CCINP Physique MP 2019

SESSION 2019 C MPPHO008

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

PHYSIQUE

Vendredi 3 mai:8h-12h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur dénoncé, il le
signalera sur Sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de cinq parties indépendantes entre elles dans une large 
mesure : des
références sont faites sur des résultats numériques établis dans des parties 
précédentes. De plus,
certains résultats obtenus dans la partie IV peuvent être commentés dans la 
partie V à la lumière des
nouveaux résultats numériques établis.

Pour les applications numériques, seuls les ordres de grandeurs (puissances de 
10) sont attendus. Le
candidat est invité à écrire explicitement le calcul en remplaçant bien toute 
expression littérale par les
données numériques converties selon l'unité adaptée, avant de fournir l'ordre 
de grandeur du résultat,
c'est-à-dire la puissance de 10 correspondante.

Des données comportant des valeurs numériques (déjà arrondies pour certaines) 
et des formules sont
fournies en pages 2 et 3.

1/18
Considérations sur une raie spectrale

Données

Masse d'un électron : m, # 107*0 xg

Charge élémentaire : e = 1,610" 1? C

Vitesse de la lumière dans le vide : c = 3,0-10° ms |

Perméabilité magnétique du vide 49 = 4x: 1077 H:m

10 e?
10 7 SJ et 32.10 28 J.m
TE ÂTE)

Constante de Planck : h -- 6,626: 10 J.s

La permittivité du vide &Q est telle que

h _
Constante de Planck réduite : A =--=1,055:10 34 J'°s

27
Équation de Schrüdinger indépendante du temps vérifiée par p(x) associée à un 
quanton dans
_;Et
un état stationnaire d'énergie EUR, de fonction d'onde w(x,t) = p(x)-e h , 
soumis à l'énergie
h2 do
otentielle V{x) : -------"--+V{x):o(x)=E-o(x
CAT OET OC

Constante de Boltzmann : Xp = 1,38-10 J.K +110 2 J.K 71
Nombre d'Avogadro : N , = 6,02: 10% mol |

Constante des gaz parfaits : R=kp-N 1 =8,314 J'K°lemol |

Masse molaire du Mercure Hg : My, = 200,6 g-mol | + 2:107 £ -mol |

Formule  d'analyse vectorielle : pour un champ vectoriel À on a
rot (rot (À)) = £grad (div (À)) _ AÀ

La moyenne temporelle d'une grandeur A(f) de période Ty s'écrit : (4)=-- [ A(t) 
dt

2/18

-- Représentation graphique de la fonction « sinus cardinal » : sinc:u +

eu) |

u

inc Cu)

1,0 F°

0,8 |

0,6 |}

0,4 |

0,2 |

0 LAN fY --T 7 fe EE
AVE
- 0,2

-- Formule de trigonométrie : sin(a)--sin(b)=2sin | a--

Le

-- 107 23,210 7 ; 10° &3,2:10*!

-- Valeurs de certaines intégrales :

+00 --X +00 +00

e _ NT _ 37
---- x = V : \ * dx = =-- : \ X dx = =
[ Te x TT xe "dx [ x xe "dx 2

[[sin(6)P d0 = =

4
-- Volume d'une boule de rayon R : V -- TR

3/18
Nous allons considérer une lampe spectrale à vapeur de mercure, généralement 
utilisée en Travaux
Pratiques au lycée.

Document 1 - Lampe à décharge

Une lampe à décharge est une lampe électrique constituée d'un tube ou d'une 
ampoule en verre
remplie de gaz ou de vapeur métallique, sous haute ou basse pression, au 
travers de laquelle on fait
passer un courant électrique. Il s'ensuit une émission de photons donc 
d'énergie lumineuse.

Pour ces lampes, la couleur de la lumière émise par luminescence dépend du gaz 
utilisé : [|

Le mercure s'approche du bleu tout en produisant une quantité importante 
d'ultraviolet.

Principe de fonctionnement

Les molécules du gaz métallique utilisé ont la faculté de pouvoir s'ioniser 
lorsqu'elles sont soumises
à la différence de potentiel créée entre les électrodes situées de chaque côté 
de la lampe. Les
électrons libérés sont attirés par l'électrode positive --- nommée anode -- et 
les 1ons positifs par l'autre,
nommée cathode. Un énorme flux d'électrons traverse l'ampoule.

Lors du passage de ce flux, se produisent de nombreuses collisions entre les 
électrons circulants et
ceux présents dans le gaz de la lampe. Lors de ces collisions, les électrons 
sont chassés de leur
orbite, changent de couche et y reviennent en émettant un photon, dont la 
longueur d'onde (sa
couleur) dépend de la différence d'énergie entre les couches, mais appartient 
habituellement au
spectre du visible et/ou de l'ultraviolet. |... |

Source : d'après des données de Wikipédia, 2018

Document 2 - Schéma d'une lampe spectrale

électrodes

(US vapeur de l'élément : à
_. . àétudier ©

ro | OD00S

tension alternative inductance

Source : d'après Optique Expérimentale, SEXT ANT, collection Enseignement des
Sciences, HERMANN

4/18
Partie I - Préambule

Q1. Déterminer la pulsation &ÿ du photon émis lors de la désexcitation d'un 
atome passant d'un

état excité d'énergie £* à un état fondamental d'énergie EUR.

Partie II - Oscillations au sein de l'atome de Thomson

Afin de donner une vision classique de l'émission d'un atome préalablement 
excité, nous allons
étudier la réponse mécanique d'un électron à une excitation de l'atome.

Le modèle de l'atome d'hydrogène adopté 1c1 est celui élaboré par
Joseph Thomson (photo ci-contre), prix Nobel en 1906 pour avoir
découvert l'électron en 1897. Il proposa en 1904 un modèle dit du
« pudding aux électrons ».

Il s'agit :

-- d'une boule de centre © et de rayon a, avec a=10 1 y»,
uniformément chargée en volume, de densité volumique de
charge (uniforme à l'intérieur de la boule) notée p, de charge
totale +e, considérée tout d'abord immobile dans le référentiel du
laboratoire,

-- et d'un électron ponctuel (masse m, charge -- e) libre de se
déplacer sans frottement dans l'espace de la boule.

v
à

Figure 1 --- Coordonnées et base sphériques

La position d'un point M de l'espace est parfois repérée par ses coordonnées 
cartésiennes (x, y, z)

(sur la base (0,6,,8,.6, )), ou par ses coordonnées sphériques (r,0,p), 
associées à la base
(O,8,.89.8,).

5/18
IL.1 - Force électrostatique ressentie par l'électron

Q2. Donner l'expression de la densité volumique de charge .

Soit M un point quelconque de l'espace repéré par ses coordonnées sphériques : 
M (r, Ô, p)
Q3. Montrer que le champ électrostatique en M s'écrit : E (M ) = FE, (r) er.

Q4. Déterminer en tout point M intérieur à la boule, le champ électrostatique E 
(M ) créé par la

distribution de charge caractérisée par 2.

L'électron se situe en un point M (r, Ô, p) intérieur à la boule. On le repère 
par son vecteur position

r=OM =rer.On suppose 1c1 l'atome isolé et on néglige toute attraction 
gravitationnelle.

Q5. Donner la force ressentie par l'électron. Mettre cette force sous la forme 
F = -- m,@Û OM où

on donnera l'expression de &ÿ. Commenter l'expression de cette force.

IL.2 - Oscillations libres dans le modèle de l'électron élastiquement lié

Dans une lampe à vapeur, lors d'une décharge électrique, un atome peut recevoir 
beaucoup d'énergie
à l'issue d'un choc. On suppose qu'il se trouve alors dans un état initial 
d'énergie mécanique £ 4. Le

choc a lieu à l'instant f -- 0, l'électron est alors situé sur sa position 
d'équilibre en O, avec une énergie
cinétique initiale non nulle car sa vitesse initiale vaut v(1=0)=-V5 e;. Pour 
120, l'atome est

supposé isolé du reste de l'univers.

Q6. Écrire la relation fondamentale de la dynamique appliquée à l'électron. En 
déduire une équation

différentielle vérifiée par r=O0M=rer, vecteur position de l'électron. En 
déduire le vecteur

position r r (1) lié au mouvement de l'électron en l'exprimant avec «y.

Q7. Donner l'expression du moment dipolaire électrique de l'atome d'hydrogène 
p(r) en fonction

de e et r. En déduire que p(t)= P> (1) e; où on exprimera p, (#) comme une 
fonction

sinusoïdale du temps dont on explicitera l'amplitude et la pulsation en 
fonction de e, V, et @p.

Q8. Déterminer l'ordre de grandeur de la longueur d'onde À, du rayonnement 
dipolaire associé. À
quelle partie du spectre électromagnétique appartient ce rayonnement ?

IL.3 - Introduction d'une force de frottements fluides

Pour affiner la description du mouvement de l'électron, on modélise un éventuel 
amortissement

-- m -- --
(faible) par une force de type « frottement fluide » : F f =----©V, où V est la 
vitesse de l'électron.
T

6/18
Cette force sera considérée comme un terme de perturbation, c'est-à-dire entre 
autre que -- & @ÿ

(hypothèse de faible amortissement). L'électron n'est soumis à aucune autre 
force. Les conditions
initiales sont les mêmes que précédemment (l'atome vient juste de subir un choc 
avec un porteur de
charge d'énergie élevée).

Q9. Donner l'origine physique d'une telle force. Quelle est la dimension de la 
constante 7?

Q10. Déterminer l'équation différentielle vérifiée par pr) le moment dipolaire 
de l'atome.

En tenant compte de l'hypothèse de faible amortissement, donner la solution 
approchée pr).

On pourra l'écrire sous la forme p(t) =p, (1) sin (O1 +) avec P, (4)=po e% 
vecteur à

. 27 su -
durée caractéristique d'évolution très grande devant a On identifiera p,,a,Q,g 
en

fonction des données de l'énoncé.

--

_ -- P
Pour simplifier les notations, on pose r0 = 20.
e

Q11. Écrire l'énergie potentielle élastique de l'oscillateur EUR p (1) en 
fonction de m,, @p, ro et 7.

Q12. Exprimer l'énergie cinétique EUR, (1) de l'oscillateur dans le référentiel 
du laboratoire et

simplifier son expression en tenant compte de l'hypothèse de faible 
amortissement (on pourra
montrer que cela revient à négliger la variation temporelle du facteur 
exponentiel devant celle

de sin (Qr +. .) quand 1l s'agit de faire une dérivation temporelle).

Q13. Montrer alors que  l'énergie mécanique de  l'oscillateur peut  s'écrire

m
Fm (9) | >

oscillations.

2 Lo L Le ,
6 | Pm (4) | . Mettre en évidence la durée caractéristique d'amortissement des

IL.4 - Modélisation du mouvement de l'électron par une méthode numérique

La position instantanée r(r) de l'électron dans le repère défini sur la figure 
1 (page 5) vérifie une
équation différentielle dont la difficulté de résolution dépend de la 
modélisation physique choisie.
Pour résoudre des équations différentielles complexes, on peut utiliser une 
méthode numérique. Pour
illustrer cette méthode de résolution, on considère que r(f) obéit à l'équation 
différentielle
2
dr +24 dr + @$ = 0
dt? dt

avec À et @ des constantes positives non nulles.

L'objectif est d'obtenir une représentation graphique de la fonction 7(#), la 
plus proche possible de la
réalité.

On utilise une méthode numérique simple (connue sous le nom de « méthode 
d'Euler explicite ») que
l'on programme en langage PYTHON.

7/18
Dans ce langage :
* la fonction np.arange(N) renvoie une liste de nombres entiers compris entre 
O0 et N-I, de type

«CaITaV ».

* la fonction np.zeros(N) renvoie une liste de N valeurs toutes nulles, de type 
« array ».

Pour des raisons de commodité, les valeurs numériques utilisées ne 
correspondent pas à la réalité

physique ;

les valeurs obtenues pour r(f) seront donc arbitraires (en revanche la forme de 
la courbe

est réaliste).

Le programme est le suivant :

l import numpy as np

2 from matplotlib import pyplot as plt
3

4 T=150

9

( omega -- 1.4

7 lamda = 0.03

8

9 def euler(N,x0, vO) :

10 X -- XÙ

II v = vÜ

12 h = T/N

13 a --= -2*lamda*v-omega*omega*x

14 tab I = np.zeros (N)

15 tab 2 = np.zeros (N)

16 for i in range (N) :

17 (xX,V,a)=(x+v*h,v+a*h,-2*lamda*v-omega*omega*x)
18 tab I1[1] = x

19 tab 2[1] = v

20 return tab 1

21

22 | def temps (N) :

2.3 h=T/N

2 4 t = np.arange(N)*h

29 return t

2.6

27 |plt.figure ('graphique')

28 | pilt.plot (temps (15000),euler(15000,0,1),'b')
29 | plt.title("représentation graphique de r en fonction de t")
30 | plt.xlabel("t")

31 | plt.ylabel("r")

32 | plt.gridi)

33 | plt.show)

L'exécution de ce programme permet d'obtenir la courbe 7(f) (page 9) (les 
échelles sont arbitraires).

Q14. Décrire, en détaillant les étapes, comment l'algorithme utilisé permet, 
connaissant les valeurs

dr
de la fonction r(t,) et de sa dérivée Un) à une date f,, de calculer ces mêmes 
valeurs à

une date notée f,,1.

Quelle approximation est faite ?

8/18
représentation graphique de r en fonction de t

0,4

0,2 +

04 |
0,6 - |

40 60 80 100 120 140

Q15. Afin de tester la fonction euler, nous exécutons l'instruction « 
euler(3,0,1) ». Que retourne cette
instruction ?

Q16. Les lignes 16 à 19 contiennent une boucle itérative dans laquelle la 
commande « for » est
utilisée. Modifier ces lignes de façon à utiliser la commande « while » en 
créant une boucle
conditionnelle. La partie de programme écrite avec la boucle «while » doit 
produire
exactement les mêmes résultats que la portion de code qu'elle remplace.

Afin de tester la méthode d'Euler, on rajoute les lignes de code suivantes, qui 
permettent de tracer la
courbe donnant la solution exacte de la solution de l'équation différentielle.
Le programme modifié est donné c1-après (à partir de la ligne 27).

Les lignes 1 à 26 ne sont pas modifiées.

27
2 8
29
30
31
32
33
34

35
36
37
38
39
40
41
42
43

omega = # à compléter (voir Q17)
def vraie(N, vO) :

*np

pit.
.plot (temps (15000),vraie(15000,1),'b')
pit.

pit

pit

pit.
pit.
pit.

X=0

V=vy0

h=T/N

tab 3---temps (N)

for i in range (N):

tab 3[1]=np.sin(np.sqrt (omega*omega-lamda*lamda) *h*1)

return tab 3

figure ("graphique")

.exp(-lamda*h*i)*v/(np.sqrt(omega*omega-lamda*lamda))

title("représentation graphique de r en fonction de t")

.xlabel("t")
ylabel("r")
grid()
show)

9/18
L'exécution de ce programme donne la courbe r(#) ci-dessous (les échelles sont 
arbitraires) :

représentation graphique de r en fonction de t

0,3

0,2

0,1

-0,1

-0,2

-0,3

0 20 40 60 80 100 120 140
t

Q17. En exploitant la courbe, déterminer la valeur de la variable « omega » 
masquée à la ligne 27.

Q18. La méthode d'Euler donne-t-elle une solution satisfaisante ?

Partie III - Rayonnement de l'atome de Thomson excité et largeur spectrale de la
raie d'émission

Dans cette partie, nous allons tenter de proposer une justification de 
l'amortissement évoqué
précédemment. Pour cela nous relierons la perte d'énergie de l'oscillateur à 
l'énergie
électromagnétique rayonnée par l'atome excité à l'aide d'un modèle classique 
qui, tout simpliste qu'il
soit, permet de rendre compte de certains résultats expérimentaux.

IIT.1 - Puissance rayonnée par un atome excité

T

Figure 2 -- Position du dipôle
10/18
Les oscillations effectuées par l'électron, décrites en partie I sont à 
l'origine d'un rayonnement
électromagnétique. Pour décrire l'onde rayonnée par l'atome, on utilise un 
système de coordonnées
sphériques centré sur ©, représenté sur la figure 2 (page 10).

Il s'agit maintenant de déterminer la puissance rayonnée par l'atome en le 
modélisant par un dipôle

électrique oscillant (à la pulsation «@ÿ) de moment dipolaire p(t) = D, (1) e; 
avec
Pr(t)= PnsSin(@t).

L'onde sinusoïdale rayonnée, de longueur d'onde notée 2, sera étudiée en un 
point M (r, Ô, p) dans
la «zone de rayonnement ». On rappelle que dans ces conditions, l'onde rayonnée 
a localement la
structure d'une onde plane progressant dans le sens de e-..

Q19. Formuler les approximations faites sur la hiérarchie des distances 
caractéristiques du problème
dans la zone de rayonnement. Commenter physiquement les inégalités écrites.

Q20. Identifier parmi les quatre expressions suivantes, celle représentant le 
champ magnétique
B (M , t) , puis celle représentant le champ électrique E (M , t) , Champs 
associés à l'onde émise

par le dipôle oscillant. On justifiera la réponse notamment par des arguments 
d'analyse
dimensionnelle et des considérations de symétrie.

ar in (0) ÿ{r-) cg F0 sn (0)| 1] cb

ATr 47rc
HO , r ||--- H) ... r ||
sin (0 t----|le sin ( O0 t----|le
Arr L ël <) L 4Trc ( | ÿl c) ? Q21. Établir l'expression du vecteur de Poynting en un point M (r, Ô, p) de la zone de rayonnement. = En déduire sa moyenne temporelle que l'on exprimera en fonction de 49, EUR, Pn; 0,0 etr. Q22. Déterminer alors l'expression de la puissance moyenne rayonnée ®,,,, par l'atome à travers une sphère de rayon R en fonction de &9, c, p et @p. Q23. À l'aide de l'expression établie en Q13 (page 7) montrer que Day = 7: En Où En est l'énergie mécanique de l'oscillateur et 7 une constante que l'on exprimera en fonction de Ep: C, EUR, Op tm, . III.2 - Amortissement des oscillations Q24. Estimation qualitative grossière : rappeler l'expression de l'énergie totale rayonnée lors de l'émission d'un photon de pulsation &,, de longueur d'onde dans le vide À correspondant au domaine visible. Relier simplement l'ordre de grandeur de la puissance moyenne rayonnée, la quantité d'énergie totale rayonnée et la durée caractéristique de l'émission. Estimer, par un calcul simple, l'ordre de grandeur de la durée du train d'onde correspondant à l'émission en utilisant la formule trouvée en question Q22 (page 11) pour ®,.,, (il appartient au candidat d'estimer les données numériques éventuellement utiles). Quel commentaire peut-on faire à propos de la durée trouvée ? 11/18 On essaie par la suite d'affiner le calcul en utilisant le travail de la partie IL. On estime que la puissance électromagnétique rayonnée par l'atome excité est puisée dans l'énergie mécanique de l'oscillateur. On suppose que l'amortissement qui en résulte peut être traité comme une perturbation du mouvement. On fait ainsi l'hypothèse (qui devra être vérifiée par la suite) que la décroissance de l'énergie mécanique de l'oscillateur est suffisamment lente pour qu'on puisse utiliser à chaque instant la formule établie en question Q23 (page 11). On appelle 7 la durée caractéristique d'évolution de l'énergie mécanique EUR,, (1). Q25. Ecrire, en fonction de D l'expression de la variation de l'énergie mécanique de l'atome ray ? entre f et { + of, où of est une durée infinitésimale très faible devant 7 et néanmoins grande r 4 27 devant la pseudo période, c'est-à-dire Tr > > --.

©
Q26. En déduire l'équation différentielle vérifiée par EUR,,(f) et mettre en 
évidence la durée

caractéristique 7 . Donner l'ordre de grandeur de 7 quand l'onde émise est dans 
le domaine
du visible. Vérifier l'hypothèse préalable à l'étude effectuée dans cette 
partie.

Q27. Estimer alors la durée du train d'onde émis. Donner un ordre de grandeur 
de la largeur spectrale
(en fréquence) qualifiée de « naturelle » du rayonnement émis.

Partie IV - Mesure interférométrique de la durée d'un train d'onde

On cherche dans cette partie à faire une mesure de la largeur spectrale (donc 
de la durée moyenne du
train d'onde 7h) de la raie À = 500 nm du mercure (Hg). Pour cela on utilise un 
interféromètre de
Michelson et ce afin de réaliser une mesure interférométrique par division 
d'amplitude.

IV.1 - Description de l'interféromètre de Michelson idéal

On considère en figure 3 (page 13) l'interféromètre de Michelson dans sa 
représentation « idéale »,
constitué par une lame sem1-réfléchissante infiniment fine séparatrice [Sp] , 
dont les facteurs de

transmission et de réflexion valent 0,5 et par deux miroirs plans [M 1] et [M 
2] . Les miroirs [M 1] et

[M 2] sont réglés orthogonalement l'un à l'autre, de façon à observer des 
franges d'égale inclinaison.

12/18
[MI EZZZZZ2LPLPPLIPI T7

+

Source étendue

(E ) écran

Figure 3 -- Représentation simplifiée et «idéale » de l'interféromètre de 
Michelson

Le miroir [M 1] est situé à une distance lp de la séparatrice.
Le miroir [M ] est situé à une distance lp +ey,n° de la séparatrice.

L'écran est placé dans le plan focal image d'une lentille mince convergente (Z 
) de distance focale
f'&lm, de centre C, utilisée dans les conditions de Gauss. Le tout est plongé 
dans l'air d'indice
assimilé à l'indice du vide : n,;, =n,;7 = 1.

On éclaire l'interféromètre avec une source spatialement étendue, considérée 
1c1 monochromatique
de longueur d'onde À = 500 nm.

Q28. Par un schéma équivalent du montage interférentiel, expliquer pourquoi on 
appelle cette
configuration le montage en «lame d'air ». Représenter sur votre schéma deux 
rayons qui

interfèrent en un point M de l'écran, caractérisé par l'inclinaison angulaire i 
M)= (CF, CM |

Q29. Montrer que la différence de marche à entre les deux ondes qui interfèrent 
en M (par division
d'amplitude) est donnée par ô =2e,me CoS(i). Donner l'expression de l'intensité 
lumineuse

au point M. Quel est l'aspect de la figure d'interférence observée sur l'écran ?

IV.2 - Largeur spectrale d'une raie d'émission

La transition radiative d'un atome conduit à l'émission d'un train d'onde de 
durée finie 79. La raie
spectrale correspondante n'est donc pas strictement monochromatique. On a alors 
une raie spectrale

centrée sur V) = , de largeur caractéristique à mi-hauteur Av =--<« 4. L'intensité émise au IT TO 13/18 niveau de la source appartenant au domaine spectral [v; v+dv| s'écrit alors dJ, = 1, (v)dv où 1, (v) est l'intensité spectrale, fonction qui caractérise le spectre fréquentiel d'émission. On modélise l'intensité spectrale J, (v) de la raie verte du mercure par un profil rectangulaire comme sur la figure 4. Dans notre modèle de raie rectangulaire, l'intensité totale de la source est donc donnée par : VO +Av 10 = Î 1,(v)dv=1,," Av. vo --Av On éclaire l'interféromètre de Michelson de la figure 3 (page 13) avec une lampe à vapeur de mercure . r . r C dont on a isolé la raie verte de fréquence centrale vy =-- avec À = 500 nm. On observe les interférences à la fois sur l'écran et au moyen d'un détecteur ponctuel supplémentaire que l'on place au foyer image F" de la lentille de projection (Z ). pe Modélisation par un profil spectral Profil spectral de la raie d'émission P P P rectangulaire dv (v) Av EUR V5 dv (v) AV < Vo I OO nt fl -->
vm EM VIT ----------- 1
I
I
| I
RE EE ER I
| I
| I
| I
et 3] b---1 1
I I | I
Lom | Di Lo À +
2 A-----r---1+r----- | = k---5---. 2 I
| I
| I
| I
mt. "f. 4-0
| I
| I
I }
Li R  T, »,
Vo Vo

Figure 4 -- Profils de raie

Q30. Expliquer pourquoi on pourrait observer des brouillages. Exprimer la 
différence Ap d'ordre

| . Av
d'interférence en M entre une radiation de fréquence v, et une autre de 
fréquence vo + 5

On suppose qu'on a réglé l'interféromètre au contact optique et qu'on « 
chariote » (déplace en
translation) le miroir [M ]

Q31. Par un raisonnement semi-quantitatif, exprimer la valeur ej;, de la 
distance ee

correspondant à la frontière entre une vision en F" d'anneaux bien contrastés 
et une perte de
contraste au centre de ceux-ci.

14/18
Calcul de l'intensité observée en F°

Q32.

Q33.

Q34.

Déterminer l'intensité dI (F ) donnée sur l'écran par une petite bande du 
spectre de largeur

O(F") ,
spectrale dv en fonction, entre autre, de (F , = ëCr) À quoi correspond 
physiquement
C

r(F') ?
Exprimer p (F 1, v) , l'ordre d'interférence en F" pour une radiation de 
fréquence v en fonction

de r(F').

Calculer alors l'intensité totale 7 = 7 (F , donnée sur l'écran par la totalité 
du spectre de la
source de lumière (en fonction de 7 (F 7) ; mettre le résultat sous la forme :
I=1(F')=Cstex 1 +T(z(F)). cos(27vor (F"'))

où L (z (F ) est une fonction de 7 (F 1) à « variation lente » appelée « 
facteur de visibilité ».

Tracer le graphe de l'intensité 7 (z(F )) en fonction de T(F , . Quelle est la 
valeur de T(F 1)

correspondant à la première annulation de contraste ? Comparer avec la durée du 
train d'onde
et commenter.

Un moteur permet de translater le miroir mobile [M 2| à la vitesse constante W, 
à partir de la position

du contact optique.

Q35.

On arrête la translation de [M 2 à la valeur de 15,00 mm (à partir du contact 
optique) lorsque

la première annulation de contraste est observée à l'écran. Déterminer la 
valeur expérimentale
Av, de Av. Conclure sur la durée du train d'onde.

Document 3 - Raies spectrales

En pratique, les raies n'ont pas une fréquence parfaitement déterminée mais 
s'étalent sur une bande
de fréquence. Les raisons de cet élargissement sont multiples :

-- élargissement naturel : le principe d'incertitude relie la durée de vie AT 
d'un état excité et la

précision de son niveau énergétique AE, ainsi le même niveau excité a des 
énergies
légèrement différentes dans différents atomes. Cet effet est assez faible 
(typiquement
quelques MHZ), environ 100 MHZ pour les fréquences optiques ;

élargissement Doppler : l'effet Doppler provoque un décalage vers le rouge ou 
vers le bleu
du rayonnement selon que la source s'éloigne ou se rapproche de l'observateur. 
Dans un gaz,
toutes les particules sont en mouvement dans toutes les directions, ce qui 
provoque un
élargissement des raies spectrales. La vitesse des particules dépend de leur 
température : plus
la température du gaz est élevée, plus les différences de vitesses sont grandes 
et plus les raies
sont larges. Cet effet est typiquement 100 fois plus intense que 
l'élargissement naturel ;

élargissement collisionnel : la collision entre particules (atomes ou 
molécules) modifie
légèrement leurs niveaux énergétiques, d'où l'élargissement des raies. La 
grandeur de cet
effet dépend de la densité du gaz.

Source : d'après des données de Wikipédia, 2018

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Partie V - Largeur Doppler d'une raie d'émission

Dans une lampe spectrale à gaz, les atomes sont animés d'un mouvement 
d'agitation thermique.
Ainsi, la fréquence du rayonnement émis par un atome est sensiblement 
différente de la fréquence de
ce rayonnement mesurée par un observateur lié au référentiel du laboratoire. Ce 
décalage fréquentiel
est appelé effet Doppler. La distribution des vitesses au sein du gaz induit 
donc, pour un rayonnement
émis à la fréquence v,, une distribution des fréquences mesurées centrée sur la 
fréquence vo.

Pour évaluer l'élargissement spectral lié au rayonnement mesuré, on utilise un 
modèle simple.
L'ensemble des atomes de gaz forme un gaz parfait à 1 dimension, où chaque 
atome se déplace

uniquement sur la direction de vecteur unitaire ex.

Quand un atome O" en mouvement dans le référentiel du laboratoire se rapproche 
de l'observateur à
une (faible) vitesse =, ex (avec .  c ) et émet un rayonnement de fréquence v,, 
l'observateur

7 r V7 ° ° ° r V © © Fr 4
(lié au référentiel du laboratoire) perçoit une fréquence y = L + | . La 
situation est représentée
C

en figure 5.

atome V récepteur
O --$% Û >
O'
-------------------------- >

Figure 5 -- Situation instantanée émetteur-récepteur

La sous-partie V.1 a pour seul objectif de montrer la relation y = vo L + | 
dans le cadre de petites
C

vitesses de déplacement. La suite de la partie V peut être traitée en utilisant 
cette relation.
V.1 - Décalage Doppler

Supposons pour simplifier l'émission d'un signal périodique par l'atome que la 
durée entre deux

émissions successives d'un maximum est 19 =--. À l'instant initial { =0, la 
source est en x =0 (0°
vo

coïncide avec O) et émet un maximum, le récepteur (observateur) est en x = d. 
Le signal se propage

dans l'air assimilé à du vide.

Q36. À quel instant de date t, le récepteur reçoit-1l ce premier maximum, émis 
à {= 0 ?

Q37. À quel instant est émis le deuxième maximum ? Quelle distance sépare 
l'émetteur du récepteur
à cet instant ? En déduire la date #, de réception du deuxième maximum.

Q38. Retrouver la relation liant la fréquence v, du signal émis par l'atome et 
la fréquence v du
signal reçu par l'observateur.

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V.2 - Distribution des vitesses dans un gaz parfait unidimensionnel

Le gaz atomique (vapeur de mercure Hg ) contenu dans l'ampoule est un gaz 
supposé parfait formé

de N atomes de mercure de masse individuelle m*, indépendants, ne pouvant se 
déplacer que le long
de l'axe (Ox). Ils sont confinés dans un puits de potentiel infini limité par 
les plans d'abscisses x = 0
et x = L.On prendra l'origine des énergies potentielles V = 0 à l'intérieur du 
puits (pour 0 < x < L). L'énergie potentielle est donc infinie à l'extérieur du puits (pour x < 0 et x > L).

La température du gaz dans l'enceinte est notée 7, .

Données numériques
-- Température du gaz dans la lampe : 7,,,, = 1000 K

-- Largeur de l'enceinte : L =10 cm

Fonction d'onde d'un atome dans un état stationnaire

On recherche les fonctions d'onde associées aux états stationnaires d'énergie 
EUR des atomes confinés
Et

_;et
dans un puits infini de largeur L, sous la forme w(x,t)=p(x)e À

Q39. Le spectre énergétique (ensemble des états énergétiques accessibles) d'un 
atome est-1l continu
ou discret ? Donner un ordre de grandeur de la masse m* d'un atome de mercure 
Hg.

Q40. Écrire l'équation différentielle vérifiée par p(x) pour xe 10,2. Écrire 
sans démonstration les

conditions aux limites p(x = 0) et p(x = L) . On rappelle que la fonction 
d'onde est continue.

Q41. En déduire l'expression des niveaux d'énergie des atomes dans le puits 
sous la forme

Ey = n° x£, où ñn est un entier supérieur ou égal à 1 et où on exprimera EUR, 
en fonction de

h,m et L. Évaluer numériquement &.

Energie moyenne d'un atome

Q42. Évaluer l'ordre de grandeur du nombre quantique m tel que Er = kBT Évaluer 
l'ordre de

gaz *
En +17

grandeur du rapport -- L, En déduire que le spectre des énergies accessibles à 
un atome

di
dans l'enceinte de la lampe peut être considéré approximativement continu pour 
les énergies
dans le cadre de notre étude.

On se place dans le cadre de cette approximation.

Q43. Donner la relation # (E ) donnant l'expression du nombre quantique n en 
fonction de l'énergie

EUR de l'atome et de l'énergie de l'état fondamental &.

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Q44. Exprimer dn le nombre d'états quantiques différents d'énergie comprise 
entre EUR et © +dE.
On écrira le résultat sous la forme dn = p(E )-dE où p(E ) est appelé densité 
des niveaux

d'énergie.
On suppose que la distribution des vitesses des atomes est régie par la 
statistique de Boltzmann.

Q45. Exprimer, à un facteur multiplicatif près, la probabilité pour un atome 
d'être dans un état
d'énergie EUR.
Q46. Exprimer la probabilité dP (£ ) pour un atome d'avoir une énergie comprise 
dans l'intervalle

[E , £+dE | en fonction de dn et de la probabilité écrite au-dessus. Exprimer, 
à une constante

multiplicative près, la densité de probabilité f (E ) définie par dP (£ ) = f 
(£ ) dE.

+00
Q47. Quelle est la signification de la relation [ dP(E)=1 ? À partir de cette 
relation, exprimer
£=0

complètement f (£ ) en fonction de EUR et de P =
BP" gaz

Q48. Établir l'expression de la valeur moyenne de l'énergie (E ) . Énoncer le 
théorème dont le résultat

précédent n'est qu'un cas particulier. Exprimer la vitesse quadratique moyenne 
w = (2 )

Évaluer l'ordre de grandeur de z dans les conditions du problème.

V.3 - Élargissement spectral par effet Doppler

Pour les applications numériques, on considère la raie verte du mercure de 
longueur d'onde dans Île
vide À = 500nm.

Q49. Exprimer la fréquence v, du rayonnement reçu par l'observateur, émis par 
un atome de vitesse
V. = +u. Exprimer de même v_, fréquence du rayonnement reçu par l'observateur, 
émis par
un atome de vitesse W. =--u. Exprimer Av,5p = v, --v_. Evaluer l'ordre de 
grandeur de

AVpop = V4 --v_. Comparer à l'ordre de grandeur de Av... mesuré en Q27 et 
conclure.

FIN

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