CCINP Physique MP 2016

SESSION 2016

MPPH008

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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP!
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PHYSIQUE
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Vendredi 6 mai : 8 h - 12 h!
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N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de
!
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d'énoncé, il le
!
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
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qu'il a été amené à prendre.!
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Les calculatrices sont autorisées
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Les trois parties du sujet peuvent être traitées de manière indépendante les 
unes des autres, même
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sil y a entre elles un fil conducteur. A lintérieur de chaque partie, de 
nombreuses questions sont
! aussi indépendantes les unes des autres. Le candidat peut utiliser une 
formule donnée dans lénoncé,
! sans lavoir démontrée, pour résoudre la suite du problème.
!
!
! Des réponses claires, précises, exposées avec rigueur, des formulations 
homogènes et des
! !""#$%!&$'()* (+,-.$/+0)* )+$1$0)* 23+(0* +($&-* 0&* %',"'.&!(&* #0* 4'(* 
(',4.0* 20* %5$66.0)* )$7($6$%!&$6)*
! sont attendues.
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1/8

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Physique des ondes et particules associées
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Dans ce problème, nous étudierons quelques propriétés dondes en utilisant des 
fonctions dondes
mais aussi quelques propriétés des corpuscules associés comme les photons, les 
phonons et les
électrons. Nous étudierons en particulier deux types de cavité : un 
interféromètre et un puits
quantique.
Données ou formules nécessaires :
-

constante de Planck h = 6,6.10-34 J.s (on note!!!la quantité h/2"#= 1,05.10-34 
J.s)#
constante de Boltzmann kB = 1,4.10-23 J.K-1
nombre dAvogadro NA = 6,0.1023 mol-1
vitesse de la lumière dans le vide c = 3,0.108 m.s-1
charge élémentaire e = 1,6.10-19 C
masse de lélectron me = 9,1.10-31 kg
gammes de longueurs d'onde $ du spectre électromagnétique des différents 
rayonnements :
#

%!
! < 10 pm X UV 10 pm < $#< 100 nm# visible 100 nm < $#< 380 nm! ! / IR 780 nm < $#< 1 mm# radio 1 mm < $! / - intégration par parties &. '( )* + ,'( *-/. 0 &. *( )' - formules trigonométriques 6 6 9 3789 5 123 5 ! I.!Dualité onde-corpuscule Ondes électromagnétiques @A dune onde! I.1. Rappeler quels sont les liens entre la pulsation! !" #$" %#" &#'$#()" *+,-*#" ? électromagnétique et les caractéristiques de la particule associée, le photon. I.2. Quels sont les ordres de grandeur de lénergie, exprimée en eV, dun photon visible et dun photon X qui est diffracté par les réseaux cristallins ? I.3. Pour un photon qui se propage dans un milieu dindice n, justifier pourquoi sa quantité de CD mouvement (impulsion) vaut en norme!B + E .!! F ! Ondes de matière I.4. Donner le vecteur donde et la pulsation de londe associée à une particule non relativiste HI dénergie E et de quantité de mouvement!BA + G HJ !=@@@A.! I I.5. I.5.a. Etablir la longueur donde associée à un électron, initialement immobile, non relativiste, accéléré avec une différence de potentiel U. I.5.b. Déterminer la valeur de U, pour laquelle on obtiendrait la même longueur donde que celle dun photon X de $#= 0,1 nm.!! 2/8 I.6. Un électron, qui assure la conduction métallique, doit-il être considéré comme quantique ? On considère que le réseau cristallin est caractérisé par un paramètre de maille a de lordre de 10-10m et que les électrons libres ont une vitesse due à lagitation thermique. On se placera à 300 K. I.7. Pouvez-vous citer les noms de 3 physiciens qui se sont illustrés par leur contribution en physique quantique ? Placer leurs travaux par ordre chronologique. Diffusion Brillouin I.8. Une onde sonore monochromatique se décrit, comme toute onde, au moyen *+(-#".(%/0$1,-"!" @A .!On lui associe une particule appelée phonon. et dun vecteur donde ? @@@A du phonon associé à une onde acoustique de I.8.a. Donner la quantité de mouvement K# M @A + L* 2)34(#-'#" 56" qui se propage dans leau avec une célérité! L @A + N * @A,! * @A! étant le vecteur unitaire de la direction de propagation orienté dans le sens de la propagation. I.8.b. Donner lénergie ep de ce phonon. I.8.c. Evaluer numériquement!q =#O KA O!et ep (en eV), pour une fréquence sonore de 1,0 kHz et une vitesse de propagation V = 1,5 km.s-1. I.8.d. Comparer les caractéristiques de ce phonon avec celles dun photon du domaine visible. I.9. La diffusion Brillouin correspond à un choc entre une particule photon incident et une particule phonon avec annihilation du phonon et diffusion dun photon émergent. On suppose que le système est un système isolé. La situation des vecteurs quantités de mouvement avant et après le choc est représentée par les vecteurs de la figure 1 (a). Justifier pourquoi la quantité de mouvement se conserve dans un système isolé. Quelle autre grandeur est conservative ? Phonon incident Phonon émis !! !! Photon incident Photon incident Photon diffusé Photon diffusé (b) (a) Figure 1 - Vecteurs quantités de mouvement annihilation (a) ou création (b) !"#$%&'($($ à partir d'un photon incident I.10. On considère un phonon associé 7"%+,-*#"/,-,)#6"#-8#-*)3# *0-/"%+#0("%14(1*#6 qui se propage avec une célérité V = 1 525 m.s-1, à 50 °C9" :+1-*1'#" ,.$14(#" *#" %+#0(" &0($" ;6<<9" =-#" /,()'#" *#" %(>1?)#"%0/#)6"*#"%,-8(#()"*+,-*#!PQCR# + STUV#WG#et de fréquence!XQCR ,!arrive 
sur une cuve remplie
deau liquide juste saturante. La collision photon-phonon engendre un photon de 
longueur donde!
PYZ !(fréquence!XYZ ).
3/8

On observe le faisceau lumineux transmis dans la direction qui fait un angle 
!"avec la direction du
faisceau incident. Dans ce choc, le phonon de quantité de mouvement 
initiale"!""disparait. On peut
établir, à partir des lois de conservation précédemment citées et en tenant 
compte des ordres de
grandeur, que la quantité de mouvement du phonon vaut :
.
%&
+,- //0
!#$
$
'()*
I.10.a. En déduire le décalage en fréquence du photon"12 3 4 2 3 56 7 2()* "en 
fonction de"8inc#"
n, V"et"!."
I.10.b. Evaluer numériquement le décalage Brillouin dans la direction" !" = 
90°, pour leau
saturante à 50 °C, sous les deux formes suivantes :
i) absolu en fréquence/12 3 ";"
ii) relatif en longueur donde /1'3 9'()* ."
I.10.c. La résolution dun spectromètre à réseau vous semble-t-elle suffisante 
pour déceler ce
décalage ?

II. Interférométrie à fort pouvoir de résolution"
On utilise un système optique constitué de deux miroirs plans parallèles, 
semi-réfléchissants de
pouvoir de réflexion très élevé, distants de d, séparés par de lair dindice 
égal à 1. On éclaire ce
système par un faisceau de lumière parallèle comportant éventuellement 
plusieurs raies
monochromatiques.
Etude en incidence normale
La situation est représentée sur la figure 2. Les rayons réfléchis et réfractés 
ont été décalés par souci
de lisibilité.
Rayon
incident
miroir
""!""""""
%"

Rayons réfléchis
miroir

Rayons
émergents

etc.

Figure 2 - Interféromètre en incidence normale

II.1. Etablir la différence de marche" $L, en incidence normale, entre deux 
rayons émergents
successifs.
II.2. Dans les interférences à N ondes (comme dans un réseau par exemple), 
quelle est la condition
à respecter pour obtenir des interférences constructives ?
4/8

II.3. Que vaut lordre dinterférence pour une composante de longueur donde" 8/ 
du faisceau
incident ?
II.4. On fait varier la distance d (sur des distances de lordre du µm, alors 
que d est de lordre
du cm).
II.4.a. Pour quelles valeurs de d = dp, obtient-on des interférences 
constructives pour une
longueur donde 8/ donnée ? En supposant que lintensité est très faible pour des 
valeurs
différentes des dp, tracer lallure de lintensité reçue en fonction de d, pour 
une onde incidente
monochromatique de longueur donde"8.
II.4.b. Que vaut &" la plus petite variation de d entre deux maxima dintensité 
pour une
longueur donde donnée ?
"
"
Application à la diffusion Brillouin
Le faisceau qui arrive sur linterféromètre est celui qui sort de la cuve à eau 
pour !"= 90°. Il a trois
+
!
!
+
!
composantes dans son spectre" ! ," 8inc" et" ! / telles que/ ! '" 8inc" '" ! . 
La longueur donde/ !
correspond à la création dun phonon au lieu de lannihilation (figure 1 b, page 
3).
II.5. Préciser quel est le spectre en fréquence correspondant (on citera les 
fréquences en ordre
croissant).
II.6. On règle au préalable la distance d à une valeur d0 qui correspond au pic 
dintensité dordre p
pour"8(nc. Quel est le lien entre p et d0 ?"
II.7. On déplace le miroir mobile autour de d0.
II.7.a. Quelles sont les valeurs de d = d0 ± &" qui correspondent pour cette 
même longueur
donde aux ordres p + 1 et p  1 ?
II.7.b. Quelles sont les valeurs de d = d0 ± )"qui correspondent aux pics 
dordre p des 2 autres
composantes du spectre ?
=

?

II.7.c. Montrer que la quantité : 4 ;12 3 < > /, appelée intervalle spectral 
libre, vaut : 4 $@ ."
A

Peut-on travailler si !2 3 B C//? Comment doit-on choisir d0 ? La valeur de 
1,25 cm convientelle ?""
II.7.d. Tracer lallure de lintensité en fonction de d dans le domaine centré 
autour de d0 et de
largeur 2 "#$ %&$ '())*'+,-$ ./0&1+&'012$ 3+'$ )04'$ 5,0..*(0&$ .267,+8+&1$ 
'()2,0+(,+$ -(9$ -(1,+'#
Ecrire sur chaque pic représenté, à quel ordre et à quelle fréquence il 
correspond.
II.8. %&$(10.0'+$(&$0&1+,:2,*871,+$3*&1$./0&tervalle spectral libre vaut Z = 15 
GHz. On réalise une
première expérience de diffusion Brillouin avec de leau liquide à 50 °C dans 
les conditions de
saturation et une seconde expérience avec de leau liquide dans un état « 
métastable » à 50 °C. Les
résultats de la première expérience sont donnés dans le tableau 1 (page 6) : la 
valeur est celle du
facteur de transmission G (rapport de lintensité à une intensité de référence) 
pour les pics
successifs dans lintervalle spectral libre. En dehors de ces pics très étroits, 
la valeur de G est
assimilée à 0. Pour chaque pic est indiqué le décalage spectral en fréquence.

5/8

G = (I/Iref)
Décalage en fréquence en GHz
Ordre
Fréquence
!

0,89
0,0
?
?

0,99
5,4
?
?

0,99
9,6
?
?

0,89
15,0
?
?

0,99
21,4
?
?

0,99
25 ,6
?
?

0 ,89
30,0
?
?

Tableau 1 - Résultats de la première expérience
!

II.8.a. Pour chaque pic de lexpérience 1, indiquer, en complétant le tableau, 
lordre et la
fréquence en util!"#$%&'("&$)%#%!)$"&*(&'+,$)$-,&.inc/&.+ (%&.-.
II.8.b. Sachant que le nouveau décalage Brillouin! !.+! vaut 4,8 GHz dans 
lexpérience 2,
déterminer la vitesse du son dans leau métastable.

!"#$"%&'()'&*+",#-%".'()',/%.-)&0*&"12-&)'
Dans cette sous-partie, nous allons essayer de comprendre pourquoi 
linterféromètre a un excellent
pouvoir de résolution comme spectromètre.
II.9. On suppose que le dispositif précédemment décrit est éclairé par une onde 
plane de longueur
donde!!", sous u$(&!$-!*($-(&0&1#!2'(3&4#&"!%5#%!)$&("%&6(76,"($%,(&figure 3.!!
!
On a noté quelques amplitudes pour quil ny ait pas dambiguïté
sur la notation a !

0

a0

b
d
rb

Ra

Etc.

a

Figure 3 - Interféromètre en incidence oblique

!
6/8

II.9.a. Etablir la différence de marche entre deux rayons transmis successifs.
$%&'()*+,&

II.9.b. On appelle " # $

,-*,.&-/&

le coefficient de réflexion de lamplitude de londe lumineuse

quand elle se réfléchit sur les miroirs à lintérieur de la cavité. On note R = 
r2 qui a une valeur
quantité proche de 1 mais évidemment inférieure. Comment sécrit lamplitude du 
énième
rayon transmis si on nomme a lamplitude de londe émergente sur le premier rayon 
transmis
quand elle sort du miroir inférieur ? On lexprimera avec a, R et 8 # 09123 
45678#!
!
II.9.c. Poser la formule qui permettrait de calculer lamplitude totale de londe 
dans la
direction!", en tenant compte des interférences de!!! ! !ondes transmises. On 
rappelle que la
somme des termes dune progression géométrique se calcule avec la formule :!!
!

=AB
;
9;<= C1>? @ :C#!
;<3 : # >? @ :
GH

MO

IB

On en déduit que le facteur de transmission vaut G!:0/&d) =DE? F >BIHCJD 7KLM N 
P 45678RS !.!!
Q

II.9.d. Quelle sera la forme des figures dinterférences observées dans le plan 
focal dune
lentille convergente placée parallèlement aux miroirs ?
!
II.9.e. A quelles valeurs de!8!correspondent les pics dintensité ?
II.9.f. Pour la suite du problème, on observe dans la direction! #! = 0. Que 
devient la
fonctionDT>UV 4C dans le cas où R est très grand, cest-à-dire R = 1 !" avec " 
très petit
devant 1 ?
P

II.10. On suppose que d = d0 = pD MQ !avec p entier. On veut donner une 
évaluation de la largeur des
7!-"3& ;)<<(& '+!$%($"!%,& $+("%& =#<#!"& $5''(/& )$& >#& 76($*6(& "#& '#6?(56& 
@& UV 4C >D?1X .
II.10.a. Quand avez-vous déjà utilisé ce genre de point de vue dans un autre 
domaine de la
physique ?
II.10.b. Quelle est la valeur de p si on a écarté le miroir de droite à partir 
de la distance
d0 = 1,2615 cm entre les deux miroirs ?
II.10.c. Calculer W4!en fonction de!".!!
!
II.10.d. On considère quon peut distinguer 2 pics correspondant à 2 longueurs 
donde
voisines B!et B!$!!B, si le déplacement de d, qui fait passer dun pic à lautre 
au même ordre p,
est supérieur à!!B"#. En déduire quel est le plus petit écart de longueur donde 
détectable!!BD
en fonction de!", p et!B".!!
!
II.10.e. Justifier lhypothèse de la question II.4.a (page 5).
II.11. On travaille avec des parois métallisées de telle façon que R = 0,95. 
Déterminer!!d,!!B/DB"Det
la valeur minimale Gmin du facteur de transmission.D Conclure quant à 
lobservation du décalage
Brillouin de leau saturante à 50 °C dans lexpérience décrite précédemment.
II.12. Retrouver rapidement lexpression des modes propres dune onde 
stationnaire dans la cavité.
Quel résultat précèdent retrouve-t-on ?
7/8

III. Particule encagée dans un puits de potentiel infini
Nous allons étudier dans cette partie une particule, autre que le photon dans 
une cavité, dans le
cadre de la mécanique quantique. Cette particule de masse m se déplace sur laxe 
des x dans un
potentiel !"#$%tel que !"#$ & '%pour a > x > ! a et!!"#$ ( )!pour x > a et x < ! a avec a > 0. On
note !"x#!une fonction donde stationnaire de la particule et E son énergie 
associée.
On pose!* & +,-./01 !.
!"#$%&'()*+,$-."$
III.1. Rappeler léquation de Schrödinger.
III.2. Justifier que pour les domaines x < ! a et x > a, la seule solution 
possible est! !"x#! $! %.
Commenter.
III.3. A partir de la recherche des solutions de léquation de Schrödinger, 
déterminer les valeurs
des niveaux dénergie E dans le domaine ! a < x < a. Commenter. III.4. Exprimer les fonctions donde. Commenter. III.5. Représenter la fonction donde pour les deux premiers niveaux. III.6. En appliquant linégalité dHeisenberg, justifier que lénergie ne peut pas être nulle. III.7. Comparer à la situation classique dune particule dans une cuvette de potentiel. /%-%01+-"21"3&$2()$(4*+tat fondamental dans le puits infini III.8. Que vaut la valeur moyenne!2#3%de la position de la particule dans létat fondamental ? III.10. Quel est lordre de grandeur de lécart-type en impulsion ? Est-ce en accord avec lordre de grandeur de lénergie du niveau fondamental ? ! Fin de l'énoncé! ! ! ! ! ! 8/8 I M P R I M E R I E N A T I O N A L E ­ 16 1216 ­ D'après documents fournis III.9. Le calcul de la valeur moyenne de la distance au centre du puits!+2# 1 3!conduit à : +2# 1 3%$%4/567! En déduire lécart-type de position. !