CCINP Physique 1 MP 2005

SESSION 2005 MPPIOO5

A

CONCOURS (OMMUNS POlYTECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

***

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la

rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa

copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été amené à
prendre.

***

Conformément à l'usage international, les vecteurs sont représentés en gras.

MECANIQUE

- Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en considération. -
- Toutes les grandeurs physiques seront exprimées en fonction des paramètres du 
problème (ou des

paramètres spécifiés) et simplifiées à l'extrême.
- Elles seront évaluées numériquement chaque fois que demandé (A.N.).

Pour les applications numériques, on prendra :

- g=10ng"1
-- R=lm

-- h=lm

-- a=O,lm

- m=0,0lkg

-- us =0,53

- Hd =0,36

-- v=0,8

Soit un référentiel galiléen RO =(O,eXO ,ey0 ,ez), où eZ représente la 
verticale ascendante. Par

rapport à ce référentiel, on considère un disque horizontal en acier, 23 , de 
rayon R et de centre O.
Le disque peut tourner autour de l'axe vertical ez passant par son centre 0 et 
se situe à une

hauteur h du sol horizontal. On considère le référentiel R=(O,ex,ey,ez) lié au 
disque. Le

mouvement de rotation du disque par rapport à % est repéré par l'angle (p : 
(eX0 ,ex ) , orienté de

\ ,° .
eX0 vers ex (cf. figure 1). Les axes eXO et ex sont confondus al 1nstant de la 
m1se en mouvement

du disque qui sera pris comme origine des temps. Le mouvement donné au disque 
(à t= O) est un
mouvement de rotation uniformément accéléré, caractérisé par l'accélération 
angulaire EUR") = ou > O.

Le seul champ de forces externe est le champ de pesanteur terrestre que l'on 
considérera comme
uniforme, g = --g ez .

Figure 1

Mouvement d'une pièce de monnaie sur le disque

Le but du problème est l'étude du mouvement d'une pièce de monnaie placée sur 
le disque.

Une pièce de monnaie en cuivre est posée sur le disque. Elle est assimilée à un 
point matériel M,
de masse m. Elle est placée sur le disque avant sa mise en mouvement en 
A(a,0,0) avec

0 < a < R . Le contact entre M et 3 est caractérisé par un coefficient de frottement solide statique us > 0 et un coefficient de frottement solide dynamique ud (0 < ud < us ). On note : - R la force de contact exercée par le disque sur le point M. -- N = N ez sa composante normale au disque. -- T=Txex+Tye y sa composante dans le plan du disque. 1. Mouvement sur le disque 1.1 Mise en mouvement On s'intéresse dans cette partie au mouvement de M dans R , c'est-à--dire, au mouvement de la pièce par rapport au disque. Onnote: OM=xex+yey+zez 1.1.1 Phase précédant la mise en mouvement de la pièce a. P" r--+>çbo._o

Exprimer (p(t), ("R/% et doeR/% / dt en fonction de on.

Donner l'expression des forces d'inertie dans R . Les exprimer en fonction de 
m, a, on et

t, en supposant M immobile dans R .

Rappeler les lois de Coulomb sur le frottement entre deux solides.

. Ecrire les équations d'équilibre de M dans sa position initiale A.

Donner la condition pour que M soit à l'équilibre.
Déterminer l'accélération maximale ocd du disque pour qu'au démarrage (à t= O+) 
le

point M reste immobile. A.N.
Calculer, en fonction de oc et du rapport B = oc d / on et dans le cas oc < ocd , le temps tl au bout duquel le point M se met en mouvement. Calculer, en fonction de oc et [3 , la vitesse angulaire de rotation col atteinte par le disque lorsque le point M se met en mouvement. Calculer de même, l'accélération maximale cc,. pour que le point M reste immobile pendant au moins une rotation du disque. A.N. : calculer oc,. et B,. = on d / ocr . 1.1.2 Conditions initiales du mouvement On suppose désormais, et pour toute la suite, oc < oc,. . a. b. P--.° Montrer qu'alors [32 peut être considéré comme grand devant l. En déduire une expression approchée de co, . A.N. En déduire une expression approchée de t, . A.N. : calculer t,. : tl (oc,.). Donner une borne supérieure des erreurs relatives correspondantes : At, /t1 et A0); /oel. A.N. Comparer alors "TX" et "Ty" à l'instant t[ . En déduire la direction approchée initiale du mouvement de M et des valeurs initiales approchées Tf et T,+ de T à tî et tÏ. A.N. 1.2 Mouvement Dès que le point M se met en mouvement, la vitesse de rotation du disque est maintenue constante à la valeur ou; qu'elle avait à ce moment là. 1.2.1 Equations différentielles du mouvement a. Etablir les équations différentielles exactes du mouvement de M vérifiées par x, y et 2. b. Calculer, en fonction de 8 = us -- u d et de g, l'accélération initiale approchée à t,+ . A.N. 1.2.2 Mouvement guidé A partir de maintenant et pour toute la suite du mouvement sur le disque, la pièce est contrainte à se déplacer suivant eX . a. Etablir l'équation horaire du mouvement de M. On exprimera x, y et z en fonction de a, OE1,tl etô=Hd/Ms- b. Déterminer alors, en fonction de ou; , r : R/a , 6 et a , l'instant ts où la pièce arrive au bord du disque. A.N. : calculer pour oc : on,. l'instant d'arrivée au bord tb et la durée du mouvement 1: : tb -- t,. . c. Donner l'expression de l'évolution temporelle de la force de contact R. A.N. : la calculer à tb. d. Donner une estimation de la limite supérieure du déplacement ys que la pièce aurait eu à l'instant ts si le mouvement n'avait pas été guidé. A.N. Conclusion ? 2. Sortie du disque 2.1 On s'intéresse ici aux conditions initiales du mouvement de M par rapport au sol (référentiel RO ). a. Dans les conditions du mouvement guidé, calculer la vitesse V8 de M par rapport à R dans la base de R. Commenter ce résultat. A.N. b. Calculer l'angle (ps qu'elle fait avec ex0 . A.N. : calculer sa valeur (p,. pour on : on,. (on précisera le nombre de tours complets effectués). c. Soit V0 la vitesse de M par rapport à % . Calculer sa norme VO. AN. d. Calculer l'angle 9 qu'elle fait avec l'axe eXO . A.N. : calculer sa valeur O,. pour OL : ar. 2.2 On désigne désormais par tO : O l'instant origine où la pièce quitte le disque. Son point de sortie M0 est choisi comme origine du référentiel du laboratoire : ' Q{O =(MO,eXO,eyo,ez). Le disque a été accéléré avec une accélération angulaire on de telle sorte que la vitesse de M à l'instant to soit parallèle à eXO et de même sens : V0 : V0eXO avec Vo > 0.

On prendra pour les applications numériques V0 : lOm/s .

a. Déterminer la vitesse V1_ en M1 à l'instant où le point M entre en contact 
avec le sol. On

donnera sa norme et ses composantes dans % . A.N.
b. Calculer la durée de la chute TC . A.N.

c. Calculer alors la distance horizontale parcourue do . A.N.

THERMODYNAMIQUE

L'objectif de ce problème est l'étude du fonctionnement stationnaire d'une 
machine
ditherme de réfrigération.

Le cycle représenté, dans un diagramme de Clapeyron, par la figure 1 constitue 
un modèle de
fonctionnement d'une machine de réfrigération dans laquelle une masse m de 
fluide frigorigène
subit les transformations suivantes :

o A-->B : compression adiabatique dans le compresseur.
. B->D : refroidissement et liquéfaction isobares de la vapeur dans le 
condenseur.
. D-->E : détente adiabatique et isenthalpique dans le détendeur.
. E---->A : vaporisation isobare dans l'évaporateur.
Les sources froide 2 F (intérieur de l'enceinte à réfrigérer) et chaude EC 
(milieu ambiant) sont

assimilées à des thermostats de températures, respectives, T F et T C 
constantes.

Les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle du fluide sont 
négligeables.
Données :

m = 1 kg

Tp=278 K ; TC=293 K

Enthalpies massiques du fluide frigorigène dans les états représentés par les 
points A, B et D :

h A = 390,2 kJ.kg"1 ; hB = 448,6 1f par transfert mécanique (travail).

A--1--1 Appliquer le premier principe de la thermodynamique à cette 
transformation.
A-1-2 Etablir la relation entre la variation d'enthalpie AH,-_,f du système et 
Q-- _, f .

A-2 On désigne par Q,.-- et QC les quantités d'énergie reçues par le fluide, 
par transfert

thermique, respectivement, au contact de la source froide et au contact de la 
source chaude,
au cours du cycle défini ci-dessus.
A-2-1 Exprimer Q,.-- et QC en fonction des données.

A-2--2 Calculer Q,.-- et QC-

A--3 On désigne par W l'énergie reçue par le fluide, par transfert mécanique 
(travail), au cours

d'un cycle.
A-3--1 Exprimer Wen fonction des données.

A-3-2 Calculer W.

A--4 On désigne par S F et SC les valeurs algébriques des entropies échangées 
par le fluide,

respectivement, avec la source froide et la source chaude au cours du cycle.
A-4--1 Exprimer S F et SC en fonction des données.

A-4--2 Calculer S F et SC-

A-4-3 Calculer l'entropie S p créée au cours du cycle. Conclusion.

A-5 Calculer l'efficacité u de cette installation.

A-6 Sachant que la puissance PF à extraire de la source froide pour maintenir 
sa température
constante est de 500 W, calculer le débit massique qm que l'on doit imposer au 
fluide

fri gori gène.

B -- Etude de la compression de la vapeur}

La vapeur issue de l'évaporateur est comprimée de la pression P1 = 2, 008 bar 
(état A) à la pression

192 =16,810bar (état B).
Dans cette partie du problème on admettra que l'on peut assimiler la vapeur à 
un gaz parfait dont

le rapport y des capacités thermiques conserve une valeur constante égale à 
1,14 dans le domaine
étudié.

B-1 On envisage le cas où cette compression pourrait être supposée adiabatique 
et réversible.
B-1-1 Etablir la relation que vérifieraient les variables température T et 
pression p.

B-1-2 Sachant que T A : 263K, calculer la température T ' que l'on atteindrait 
en fin de
compression.

8--2 En réalité la compression A---->B subie par la vapeur peut être supposée 
adiabatique mais n'est
pas réversible car on ne peut pas négliger les frottements fluides qui se 
produisent à
l'intérieur du compresseur ; de ce fait la température en fin de compression 
est supérieure à
celle calculée précédemment.

La transformation polytropique A---->B est la transformation réversible qui 
permettrait au
fluide d'évoluer de l'état A à l'état B en recevant, par transfert thermique, 
une quantité

d'énergie Qf équivalente à celle générée par les frottements internes au cours 
de la

transformation irréversible A---->B.
Pour établir la loi d'évolution polytropique, on considère une transformation 
élémentaire
réversible caractérisée par les variations d'énergie interne dU, d'entropie (18 
et de volume

cl V. La quantité d'énergie ôQf reçue par le fluide, par transfert thermique, 
au cours de cette

transformation, s'écrit ôQf =adU . Dans cette expression a désigne un facteur 
qui sera

supposé constant dans tout le domaine étudié.
B-2-1 Exprimer dU en fonction de dS et d V.

B-2--2 Montrer qu'au cours de l'évolution polytropique A---->B les variables 
pression p et

volume V vérifient la relation ka : constante dans laquelle k désigne une 
constante

appelée facteur polytropique.
B--2-3 Exprimer k en fonction de a et de y.

C ---- Détermination des conditions de fonctionnement permettant d'obtenir 
l'efficacité

maximale.

C--1 Préciser la nature du cycle réversible que devrait décrire le fluide afin 
de parvenir à
l'efficacité maximale umax de la machine de réfrigération. On indiquera avec 
précision la

nature et le rôle des différentes transformations subies par le fluide au cours 
de ce cycle.

C-2 Sachant qu'au cours de ce cycle la variation d'entropie massique ASC du 
fluide au cours de

la transformation qu'il subit au contact de la source chaude est de 
----O,416kl.kg_l.K--1 ,

calculer les quantités d'énergie Q}: et Qt reçues, par transfert thermique, par 
1 kg de fluide

frigorigène, au cours d'un cycle, respectivement, au contact de la source 
froide et au contact
de la source chaude.

C-3 Exprimer l'efficacité umax en fonction des températures T ,: et TC et 
calculer umax.

D -- Etude de la diffusion thermique dans les parois des échangeurs

Les conditions de fonctionnement, idéales et théoriques, définies ci--dessus ne 
prennent pas en
compte l'épaisseur des parois des échangeurs thermiques situés au contact des 
sources froide et
chaude.

Dans cette quatrième partie du problème on se propose de tenir compte de la 
diffusion thermique a
travers les parois des échangeurs. On supposera cette diffusion 
unidirectionnelle.

On considère la diffusion thermique unidirectionnelle suivant l'axe Ox à 
travers une paroi plane,

homogène et isotrope, d'épaisseur e, de surface 2 et de conductivité thermique 
k (figure 2).
En régime stationnaire les faces d'abscisses x=O et x=e sont des surfaces 
isothermes aux

températures T0 et T EUR avec Te < TO. D--l D-2 D-4 0 ex e x Figure 2 Rappeler l'expression du vecteur flux thermique surfacique J Q à travers la paroi considérée (loi phénoménologique de Fourier). Exprimer le flux thermique à travers cette paroi en fonction des températures T0 et T e et de la conductance thermique 0 : XE / e de la paroi. Exprimer la durée t nécessaire au transfert d'une quantité de chaleur Q à travers cette paroi. Qu'advient-il si TO --Te tend vers 0 ? On considère de nouveau la machine de réfrigération définie ci--dessus et on suppose que le fluide frigorigène décrit un cycle réversible au cours duquel les transferts thermiques avec les sources froide et chaude se produisent lors de transformations isothermes aux températures respectives T1 < T F et T2 > TC.

On admet que dans les échangeurs thermiques qui assurent les échanges avec les 
sources de
chaleur, la face en contact avec le fluide est à la température du fluide et 
celle en contact
avec la source de chaleur est à la température de cette source.

On désigne par 61 et 62 les conductances thermiques des parois des échangeurs 
situés,

respectivement, au contact de la source froide et de la source chaude.
D-4--1 On désigne, respectivement, par Q et Q2 les quantités d'énergie reçues 
par le

fluide, par transfert thermique, au contact des sources froide et chaude et par 
tl et t2

les durées de transfert de ces quantités d'énergie. Exprimer tl en fonction de 
Q1 , 51 ,
T,.-- et T1 et 12 en fonction de Q2 , (52, TC et T2.
D--4-2 Exprimer l'efficacité u' du cycle décrit par le fluide en fonction de T1 
et de T2.

D--4-3 Sachant que Tl : 263K et T2 : 333K , calculer u'.
D--4--4 Exprimer QI et Q2 en fonction de T1, T 2 et du travail Wreçu par le 
fluide au cours

d'un cycle.
D--4--5 Exprimer tl en fonction de W, T1, T2, T F et ol et t2 en fonction de W, 
T1, T2, TC

et 62.

E -- Conditions permettant d'obtenir une consommation minimale

On cherche à déterminer les températures T1 ' et T 2 qui rendent minimale la 
puissance consommée

par la machine au cours d'un cycle. On suppose que la durée des transformations 
adiabatiques est
négligeable devant celle nécessaire aux transferts thermiques.

E-l Exprimer la puissance moyenne P consommée par le fluide au cours d'un cycle 
en fonction

(16 61, (52, T1, T2, TF EURt Tc.
E-2 On poseZ=l/P,x=TZ/Tl et y=T2--Tl.Exprimer2en fonction dex et dey.

E-3 Déterminer les conditions que doivent vérifier T1,T2,TF,TC,61 et 02 pour 
que la puissance

consommée soit minimale.

Fin de l'énoncé