CCINP Physique MP 2020

SESSION 2020 C MP5P

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

PHYSIQUE

Mercrediémai:8h-12h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a êté amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé de quatre parties indépendantes et d'une annexe (page 19).

Il est rappelé au candidat qu'il peut utiliser tout résultat fourni dans 
l'énoncé pour répondre aux
questions suivantes, même s1 ce résultat n'a pu être établi.

1/19

Formulaire

Développements limités à l'ordre 2 au voisinage de zéro de deux fonctions 
utiles :

2
Li 6)
l-- x 2

x?
(+ x)" =1+7x +770 +00)

Relations de trigonométrie :

cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
cos(a) -- cos(b) = -2sin( 2 inf #52)

cos" (a) = 0 + cos(2a))

cos(a)cos(b) = (cos (a -- b) + COS (a + b))

Lumière et changements de référentiels :
de l'éther luminifère à la relativité restreinte

Après le succès des théories ondulatoires de Young et de Fresnel, il restait 
aux physiciens à
expliquer la propagation de la lumière. En 1873, Maxwell publie la forme 
définitive de ses
équations de l'électromagnétisme. À l'instar d'une onde mécanique, la lumière 
est conçue comme la
vibration d'un "milieu support" présent partout dans l'univers : l'éther 
luminifère. Puis en 1905,
Einstein fonde la théorie de la relativité restreinte sur le principe de 
relativité (qui énonce que
toutes les lois physiques sont invariantes par changement de référentiel 
galiléen (ou inertiel)) et sur
le postulat de l'invariance de la vitesse de la lumière dans le vide : le 
caractère absolu du temps est
remis en question, la transformation de Galilée est remplacée par celle de 
Lorentz, l'éther
luminifère peut enfin être abandonné. La question de son existence restera 
cependant une des
grandes quêtes de la Physique jusque dans les années 1930.

Les parties I et III de ce problème abordent deux expériences à propos de 
l'éther restées célèbres
dans l'histoire des sciences.

La partie IT traite des lois de transformation du champ électromagnétique lors 
d'un changement de
référentiel.

Enfin, la partie IV traite du gyromètre optique : une application moderne d'un 
effet relativiste
découvert par Sagnac en 1913 qui affecte la lumière dans un référentiel 
tournant. L'étude se termine
par une modélisation informatique d'un moyen de détection du déphasage produit.

Point de vue général

On souhaite reprendre les raisonnements historiques à propos de l'éther tenus 
par les physiciens
pré-relativistes.

On introduit pour cela le référentiel de l'observateur noté (Ris) et on 
considère l'éther comme un
fluide en mouvement à la vitesse w dans (Rs), ce qui définit le référentiel de 
l'éther (Re). La
lumière, qui est une oscillation de l'éther, se propage dans celui-c1 de 
manière 1sotrope : quelle que
soit sa direction, le vecteur vitesse de propagation de la lumière dans (Rat), 
noté EUR , a pour norme

c = 299 792 458 m:s (valeur qui sera arrondie à 3,0-10°m-s 7 pour les 
applications numériques).

2/19

Consigne : en nous plaçant à l'époque des physiciens pré-relativistes, nous 
utiliserons la
transformation galiléenne des vitesses et ferons comme si nous ne savions pas 
que c est une
constante universelle de la Physique.

Partie I - L'expérience "MM" : Michelson et Morley (1887)

Le schéma de principe du dispositif que Michelson et Morley utilisèrent en 1887 
est représenté en
figure 1. Il s'agit d'un interféromètre de Michelson réglé au contact optique 
avec Z la longueur
commune des bras de l'interféromètre : L = OHi = OH. L'ensemble 
Séparatrice-Compensatrice est
modélisé comme une lame semi-réfléchissante d'épaisseur nulle, placée à 45° du 
faisceau incident
et n'introduisant aucun déphasage supplémentaire sur les trajets lumineux. Les 
deux faisceaux
lumineux obtenus après division d'amplitude suivent des trajets selon les axes 
Ox et Oy
perpendiculaires. On observe les franges d'interférences à l'aide d'un oculaire 
micrométrique placé à
la sortie de l'appareil.

À l'entrée de l'interféromètre, un filtre interférentiel isole la raie Ha du 
rayonnement solaire. On
note y la fréquence de la lumière monochromatique ainsi obtenue.

Le référentiel d'observation (Rs) est 1c1 le référentiel terrestre dans lequel 
les miroirs M1 et M
sont immobiles. L'air est assimilé au vide et nous considèrerons qu'il n'a 
aucune influence sur la
propagation. En revanche, l'ensemble du dispositif baigne dans l'éther en 
mouvement à la vitesse
w=weé. uniforme avec w > 0 (mouvement appelé "vent d'éther").

Configuration a : l'interféromètre est positionné de telle sorte que le trajet 
lumineux sur le bras n° 1
soit colinéaire au vent d'éther. Le bras n° 2 est perpendiculaire à cette 
direction.

Configuration £ : on fait subir à l'ensemble & = {Source, interféromètre, 
observateur} une rotation
de 90° autour de l'axe OZ dans le sens horaire, de telle sorte que ce soit le 
bras n° 2 qui devienne
colinéaire au vent d'éther.

À y
"vent d'éther" LA 7 7 Miroir M»
H2
--+ R2
W _
Va2 5
VW r2
= + ! (Robs)
W A
A2
. AN , L ?
Source de lumière filtre 7 A: VI \
O
| ----< C D--<« = >
Z H:; N X
-- | ---- ki N
W Lame sen V,] Miroir M:
réfléchissante
----+
W observation

Figure 1 - Schéma de l'interféromètre de Michelson dans la configuration ot

3/19
L'interféromètre est dans la configuration à (figure 1). On appelle A1, un 
point quelconque entre O
et Hi sur le trajet lumineux aller du bras n° 1 et R: un point sur le trajet 
retour. On note de même A2
et R2 deux points entre O et H sur les trajets aller et retour du bras n° 2.

En utilisant l'indice ; -- 1 ou 2 pour indiquer la voie de l'interféromètre et 
l'indice £ = a ou r pour
indiquer le sens aller ou retour, on note v.; la vitesse de la lumière dans 
(Rors) et EUR; sa vitesse dans

(Reth). Par souci de lisibilité les quatre points A1, A2, R1 et R2 et les 
vitesses v.; ont été représentées

hors des trajets des rayons lumineux.

Q1.

Q2.

Q3.

Q4.

Q5.

Reproduire la figure 1 et la compléter en dessinant les "triangles des 
vitesses" reliant les

vecteurs v,,, EUR; et w aux points Aï, A2, Ri, et R2 en supposant qu'une loi de 
composition

galiléenne des vitesses s'applique.
Attribuer à chaque expression fournie ci-dessous la norme v.; correspondante :

c--w:; Ve -w ; c+w; Ve? -w.
En déduire l'expression de la différence 7(a)=7,(a)-T(«) des durées de parcours 
de la

lumière arrivant à l'oculaire en suivant la voie 1 (respectivement 2) dans la 
configuration @.

, er , wW
Faire un développement limité de 7(æ) à l'ordre 2 en --.
C

Donner alors l'expression de l'ordre d'interférence p(æ) en fonction de la 
fréquence v, de Z,
W ,

de c et du rapport -- (on rappelle que l'ordre d'interférence de deux signaux 
lumineux
C

cohérents entre eux et présentant un déphasage o est égal à o/27).

Avec le moins possible de calculs, donner de même les expressions :
-- de la différence 7(pP)=7,(pf)-7.(f5) des durées de parcours de la lumière 
arrivant à

l'oculaire en suivant la voie 1 (respectivement 2) dans la configuration f ;

-- du développement limité de 7(8) à l'ordre 2 en T
C

-- de l'ordre d'interférence p(B) en fonction de v, L, c et du rapport 7.
C

Soit Ap=p(B)-p(a) la variation de l'ordre d'interférence produite lors du 
passage de

2
l'interféromètre de la configuration @ à la configuration #. Montrer que Ap = 
21 (>)
c\c

De manière à visualiser un petit nombre de franges d'interférence à l'oculaire 
micrométrique,
on règle l'interféromètre en coin d'air à partir de la configuration & en 
opérant une toute
petite rotation du miroir M1 autour de son diamètre H1z. La figure 
d'interférences se présente
alors comme un ensemble de franges rectilignes parallèles équidistantes 
d'interfrange i.

En supposant la variation Ap de l'ordre d'interférence obtenue en Q4 inchangée 
par ce
nouveau réglage, indiquer quelle modification de la figure d'interférences est 
attendue lors du
passage de la configuration & à la configuration £. Exprimer cette modification 
à l'aide de
Ap et i.

4/19
np HERO
DEEE D ee 2

ÉTCLCO|

BFOIO q6 [AUILSLONENS q6 1881

qenne ps ISp6 etait m6 mszer2e cor où bewesie ser GAIGL ]62 TNUNENCEZ Qn LEUE 
qLeper ant 25 joue {eye nue Dieu 1162 qnie Que nu COMUE qLESN
TAmteuetomene* coment que mr zone-20] qn cmnbne qe [NuIASLENE q6 CJEAGjauQ 
(piste-Qure) etsit monte am nue Exoez6 breue qe Exounts coeuxee bozce ant mr 
CAqIQLE qe poIe Jousur que qn mIeLCME LI LOSETON qe [9 ESpS bonssit ser 26 {one 
2oue
EAN Q jme yjousÀ bphercieu et cpnorete sweutcon (1828-1252) 16buit eu 1881 sAec 
picpejeon jexbeuence qe 188] Le wsteue] embjoke érsit que bjne aeurenx-
Ia sn borut eu 188] nu meuyetomens dr quest beunetne qe qece]et Je monzemeut qe 
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Partie II - Électromagnétisme et relativité

Soit (R°) un référentiel en translation rectiligne uniforme à la vitesse V, par 
rapport à un référentiel

(R). Un champ électromagnétique (E  B) est présent dans (R).

Q9. Rappeler l'expression de la force électromagnétique exprimant l'action du 
champ

électromagnétique (E NV) sur une particule de charge g animée d'une vitesse v 
dans (R).

Q10. Expliciter la formule de transformation galiléenne des vitesses reliant la 
vitesse v' de la
particule dans (R°) à sa vitesse v dans (R) et à V,.

Q11. Dans (R°) le champ électromagnétique précédent est caractérisé par les 
champs (E !B"). En

utilisant l'invariance de la force électromagnétique entre les référentiels (R) 
et (R'), montrer
que la loi de composition des vitesses utilisée en Q10 est compatible avec les 
lois suivantes
de transformation « classique » des champs :

E=E'-V, AB!
B=B): |

On considère, dans le vide, un fil rigide rectiligne cylindrique de rayon a et 
infiniment long, chargé
avec une densité volumique p; uniforme (figure 2). On note À; = za" Pf la 
densité linéique de
charge et (R°) le référentiel du fil. La direction du fil est confondue avec 
l'axe OZ d'un référentiel
(R) dans lequel le fil est en mouvement rectiligne uniforme à la vitesse V, = 
V,EURe,. On repère un
point M à l'extérieur du fil par ses coordonnées cylindriques (r7,0,z) d'axe OZ 
(avec r > a). On
note £o la permittivité diélectrique et lu la splitéabilité magnétique du vide.

(R) T7

A
U

= ---- !

O »
x 0

Figure 2 - Fil chargé en mouvement à la vitesse V, dans (R)

On cherche à calculer les champs électrique E et magnétique 2 créés par le fil 
dans (R) en tout

point à l'extérieur du fil, à partir de leurs homologues E' et B'dans (R°).

Q12. Justifier que B'=0. En déduire B d'après Q11.

6/19
Q13. Par l'application du théorème de Gauss, calculer £'. En déduire Æ d'après 
Q11.

Q14. Quelle est, en fonction de san, l'expression de l'intensité du courant 
électrique vue par

un observateur dans (R)? À l'aide du théorème d'Ampère, exprimer B. Commenter 
par
rapport à Q12.

En fait, les lois de transformation des champs selon la relativité restreinte 
sont les suivantes :

7 C1 T T1 7 D D D! D D! V ni
Ey=E'"y  Ei=y(E-VnB') Br, = By) Bi 78 nr)
C

avec y = et où l'indice // désigne la composante des champs dans la direction

définie par V, et l'indice L leur composante perpendiculaire à V,. Ainsi a-t-on 
E=Ë,,+E,

et B=B,,+B..

Q15. À l'aide de ces lois de transformations et en considérant exacts les 
champs E' et B' obtenus

en Q12 et Q13, donner les expressions correctes de E et B.

Q16. Quelle est alors, en fonction de À; et y, la valeur de la densité linéique 
de charge À vue par

un observateur dans (R) ? Ce résultat correspond-il à une contraction ou à une 
dilatation des
longueurs si on considère qu'il y a conservation de la charge électrique ?

En 1924, la théorie de la relativité restreinte a presque vingt ans, mais les 
physiciens n'ont toujours
pas tranché définitivement la question de l'éther, surtout qu'en 1913, un jeune 
physicien français,
Georges Sagnac, découvre un effet qui va relancer le débat : en faisant 
circuler sur un même trajet
fermé, mais en sens inverse, deux rayons lumineux émis à partir d'une source, 
Sagnac mesure un
décalage des franges d'interférences lorsque le plateau sur lequel repose 
l'ensemble du dispositif
est mis en rotation à la vitesse de quelques tours par seconde. Le décalage 
mesuré est
proportionnel à la vitesse angulaire du plateau et à l'aire de la boucle suivie 
par la lumière. Cet
effet, qui semble révéler une anisotropie de la vitesse de la lumière dans un 
référentiel en rotation,
serait-il la preuve tant attendue de l'existence de l'éther ?

Michelson, Gale et Pearson mettent alors sur pied une version modifiée de 
l'expérience de 1887
dans le but de tester les deux théories (éther luminifère et relativité 
restreinte) en mesurant l'effet
Sagnac dû à la rotation de la Terre. Cette rotation étant bien plus lente que 
la rotation du plateau
utilisé par Sagnac, il fallait construire un interféromètre aux dimensions 
"gigantesques". La
partie III traite de cette expérience "hors normes".

7/19
Partie III - L'expérience "M-G-P" : Michelson-Gale-Pearson (1924),
ou de la mesure de l'effet Sagnac à l'échelle de la Terre

La Terre est supposée sphérique de rayon Àr7 et animée d'un mouvement de 
rotation uniforme
d'Ouest en Est autour de l'axe des pôles à la vitesse angulaire Q,. Seul 
l'hémisphère nord a été

représenté en figure 3. Un point quelconque sur cet hémisphère est repéré par 
ses coordonnées

géographiques : latitude @ (0 < @ < 7/2) comptée à partir de l'équateur vers le Nord et longitude @ (0 < 0 <27r) comptée à partir du méridien de Greenwich vers l'Ouest. Pôle nord Q, sens de la rotation terrestre o S D ce Q pl A _ v o c s: e c À s parallèles G Ouest | .- & Est ' p+AP 2 p Y quai 0 ea Figure 3 - Coordonnées géographiques d'un point M dans l'hémisphère nord et interféromètre de Michelson-Gale-Pearson à boucle rectangulaire ABCD Q17. Rappeler la définition du référentiel géocentrique (Rz). Quel est le mouvement de la Terre dans (R;) ? Relier la norme Q, du vecteur Q, à la durée 7; du jour terrestre. Dans cette partie, on fait l'hypothèse d'un éther immobile dans (R;) et on étudie les effets du "vent d'éther" dus à la rotation terrestre. Q18. Dans quelle direction et dans quel sens "souffle le vent d'éther" pour un observateur terrestre ? On note w(@)=w(@}e la vitesse du vent d'éther à la latitude @, avec e le vecteur unitaire adéquat pour que w(@) soit positive. Exprimer w(o) en fonction de R7, Q, et o. La figure 4 représente schématiquement le dispositif de Michelson-Gale-Pearson utilisé en 1924. Celui-c1 s'inspire de l'interféromètre à boucle fermée utilisé par Sagnac en 1913. 8/19 EL LE K Ù C À. I Ï 1 j ! #1 {1} F = pL-TOZ { a 4 1 339m};!: ÿ PIY WEST > EAST Y:

iiig ||! EARTH ROTATION EE
S
_ À f | 10
O eme fa |
S ut mt
612 m H

Cr
Figure 4 - Schéma de l'interféromètre utilisé dans l'expérience de 
Michelson-Gale-Pearson

(source : "A review of Michelson-Morley, Sagnac and Michelson-Gale-Pearson 
experiments ",
the general science journal, M. D. Abdullahi)

Il s'agit d'un interféromètre à boucle rectangulaire, de largeur Y = AD = BC = 
339 m et de longueur
X = AB = DC = 612 m installé sur un vaste champ à Clearing, en Illinois. Les 
côtés longs, AB et
DC, de ce rectangle sont dirigés d'Ouest en Est, en suivant deux parallèles de 
latitudes respectives @

et o +Ao (figure 3). Les petits côtés AD et BC qui complètent le rectangle 
occupent la direction
Sud-Nord locale.

Cette "piste" rectangulaire était conçue à partir de tubes en fonte 
hermétiquement liés, dans lesquels
un dispositif de pompage avait été prévu pour assurer un vide de bonne qualité.

La photo 2 montre à quoi ressemblait l'installation de la plus extraordinaire 
expérience
d'interférométrie jamais réalisée jusqu'alors.

"US
L : '
LATT

... 4 i \
MNT « à

Photo 2 - L'installation de Michelson-Gale-Pearson à l'hiver 1924
dans un vaste champ à Clearing, en Illinois

9/19
On peut remarquer dans la partie gauche de la figure 4 un tube supplémentaire 
EF, formant avec
AD une boucle rectangulaire AEFD d'aire beaucoup plus petite que le rectangle 
principal ABCD.
Nous évoquerons plus loin le rôle de ce rectangle secondaire.

Aux sommets À, E et F, sont placées des lames semi-réfléchissantes orientée à 
45° par rapport aux
côtés et en B, C et D se trouvent trois miroirs plans également inclinés à 45° 
afin d'assurer des
trajets lumineux parallèles aux axes de symétrie des tubes. Pour simplifier 
l'étude, on considèrera
que les lames ont toutes une épaisseur nulle.

Un rayon de lumière issu d'une source S est divisé en deux rayons, l'un 
transmis et l'autre réfléchi
par la lame A. Les deux rayons de lumière sont ainsi injectés en sens inverse 
le long du rectangle
ABCD, en se réfléchissant sur les miroirs aux coins B, C et D, pour revenir sur 
la lame A et
finalement interférer dans le plan focal image de l'objectif d'un télescope T.

Q19. a) On note 7, la durée que met la lumière à parcourir la distance cumulée 
2Y entre les deux

latitudes @ et @+ Ao (il est inutile de chercher à déterminer sa valeur).
A l'aide de deux lois de composition galiléenne des vitesses aux latitudes @ et 
@ + Ao,
exprimer en fonction de 7,, c, X et des composantes de vitesse du vent d'éther 
w(o) et

w(o + Ao), la durée de parcours 7, de la lumière dans son trajet ABCDA.
MP) + en "(P+AP)

C C
en Ag (on rappelle que w(o+4@) = wm(o)+w'(o)Ap où w'(o) désigne la dérivée de

b) Faire le développement limité de 7, à l'ordre 1 en , puis à l'ordre 1

w(@)). En faisant apparaître Y, établir que la durée 7, peut s'écrire sous la 
forme

2X Q,X

= tot --+----/f(Y,p) dans laquelle on explicitera f(Y,@).
C

c) Exprimer de même la durée de parcours 7, de la lumière effectuant le trajet 
ADCBA en

fonction de 7, EUR, X, w(@) et w(@ + Ag). Un calcul non demandé analogue à 
celui de

Q19.b conduit à 7, =7 +227 "27 À f(Y,@).
C

2
C

Q20. On suppose la lumière monochromatique de longueur d'onde dans le vide 4. 
On note
Q,=OQ,snmçe la composante du vecteur Q, sur la direction de la normale au plan 
ABCD

orientée vers le ciel (zénith local) et S = XY l'aire du rectangle ABCD 
délimité par le trajet
lumineux. Etablir que le déphasage A entre les deux rayons lumineux à leur 
arrivée en A

est ap= 750,

À EUR
Q21. Quel est l'ordre d'interférence p correspondant ?

Q22. Dans l'expérience de Sagnac, un décalage des franges (donc une variation 
Ap de l'ordre

d'interférence) est observé par rapport à la situation où le plateau est 
immobile. Quelle est la
difficulté de la mesure d'une variation An dans le cas de la Terre sur le même 
principe ?

Expliquer le rôle du rectangle AEFD, d'aire beaucoup plus petite que S.
Q23. On donne 6 = 41°48'N, 40 = 0,500 pm et Q, =7,29-10 rad-s ". Calculer Ap.

L'expérience de 1924 a donné (Ap) -- 0,26 ... L'effet Sagnac dû à la rotation 
de la Terre existe

exp

donc bel et bien, mais seule la relativité peut en donner le calcul correct.

10/19
Partie IV - Une application moderne de l'effet Sagnac :
le gyromèêtre à fibre

On considère un interféromètre de Sagnac (figure 5), constitué :
-- d'une lame séparatrice,
-- d'une bobine de fibre optique de longueur totale ZL et d'indice optique n, 
enroulée (NW; tours)
sur un contour circulaire de centre O et de rayon r,
-- d'une source laser de longueur d'onde dans le vide
-- d'un détecteur optique.
Les rôles du modulateur et du démodulateur de phase seront explicités plus loin.

source lame Q
coupleur modulateur

détecteur

ÿ

démodulateur

Figure 5 - Interféromètre de Sagnac à fibre optique

Après division du rayon incident, l'onde transmise et l'onde réfléchie 
parcourent la fibre en sens
inverse (on parle d'ondes contra-propagatives), puis elles interfèrent par 
recombinaison après
réflexion ou transmission retour sur la séparatrice. Un détecteur optique 
enregistre l'intensité
résultante.

Lorsque l'ensemble du dispositif tourne autour de l'axe (O,e,) perpendiculaire 
au plan de

l'enroulement de la fibre avec une vitesse angulaire Q=Q é, (avec Q > 0 ou < 0), un déphasage Sagnac apparaît entre les deux ondes à la sortie de l'interféromètre. Son expression 47 LrOQ est AD, -- --. C À La mesure de ce déphasage permet d'accéder à Q. On obtient ainsi un gyromètre optique, (ou gyrofibre) capable de fournir la mesure de vitesses de rotation. Pour avoir les trois composantes du vecteur rotation, 1l faut embarquer trois interféromètres de Sagnac à bobines mutuellement perpendiculaires. Allié à trois accéléromètres, l'ensemble constitue une UMT (unité de mesure inertielle), couramment utilisée aujourd'hui dans les avions et les navires. L'intégration des trois composantes d'accélération et de vitesse angulaire donne la position et l'orientation absolue du véhicule dans l'espace. Ce système embarqué autonome présente une complémentarité intéressante avec le positionnement GPS. 11/19 IV.1 - Principe de fonctionnement et modulation de phase Q24. Q25. Q26. Donner Ad. en fonction de Q et de l'aire totale S;,, de la boucle qui compte N, tours de fibre. On note /, l'intensité du rayon lumineux incident sur la séparatrice. En supposant une séparatrice idéale avec des coefficients de réflexion et de transmission en intensité égaux à 50%, donner sans démonstration l'expression 7Z(AD.) de l'intensité enregistrée par le détecteur en sortie d'interféromètre en fonction de , et AD. a) Partant d'un interféromètre au repos (AD, = 0), la mesure de la variation de 7 produite par une rotation permet-elle de discriminer le sens de la rotation ? Argumenter. dl b) On définit la sensibilité en intensité par K = -- 10 0 et Q. À Q donné, sur quels paramètres peut-on jouer pour augmenter « sachant que le . Exprimer x en fonction de 40, EUR, Sr S 0, Lo pre à rapport --7 reste très inférieur à 1 pour les valeurs S,; et Q usuellement rencontrées C dans un gyromètre optique ? c) À Sr donnée, quelle difficulté apparaît pour la mesure des très faibles vitesses de rotation ? La difficulté à déterminer le sens de rotation et à mesurer de très faibles vitesses angulaires peut être résolue en utilisant une modulation de phase sinusoïdale de fréquence 7, et d'amplitude ®, au moyen d'un modulateur électro-optique (représenté en figure 5). Le modulateur joue le rôle d'une ligne à retard. À la traversée du modulateur, les deux ondes subissent le même signal de modulation mais décalé dans le temps, l'une subissant la modulation avant son entrée dans la bobine de fibre, l'autre après en être ressortie. Le retard est égal au temps L ue de transit 7, = T° ans la bobine de fibre (on rappelle que n est l'indice optique). Le déphasage C total entre les deux ondes en sortie d'interféromètre est alors donné par : AD, = AD, +®,(f)-D,(1--7,) où D,(f)=®,cos(27 f,,f) est le signal de modulation (ou "biais") appliqué par le modulateur. Q27. Q28. a) Montrer que AD, =AD ---2%d,sin(x f, 7,) sn 2, fr-2)] b) On note f, -- ST la fréquence propre de la fibre. Montrer que pour des valeurs de f, n bien choisies par rapport à f,, A, prend la forme suivante AD, =A®P,+®,; cos(27 j,,{) où on exprimera la constante ®,,. en fonction de ®,,. Donner l'expression de l'intensité 7(f) enregistrée par le détecteur en fonction de Jo, AD, Dr, fn et, puis montrer qu'elle peut se mettre sous la forme suivante : I() = 2: +cos(AP, Jcos(®,y cos(27x f, i)) --sin(A®, Jsin(®,, cos(2x f, n))| 12/19 IV.2 - Analyse harmonique Q29. À l'aide des données de l'annexe (page 19), montrer que le développement en série de Fourier du signal  Z(f) limité à ses trois premiers termes s'écrit 1()=i, + cos(27 f,f)+i, cos(4r f,f) avec io, i1 et i2 trois coefficients à exprimer en fonction de 6, A®, et des valeurs (Des), J1(Den et (Der des fonctions de Bessel. Une méthode de détection de la rotation de la fibre basée sur la détermination du coefficient z; est détaillée dans les questions Q31 à Q33. Q30. a) Que vaut ii en l'absence de rotation ? b) Expliquer pourquoi la détermination de à; permet de résoudre les problèmes sur le sens de la rotation et sur la sensibilité aux faibles vitesses évoqués en Q26. Pour extraire la valeur de 1, on met en oeuvre une méthode de détection synchrone : on utilise pour cela un démodulateur (figure 6) constitué d'un étage multiplieur (de constante caractéristique X,) et d'un circuit (R,C). La tension réponse du détecteur d(f)=K1(f) (où K est une constante caractéristique du détecteur) est multiphiée par une tension sinusoïdale s(f) =, cos(27 f,,f) synchrone de l'harmonique qu'on cherche à extraire (1.e. de même fréquence et de même phase que lui). Ainsi, la tension en sortie de multiplieur est p(r) = K, d(t)s(t). | X d(r) = KI(#) r 4 (Kp) k c 1 pUG)=K, d(r)s(?) u s(f)=5,cos(27 f,,f) TTT TTT TTT TTT Figure 6 - Schéma du démodulateur Q31. Exprimer la tension p(E) sous la forme d'une somme Po + P. COS(27 f,,f)+ p, cos(4r f,,f) + p, cos(6r f,,f) dans laquelle on précisera les valeurs des coefficients po, p1, p2 et p3 en fonction de K p> K, So et des coefficients 
10, 1 et 2 introduits
en Q29.

Q32. Expliquer le rôle de la cellule (R, C) par rapport à l'objectif visé. 
Exprimer une condition
littérale avec /,, et la constante de temps t = RC de la cellule pour que la 
tension z aux bornes
de C soit constante. Donner une valeur numérique convenable de +.

Q33. La condition demandée en Q32 étant satisfaite, on donne la valeur de 
obtenue aux bornes de
C:u=  Kok lo so /(D,y)sin(AD, ).
Application numérique :

fn =30kHz, D,,- 1,8 rad, s0= 10,0 V, K,K1,=1,0, r -- 10,0 cm, N-- 10%, Jo = 410 
nm et
u=--1,5 V. Calculer A. (en radians) puis Q2.

13/19
I1V.3 - Simulation informatique

Cette sous-partie est indépendante des questions précédentes. Ni le traitement 
des questions Q24 à
Q33, n1 la connaissance du signal p(?) ne sont nécessaires pour répondre aux 
questions ci-dessous.

On veut faire une simulation du filtrage du signal p(f) par la cellule (R, ©) à 
l'aide d'un code
informatique. L'intervalle de temps choisi pour la simulation est [f; ff. On 
définit dans cet
intervalle N dates f, équidistantes, avec n entier naturel (n = 0, 1,2,.., 
(N-1)).

On note h = fn+1 -- fn = (ff -- G)/(N-T) le pas de temps.

On note w, la valeur de y à la date #5 : un = u(fn).

On fait de même avec p : Pr = P(fn).

Q34.

Q35.

Q36.

a) Établir l'équation différentielle liant #(f), p(?) et t = RC.
d ..
b) Mettre cette dernière sous la forme = f(p(),u(f)) où on explicitera la 
fonction f

(paramétrée par t).
c) En déduire l'écriture de la différence w,,;,-u, en fonction de l'intégrale

n+l

[
Ve | SGGu()dr.

l

n

Méthode n° 1
Écrire l'évaluation approchée de Y, par la méthode des rectangles.

En déduire la relation de récurrence donnant #,+1 à partir de w», 7, h et 
fÜPnun). Quel nom
donne-t-on à cette méthode ?

Méthode n° 2 : méthode améliorée de Runge-Kutta
On reprend l'intégrale W,, de la question Q34.c. Ecrire l'évaluation approchée 
de Y, par la

méthode des trapèzes.

Grâce à une évaluation approchée de w,,, à préciser, montrer que la relation de 
récurrence qui

n+]
permet de calculer #,+1 à partir de w», Pn et pn+1, prend la forme suivante :
= {(Pnsün)

Uni =U ++ avec
Mn 2 k= fps un +rh)

14/19
Écriture du programme (Informatique Pour Tous)

On prendra N = 5 000, la date de début ti = 0 s, la date de fin ts = 0,001 s et 
(0) = 0 comme
condition initiale. Le candidat utilisera le langage de programmation Python 
pour compléter le
programme (tableau 1) en Q37.

Dans ce tableau, lignes 13 à 17, le symbole (@ désigne des valeurs numériques 
qu'on ne
demande pas de renseigner. A partir du bloc ligne 34, $$$ indique le code 
absent à compléter
(un morceau de ligne ou une ligne ou plusieurs lignes d'instructions).

Programme incomplet (Python) N° de
ligne
import matplotlib.pyplot as plt I
import numpy as np 2
3
#Définition des constantes 4
fm=--3E4 # fréquence de modulation 5
I0-]. #intensité de référence 6
K=1. 7
s0=10. 8
Kp=1. 9
pi=np.pi #valeur pi de numpy nommée pi 10
11
Valeurs numériques entrées 12
phi s-@ # valeur de As trouvée en Q33 13
phi eff-@ # valeur de Der 14
# différents essais (cf. question Q38) 15
tau --@ # valeur de la constante de temps 7 (cf. question Q32) 16
# différents essais pour illustrer le rôle de la cellule (R,C) 17
L8
# Définition des signaux I(t), d(t), s(t) et p(t) 19
def I(t): 20
return (10/2)*(1+np.cos(phi s+phi eff*np.cos(2*pi*fm*t))) 21
22
def d(t): 23
return K*I(t) 24
25
def st): 26
return S0*np.cos(2*p1*fm*t) 27
28
def p(t): 29
return Kp*d(t)*s(t) 30
31
#définition de la fonction f 32
def f{x.y) : 33
5$$ 34
35
dates initiale et finale de la simulation 36
ti, tf= 0, 0.001 37
38
nbre de dates de simulation 39
N=5000 40
41
h=(tf-t1)/(N-1)  #pas de temps 42

15/19

Hdéfinition de la liste T des dates f, :
T-- ]
for n in range ($$$

SSS

#définition de la liste P des valeurs p{f,)
SSS

#Calcul de U par la méthode n°1 :
def E(P) :
U=[0] #initialisation avec (0)=0
for n in range($S$S$
U.append($$$
S$S

UI=E(P) # Liste UI obtenue par appel de E(P)

# Affichage de la liste des résultats de la méthode n°1
print(Ul)

#Calcul de U par la méthode de Runge-Kutta
def RK(P):

U=[0]

S$S

U2=RK(P) #Liste U2 obtenue par appel de RK(P)

# Représentations graphiques pour la méthode de Runge-Kutta
plt.figure( )

plt.plot(T,P,'b')

plt.plot(T,U2;'r')

plt.title('p(t) et u(t)')

43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77

Tableau 1 - Programme incomplet

Q37. Répondre sur la copie aux consignes ci-dessous :
bloc ligne 32 : compléter le programme pour la définition de la fonction f.

*

*

bloc ligne 44 : compléter cette section par les lignes nécessaires à la 
création de la liste T

des N dates f, équidistantes dans l'intervalle [to; ts].

bloc ligne 49 : faire de même pour la création de la liste P des valeurs p(#,).

bloc ligne 53 : recopier et compléter cette partie de programme pour obtenir la 
liste U des

valeurs 4(f,) calculées par la méthode n° 1 de la question Q35.

bloc ligne 65 : écrire une fonction RK(P) qui remplit la liste U des valeurs 
z(f,) calculées

par la méthode de Runge-Kutta de la question Q36.

16/19

Q38. Pour la valeur AD de la question Q33, les figures 7a, b, c, d et e 
fournies en page 18 sont
les représentations graphiques de p(f,) et u(f,) obtenues par la fonction RK. 
L'unité utilisée en
ordonnée est le volt. Chaque figure correspond à un couple (7,®,,;) dont les 
valeurs sont

regroupées dans le tableau 2.

N° du couple Ï 2 3 = 5
Nom de la
figure
(r,D,,) (500 us, 1,8 rad) | (50 us, 1,8 rad) | (5 us, 1,8 rad) | (50 us, 3,8 
rad) | (50 us, 5,4 rad)

Tableau 2

a) Recopier le tableau 2 et compléter la ligne vide à l'aide du document dans 
l'annexe et des
valeurs numériques données en Q33. Vous fournirez les explications qui ont 
motivé vos
réponses.

b) Quelle valeur de ®,; n'est-elle pas conseillée ? Pourquoi ?
c) Quel avantage et quel inconvénient ces graphes laissent-1ls entrevoir dans 
le choix d'une

grande valeur de 7?
d) Calculer la valeur de AD s1 on exploite le graphe (50 us, 5,4 rad) en 
pensant qu'il s'agit

d'un graphe (50 us, 1,8 rad).

17/19

p(t)  u(t

ii Le
l = | {Il |

più et uft)_ fig a) ' pt} et ult). fig b)

pt u(t)

1

\

-2
-3 -3
RL [TTTTTTTTN jui 1
: |:
ET ||
68000 0.002 0.004 0.0006 0.0008 0.0010 6000 0.002 0.004 0.0006 00008 0.0010
t(s) t(s)
Figures 7a et 7b p(f) et u(fh)
, TS pit} et u(t)_ fac) 6 LE UC. fig d)
: pt u(b
TER)
0
" | + (ll '|
|
Al | LL
-3 | ' \
AN
S | |
Go O0 Co 000 Co vu 0.0000 00002 Te .0006 ns 0.0010
t{s) t(s)

pt) et ut) Ps

4
p(t) ne)

ALL \
TON

-1

-2

-3

À.

60000 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.0010
t(s)

Figures 7c, 7d et 7e p(f;) et u(fn)

18/19
ANNEXE

Les fonctions suivantes :

LL: Ë -- f,(ê)=cos(z cos)
gg: Ê -- g,(£)=sin(zcosé)

paramétrées par le réel z ont pour développements en série de Fourier :
[

LE) = +29 D" J,,(2) cos(2nEUR)
n=]

(9-25 (DJ) cos((2n+ DE)
n=0

L

où J, est la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 7.

Le document ci-dessous donne les graphes des fonctions /, pour n = 1,2 et 3.

D EPST)
Mittle + pti|

Document - Graphes des fonctions de Bessel 1, J2 et J3

FIN

19/19