CCINP Physique 1 MP 2006

SESSION 2006 MPP1005

A

CONCOURS (OMMUNS POlYÏECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

NB: Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision 
et à la concision de la
rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa
copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été amené à prendre.

Conformément à l'usage, les vecteurs sont notés en caractères gras.

-- MECANIQUE --

Le problème étudie différents oscillateurs en vue de l'application du théorème 
du viriel. Celui-ci
affirme en particulier que si un point matériel M (x,y,z) possède une énergie 
potentielle

Ep(x, y,z) vérifiant la propriété suivante : Ep(kx,ky,kz) : N'Ep(x, y,z) pour 
tout A réel alors il

existe la relation suivante entre valeurs moyennes temporelles au cours du 
mouvement de M
k < Ep >= 2 < Ec > à condition que la trajectoire soit bornée.

Ec désigne l'énergie cinétique de M et < f > la valeur moyenne de f (I) au 
cours du temps.

Nous ne considèrerons que des mouvements périodiques donc les moyennes seront 
calculées sur
une période. '

Dans tout le problème l'étude est faite dans un référentiel galiléen Rauquel 
est associé un repère
orthonormé ((),x, y,z).

Les parties 1, II et III sont indépendantes.

I -- Oscillateur harmonique dans un champ de pesanteur

Un point matériel M de masse m pouvant se mouvoir dans la direction 02 
(verticale descendante)
est fixé à l'extrémité d'un ressort de raideur k et de longueur à vide la .

Le champ de pesanteur g est uniforme (figurel). On désigne par 2 la cote de M.

1%

M

Z

Figure ( 1 l

1. a) Ecrire l'équation du mouvement du point M ; quelle est la pulsation 
propre (00 du système ?
b) Déterminer sa position d'équilibre ze .

c) Déterminer z(t) sachant qu'initialement le point est abandonné sans vitesse 
initiale de la cote

z=lo+mg/k+a.

2. a) Déterminer l'énergie potentielle Ep(M ) du point M en imposant Ep : 0 à 
l'équilibre.

b) Exprimer l'énergie potentielle en fonction de Z = z -- ze et k.

c) Dans le cas du mouvement du l-c déterminer les valeurs moyennes de l'énergie 
cinétique et
de l'énergie potentielle. Quelle relation existe-t-il entre ces deux grandeurs?

(1) Application numérique k = 20 Nm'1 m = 100 g a = 5 cm . Calculer la 
pulsation des
oscillations ainsi que l'énergie potentielle moyenne.

Il -- Cas d'un système

Un disque (©) de masse m, de rayon a et de centre C peut rouler, dans un plan 
vertical, à l'intérieur
d'un cylindre de centre O fixe dans R ; on note b : OC la distance de O à C. 
(®) est homogène de

moment d'inertie J =1/2ma2 par rapport à son axe (C ,ez).

Le coefficient de frottement entre le cylindre et le disque est f.

Ox est l'axe vertical, le champ de pesanteur g est uniforme.

On appelle 9 l'angle entre e" et OC et (p celui entre ex et la direction CA où 
A est un point

périphérique de (©) (figure 2).
On suppose que (®) roule sans glisser dans le cylindre.
En outre l'angle 6 reste faible.

1. Déterminer l'énergie potentielle Ep(0) de (©) en imposant Ep(0)=0. En donner 
une

expression approchée au deuxième ordre en 0.

2. Etablir la relation reliant & et @

dl dt '
3. Etablir l'expression de l'énergie cinétique de (Q)).
4. L'énergie mécanique du disque est-elle conservée '? Pourquoi '?

5. Déterminer l'équation du mouvement vérifiée par 0(t). La résoudre avec les 
conditions initiales

0=00>0 et îi--e--=O.

dt

6. a) Pour la solution précédente calculer les valeurs moyennes de l'énergie 
potentielle et de
l'énergie cinétique. Que constate--t--on ?

b) Application numérique : 00 = 0,1 rad , m = 160 g , g = 10 Nms'2 , b = 20 cm. 
Calculer
l'énergie cinétique moyenne de (®).

111 --- Mouvement dans un champ newtonien

On considère un satellite de masse m se trouvant à une distance r du centre 0 
de la terre. On note G
la constante de gravitation, M , la masse de la terre et r la distance entre 0 
et le satellite.

1. a) Comment s'écrit la force subie par le satellite '?

b) Déterminer l'énergie potentielle Ep du satellite (avec la convention Ep : 0 
à l'infini).

c) Comment s'exprime ici le théorème du viriel ? Quelle propriété de l'énergie 
retrouve-t-on
pour un état lié ?

(1) Dans le cas où la trajectoire du satellite est circulaire de rayon ro , 
déterminer sa vitesse v, .

Pour la suite, le satellite est lancé à une distance r,,, avec une vitesse 
orthoradiale (orthogonale au
rayon vecteur) de module

GM,

ro

avec 1= --e . Ce résultat vous 
surprend-t-il ?

Que pensez--vous de < sin(9) > '?

4. Pour mieux cerner le résultat précédent on cherche à évaluer les durées de 
passage du satellite
At, pour un angle 6 passant de --Tt/ 2 à n/ 2 et Atz pour un angle 9 passant de 
n/ 2 à 31t/ 2.

2 2
a) On rappelle la troisième loi de Kepler îä' : ;L ; exprimer la période T en 
fonction de p ,C
a !

et e.

b) Exprimer la durée At que met le satellite pour passer d'un angle polaire 91 
à 62 ; on donnera
le résultat en fonction de la période et d'une intégrale sans dimension.

si 6 = 0, 5 le calcul numérique donne le résultat suivant :

5j de
3 (1+ e cos(0))2
2

Ce résultat est-il en accord avec celui obtenu au 3e) ?

=0,195

5. On considère maintenant le mouvement d'un électron dans un atome d'hydrogène 
en supposant
le noyau fixe en O.

L'électron a une masse m = 9 10"31 kg et une charge --q avec q = 1,6 10--19C .

a) Pourquoi la trajectoire de l'électron est--elle, en général, une ellipse ?

b) On se place dans un cas où l'excentricité de la trajectoire est faible (EUR 
<< 1). Comment s'écrit le moment dipolaire instantané de l'atome d'hydrogène ? Proposer une expression approchée du moment dipolaire moyen en fonction du paramètre de la trajectoire po et de l'excentricité 6. Quelle valeur obtient--on pour po : 0,05 nm et e = 0,05 '? Le résultat sera donné en Debye : 1D=1/310"29Cm. c) Que vaut réellement le moment dipolaire d'un atome d'hydrogène? Que pensez--vous du modèle précédent '? -- THERMODYNAMIQUE -- L'objectif de ce problème est l'étude de différentes détentes d'un gaz réel et d'un gaz parfait. Les parties B et C d'une part, D et E d'autre part ne sont pas indépendantes. La partie A, l'ensemble (B + C) et l'ensemble (D + E) peuvent être traités séparément. A -- Fonctions d'état d'un système fermé A.1.0n rappelle les expressions des différentielles dU et dH des fonctions d'état énergie interne U(T,V) et enthalpie H(T,p) d'un système fermé : dU : C,dT+(Æ-- p)dV ; dH : C,,dT +(k + V)dp A.1.1. Définir les capacités thermiques à volume constant C, et à pression constante Cp à partir des fonctions U(T,V) et H(T,p). A.1.2. Etablir les valeurs des coefficients calorimétriques EUR et k pour un système dont l'énergie interne et l'enthalpie ne sont fonctions que de la température. A.2.0n définit les fonctions d'état énergie libre F(T,V) et enthalpie libre G(T,p) d'un système par les relations F = U -- TS et G = H -- TS. A.2.1. Exprimer les différentielles dF et dG d'un système fermé. A.2.2. On désigne par S l'entropie du système. En utilisant les propriétés des différentielles dS, dF et dG établir les expressions suivantes des coefficients calorimétriques EUR et k : r = T(ôp/ÔT)V ; k =--T(ôV/êT)p B -- Détente de Joule et Gay Lussac d'un gaz réel Dans un certain domaine de température et de pression, l'équation d'état d'une mole de gaz réel s'écrit : ' (p+a/TV2) (V--b)=RT dans laquelle a, b et R sont des constantes (R = constante des gaz parfaits). . . _ __ 2 2 B.1.Etabhr la relation . (êC, /ôV)T -- T(Ô p/ôT )V B.2.Etablir l'expression de la capacité thermique à volume constant C,, (T,V) du gaz sachant qu'elle tend vers une valeur Co , indépendante de T, lorsque Vtend vers l'infini. B.3. Etablir l'expression de l'énergie interne U de ce gaz en fonction de T, de Vet de constantes. 8.4. On fait subir à ce gaz une détente de Joule et Gay Lussac qui fait passer son volume de V1 à V2 = 214 . B.4.1. Préciser les conditions expérimentales qui permettent de réaliser cette détente. En déduire la variation d'énergie interne AU du fluide. B.4.2. On note T, la température initiale du gaz et AT la variation de température qu'il subit au cours de cette détente. } Sachant que l'on peut considérer AT << Tl , exprimer AT en fonction de T1 , V, et de constantes. B.4.3. Que peut--on dire, a priori, de la variation d'entropie du gaz '? Justifier votre réponse. B.4.4. Application numérique : a = 100 sr; R = 8,31 J.mol--'.K"' ; T1 = 300 K; C() = 29,1 J.mol".K"' ; V1 = 10 L. B.4.4.1. Calculer AT . B.4.4.2. Quelle valeur de AT aurait-on obtenu avec un gaz parfait ? Justifier votre réponse. C -- Détente de Joule Thomson (Joule Kelvin) d'un gaz réel Aux faibles pressions, l'équation d'état du gaz réel défini ci-dessus peut se mettre sous la forme suivante : pV = RT+B(T)p avec B(T) =b--a/RTZ C.1.Compte--tenud'une approximation que l'on peut faire aux basses pressions, montrer que l'enthalpie H du gaz peut s'écrire, en fonction des variables T et p : H=(CO+R)T+(b--3a/er)p C.2.Le gaz subit une détente de Joule Thomson au cours de laquelle il passe d'une zone où il se trouve à la température T1 sous la pression pl dans une zone où la pression est p2 : pl /2 . C.2.1. Préciser la caractéristique énergétique de la détente de Joule Thomson. C.2.2. Exprimer la variation de température AT du gaz dans le cadre des hypothèses ci-dessus en fonction de T1, pl et de constantes. On considèrera encore AT << T1 . C.2.3. Application numérique : a = 100 sr ; R = 8,31 J.mol"'.K" ; T] = 300 K; CO = 29,1 J.mol"'.K"' ; b = 22,8.10"6m3.m01_l ; pl= 2 bar. Calculer AT . D -- Application des principes de la thermodynamique à un système fermé en mouvement L'objectif de cette étude est d'établir une expression générale permettant de calculer les variations des grandeurs thermodynamiques caractéristiques d'un gaz qui s'écoule dans un élément mécanique : conduite, tuyère, échangeur thermique, turbine, compresseur, etc. L'évolution d'un fluide gazeux dans une installation industrielle est schématisée par la figure 1 ci- dessous. aA _ o..=æE 9... + % ...qQ v EURm . . . n . . o o \ ? ...oe & Al & ...Ëooe oe...Ë=OE Le fluide gazeux s'écoule dans la direction et le sens de l'axe horizontal x'x . Le volume v délimité par les plans A'B' et CD constitue un volume de contrôle qui peut, éventuellement, contenir une machine : compresseur, turbine, etc. Le fluide entre dans v par une conduite cylindrique dont l'aire de la section droite est notée 21 et dont l'axe, parallèle à x'x , est situé à l'altitude 21 dans le champ de pesanteur. Il en ressort par une conduite cylindrique, dont la section droite a une aire 22 et dont l'axe, parallèle à x'x , est situé à l'altitude 22 dans le champ de pesanteur. On désigne par w le vecteur vitesse des particules fluides et on admet que la viscosité du fluide est négligeable, le vecteur vitesse reste donc constant en tout point d'un plan de section droite perpendiculaire à l'écoulement. On désigne par m, p, T, E, EC , E p , U, H et S, respectivement, la masse, la pression, la température, l'énergie totale, l'énergie cinétique macroscopique, l'énergie potentielle de pesanteur, l'énergie interne, l'enthalpie et l'entropie du fluide. Les valeurs massiques des différentes grandeurs extensives seront représentées par des lettres minuscules. Ces grandeurs seront affectées de l'indice 1 ou de l'indice 2 suivant qu'elles caractériseront l'état du gaz à l'entrée ou à la sortie du volume v. D.1.Définir l'énergie totale E d'un système thermodynamique. D.2.Ecrire le premier principe de la thermodynamique, sous sa forme générale, pour un système fermé, en mouvement dans le champ de pesanteur, qui, au cours d'une transformation ouverte, reçoit les quantités d'énergie Q par transfert thermique et Wpar transfert mécanique. D.3.A l'instant t le système fermé considéré, désigné par S(t) sur la figure 1, occupe le volume compris entre les plans AB et CD. Il comprend le fluide contenu dans v à cet instant et le fluide qui va entrer dans v pendant la durée dt. Son énergie totale est notée E (t) . , A l'instant t+dt ce même système, désigné par S(t + dt), occupe le volume délimité par les plans A'B' et C 'D' . Il comprend le fluide contenu dans v à l'instant t+dt et le fluide qui est sorti de v pendant la durée dt. Son énergie totale est notée E (t + dt). Entre les instants t et t+ dt le fluide gazeux reçoit les quantités algébriques d'énergie ôQ par transfert thermique (chaleur), ôW' par transfert mécanique dû au travail des forces de pression d'entrée et de sortie et ôW par transfert mécanique avec une machine qui se trouve dans v . On suppose que le régime stationnaire est atteint et on admet que les pressions p] et p2, respectivement en amont de l'entrée dans v et en aval de la sortie de v , restent constantes au cours du transfert du fluide. Les vitesses w] et w2 du fluide, dans les conduites d'entrée et de sortie, sont constantes. D.3.1. p,,w,,E1 ; p2,w2,îï2 désignent la masse volumique, la vitesse du fluide et l'aire de la section droite des conduites, respectivement, à l'entrée et à la sortie de v . Montrer, à partir d'un bilan de masse sur le système fermé considéré, entre les instants ! et t+dl, que l'on a: P121W1 : P222W2- L'expression p2w représente le flux de masse à travers la section droite 2 d'une conduite dans laquelle le fluide s'écoule avec la vitesse w, c'est-à--dire le débit massique qm du fluide exprimé en kg .s"1. D.3.2. On désigne par ôm la masse de fluide qui traverse le volume v pendant la durée dt. On note g l'intensité du champ de pesanteur et on fixe l'origine de l'énergie potentielle de pesanteur au niveau 2 = 0. Par application du premier principe de la thermodynamique au fluide gazeux, entre les instants t et t + dt , établir la relation : ôm{[(1/2)wg +g22 +h,]-[(1/2)...2 +gz1 +h,]} =ôQ+ôW D.3.3. A partir de l'expression établie à la question D.3.2, définir les conditions expérimentales qui permettent de faire subir au fluide une détente de Joule Thomson. E -- Détente d'un fluide gazeux dans une tuyère Le fluide gazeux se détend, de manière adiabatique, dans une tuyère dans laquelle sa vitesse varie. La tuyère est constituée d'un tube de révolution autour d'un axe horizontal x'x (figure 2 ci-contre). La section droite, d'abscisse x, de la tuyère a une aire Z(x) variable le long de l'axe x'x. On admet que " W(X) "&... cette variation est assez lente pour que le vecteur vitesse des éléments de volume du gaz qui s'écoule reste, pratiquement, parallèle à x'x , de même sens et & que sa composante w(x) ait la même valeur pour tous les éléments de volume situés dans une tranche de gaz, d'abscisse x, perpendiculaire à x'x . On suppose que le régime d'écoulement stationnaire est atteint et on néglige toute perte d'énergie, par frottement, le long des parois de la tuyère. On note H(x) l'enthalpie d'une mole de gaz sous la pression p(x), à la température T(x). On désigne par M la masse molaire du gaz et par p(x) sa masse volumique à l'abscisse x. Figure 2 w, pl, T, Hl, pl ; w, 172, T , Hz, p2 désignent, respectivement, les valeurs de : w(x),p(x), T (x), H (x), p(x) dans la section droite d'entrée de surface 21 et dans la section droite de sortie de surface 22 . E.1.0n considère l'évolution d'une mole de gaz entre son entrée dans la tuyère et son passage dans la tranche d'abscisse x. A partir de la relation générale établie à la question D.3.2 et compte tenu des conditions de _ fonctionnement de la tuyère, établir la relation que vérifient M, w1 , w(x), H 1 , H (x). E.2.Aucune hypothèse n'est faite sur l'équation d'état du gaz. On admet que chaque élément de volume du gaz subit, dans la tuyère, une détente adiabatique réversible. Montrer que, dans ces conditions : (1/2)w2 (x)--(1/2)wl2 + E(x)dp/p(x) : 0 E.3.0n suppose, maintenant, que le gaz est un gaz parfait pour lequel le rapport 7 = C ,, /C,, est indépendant de la température et on admet que son évolution, dans la tuyère, se produit de manière adiabatique et réversible. On pose 8 : p(x)/ p, et on désigne par C,, la capacité thermique molaire à pression constante du gaz. E.3.1. Exprimer w2 (x) en fonction de : w], Cp, T, M, y et e. E.3.2. Exprimer le débit massique q... du gaz, à l'abscisse x, en fonction de : pl, s, y, Z(x) et w(x). E.3.3. On suppose que la section d'entrée de surface 21 de la tuyère est très grande. On peut alors considérer w1 ---- O. E.3.3.1. Montrer que, dans ces conditions, le débit massique s'écrit: q... =K1 Z(x) f (a), expression dans laquelle Kl ne dépend que des caractéristiques du gaz et des valeurs des paramètres relatifs à l'entrée de la tuyère et f (8) est une fonction de 8 . On explicitera K et f (a). E.3.3.2. On admet que p(x) décroît de manière monotone quand x croît. Après avoir étudié les variations de la fonction f (8) pour 0 S 8 S 1 , montrer que : E.3.3.2.1. Si p2 / pl est supérieur à une valeur 80 que l'on précisera, la section E(x) de la tuyère doit être une fonction décroissante de x (tuyère convergente). E.3.3.2.2. Si p2 / pl est inférieur à 80, la section de la tuyère doit, d'abord, être une fonction décroissante de x puis devenir une fonction croissante de x (tuyère convergente -- divergente). Dans ce cas on note WO et po les valeurs de w(x) et p(x) dans la section la plus étroite de la tuyère. Exprimer po en fonction de p, et y et wo en fonction de y, R, T, et M. E.3.3.3. Application numérique Le gaz parfait considéré est de l'air pour lequel y = 1,4 ; M = 29 g .mol"' . On rappelle que R : 8,31J.mol"1 .K" . E.3.3.3.1. Sachant que pl : 20 bar et Tl : 2000K , calculer wo et po. E.3.3.3.2. Calculer, dans les mêmes conditions, la vitesse du gaz, à la Sortie de la tuyère, où p2 : lbar. Fin de l'énoncé