la vapeur 11] (T ), de l'enthalpie massique de vapeur 
en
équilibre avec la phase liquide hv (T) , de l'entropie massique de la phase 
liquide en

équilibre avec la vapeur 5, (T ), ainsi que du titre massique en vapeur x] et 
de la

température T.
b) Donner alors les expressions de h(T ,x) et s(T , x) en fonction de x, T, c 
et de L,, (T).

5. a) On suppose la compression isentropique. Calculer T2.

b) Tracer le cycle décrit par le fluide dans le circuit frigorifique sur le 
diagramme
entropique en faisant figurer la courbe de saturation et en indiquant 
clairement la

température ]} , la pression pi et l'état du fluide (liquide, vapeur ou 
diphasé) pour

chaque état i (i : l,l', 2, 3, 4, 5) lorsque ces grandeurs sont connues.

Il -- Calcul de l'efficacité e du cycle

1. On note r la distance parcourue par le fluide depuis l'entrée de 
l'évaporateur jusqu'à un

point M et x le titre en vapeur en ce même point de température T (r). La 
puissance
thermique cédée par le fluide frigorigène à l'habitacle, à la température T F , 
sur une

tranche de longueur dr est de la forme : d? = K [T (r)--TFJdr où K est une 
constante

s'exprimant en W.K"1 m"1 .

a) Donner la loi r(x) dans la partie où a lieu l'évaporation en faisant un 
bilan enthalpique
pour le fluide frigorigène pour une tranche de longueur dr. Donner l'expression 
de rl :
distance parcourue jusqu'au point 1 en fonction de Dm , LV (T B) , K, T F , T B 
et x5 .

b) Donner la loi r(T ) dans la partie de l'évaporateur où a lieu la surchauffe 
de la vapeur.
Donner l'expression de r{ : distance parcourue jusqu'à la sortie de 
l'évaporateur en

fonctionde rl, Dm, cp,K, TB, TF et T'.

c) On suppose ]} < TO. Comment varie la distance du point 1 (où existe la dernière goutte de liquide) à la sortie de l'évaporateur '? Doit--on augmenter ou diminuer le débit massique du fluide Dm pour que 7]: reprenne sa valeur de consigne ? 2. On a de nouveau Tl, : To . 3) Déterminer le titre en vapeur x5 à l'issue de la détente. b) Donner l'expression et calculer Ah5 _,1 , Ah] __)1' et Qévap : Q51r. c) Donner l'expression du travail massique reçu entre l' et 2 par le fluide WM1'2 et en déduire l'efficacité e du cycle. 3. Donner l'expression et la valeur numérique des variations d'entropie massique ASS], Asl 1'» MB , As34 , As45 et conclure pour le cycle. 4. a) Quelles seraient les transformations subies par un fluide diphasé décrivant un cycle de Carnot évoluant entre les températures T B et T H , au cours duquel le passage dans le condenseur assurerait une liquéfaction totale du fluide qui se trouvait à l'état de vapeur saturée à l'entrée du condenseur. b) On note respectivement états A, B, C, D, les états du fluide à l'entrée du compresseur, condenseur, détendeur et évaporateur. Représenter le cycle de Carnot dans un diagramme entropique, en faisant figurer la courbe de saturation. c) Le détendeur étant attelé sur le même arbre que le compresseur afin de permettre la récupération du travail de détente, exprimer grâce à une méthode graphique le coefficient d'efficacité sc en fonction de T B et T H et donner sa valeur numérique. Comment choisir la température d'évaporation et la température de condensation du fluide pour que sc soit le plus grand possible ? Comment se traduisent ces conditions sur l'allure du cycle dans le diagramme entropique. III -- Cycle réel Le cycle réel diffère de celui décrit dans la partie I. Dans le condenseur, le fluide, après s'être totalement liquéfié à la température T H , est refroidi à la température T 4: = 318 K (45°C) de façon isobare pour subir une détente en Joule Thomson jusqu'à l'état 5' au cours de laquelle il y a vaporisation partielle du fluide. De plus, afin de tenir compte du transfert thermique à travers la paroi du compresseur, on modélise la compression du fluide, toujours assimilé à un gaz parfait, par une évolution polytropique, intermédiaire entre une évolution isothermique et une évolution adiabatique, caractérisée par une loi liant la pression et le volume V de la forme ka : este avec l< k < y. L'état du fluide à la fin de la compression est alors caractérisé par W : pH et une température T2, . 1. On considère une évolution polytropique entre l'état initial ( p,-, 7}) et l'état final ( p f, T f) . a) Exprimer T f en fonction de p,, I}, p f et k. b) Donner l'équation de l'évolution polytropique liant la température T à l'entropie massique s. Représenter cette évolution dans un diagramme entropique. Comment se situe-t--elle par rapport à l'évolution isentropique ? c) Exprimer Q]'2f et WM1'2' échangés par le fluide dans le compresseur en fonction de R, k, ]} et T2. Quel est le signe de Q", ? (1) Donner la valeur numérique de T2, Q1r2' et WM", avec k = 1,19. 2. L'état du fluide à l'entrée du condenseur est caractérisé à présent par le point 5' . Calculer x5' . 3. Tracer le cycle l--l'---2' --3--4--4'--5' --1 sur un diagramme entropique en indiquant clairement les différences avec le cycle de la partie I. 4. a) Donner l'expression et calculer Qévap =Q5r1r. Quel est l'effet du refroidissement du fluide sur Q ? évap b) Calculer le coefficient d'efficacité du cycle réel s' . Fin de l'énoncé.