CCINP Physique 1 MP 2009

 

av.--:o: .v " nm.--:D

... mao...oeüË

È... ËmËm - ...ËOEÜËm Ë5ËÈ

m--=o_z=uup>_ooe m::<--SOu ...u=°vzcu ' SESSION 2009 A MPPIOOS CONCOURS (0MMUNS POlYÏE(HNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP PHYSIQUE 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées *** NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. MÉCANIQUE Ce problème traite des mouvements d'oscillation de deux solides simples, mouvements pouvant être couplés. Il est à noter que les parties 1 et 2 sont indépendantes. Le référentiel du laboratoire étant considéré comme galiléen, on lui associe un repère orthonormé direct O'OEyz et on note ë;, ê; , EUR? les vecteurs unitaires correspondants aux trois axes. L'axe O'y étant vertical orienté positivement vers le haut, le vecteur accélération dû a la pesanteur s'écrit ÿ = --gêy avec g = 10 m.s_2 . Partie 1 -- Oscillations dans le champ de pesanteur terrestre On considère une tige homogène, de masse m, de longueur 2L et de centre d'inertie G (les dimensions transversales de la tige sont négligeables devant L). Ultérieurement, le mouvement de ce solide va s'effectuer dans le plan vertical :cO'y (voir schéma n°1). Soit un point 0 appartenant à la tige tel que OG = EUR < L. On note GZ un axe passant par G, perpendiculaire à la tige, orienté dans le sens du vecteur EUR ; de même, on note 02 un axe passant par O, perpendiculaire à la tige, orienté dans le sens du vecteur ë; . On donne le 2 . . . . . mL moment d'inertie du solide relat1vement à l'axe GZ, soet ] = T 1.1. Le moment d'inertie [O de la tige relativement à l'axe Oz peut se calculer a partir de la formule 10 = IG + mEUR2 (formule découlant du théorème de Huygens). On désire . 2 , . . obtenir ] = ----mIÎ , determ1ner la valeur du rapport ---- dans ce cas. Oec1 sera maintenu dans la suite du problème (partie 3). 1/10 1.2. Soumise à l'action de la pesanteur, la tige effectue des mouvements d'oscillation dans le plan æO'y, l'axe 02 étant maintenu horizontal et fixe, on repère sa position par l'angle 9 = 9(t). La liaison en 0 étant supposée parfaite, la réaction d'axe en 0 se limite a une force R agissant en O. Etablir les expressions de l'énergie cinétique EC et de l'énergie potentielle de pesanteur d9 E,, du solide en fonction de m, [' , (9, -------- et g. dt 1.3. Justifier le fait que l'énergie totale est constante au cours du mouvement ; en déduire l'équation différentielle pour la variable 9. 1.4. La tige étant lâchée sans vitesse initiale avec 9(0) = 90 = 0,1 rad ce qui correspond a des petits mouvements, simplifier puis résoudre l'équation obtenue à la question 1.3. ; en particulier, exprimer puis calculer la valeur de la pulsation du mouvement obtenu, pulsation notée a)1 . A.N. [: %Qm z 222 m y EUR 5 _. io e .A x 0' EUR. __+ EUR 8 C') CD Schéma n°1 Partie 2 -- Oscillateur harmonique Une plateforme--support, de masse M, de centre d'inertie O, est guidée de façon a ne pouvoir effectuer qu'un mouvement de translation suivant l'axe O'2: (voir schéma n°2). Elle comporte un évidement dont l'intérêt apparaîtra a la partie 3. La liaison guides--plateforme est supposée parfaite. Cette plateforme est solidaire de l'une des extrémités d'un ressort de raideur K, l'autre extrémité du ressort étant fixée au point O'. On repère la position de la plateforme par l'abscisse a: du point 0, soit 00 = OE(t).ê; . La longueur au repos du ressort étant 607 à. l'équilibre, cette abscisse vaut donc 5130 = 50 + d , 2d désignant la longueur de la 2/10 plateforme (voir schéma n°3). On écarte le point 0 de sa position d'équilibre d'une quantité X0 et on lâche la plateforme sans vitesse initiale. 2.1. On pose X = a: ----(ZO + d). Exprimer l'énergie potentielle emmagasinée par le ressort en fonction de K et X. dX 2.2. Exprimer l'énergie totale de la plateforme en fonction de K , M, X, ---- ; celle--ci étant constante au cours du mouvement, en déduire l'équation différentielle pour la variable X. 2.3. Déterminer l'expression de X en fonction du temps. Ressort ' Plateforme " O' -- , Guides Schéma n°2 Schéma n°3 3/10 Partie 3 -- Oscillations couplées La tige et la plateforme précédentes sont associées comme indiqué sur le schéma n°4. L'articulation en () étant supposée parfaite, on note R : TE; +Ncy, s'exerçant sur la tige. Les paramètres du problème sont comme précédemment X et 9, deux fonctions du tem 8. On notera ? et ? les deux vecteurs unitaires de la base 9 7 la réaction d'axe T' . . _. OG _. . _. . 7ï pola1re du plan vertical : c,, = --l-l--------, 69 se déduisant de e,. par une rotation de +--ï--2--rad. OG" . , , , . . _. . dQOG . _. _. , 3.1. Exprimer laccelerat10n de 0 suivant eæ, pu1s d 2 suivant 67. et 69 , en fonction t ------->

de X(t), 9(t) et de leurs dérivées ; en déduire les composantes du vecteur FG

---+

accélération de G, dans le référentiel du laboratoire, suivant e,, et EUR;.

3.2. Par application du théorème de la résultante cinétique a la tige, écrire 
les expressions

. d9 d26' d2X
de Net Ten fonction de m, g, EUR, EUR, --, ---ä--, --------2--.
dt dt dt
3.3. Déterminer l'expression du moment cinétique 55 de la barre, relativement 
au point
G, dans le référentiel du laboratoire.
, . d"oÎî . . . . d29
3.4. Ecrire dti et établir une relation liant la quantité ] G _d_tÎ et N, T, E, 
6'.
3.5. D'aprèsles questions 3.2. et 3.4., écrire une équation différentielle 
faisant intervenir
d29 d2X
--'--2--, 9 EURt _--Î--°
dt dt
3.6. Dans l'hypothèse des petits mouvements, montrer que l'équation obtenue à la
. . d29 d' X EUR .
question 3.5. peut s'écrire sous la forme : --C--i--2-- + a)12 9 : 
--a-----(ä£ä--L--)-- (équation I) où
t.

a est un coefficient dont on donnera l'expressmn.

3.7. Par application du théorème de la résultante cinétique a la plateforme, en 
projection

. . . . . d2X d9
sur l'axe des :IJ, écrire une équation différentielle faisant intervenir dt2 , 
X, 9, --C--i--t-- et
d29
dt2 '

3.8. Montrer que, dans l'hypothèse des petits mouvements, l'égalité obtenue 
peut se

d2 (X 2 X d29 .
__ +co----=-- ------- éuat10nIl.

Expliciter les expressions de la pulsation (0.2 et du coefficient ,Û .

mettre sous la forme :

3.9. On donne : m = 4,5 kg ; M= 1,5 kg ; K== 24 N.m".
Calculer les valeurs numériques de (022 et du produit a ,5 .

4/10

3.10. On recherche des solutions du système des équations l et Il sous la forme

X

6' =Acoth et Î=Bcoth où Q est une pulsation & priori inconnue, A et B
étant deux constantes réelles. Vérifier que les 2 valeurs de Q : x/Î rad.s_1 et
Q : 2\/ä rad.su1 sont possibles (pour ce calcul, on pourra prendre (01 = \/3 
rad.sm1 et

% =2rad.s--l).

3. 11. Montrer que:

9 : ê90 cos [fit] + ---2--90 cos lî2Jâ.t]

5 5
X 9
_E_ = 5660 (cos l\/î°t:l -- cos [2Jä.t])
Constituent une solution du système des équations I et Il, vérifiant les 
conditions
initiales ËÎ(0) = @, @@ = @... X(O) = @, ËË(0) = @.
dt dt
y
x(t)
: _
/ \
O 0 _...
er
Schéma n°4 G

5...

5/10

THERMODYNAMIQUE

Données générales :
-- Constante de Stefan-Boltzmarm : O' = 5,67 10----8 W.1rf2. K_4 .

-- Constante des gaz parfaits : R = 8,31J.moÎ1 .K"1.

On étudie, dans ce problème, un dispositif expérimental constitué d'un cylindre 
horizontal,
aux parois indéformables, de rayon intérieur 7int et de rayon extérieur Text' 
fermé de part
et d'autre par deux pistons de masses et d'épaisseurs négligeables (cf. figure 
1). Le cylindre
est fixe dans le référentiel du laboratoire et les pistons sont mobiles. Sur le 
piston gauche
noté "G est accroché un ressort de raideur kG relié a l'autre extrémité a un 
support fixe.

De la même façon, sur le piston droit noté 72'D est accroché un ressort de 
raideur kD relié a

l'autre extrémité a un support fixe. Un axe Oil: muni d'un vecteur unitaire eæ 
permet de

re érer les ositions a: et a: res ectivement des istons 7ï et 72' . Le ressort 
auche
p P C D p p G D %

----->

. 7 ' ° _-- __ _
exerce sur le piston n'a une force que l on peut ecrire sous la forme FG --- kg 
(336. æG,0)eoe

dans laquelle $C 0 représente l'abscisse a vide du piston 7rG (ressort au 
repos). De la même
façon, le ressort droit exerce sur le piston 7Z'D une force que l'on peut 
écrire sous la forme

------+
-------+

FD =--kD (:IJD --OED,O)6æ dans laquelle :L'D)0 représente l'abscisse a vide du 
piston "D

(ressort au repos). Pour toute la suite on pose L : £L'D 0 ---- $C 0 .

Les raideurs des ressorts sont réglables par l'utilisateur au travers d'un 
système non décrit,
sans pour autant modifier les abscisses a vide. Une résistance chauffante de 
volume et

capacité thermique négligeable permet d'apporter de l'énergie thermique au 
fluide qui se

trouve à. l'intérieur du cylindre.
On suppose qu'à l'équilibre mécanique du système, la pression est uniforme dans 
le

cylindre.
On supposera en outre dans toute la suite que les frottements lors du 
déplacement des

pistons sont totalement négligeables du point de vue énergétique.

Données numériques du problème :

-- L=O,4m,

-- 7int =0,05m,

- À=O,5W.m"'.K"',

- Pt =3OW,

_ 7=1747

- TW =300K,

- n =0,02mol,
g 4

--- pA =10 Pa,

_ k1 =500N.m_1,

- a=1,3,

- cv =500J.K"'.

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

6/10

1. Une première étude thermique

Dans cette partie les p1stons 72'G et "D sont respect1vement aux absc1sses 
OEG,O et 513070 et

les ressorts sont équivalents à des tiges rigides (les raideurs sont infinies). 
La résistance
chauffante apporte une puissance thermique constante P au gaz qui se trouve a 
l' intérieur

du cylindre. On admet que les pistons sont parfaitement calorifugés et que les 
échanges
thermiques ne se produisent que sur la surface latérale du cylindre comprise 
entre les

abscisses a: et a: On note T. et T respectivement les températures de la surface
G,O D,O int ext

intérieure et extérieure du cylindre.

' .
"'--""'" -------------------------------------------- > :--:--:--:--:
.\ \t'k

!
|__--
___-l
----I

l

----l

|__-. ----I
----l

:-:--:--:--:3 m...... -:--:--:--:

. - - - | :
::.--.: EUR : : ::.--:.:
----- | |

0 OEG OED d 51:

Fig. 1 -- Dispositif expérimental

1.1 Conducti0n thermique à travers la paroi du cylindre de longueur L

On note e- -- Text-- 7". l'épaisseur de la paroi du cylindre, et À la 
conductivité
int

thermique du matériau constituant le cylindre. On admet que les échanges
thermiques s'effectuent à. travers la paroi selon une géométrie radiale 
cylindrique. La
coordonnée 7" permet de repérer la distance entre un point quelconque et l'axe 
du
cylindre et on notee eT le vecteur unitaire correspondant. Le problème de 
conduction

thermique a travers la paroi du cylindre est donc unidimensionnel selon 7". On 
se
place en régime stationnaire.

1. Rappeler l'expression générale du vecteur densité surfac1que de flux 
thermique ;
donné par la loi de Fourier relative à. la conduction. Donner son unité et

commenter les différents termes.
2. On considère une surface cylindrique (ST) de rayon 7' (compris entre 7int et 
Text)

et de longueur L, orientée selon ë: . Que peut--on dire du flux thermique CDU") 
à.
travers (ST) en régime stationnaire ? Comment se relie--t--il à. Pt ?

3. Donner l'expression de CD(7") en fonction des grandeurs 7', L, dT/ d?" et des

constantes du problème.

4. En intégrant l'expression de dT / dr obtenue avec le flux thermique, 
exprimer la
résistance thermique de conduction RCOH d en fonction des grandeurs 7int' Text 
, L et
des constantes du problème. On utilisera cette expression dans toute la suite 
(et

pas l'approximation de la question suivante).
5. Montrer que si 6 << 'Ênt (par un développement au premier ordre) l'expression de la résistance thermique de conduction se ramène à. celle d'une plaque plane de surface a préciser. 7/10 1.2 Échanges radiatifs entre le cylindre de longueur L et le milieu extérieur On suppose que la surface extérieure du cylindre peut être assimilée du point de vue radiatif a une surface noire : son comportement radiatif est identique a celui d'un corps noir isotherme a la température TX .On admet que les murs de la pièce qui englobent le cylindre peuvent être assimilés à un corps noir de température unique notée Tmur. On admet aussi que le cylindre 11 'échange de l'énergie sous forme de rayonnement qu'avec les murs de la pièce. 1. Donner l'expression du flux radiatif émis (De par le cylindre en fonction de L7" TEUR ' ext' xt 2. On note (Da le flux radiatif émis par le mur et absorbé par le cylindre. Exprimer le flux net d'énergie (®net = CDC -- (Da) échangé par rayonnement entre le cylindre et les murs de la pièce en fonction de L,7'ex ,mTEURXt,Tu ur et des constantes du problème. 3. On pose Text : Tmur + EUR. Dans le cas où 8 << Text, donner (par un développement au premier ordre autour de Tmur) une expression approchée du flux net radiatif de la question précédente. En déduire l'expression de la résistance thermique radiative R rad ' Pour la suite on supposera que l'hypothèse de linéarisation est toujours valable (sauf indication contraire) et on pourra utiliser l'expression de la résistance thermique radiative. et des constantes du problème. 1.3 Température de surface On a créé un vide suffisamment poussé dans la pièce qui englobe le cylindre pour que les échanges convectifs sur la surface extérieure du cylindre puisse être totalement négligés. 1. Classer par ordre croissant les températures Tin ,Text et Tmur. Justifier votre réponse. 2. On cherche à. analyser la dépendance des températures Tim: et TeXt en fonction de la géométrie du cylindre (Tin et Text ). (a) Donner l'expression de la température T. en fonction des grandeurs r , r , 1nt mt ea:t L,PÏ,,Tmur et des constantes du problème en utilisant la résistance thermique radiative et conductive. (b) Montrer que si ?"th est inférieur à un rayon 7: existe une valeur 7" . de 7° cr1t ext physiquement ce phénomène. (c) Apphcat10ns numer1ques : vérifier que l'on a bien ri nt < 7°int max. rcrit comme valeur de Text calculer RC ond et Brad .Oalbuler Tin et Text. (d) On cherche à. déterminer les conditions que doivent vérifier les paramètres contrôlables du problème P et Tmu pour satisfaire à l'hypothèse 8 << TEURXt i. Exprimer Tin en fonction de11 7: nt, Text, L,PÉ,Tmur et des constantes du problème sans utiliser l'hypothèse de linéarisation du flux net d'énergie échangé par rayonnement. ii. Quelle condition le rapport Pt / TÊmr doit-il satisfaire pour retrouver l'expression de la question 1.3.2.a ? iii. Expliquer physiquement cette condition. que l'on déterminera il 1,mnt ' indépendante de P qui minimise Tim. Justifier En prenant 8/10 1 .4 Régime variable On admet l'hypothèse précédente, et donc l'expression linéarisée du flux net radiatif. On va étudier dans cette question l'évolution du système lorsque l'on interrompt l'apport d'énergie par la résistance électrique. Pour cela, on suppose que la paroi du cylindre est suffisamment fine de sorte que les températures Tint et Text puissent être confondues (hypothèse plaque mince). On admet en outre que la température T3 (t) du gaz est uniforme a chaque instant et identique a celle du cylindre. La capacité thermique à. volume constant du système total Cv est supposée constante. A l'instant t = 0, on coupe l'apport en énergie (Pt = 0), la température du système vaut alors TO . 1. Relier le taux de variation dU / dt d'énergie interne du système au flux net CDnet échangé par rayonnement entre le cylindre et les murs. 2. Trouver en le justifiant une relation entre dU / dt et dTg (t) / dt. 3. Ecrire l'équation différentielle à. laquelle obéit T8 (25). 4. En déduire l'expression de 11 (t). Exprimer littéralement puis calculer numériquement la constante de temps du processus (on prendra 7" 2571 pour ext mt l'application numérique). 2. Etude d'un gaz parfait Dans cette partie du problème, le cylindre (Fig. 1, page 7) contient ng mole de gaz assimilable à un gaz parfait de rapport des capacités thermiques ]/. A l'extérieur du cylindre, on a créé un vide suffisamment poussé, de sorte qu'il n'y ait pas de forces de pression liées à l'atmosphère extérieure au cylindre. Les parois du cylindre et des pistons sont parfaitement calorifugées. 2.1 Ressorts identiques : kD : kG : k1 Les raideurs des deux ressorts sont réglées identiquement a une valeur noté 161. La résistance chauffante n'est pas alimentée électriquement. Le dispositif expérimental est dans l'état d'équilibre noté A. Le gaz a l'intérieur du piston est a la pression pA 0011111163. 1. Par un bilan de forces sur chacun des pistons, exprimer les positions d'équilibre OEG, A et OED7 A respectivement des pistons 7rG et 72'D, en fonction de p A et des constantes du problème. 2. En déduire l'expression du volume VA occupé par le gaz en fonction de p A et des constantes du problème. Calculer VA' 3. Exprimer littéralement puis calculer numériquement la température T A du gaz. 4. On alimente électriquement la résistance chauffante pendant une durée déterminée, qui apporte au gaz l'énergie Q1 sous forme de chaleur. Le gaz atteint alors un nouvel état d'équilibre noté B. Le volume final occupé par le gaz est mesuré et vaut VB = aVA, avec a > 1.

(a) Exprimer les positions d'équilibre a:G7 B et "'D,Bî respectives des pistons 
72'G et
"D? en fonction de VA et des constantes du problème (on pourra en particulier
exploiter les symétries du problème). Calculer VB .

9/10

(b) Exprimer la pression pB du gaz dans l'état B en fonction de pA et des

constantes du problème. Calculer p B .

(c) Calculer la température TB du gaz dans l'état B.
(d) Exprimer la quantité d'énergie échangée par transfert mécanique (travail) 
par
le gaz (WA--+8) au cours de la transformation en fonction de pA, p B et les

constantes du problème. Calculer W A _» B'

(e) Exprimer @1 en fonction de pA, pB, TA, TB et des constantes du problème.
Calculer Q1°

(f) Exprimer la variation d'entropie du gaz AS A B en fonction de pA, pB, TA, TB
et des constantes du problème. Calculer AS A E'

2.2 Ressorts distincts : kD = la", et % = 21EUR,
Le dispositif expérimental étant dans l'état d'équilibre B, on modifie 
instantanément

la raideur du ressort gauche tel que kG : 2k1. Ceci a pour conséquence de 
modifier
instantanément la force qu'exerce le ressort gauche sur le piston gauche. La 
raideur

du ressort droit est inchangée (kD : lq). On suppose que le gaz atteint un 
nouvel état
d'équilibre noté C (pas d'oscillaticns permanentes). On note 556,0 et £ED,C les
nouvelles positions d'équilibre respectivement des pistons "G et fil). On 
admettra
que 336,0 > OEG78 et OED,C > OED,B°

L'objectif des questions qui suivent est de déterminer la pression pC de l'état

d'équilibre C .

1. Montrer qu'à. l'équilibre, le volume occupé par le gaz VO et la pression du 
gaz sont
reliés par une relation du type VC : ,Ô'pC + VD dans laquelle ,5 et VO sont des

constantes que l'on déterminera.
2. Exprimer la variation d'énergie interne du gaz AUBC entre les états B et C en

fonction des variables d'états correspondant à l'équilibre B, des constantes du

problème et de pc .
3. Exprimer la quantité d'énergie échangée par transfert mécanique (travail) 
par le

gaz (WB--m') au cours de la transformation en fonction des variables d'états

correspondant a l'équilibre B , des constantes du problème et de po (pour cela, 
on
exprimera séparément le travail dû au piston gauche et le travail dû au piston
droit).

4. En utilisant les résultats des questions précédentes, montrer que pc est 
solution

d'une équation de la forme apâ. +pr +c = 0 dans laquelle a, b et c sont des
constantes. Donner les expressions de a, b et c en fonction des variables 
d'états

correspondant à l'équilibre B et des constantes du problème.

Fin de l'énoncé.

10/10