CCINP Physique 1 MP 2013

m@mm--OZ N--Zæ Ëww38

_,- OOZOOCIOE OOE=SCZOE
V0r 2 !
relat1vement a un axe (02,62), J2 = lOkg.m . Lorsque la moto se deplace, les 
deux roues en
contact avec la chaussée supposée horizontale, les points de contact des roues 
avant et arrière sont
notés ]1 et I,. Les réactions du sol sur les roues sont respectivement 931 
=Tlêx +Nlêy et

_»

ER, = T ,êx + N 2êy. Le coefficient de frottement des roues sur le sol est f = 
0,8 ; il ne sera pas fait

de distinction entre le coefficient de frottement statique et le coefficient de 
frottement dynamique. A
un instant donné quelconque, la vitesse instantanée de l'ensemble est 17 = v.ëx 
(on se limitera au cas

v > 0). De même, on note @@ et w,êz, les vitesses de rotation instantanées des 
roues avant et
arrière.

On supposera toujours que les roues roulent sans glisser sur le sol. De plus, 
pour les questions allant
de 1.1 à 1.14, on négligera l'action de l'air ambiant sur la moto et son 
conducteur (il peut s'agir, par
exemple, d'une phase de démarrage pour laquelle la vitesse n'est pas élevée).

A y
iË Roue arrière Roue avant
\
G
A
@ h

ey 0 , x_
-- 1 i 11 g '
ex ' 5 d, d, :

Figure 1 : vue dans le plan vertical x0y
2/13

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

1.10

1.11

Ecrire les relations de non glissement des roues sur le sol ; en déduire les 
expressions de 501 et

(:)2 en fonct10n de v, '"1» 73.

On note 61 (01) et &, (O2 ), les moments cinétiques en 01 et 02 des roues avant 
et arrière (il
s'agit de moments pour un observateur du repère Oxyz ). Donner les expressions 
de 61 (01) et
62 (O,) en fonction de J], @, J2, a)2.

Montrer que le moment cinétique â(G) de l'ensemble moto + conducteur 
relativement au

point G, moment pour un observateur du repère Oxyz, se limite à la somme des 
moments
précédents (on pourra utiliser le théorème de Koenig faisant référence au repère
barycentrique).

En utilisant le théorème de la résultante dynamique, donner deux expressions @ 
et @ liant
N1, N2» T1, T2, M, g, v (accélération instantanée).

En utilisant le théorème du moment cinétique, donner une expression @ liant N1, 
N2» T1, T2
et h, dl, d2, Jl, ïi, J2, 7/2, '>-

En appliquant le théorème du moment cinétique à la roue avant, établir une 
relation @ entre
Tl, J1, '"1» v (il est à noter que l'articulation de cette roue sur le reste de 
la moto est supposée

parfaite et que cette roue n'est soumise à aucun couple).

A partir des relations obtenues, écrire N1, N2» T1, T2 en fonction de v.
. \> ,
Pour une accéléraüon telle que -- = 0,1, montrer que les roues ne decollent pas 
du sol.

De même, montrer qu'il n'y a pas glissement sur le sol, pour cette accélération.

Le moteur exerce un couple sur la roue arrière noté Î.ëZ (P < 0 puisqu'il s'agit du couple moteur; il n'y a pas de couple exercé sur la roue arrière). Par application du moment cinétique à la roue arrière, expliciter la relation liant le couple et l'accélération. On suppose le couple constant, ce qui correspond à une accélération constante. Exprimer la puissance instantanée G? transmise par le moteur àla roue arrière motrice. Pour les questions 1.12 à 1.14, on suppose que le pilote parvient à soulever du sol la roue avant de son véhicule et on notera 9 l'angle d'inclinaison de 0102 par rapport à l'horizontale (voir figures 2 et 3, page 4). 3/13 Roue avant # Roue arrière Figure 2 : moto inclinée de 9 par rapport à l'horizontale Figure 3 : détail du point de contact 1.12 En supposant négligeable la vitesse de rotation de la roue avant, exprimer le moment cinétique en G de l'ensemble (il s'agit du moment cinétique pour un observateur du repère Oxyz ). 1.13 Déterminer le moment en G des forces s'appliquant à l'ensemble moto + conducteur. 1.14 D'après les deux questions précédentes, donner une équation permettant le calcul de l'angle 19. Donner la valeur numérique de cet angle, pour 1 = O, 2 en utilisant le graphe de la figure 4. 150 ï Moment / G pour 1 = 0,2 / 100 ÿ--<_ g / exprimé en N.m 50 * 10 * 12 14 16 18 / 20 + 22 24 * / / , -- / 9 en degres -50 * /// -100 Figure 4 : moment / G des forces appliquées à l'ensemble moto + conducteur en fonction de 9 4/13 1.15 A partir de cette question, on suppose que la moto roule de nouveau sur ses deux roues, le moteur exerçant un couple constant sur la seule roue arrière, couple noté Î.ëZ (P < 0). Comme on s'intéresse à une phase où la vitesse v peut être plus grande que celles des questions précédentes, il est maintenant nécessaire d'introduire une force supplémentaire de . \ . , . "' 2_, fremage, due a l'env1ronnement de l'ensemble. Cette force s'ecr1ra F = --kv ex et l'on supposera, pour simplifier, que sa ligne d'action horizontale passe par le point G. Etablir l'équation différentielle pour v (reprendre les équations @ à @ et tenir compte de la force Ë ), équation @. 1.16 Montrer qu'il existe, pour la vitesse v, une valeur limite "; dont on donnera l'expression en fonction du couple et des autres paramètres. , . , . . 2 2 , . 1.17 Montrer que l'equat10n @ peut s'ecr1re sous la forme v+a.v =a.v, . On prec1sera l'expression de la constante a en fonction de k,M , J1, J2, rl, @. 1.18 En supposant que la vitesse est nulle à l'instant t= O, établir la solution de l'équation "! précédente. Pour cela, on pourra introduire le changement de fonction suivant : u = . v -- v 1 PARTIE 2 -- Point matériel dans un fluide Il s'agit de l'étude du mouvement d'un point matériel se déplaçant dans un fluide. Soit 9% un premier référentiel galiléen auquel est associé un repère orthonormé direct d'axes OX, OY, OZ. Les vecteurs unitaires associés à ces axes sont notés Ëx,Ëy ,ËZ . Ce repère lié à la Terre est considéré comme fixe. L'axe OZ est vertical ascendant, l'accélération due à la pesanteur sera notée â = --gEz- Soit 9% ' un second référentiel auquel est associé un repère orthonormé direct d'axes Ox, Oy, 02. Les vecteurs unitaires associés à ces axes sont notés êx,êy,êZ. Ce second repère mobile effectue un mouvement de rotation uniforme relativement à ER. Les axes 02 et OZ coïncident et l'on posera (ËX,ëx) = w.t où a), la vitesse de rotation, est supposée constante (voir figures Sa et b, page 6). Un récipient lié à 9% ', figuré en pointillés, renferme un volume fluide supposé au repos relativement à ER ', la masse volumique du fluide étant notée p. Une particule pesante, de masse m et de masse volumique p, se déplace au sein du fluide sous l'action de son poids, d'une force F (et par la suite d'une force supplémentaire). On suppose que la __ __ --) force F s'écrit sous la forme F = --k.Op +£.m.g.ê, , avec k = £.m.w2, une constante positive et Ps PS 19 désignant la projection du point P sur le plan horizontal (cette force est la résultante des forces de pression s'exerçant sur la particule). Par la suite, seul le cas & >l sera 
considéré. On repère la

Ps
position de P par ses coordonnées X, Y, Z (relativement à ER ) ou x, y, z 
(relativement à ER ').

5/13

2.1

2.2

2.2.1

2.2.2

2.3

__,___________
- \-
-,_, \-_

,
_

,,
_,--

_. P y
g . X
__________________ /y
' _ 0 Y
\ «| {EUR./'
X w.t x
Figure Sa : vue dans l'espace Figure 5b : vue dans le plan horizontal

Etablir les trois équations différentielles du mouvement de P pour un 
observateur de 9% , c'est-
à-dire pour les variables X, Y et Z, fonctions du temps (équations I, II et 
III). Donner la
solution générale des équations différentielles I et II et préciser la nature 
de la trajectoire du
point 19, trajectoire vue de ER.

Etude de quelques cas particuliers

Dans le cas des conditions initiales suivantes :
X(O) = XO, X(O) = 0, Y (0) = O, Y (O) = XO \/Ê , préciser la nature de la 
trajectoire du point 19
m

(trajectoire dans ER) ainsi que la vitesse angulaire de parcours sur cette 
courbe. Indiquer la
nature de cette même trajectoire vue de 9% ' ainsi que la vitesse angulaire de 
parcours.

Pour les conditions initiales suivantes :
X (0) = X 09 X(O) = U , Y (0) = O, Y (O) = 0 , établir les solutions de I et II 
; préciser la nature

de la trajectoire vue de ER.

A partir de maintenant, on va tenir compte d'une force supplémentaire E,, 
trouvant son

origine dans la viscosité du fluide. Cette force s'écrit FV = --,uÿ, où ,a 
désigne une constante
positive, 17, étant la vitesse de P par rapport à 9% '. On va maintenant 
déterminer les équations

différentielles du mouvement pour un observateur de 9% ', c'est-à-dire pour les 
variables x, y
et 2, fonctions du temps. Exprimer, suivant ë ê ê les vecteurs ZI}, Zic, âe , 
respectivement

x? y? z)

accélération relative, de Coriolis et d'entraînement du point P.

6/13

2.4

2.5

2.6

En utilisant les résultats de la question 2.3, établir les équations 
différentielles du mouvement
pour x et y (équations IV et V).

Des solutions approchées de ces équations IV et V peuvent être obtenues en 
supposant

l'accélération de Coriolis négligeable devant l'accélération d'entrainement. 
Etablir les
expressions de x et y en fonction du temps. Pour simplifier l'écriture, on 
pourra poser

k ' \ ° ! r ! ° ! ° \
Q = ,/-- -- 502 et 2£ = xl , cette dern1ere quant1te etant supposee 1nfer1eure 
a Q.
m m

Pour l --> +oo , quelle est la position dep ?

7/13

THERMODYNAMIQUE

Bilan thermique d'une maison climatisée

Ce problème se compose de deux parties. La première partie, indépendante de la 
seconde, porte sur
une étude du double vitrage. Dans cette première partie, beaucoup de questions 
ne dépendent pas
des précédentes. Nous analysons l'intérêt d'utiliser 2 vitres ainsi que les 
solutions technologiques
actuellement employées pour réduire les pertes thermiques. La seconde partie 
aborde le
fonctionnement du climatiseur d'un point de vue très général puis le bilan 
thermique d'une maison
climatisée en présence d'air sec.

Données du problème :
Constante de Stefan : a = 5,67 >< 10_8 W.m_2.K_4. Constante des gaz parfaits : R = 8,315 J.mol_l.K_l. PARTIE 3 -- Comparaison des fenêtres à double vitrage On suppose qu'un corps noir au fond d'une cavité est éclairé par le soleil. L'ensemble du problème sera unidimensionnel. Le corps noir ne rayonne que d'un côté. Une fenêtre est interposée entre le soleil et le corps noir comme représenté sur la figure 6. SOIGH Fenêtre lsolant thermique ., Corps sans rôle noir 7 * Figure 6 : corps noir recouvert d'une vitre éclairé par un rayonnement solaire Dans cette partie, le corps noir sera supposé parfait, absorbant l'intégralité du rayonnement incident et réémettant tout le rayonnement absorbé. Toutes les vitres sont en verre que l'on suppose parfaitement transparent au rayonnement solaire et se comportant comme un corps noir dans l'infrarouge lointain. Dans cette partie du problème, on supposera que le flux surfacique solaire incident ç0S , normal au corps noir, est égal à 1000 W.m_2 . 3.1 Questions préliminaires 3.1.1 Donner la loi du déplacement de Wien reliant la température du corps noir TCN et la longueur d'onde Âm du maximum d'émission du corps noir en um. 8/13 3.1.2 3.1.3 Indiquer dans quel domaine spectral émet un corps noir chauffé à 300K et à 5800K (température du soleil). Le verre est globalement transparent pour le rayonnement solaire (le soleil émet dans le visible) et se comporte comme un corps noir dans l'infrarouge lointain (issu des corps à température ambiante). Sachant que 95 % du rayonnement d'un corps noir est concentré entre 0,5 Â... et 8 À..., déterminer la longueur d'onde approximative à laquelle le verre change de comportement. Les constructeurs en fonction du type de verre donnent 3 - 4 um. 3.2 Comparaison du simple et du double vitrage 3.2.1 3.2.2 La fenêtre est composée d'une simple vitre (température 111 ). A partir d'un bilan radiatif et sans tenir compte de la présence d'air, déterminer la température du corps noir TCNa en régime stationnaire. Effectuer l'application numérique pour T CNC, (gas = 1000 W.m_2 ). La fenêtre est maintenant composée d'un double vitrage. La vitre extérieure est à la température TV1 et la vitre face au corps noir à la température TV2. A partir d'un bilan radiatif et sans tenir compte de la présence d'air, déterminer la température du corps noir T CN,, en regime stat10nna1re. Effectuer l'application numérique pour T CN,, (gps = 1000 W.m_2 ). On cherche maintenant une durée caractéristique de la décroissance de la température pour les différentes fenêtres. On ne tient toujours pas compte de l'air. On suppose que le corps noir est à la température de T = 333K à t = Os , qu'il rayonne et se refroidit. Il ne reçoit plus de rayonnement solaire. Sachant que le corps noir a une capacité thermique C = 104 HC1 , une surface A de lm2 et que la capacité thermique des vitres est négligeable : 3.2.3 3.2.4 Déterminer la durée Ta pour que le corps noir soit à une température de T1 = 300K pour le simple vitrage. Effectuer l'application numérique et donner cette durée en minutes et secondes. Déterminer la durée Tb pour que le corps noir soit à une température de T1 = 300K pour le double vitrage. Exprimer Tb en fonction de Ta. L'application numérique n'est pas demandée. 3.3 Amélioration par métallisation externe 3.3.1 Sur la face la plus externe du double vitrage à la température TV1 , est déposée une fine couche métallique ou un revêtement à faible émission thermique. On suppose que cette couche transmet intégralement le flux solaire et réduit de moitié l'émission de cette face. En ! ! ° - , - . 1 4 consequence, on devra ecr1re que le flux surfac1que émis par la v1tre vaut ça = îO'T pour la face métallisée et ça = 0'T4 pour la face non métallisée. A partir d'un bilan radiatif et sans tenir compte de la présence d'air, déterminer la température T CNC du corps noir. La 9/13 température de la vitre face au corps noir est notée Tv2. Effectuer l'application numérique pour T CNC (gps = 1000 W.m_2 ). 3.3.2 Déterminer la durée caractéristique TC de la décroissance de la température pour passer de T2 = 333K à T1 = 300K pour cette fenêtre. Comme précédemment, on suppose que le corps noir ne reçoit plus de rayonnement solaire, qu'il a une capacité thermique C = 104 J .K_1 , une surface A de lm2 et que la capacité thermique des vitres est négligeable. Exprimer TC en fonction de Ta. L'application numérique n'est pas demandée. 3.4 Prise en compte des échanges diffusifs dans le double vitrage On prend en compte, dans un premier temps, les échanges de type diffusif dus à un gaz uniquement entre les deux vitres. Dans le cadre d'un modèle microscopique, on considère que les molécules se déplacent à la vitesse quadratique moyenne identique v* suivant trois directions et pour chaque direction suivant deux sens (isotropie de la distribution des vitesses). 3.4.1 Trouver, dans le cadre de ce modèle simplifié du gaz parfait en équilibre thermodynamique interne, la relation entre la pression [9 et la vitesse v*. 3.4.2 A partir de l'équation d'état du gaz parfait, retrouver l'expression suivante de la vitesse v* en fonction de la température T : .. /3RT V = _ M où R est la constante des gaz parfaits et M la masse molaire du gaz considéré. On suppose maintenant, qu'à une échelle d'espace plus grande, les molécules subissent des chocs caractérisés par une section efficace, a, que l'on suppose constante en fonction de la pression et de la température. La conductivité thermique peut s'écrire : _ 1 c V.,. 3\/î a où 6 est la capacité thermique constante d'une molécule et v* la vitesse quadratique moyenne obtenue à la question précédente. 3.4.3 Est-ce que la conductivité thermique /1 varie avec la pression ? Et avec la température ? Tvl Tv2 Température Température extérieure intérieure 303 K 293 K L Figure 7 : vitres composant le double vitrage 10/ 13 Dans les doubles vitrages, le constructeur vante le remplacement de la lame d'air emprisonnée entre les deux vitres par de l'argon. A pression atmosphérique et à 273 K, la conductivité thermique de l'argon vaut 0, 0177 W.m_l.K_1 alors que pour l'air, elle s'élève à 0, 0240 W.m_l.K_l. La résistance thermique est définie par : où AT = 71,1 --Tv2 est la différence de températures entre les deux thermostats entre lesquelles s'échange un flux énergétique CD (en W). La température intérieure est de 293 K et la température extérieure de 303 K comme indiqué sur la figure 7. 3.4.4 Exprimer R:}; en fonction de la surface A de chaque vitre, de la distance entre les deux thermostats L et de la conductivité thermique xl. 3.4.5 Donner l'analogie entre les grandeurs thermiques (RÎh,AT,CD) et les grandeurs électriques dans un tableau en spécifiant, pour chaque grandeur, l'unité. 3.4.6 Les vitres séparées par l'air sont distantes de d = lcm. Quelle distance L permet d'avoir la même résistance thermique avec de l'argon ? La différence vous parait-elle importante ? On suppose une faible différence de température (linéarisation du problème) et l'on prend en considération (1) la conductivité thermique et (2) le rayonnement entre les deux vitres. 3.4.7 Ecrire le flux énergétique entre la vitre l et la vitre 2 en fonction des données du problème (surface A, distance L entre les vitres, températures des vitres Tv1 et Tv2 , conductivité xl et constante de Stephan 0 ). Linéariser cette expression sachant que : 4 rfi --T.îä =[T.. +(T.. --T..)] --T.fä z(n1--22)x4nä . 3.4.8 Que vaut la résistance thermique pour la lame d'air (L vaut alors d = lcm) sans le rayonnement (R lhs) et avec le rayonnement (RW) ? Effectuer l'application numérique. On prendra une surface A = lm2. Est-ce que la contribution du rayonnement est importante ? Remarque : il est courant que la métallisation ou une couche à faible émission thermique soit située sur une des faces internes. 3.4.9 Entre une lame d'air et une lame d'argon, la différence est un peu plus grande que celle que l'on a calculée. De plus, si l'espacement entre les vitres est supérieur à 1,2 cm, la résistance thermique ne varie plus. Quel phénomène de transport thermique permet d'expliquer ces observations ? 11/13 3.4.10 Le coefficient de transfert thermique U d'une fenêtre, exprimé en W.m_2.K_l, est défini comme l'inverse du produit de la résistance thermique de l'objet et de sa surface A. Il vaut pour les différents types de fenêtres : Système Fenêtre U (W.m_2.K_l) I Simple vitrage 5,8 Il Double vitrage ordinaire 2,8 III Double vitrage avec métallisation 1,9 IV Double vitrage avec métallisation et argon 1,1 V Triple vitrage avec métallisation et argon 0,8 Pour référence, les murs ont typiquement un coefficient de transfert thermique de 0,5W.m_2.K_1. Analyser l'importance du nombre de vitres à partir du tableau ci-dessus et des questions précédentes. Justifier que l'on installe majoritairement des fenêtres en double vitrage. PARTIE 4 -- Bilan thermique d'une maison climatisée en été On considère une maison et sa climatisation. La température extérieure est de Tc = 303K. La température intérieure est de T F = 293K. L'ensemble mur--fenétre reçoit un flux net (radiatif-- convectif-diffusif) de +1000W. La maison est équipée d'une climatisation idéale. Sur chaque cycle, le fluide circulant dans l'installation reçoit un transfert thermique Qc à la source chaude, un transfert thermique QF àla source froide et un travail W. Dans toute cette partie, on admettra que la conversion électromécanique du compresseur (moteur servant lors de la compression) a un rendement unité. 4.1 Maison sans circulation d'air 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 A partir du premier principe, exprimer le travail W en fonction du transfert thermique avec la source chaude Qc et froide QF . A partir du second principe en supposant une machine de Carnot, donner l'expression de QF en fonction de QC,TC et TF. Déterminer le coefficient de performance (COP) du climatiseur idéal modélisé comme une machine de Carnot fonctionnant en récepteur. Effectuer l'application numérique. Quelle puissance électrique est nécessaire pour maintenir la température interne de la maison à 293 K avec cette machine de Carnot ? Rappel : le moteur est idéal, sans perte, convertissant l'intégralité de la puissance électrique reçue en puissance mécanique. 12/13 4.1.5 La machine réelle utilisée pour la climatisation de la maison a un COP de 3. En déduire la puissance électrique nécessaire pour maintenir la température interne de la maison à 293 K. 4.2 Prise en compte de la circulation d'air sec Dans une maison de 100 m2 , le débit volumique d'air entrant mesuré à l'extérieur vaut 100 m3 .h_1. L'air chaud entrant est directement en contact avec la climatisation. La température à l'intérieur de la maison est homogène. L'air entrant est à la même pression que l'air sortant. On prendra : p = 1,00 >< 105 Pa, Mair = 0,0289kg.moÎ1 et c = 1005 J.kg"'.K"'. p,air , . . , . . . dx _ L au sera traite comme un gaz parfait. Dans la suite, on adoptera la notation : -- = x. 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.2.5 dt Ecrire le bilan des débits massiques (on notera n'a V,ai,,e le débit massique d'air entrant et n'aV al.,, S le débit massique d'air sortant). Déterminer la valeur numérique du débit massique 1 entrant en g.s_ . La température de référence sera la température extérieure Tai, = 303 K. Ecrire le premier principe et en déduire l'expression du transfert thermique reçu par l'air entrant 5Qaim en fonction des paramètres du problème dont font partie le débit massique mV,air,e et la différence de température Tc --TF. Dans le cas d'un système ouvert, on rappelle que la variation d'enthalpie dH = C pdT est reliée au transfert thermique 5Q et au travail utile 5Wu = Vdp par: dH=5W,+5Q. En déduire la puissance thermique QF reçue par le fluide de la climatisation nécessaire pour refroidir cet air. Effectuer l'application numérique. Quelle puissance électrique est maintenant nécessaire pour maintenir la température interne de la maison ensoleillée à 293K avec la climatisation réelle (COP = 3) ? En présence d'air humide saturé (air + vapeur d'eau dont la pression partielle est égale à la pression de vapeur saturante), la puissance thermique QF trouvée à la question 4.2.3 passe à 1290 W. A quel phénomène physique est associée cette augmentation sachant que la pression de vapeur saturante de l'eau vaut 4246 Pa à 303K et 2339 Pa à 293K ? Fin de l'énoncé. 13/13