CCINP Physique MP 2021

SESSION 2021 MPSP

GP

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

PHYSIQUE

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a êté amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence
des résultats.

° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de sept parties indépendantes.

Les portions de texte en italique donnent des informations générales et 
apportent des éclairages
historiques permettant de donner une cohérence au sujet. Leur lecture n'est pas 
indispensable pour
répondre aux questions posées.

Les données, approximations et formules mathématiques utiles sont disponibles 
en fin de sujet
page 18 ou dans l'énoncé.

Les résultats numériques attendus devront être fournis avec une précision 
suffisante pour pouvoir
être interprétés.

Le sujet comporte neuf documents apportant des informations sur différents 
aspects du thème
abordé dans le sujet ou sur les systèmes étudiés dans chaque partie. Ils 
peuvent être utilisés pour
apporter un commentaire ; lorsqu'ils sont indispensables pour répondre à une 
question, cela est
indiqué dans Île texte de la question.

1/19
Une brève histoire de la photographie

Les images sont omniprésentes dans l'environnement et il peut sembler qu'elles 
l'ont toujours été.
C'est pourtant loin d'être le cas. Longtemps le dessin et la peinture furent 
les seuls moyens utilisés
pour représenter la réalité sur un support à deux dimensions et ce n'est qu'au 
XIX° siècle qu'un
procédé technique permit de "capturer "des images.

Partie I - Optique de l'appareiïl photo

La date conventionnelle de l'invention de la photographie a été fixée au 7 
janvier 1839, date à
laguelle Arago présenta à l'Académie des Sciences l'invention de Daguerre : le 
daguerréotype.
Mais l'histoire de la photographie commence bien avant notamment avec la camera 
obscura
(chambre noire) qui est utilisée dès le XVF siècle pour des travaux 
topographiques. Les historiens

de l'art ont également montré qu'elle était utilisée par des peintres, comme 
Vermeer ou les frères
Van Eyck.

Le fonctionnement de cet ancêtre de l'appareil photo repose sur les propriétés 
des lentilles.

L.1 - Objet et image

On modélise un appareil photo (figure 1) par l'association d'une lentille mince 
(L) de focale

f'=OF' appelée "objectif ", d'un capteur (C) sur lequel on souhaite récupérer 
l'image et d'un
diaphragme (D) placé devant la lentille.

(L)
| À (C)
O F 7x
Y d
D) <----- >

Figure 1 - Modélisation d'un appareil photo

La distance d entre la lentille (Z) et le capteur (C) est réglable, grâce à un 
mécanisme lié à
l'objectif ; elle est comprise entre dmin et dmax.

À l'aide de cet appareil, on souhaite former sur le capteur l'image d'un arbre 
de hauteur h situé à
une distance L devant l'objectif.

Q1. a) La lentille mince est utilisée dans les "conditions de Gauss ". Préciser 
en quoi elles
consistent.
b) Quelle partie de l'appareil permet d'assurer que ces conditions sont 
remplies ?

2/19
Q2. a) Faire un schéma soigné de la situation en notant AB l'objet et A'B' son 
image sur le
capteur (A est sur l'axe et AB appartient à un plan orthogonal à l'axe). 
Positionner les
foyers principaux et tracer au moins deux rayons lumineux 1ssus de B pour 
justifier la
position de l'image A'B".

b) Exprimer la taille A'B' de l'image de l'arbre sur le capteur en fonction de 
h, f' et L.
Calculer cette taille avec f'= 50 mm, h=5 m et L=20 m.

Rappel : l'objet AB et l'image A'B' donnée par la lentille mince de centre O et 
de foyers
principaux F (objet) et F' (image) dans les conditions de Gauss sont liés par 
les relations :
l l |  A'B' OA A'B' F'A' FO

LL, ABLOA . papa-(ü) ; AB_FA FO
OA' OA OF AB OA AB  F'O FA

Q3. a) Quelle est la valeur de d lorsque l'objet est à l'infini ?

b) Montrer qu'il existe une distance limite notée Lmn en dessous de laquelle 1l 
ne sera pas
possible d'obtenir une image sur le capteur, alors que ce serait toujours 
possible pour des
valeurs supérieures à Limin.

c) Exprimer Lmin en fonction de f' et dmax.

d) Calculer Lmin pour f'=50 mm et d,,, =55 mm.

L.2 - Influence de la focale

On souhaite obtenir une image de l'arbre sur le capteur plus grande sans 
changer de place (donc en
gardant la même valeur pour L). On change donc l'objectif et on le remplace par 
un objectif de
focale f! =100 mm. La distance d est toujours réglable mais les valeurs dmin et 
dmax sont différentes

des valeurs de Q3.

Q4. a) Quelle sera la taille de l'image de l'arbre sur le capteur ?
b) Si on suppose que le capteur a pour dimensions : 24 mm x 36 mm, sera-t-1l 
possible de
voir l'arbre en entier sur la photo obtenue ?

Remarque : pour QS et Q6, des approximations justifiées seront à faire.

Q5. L'objectif utilisé est appelé "téléobjectif " ou "objectif de longue focale 
". Sur un site
internet dédié à la photographie, on peut lire que ce genre d'objectif " 
rapproche les objets ".
Commenter cette phrase en indiquant la part de vérité ou d'inexactitude qu'elle 
contient. Un
raisonnement et un calcul numérique sont attendus (en utilisant une 
approximation justifiée).

On souhaite maintenant réaliser un téléobjectif en utilisant deux lentilles : 
une lentille (Z:1)
convergente et une lentille (Z2) divergente, séparées par une distance e. La 
distance L entre (L1) et
l'arbre n'a pas changé.

Q6. La lentille (Z1), de focale f;, donne de l'arbre AB une image intermédiaire 
A1B1 qui joue le
rôle d'objet pour la lentille (22), de focale f,, qui en donne une image finale 
A'B".

a) Exprimer la distance O,A, en fonction de fj et e (en utilisant une 
approximation
justifiée).

b) L'image A'B' doit être réelle. En déduire que la distance e entre les 
centres des deux
lentilles doit être située dans une plage de valeurs bien précise. Exprimer 
cette condition
sur e sous la forme d'une double inégalité sur e, f/ et f, (en utilisant une 
approximation
justifiée).

c) Vérifier que cette condition est réalisée avec 1 =10 cm, f, =--5 cm et e=8 
cm.

3/19
Q7. Avec les valeurs numériques de Q6c :
a) Calculer la distance d,

b) Calculer la taille de l'image A'B' de l'arbre sur le capteur.

c) Indiquer s1 ce téléobjectif est équivalent à l'objectif de Qd.

L.3 - Exploitation d'une photo

Les tailles des capteurs dont sont équipés les appareils numériques actuels 
sont variables, comme

l'indique le document 1.

Document 1 - Exemples de capteurs d'appareils photo numériques

Standard Diagonale of Tel
1/2,5"  7,18mm 4,29x5,76 mm
1/2,3" 7,7 mm 4,62x6,16 mm

1/2" 8 mm 4,8x6,4 mm
1/1,7"  9,5mm 5,7x7,6 mm
1/1 16" 10 mm 6x8 mm
4/3" 21,6mm 13x17,3 mm
24.8 mm 13,8x20,7 pr (Sigma)
se # 15,8x23,6 mm (Nikon,
28,4 mm
Sony)

Exemples
Panasonic TZ6
Fuji F70EXR
Canon G10
Fuji S200EXR

on 1101S

reflex amateurs

Nikon D700, Sony Alpha 900

Source : Wikipedia

La photo ci-dessous a été prise avec un appareil photo numérique de type "Canon 
G10 ". Les
informations relatives à la photo sont consignées dans le document 2.

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Il s'agit d'une photo prise dans la baie du Mont Saint-Michel (au point B sur 
la carte satellite du
document 3). La distance BC vaut 1,46 km.

Document 2 - Informations relatives à la prise de vue (Photo Mont Saint-Michel)

Sensibilité : 100 ISO
Vitesse : 1/250 s
Ouverture : f/7,1
Focale : 18 mm

Document 3 - Image satellite de la baïe du Mont Saint-Michel

F néceene
MEN
FA Val:Saint-Père

L Û

g

7

Mesurer une distance
Cliquez sur la carte pour ajouter la ligne au trajet.

Distance totale : 1,46 km (4 792,01 ft)

À : Bec d'Andaine B : lieu de la prise de vue C : Mont Saint-Michel

QS. À partir de la photo obtenue et des documents 1, 2 et 3, déterminer la 
hauteur du Mont Saint-
Michel (flèche comprise) en indiquant les hypothèses posées, la modélisation du 
problème
(par exemple par un schéma légendé) et les calculs effectués.

1.4 - Comment expliquer les propriétés des lentilles ?

Les propriétés optiques des lentilles viennent de leur forme géométrique.

Pour en proposer une explication, on considère une lentille plan-convexe 
(figure 2) constituée d'un
verre d'indice n. L'indice de l'air ambiant est égal à 1.

La partie sphérique de la lentille est une portion de sphère de centre C et de 
rayon R =CB.
L'épaisseur de la lentille au centre est e = OS.

On considère un rayon incident parallèle à l'axe optique, à une distance h de 
celui-c1. Ce rayon
pénètre dans la lentille en A et est réfracté en B. On note 1 et r les angles 
incident et réfracté,
comptés par rapport à la normale (CB). Le rayon émergent de la lentille coupe 
l'axe optique en F'.
On note K le projeté orthogonal de B sur l'axe optique.

5/19

rayon incident A B A;
r

_
et axe optique

C O KÏS RC

rayon émergent

pd
\
\
\
4
\
\
\
\
\
\
|

Y

Figure 2 - Lentille plan-convexe

Q9. a) Écrire la loi de la réfraction en B.
b) Montrer que la distance OF" peut se mettre sous la forme :

US : R sin(1)
OF'=e R|1 cos)

Q10. a) La lentille constitue-t-elle un système rigoureusement stigmatique ?
b) Si on considère une lentille mince (e faible devant R) et des rayons 
paraxiaux, peut-on dire
que le système est approximativement stigmatique ? Justifier.
c) Dans le cas de la lentille mince, donner une expression approchée de la 
distance OF".

Q11. On suppose que cette lentille possède les propriétés des lentilles minces 
utilisées dans les
conditions de Gauss, que F' est son foyer principal image et O est son centre 
optique. On
considère le rayon qui coïncide avec l'axe et qu1 n'est donc pas dévié par la 
lentille.

a) Exprimer le chemin optique (OSF') en fonction de e, net r.
b) En justifiant par un théorème (à citer), quelle relation existe-t-1l entre 
le chemin optique
(ABF") et le chemin optique (OSF") ?

Partie II - La lumière

Le contrôle de la lumière qui pénètre dans l'appareil photo est essentiel, 
qu'1l soit argentique ou
numérique.

IL.1 - Réglage de différents paramètres lors d'une prise de vue

Le document 4 indique les différents réglages en mode manuel (en mode 
automatique, les réglages
sont déjà faits par défaut) pour obtenir une bonne exposition.

6/19

Document 4 - Réglages de l'exposition d'une photo

L'exposition est un paramètre technique important pour la réussite d'une photo. 
Elle caractérise en
quelque sorte l'action de la lumière sur le capteur. S1 l'exposition est trop 
faible, l'image obtenue
sera sombre (sous-exposée) ; à l'inverse, une surexposition produira une image 
trop claire.

L'exposition est choisie en fonction de la scène à photographier (intérieur, 
extérieur, etc.) et peut
être contrôlée par trois paramètres.

* La sensibilité ISO correspond à la sensibilité à la lumière du capteur (ou de 
la pellicule) ; elle
varie en général entre 100 (faible sensibilité) et 3 200 (grande sensibilité). 
Une sensibilité deux fois
plus grande correspond donc à un capteur deux fois plus sensible. Il est 
préférable d'utiliser une
sensibilité faible car les hautes sensibilités augmentent le bruit, ce qu1 
détériore le résultat.

+ La vitesse d'obturation représente la durée pendant laquelle l'obturateur 
reste ouvert. Elle est en
général comprise entre 1 s et 1/250 s. Une faible vitesse peut entrainer des 
phénomènes de
"bougé " s1 la scène est en mouvement.

+ L'ouverture du diaphragme correspond à la taille du disque qui laisse passer 
la lumière quand
l'obturateur est ouvert. Elle est indiquée par une notation f/x, où x est 
appelé "nombre
d'ouverture ". Voici quelques valeurs de l'ouverture :

PASOEE

f/2,8 1/4  1/5,8 f/11 {16

Lorsqu'on passe d'une valeur à l'autre (de la gauche vers la droite) on divise 
par 2 la surface
d'ouverture du diaphragme. L'ouverture modifie également la profondeur de champ 
: une plus
faible ouverture permet d'obtenir une plus grande profondeur de champ.

Source : d'après apprendre-la-photo.fr

Document 5 - Le triangle de l'exposition

On résume souvent l'exposition d'une photo par le " triangle d'exposition "

t Ouverture
1 f/2
fl2,8

F4

f/5.6

Vitesse

L'exposition est représentée par la surface du triangle.
Source : apprendre-la-photo.fr

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Q12. Un photographe amateur effectue une prise de vue (un portrait d'une 
personne immobile) en
extérieur avec les réglages suivants : (ISO : 100 / vitesse : 1/250 $s / 
ouverture : f/8). Il
l'estime correctement exposée et souhaite en effectuer une autre avec la même 
exposition, en
conservant la même sensibilité, mais avec une ouverture f/4. Répondre aux 
questions
suivantes en justifiant les réponses à l'aide des documents 4 et 5.

a) Quelle vitesse d'obturation doit-il choisir ?

b) Ce nouveau réglage va-t-1l permettre d'augmenter ou diminuer la profondeur 
de champ ?

c) Si la personne bouge un peu durant la prise de vue, y a-t-1l un risque plus 
grand, en
comparaison avec la première photographie, que l'image obtenue soit floue ?

IL.2 - Modèle corpusculaire

Une composante monochromatique de fréquence v de la lumière peut être modélisée 
également par
un flux de photons se déplaçant avec une célérité c.

Q13. Donner l'expression de l'énergie de chacun de ces photons en précisant la 
signification et les
unités des termes utilisés.

Donnée : une ouverture f/8 correspond à un diamètre d'ouverture (sensiblement 
circulaire) du
diaphragme de 5 mm dans les conditions de cette prise de vue.

Q14. Si on considère une prise de vue avec les réglages (ISO: 100; vitesse: 
1/500 s ;
ouverture : f/8), estimer le nombre de photons qui pénètrent dans l'appareil 
durant
l'ouverture de l'obturateur si on considère un éclairement solaire moyen de 700 
W-m *. Pour
cette question, on admet qu'il est équivalent de considérer que la lumière 
solaire est
monochromatique, de fréquence v=5,0-10!* Hz.

Partie IIT - Le capteur

La date admise pour l'invention de la photographie correspond au moment où 
l'image a pu être
'capturée ". Cela füt possible en utilisant un procédé analogique, une réaction 
chimique
déclenchée par la lumière, dès le début du XIX° siècle. Il faudra attendre 1970 
pour voir apparaître
les premiers capteurs numériques dont le principe de fonctionnement est décrit 
dans le document 6.

Document 6 - Fonctionnement d'un capteur CCD

Un capteur est construit sur un substrat de silicium et chaque photo-site (ou 
pixel) est délimité par
une fine électrode métallique appelée " grille ". Chaque photon qui arrive sur 
un photo-site crée une
paire électron-trou et l'électron est " piégé "" si on applique une tension 
positive (Vo) entre la grille
et le silicium. Chaque photo-site peut donc être modélisé comme un condensateur 
qui se charge au
cours du temps sous l'effet de l'éclairement, la charge
étant proportionnelle à l'intensité lumineuse reçue. À la Ve> OV
fin de la durée d'exposition du capteur (appelée " durée
d'intégration ") la charge de chaque photo-site est
convertie en tension et le photo-site est remis à zéro.

grille

(BC E--SCSCSCSCSCXC

Source: Contribution au développement d'une technologie |E
d'intégration tridimensionnelle pour les capteurs d'images CMOS à

pixels actifs, Perceval Coudrain (2009, Thèse de doctorat,
Université de Toulouse)

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Q15. Sous quel nom est connu le phénomène selon lequel un photon peut " 
arracher " un électron à
un métal ? Citer le nom du physicien qui en proposa une interprétation en 1905.

Q16. Ce phénomène ne peut avoir lieu que s1 le photon possède une énergie 
minimale, liée au
matériau du support. Pour le silicium, cette énergie minimale est de 1,12 eV. 
Montrer que
cette valeur est compatible avec la photographie en lumière visible.

Partie IV - Le flash

Pour effectuer des prises de vues en faible luminosité, il est possible 
d'utiliser un système
complémentaire externe qui apporte de la lumière : le flash. Cette idée n'est 
pas récente puisque
dès la fin du XIX° siècle les photographes l'utilisaient. On obtenait alors une 
lumière intense en
faisant bruler un ruban de magnésium ; mais ce système n'était guère pratique 
et parfois même
dangereux. La première ampoule flash électrique fut inventée en 1925.

IV.1 - Utilisation d'un flash

Le document 7 indique quelques caractéristiques d'un flash ainsi que ses 
conditions d'utilisation.

Document 7 - Le flash

Un flash donne un éclair d'une puissance connue, en fonction de ses 
caractéristiques de conception.
Pour faire varier l'éclairement (lumière reçue par l'objet), ce n'est pas 
l'intensité de l'éclair qui
varie mais sa durée. Pour obtenir un éclairement moins important (ou un flash 
moins puissant), la
durée de l'éclair du flash est réduite par le flash lui-même et inversement. 
Par exemple, alors qu'un
flash à pleine puissance MI/1 émet un éclair d'une durée de 1/880 s, un flash à 
puissance réduite
M1/8 émet un éclair d'une durée de 1/5 000 s.

La puissance d'un flash est indiquée par son Nombre Guide (NG). Plus ce nombre 
est important,
plus le flash est puissant. Les flashs intégrés sur les Reflex ont généralement 
un nombre guide
d'environ 10-12. Ce nombre guide permet d'estimer la portée du flash, exprimée 
en mètre :

NG *x facteur de sensibilité

nombre d'ouverture
avec les facteurs de sensibilité suivants :

Sensibilité (ISO) 100 200 400 800 1 600
Facteur de sensibilité Ï 1,4 2 2,8 4

portée =

Source : www.police-scientifique.com

On rappelle que s1 on note l'ouverture f/x, alors x représente le nombre 
d'ouverture.

Q17. Un flash avec un nombre guide de 12 est utilisé pour prendre une photo 
avec une sensibilité
de 400 ISO et une ouverture f/1 1. Quelle est la portée de ce flash (ordre de 
grandeur) ?

Q18. Pour expliquer le fait que le flash a une portée limitée, deux 
interprétations sont proposées :
1) la première interprétation serait que la portée du flash est liée à la 
distance que la lumière
parcourt durant l'ouverture de l'obturateur ;
2) la seconde est liée au fait que le flux lumineux, 1ssu du flash et reçu par 
un objet situé à
une distance d du flash, est une fonction décroissante de d.

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Une de ces deux propositions est correcte et l'autre inexacte. Indiquer la 
bonne interprétation.
Expliquer en quoi l'autre est inexacte en posant des hypothèses raisonnées et 
en effectuant
des calculs d'ordres de grandeurs. Le document 7 pourra être utilisé pour 
justifier ou infirmer
une des interprétations.

IV.2 - Principe de fonctionnement d'un flash

En simplifiant de façon importante, un flash se compose d'une pile (f.e.m. de 9 
V) qui charge un
condensateur dont la capacité vaut C=200 uF. Quand celui-ci est chargé, une 
diode s'allume,

indiquant que le flash est prêt à être utilisé. Lors du déclenchement de 
l'obturateur, le condensateur
se décharge dans un tube contenant du xénon sous faible pression, ce qui 
provoque l'émission d'un
éclair de courte durée.

Q19. L'énergie stockée dans le condensateur doit être de l'ordre de 10 J. En 
déduire la tension Uo
sous laquelle 1l faut le charger. Commenter cette valeur.

Q20. Le condensateur, initialement chargé et présentant une tension Uo à ses 
bornes, se décharge

dans le tube à xénon qu'on modélise par une résistance R = 1 Q.

a) Faire un schéma du circuit électrique dans lequel s'insèrent le condensateur 
et le tube lors
de la décharge. Établir l'équation différentielle que vérifie la tension u(t) 
aux bornes du
condensateur au cours de sa décharge.

b) Établir l'expression de la puissance p(t) instantanée reçue par le tube au 
cours de sa
décharge en fonction du temps.

c) Tracer l'allure de la courbe p(t).

Q21. La durée de l'éclair produit par la décharge du condensateur est de 
l'ordre de 1/200 s. Quelle
fraction de l'énergie totale est reçue par le tube pendant cette durée ?

Partie V - Le stabilisateur d'image

Un des problèmes récurrents et que connaissent tous les photographes, 
professionnels ou
amateurs, est le "bougé" qui se produit lorsqu'une photographie est prise alors 
que le
photographe est en mouvement. Le résultat est une image floue. Une des 
possibilités pour éviter ce
phénomène consiste à augmenter la vitesse (diminuer la durée d'exposition) ce 
qui n'est pas
toujours possible.

Le premier système stabilisateur d'image a été inventé par Garett Brown en 1972 
et ne s'appliquait
qu'aux caméras. Il était donc destiné aux professionnels du cinéma. À partir 
des années 2000,
différents systèmes furent adaptés aux appareils photos.

Cette partie s'intéresse au fonctionnement d'un appareil capable de mesurer les 
mouvements que le
photographe communique (volontairement ou non) au boîtier de l'appareil photo 
lors d'une prise de
vue.

V.1 - Étude d'un oscillateur mécanique

On considère un oscillateur mécanique (figure 3) constitué d'un ressort de 
raideur Kk et de longueur
à vide {/, dont l'extrémité supérieure est fixée sur la face supérieure 
horizontale d'une boîte. A

l'extrémité inférieure du ressort est accrochée une plaque de masse m.

10/19
Ce système peut constituer un accéléromètre. Il pourra donc mesurer les 
accélérations de la boîte
(qui modélise un appareil photo par exemple). On négligera d'éventuels 
mouvements autres que
celui de translation verticale.

On supposera le référentiel terrestre galiléen et on note g la norme de 
l'accélération de la pesanteur.

plaque

OR |

Y X

Figure 3 - Schéma simplifié d'un accéléromètre

Q22. En supposant que la boîte et la plaque sont immobiles, exprimer la 
longueur x, du ressort à la
position d'équilibre dans ces conditions, en fonction de m, g, k et /,.

Par la suite, on étudie le mouvement de la plaque par rapport à la boîte dans 
le cas où celle-c1 est
elle-même en mouvement par rapport au référentiel terrestre. On note a=a(t)e, 
l'accélération de
la boîte par rapport au sol (lié au référentiel terrestre).

On note alors x(t) la position instantanée de la plaque comptée par rapport à 
O, dans le référentiel
lié à la boîte.

Au cours de son mouvement dans la boîte, la plaque est soumise également à des 
frottements
visqueux, modélisables par une force f=-av, où v= Le est la vitesse de la 
plaque par rapport

à la boîte et à un coefficient strictement positif.

Q23. a) La boîte constitue-t-elle un référentiel galiléen ?
b) Ecrire la deuxième loi de Newton appliquée à la masse dans le référentiel de 
la boîte.

2
d'x oe,dx ,

Q24. Montrer que x(t) obéit à une équation différentielle du type de + Q dt 
+@5x=1f(t) où Ît)

| k l \
est une fonction du temps avec ©, =, --, Q=--4VKk:m et ft) à exprimer.
m a

On considère que la boîte est soumise à une accélération sinusoïdale a(t) = A, 
cos(wt) d'amplitude

Am, de pulsation æ et de fréquence f -- 37 On admet avoir atteint le régime 
sinusoïdal forcé et
TT

que le déplacement par rapport à la position d'équilibre est de la forme
X(t)=x(t) Xe = Re!X, exp(j(ot -- 0)} avec j =--1. X_ est un réel positif ou nul.

11/19
On montre alors que Xm vaut :

{e-ar (#7)

Q25. a) Montrer qu'il existe un domaine de fréquences pour lesquelles la 
réponse X(t) est
proportionnelle à l'accélération a(t).
b) Etablir la relation entre X(t) et a(t) en fonction de k et m dans ce domaine 
de fréquences.

Q26. Le document 8 est une synthèse de l'analyse spectrale du tremblement de la 
main (pour un
être humain) ainsi que de ses origines. Il représente la répartition 
fréquentielle de l'amplitude
des mouvements. L'unité de l'axe des ordonnées n'a pas d'importance pour la 
compréhension
du graphique.

Pour un accéléromèêtre fonctionnant selon le principe décrit dans cette 
sous-partie V.1, on
suppose que Q=5 et op =5-103 rad-s-!. À l'aide de ces valeurs et du document, 
indiquer si

la condition évoquée en Q25 est remplie pour cet accéléromètre.

Document 8 - Analyse spectrale du tremblement humain

Mouvements
2 CL Système nerveux
mm
Hz ee | Reflexes

mécaniques

0,02 :-

0,01 ÿ |
Résonance

du poignet

Résonance

Résonance du des doigts

bras

--
0 5 ! 10 15 20 25 30
Fréquence [Hz]

Source : Contribution à des architectures de stabilisation d'images basées sur 
la perception visuelle et la physiologie
du tremblement humain, Fabien Gavant (2012, Thèse de doctorat, Université de 
Grenoble)

V.2 - Étude d'un condensateur plan

Comme la réponse obtenue en Q25 montre qu'il est possible de mesurer 
l'accélération de la boîte
en mesurant directement le mouvement X(t) de la

plaque, on se propose d'effectuer cette mesure par SQ y

une méthode électrostatique.

Q27. On considère un plan intini (assimilé au plan Lépepsiedipiisepeteee
yOZ) uniformément chargé en surface, avec O ?
une densité surfacique positive de charges 7
notée © (figure 4). On cherche à déterminer x
le champ électrostatique engendré par ce
plan dans tout l'espace.

Figure 4 - Plan infini chargé

12/19

a) Déterminer le sens et la direction du champ électrostatique en un point M de 
coordonnées
cartésiennes (x, y, Z). De quelle variable (x, y ou z) peut dépendre ce champ ?

b) En utilisant le théorème de Gauss, donner l'expression du champ 
électrostatique E(M) en

fonction de 6, de la constante EUR, et d'un vecteur unitaire à préciser.

Q28. On modélise à présent un condensateur par deux plans infinis uniformément 
chargés : le plan
A d'équation x =0 porte une densité surfacique de charges + © et le plan B 
d'équation x =e

porte une densité surfacique de charge --- 6, 6 et e étant des constantes 
positives.

a) À partir du résultat de Q27, déterminer l'expression du champ 
électrostatique E qui existe
entre les plaques en fonction de © et de la constante £,. Que peut-on dire du 
champ

électrostatique à l'extérieur des plaques ?
b) Etablir l'expression de la différence de potentiel U,8 = V, -- V, en 
fonction de de 6, e et

de la constante &o.

Q29. On considère à présent un condensateur réel (figure 5), constitué de deux 
plaques identiques
de surface S placées parallèlement l'une à l'autre et séparées par une distance 
e. Elles portent
des charges égales en valeur absolue et opposées en signe. La différence de 
potentiel entre ces
plaques est notée U. La distance e étant faible au regard de la taille des 
plaques, on peut
supposer que le champ électrostatique entre les plaques est le même que celui 
engendré par
deux plans infinis portant des densités surfaciques de charges équivalentes.

Plaque de surface $S
portant une charge + Q

----

Plaque de surface S
portant une charge - Q

Figure 5 - Condensateur réel

a) Définir la capacité C de ce condensateur. Donner son expression en fonction 
de $, e et &,,.
b) Avec quelle unité exprime-t-on la capacité d'un condensateur ?

V.3 - Application à la mesure d'une accélération

On envisage d'utiliser les résultats des sous-parties V.1 et V.2 pour mesurer 
une accélération. On
réalise donc un système tel que la plaque de la sous-partie V.1 soit une 
armature mobile d'un
condensateur, l'autre armature étant fixe par rapport au boîtier. On mesure la 
position de l'armature

mobile par la grandeur x(t). Quand x(t)= x,, , la distance entre les deux 
armatures est e.
L'armature fixe porte une charge +Q et l'autre armature porte une charge --Q. 
On note U Ia

différence de potentiel entre les armatures.

13/19
Q30. Établir l'expression de la tension U en fonction de Q, S, e, X(t) = x(t)- 
xea et £) . En déduire

que la mesure de U permet d'avoir accès à l'accélération a(t) que subit le 
boîtier par rapport
au sol.

Partie VI - Le filtre polarisant

Un filtre polarisant est un accessoire qui se fixe devant l'objectif. On admet 
qu'il se comporte
comme les polariseurs utilisés en travaux pratiques de physique : 1l permet de 
polariser
rectilhignement la lumière qui le traverse. On appelle "axe du polariseur " ou 
" direction de
polarisation " la direction de polarisation du champ électrique de l'onde 
électromagnétique
transmise par le polariseur.

Le champ électrique émergent est la projection sur l'axe de polarisation du 
champ électrique
incident. La rotation du filtre sur lui-même permet de choisir la direction de 
la polarisation de la
lumière filtrée. Le document 9, décrit les effets qu'on peut obtenir avec un 
filtre polarisant.

Document 9 - Utilisation d'un filtre polarisant

Le filtre polarisant est l'un des accessoires préférés des amateurs de 
photographie, en particulier de
ceux qui pratiquent la photo de paysages. Les effets obtenus avec ce type de 
filtre sont impossibles
à obtenir avec un logiciel de retouche. Deux effets sont particulièrement 
appréciés :
* le filtre polarisant permet d'atténuer voire de supprimer les reflets sur 
toutes les surfaces (eau,
verre) sauf sur les parties métalliques brillantes. Il suffit de faire tourner 
le filtre polarisant jusqu'à
disparition des reflets ;
° 1] permet également d'augmenter la saturation de bleu du ciel. La couleur du 
ciel est donc d'un
bleu plus renforcé. Pour obtenir un effet maximal, le photographe doit se 
trouver à 90° par rapport à
la direction des rayons du soleil.
Par contre le filtre polarisant fait perdre de la lumière. Il faut donc en 
tenir compte pour le réglage
de l'exposition.

Source : d'après apprendre-la-photo.fr

On cherche à expliquer les effets obtenus en photographie avec l'utilisation de 
ce type de filtre.

VI.1 - Rayonnement d'un dipôle oscillant Z

Un dipôle oscillant peut être considéré comme étant
constitué de deux charges :
° une fixe placée en un point À et de charge -- q,
* une mobile placée en B et de charge + q,
les charges étant constantes.
La distance AB = d représente la taille du dipôle.

Q31. a) Définir le moment dipolaire associé à ce

doublet de charges. Avec quelle unité
s'exprime-t-1l dans le Système International ?

b) À l'échelle microscopique, les atomes et
certaines molécules peuvent être considérés
comme des dipôles. Donner l'ordre de
grandeur de leur moment dipolaire.

Figure 6 - Coordonnées sphériques d'un point M

14/19

Y
On considère à présent ce dipôle oscillant harmonique placé à l'origine O d'un 
repère (O,x.y,z) et
dont le moment dipolaire est donné par la formule p(t)=Po cos(wt)}e, avec Po 
=d'd,x:

Le repère est associé à la base cartésienne (ex,e,,e,)

On étudie le rayonnement de ce dipôle oscillant en un point M de l'espace 
repéré (figure 6) par ses
coordonnées sphériques (r,6,9).

Q32. On étudie le rayonnement de ce dipôle dans la zone de rayonnement, en se 
plaçant dans
l'approximation dipolaire et dans le cadre d'une hypothèse non relativiste.
Traduire ces approximations par trois inégalités reliant trois échelles de 
longueurs pertinentes
en les justifiant.

Ces approximations étant vérifiées, on étudie l'onde électromagnétique rayonnée 
par le dipôle ; les
champs ne et magnétique en M sont donnés par les formules :

C2 2 __
E(M,t)=- Po --sin(6)cos{ot-kr)es et B(M,t)=- ape y --sin(6)cos(ot -- kr)e,.
TC
L'onde slectromagnétique a localement la structure d'une onde plane progressive 
harmonique de

--  -- O
pulsation ©. On pose k=ke, avec k=--.
C

Q33. a) Montrer que la puissance surfacique moyenne rayonnée en un point M de 
la zone de
2
sin" (6)

4 2 T7

rayonnement peut se mettre sous la forme P = Ko S

b) Exprimer K en fonction de u,, c et po.

Q34. Le rayonnement est-1l 1sotrope ? Si non, dans quel plan est-11l maximal ?

Q35. a) Donner l'expression de la puissance moyenne totale Piotare rayonnée par 
ce dipôle en
fonction de y, C, Po Et ©.

b) Cette expression ne dépend pas de r. Quelle signification peut-on en donner ?

On peut considérer que l'atmosphère est constituée de molécules de diazote et 
de dioxygène.
Ces molécules peuvent être polarisées s1 elles sont soumises à une onde 
électromagnétique : l'onde

électromagnétique provoque l'apparition d'un moment dipolaire induit P. dans 
chaque molécule, ce

dernier étant proportionnel au champ électrique de l'onde incidente : P. =aËE 
où E est le champ

électrique de l'onde électromagnétique incidente et « un coefficient réel qui 
dépend (entre autres)
de la molécule.

Les molécules se comportent alors comme des dipôles oscillants de moment 
dipolaire P; . On

admettra que ce phénomène, appelé diffusion Rayleigh, est le seul qu1 
intervient par beau temps.

Q36. La diffusion Rayleigh se produit lorsque la taille des molécules 
diffusantes est faible par
rapport à la longueur d'onde de l'onde électromagnétique incidente. Montrer, 
par un calcul
d'ordre de grandeur, que cette condition est vérifiée si on envisage la 
diffusion de la lumière
visible par les molécules de l'atmosphère.

15/19
VI.2 - Utilisation d'un filtre polarisant pour augmenter la saturation du bleu 
du ciel

Un photographe cherche à prendre

une photo d'un personnage (point A
figure 7) avec, en arrière-plan, le ciel X rayons du soleil >
bleu. Le temps est sec et la position OE
du photographe (point O), du
personnage (point A) ainsi que la A
direction des rayons du soleil sont
donnés sur la figure pour laquelle
l'axe OZ est vertical et ascendant. On
suppose que la lumière solaire ne
présente pas de direction de
polarisation particulière.

Y

O X

Figure 7 - Prise de vue par temps clair

Q37. En utilisant la réponse à Q34, justifier la couleur bleue du ciel, vue par 
le photographe.

Q38. a) Montrer que la lumière reçue par le photographe provenant de la 
diffusion par les

molécules de l'atmosphère est polarisée rectilignement.

b) Montrer en quoi l'utilisation d'un filtre polarisant peut augmenter la 
saturation du bleu du
ciel (telle que définie dans le document 9).

c) Expliquer la phrase du document : « Pour obtenir un effet maximal, le 
photographe doit se
trouver à 90° par rapport à la direction des rayons du soleil ».

d) Expliquer la phrase du document : «Par contre le filtre polarisant fait 
perdre de la
lumière ».

Partie VII - Traitement numérique des images

Un des apports les plus importants de la photographie numérique est la 
possibilité de modifier
l'image après la prise de vue, que ce soit en utilisant un logiciel de retouche 
d'images ou bien
directement avec l'appareil photo numérique.

Dans cette partie (/nformatique Pour Tous), on travaillera avec l'image de la 
figure 8. Le
traitement numérique de cette image se fera avec le langage Python et avec la 
bibliothèque PIL (ou
PILLOW) dont la connaissance n'est pas nécessaire.

Par ailleurs, les lignes de code proposées en Q40 et Q41 ne correspondent pas à 
l'ensemble du
listing du programme, mais seulement aux lignes utiles afin de répondre aux 
questions.

La bibliothèque PIL possède une classe Image qui permet d'ouvrir le fichier de 
l'image et de créer
un objet qui sera nommé "img" (avec l'instruction Image.open('nom du 
fichier'))sur
lequel on pourra appliquer des méthodes propres à cette bibliothèque.

Cet objet peut être considéré comme un tableau de pixels, organisés comme 
indiqué sur la figure 9.
La hauteur de l'image correspond au nombre de pixels de chaque colonne et la 
largeur au nombre
de pixels de chaque ligne. La position d'un pixel est donnée par un couple 
(x,y) de coordonnées.
L'origine est située en haut à gauche ; le pixel situé en haut et à gauche de 
l'image a donc pour
coordonnées (0, 0).

L'image étant en niveaux de gris, la valeur de chaque pixel est un entier codé 
sur un octet compris
entre 0 (pour un pixel noir) et 255 (pour un pixel blanc), les autres valeurs 
donnant un gris plus ou
moins foncé.

16/19
Deux méthodes sont particulièrement utiles :

° img.getpixel((x,y)) renvoie la valeur du pixel de coordonnées (x.y) de 
l'image nommée
"img" :

° img.putpixel((x,y),p) affecte la valeur p au pixel de coordonnées (x,;y) de 
l'image
nommée "img".

Q39.

Q40.

| largeur è
0 x _
À d
hauteur
y
V
Y
Figure 8 - Image d'origine Figure 9 - Coordonnées d'un pixel

L'objet "img" possède un attribut "size" qui permet d'obtenir des informations 
sur sa taille :
img.size renvoie le couple de valeurs (largeur, hauteur).

Lors de l'exécution de l'instruction print (img.size), la console affiche " 
(2592,1936) ".
Calculer l'ordre de grandeur de la taille (en octets) de cette image.

On souhaite créer un "négatif " de l'image, c'est-à-dire à transformer la 
valeur de chaque
pixel de façon à ce que les pixels noirs deviennent blancs, les pixels gris 
clair devienne gris
foncé, etc.

Les lignes de code suivantes permettent de créer ce négatif, nommé " 
nouvelleImage ".

colonne,ligne = 1img.size

nouvellelmage = Image.new(img.mode,img.size) # création
d'un nouvel objet avec les mêmes caractéristiques que img
pour recueillir l'image finale

for 1 in range (expression db) :
for ] in range (expression 2) :
pixel = img.getpixel((3,1))
expression 3

expression 4

L'affichage de " nouvellelmage " permet d'obtenir l'image de la figure 10.

!

Indiquer par quoi 1l faut remplacer "expression 1", "expression 2 ", 
"expression 3 " et
"expression 4 " afin que le programme fonctionne correctement.

17/19

40000 -

30000 -

20000 -

Nombre de pixels

10000 -

0 50 100 150 200 250
Valeurs des pixels

Figure 10 - Négatif de l'image d'origine Figure 11 - Histogramme de l'image 
d'origine

L'histogramme d'une image est un outil particulièrement utile pour un 
photographe. Il s'agit d'un
graphe sur lequel figurent :

* en abscisse, les valeurs possibles d'un pixel (entre 0 et 255 1c1),

° en ordonnée, le nombre de pixels ayant cette valeur dans l'image.

L'histogramme de l'image d'origine est indiqué sur la figure 11.

Q41. Pour réaliser cet histogramme avec le langage Python, on a écrit les 
lignes de code qui sont
reproduites dans l'encadré qui suit.
Un affichage de "liste x" en abscisse et de "liste y" en ordonnée permet 
d'obtenir
l'histogramme de la figure 11.

Ecrire l'instruction notée "expression 5" ci-dessous, sachant qu'il s'agit 
d'une seule
instruction n'exploitant aucune bibliothèque.

colonne,ligne = 1img.size
liste x -- range(256) #génère une liste d'entiers de 0 à
255

liste y = 256*[0]
for 1 in range(ligne):
for ] in range(colonne):

p -- img.getpixel((3,1))

expression 9
pit.plot(liste x, liste y, linestyle = '"'solid', color --
blue")
pit.xlabel('Valeurs des pixels")
plit.ylabel ("Nombre de pixels)
plit.xlim(0,255)
plt.ylim(0,48000)
plilt.show)

Q42. Lequel de ces histogramme (figures 12a, 12b, 12c, 12d) correspond au 
négatif de l'image
d'origine (figure 10) ?

18/19

40000 - 40000 -
HA un
& 200007 % 30000 -
ae e
5 E
L v
= A
E 20000 - £ 20000 -
Oo O
Z Z
10000 - 10000 -
0 T r T T T 0 T T T T T
0 50 100 150 200 250 0 50 100 150 200 250
Valeurs des pixels Valeurs des pixels
Figure 12a Figure 12b
40000 -
40000 --
n
& 30000 - un
x ü 30000 -
G X
U ©
T qu
v T
2 20000 - =
E % 20000 -
Z O
z
10000 -
10000 -
0 T T T T T
0 50 100 150 200 250 0
Valeurs des pixels 0 7 100 150 200 2
Valeurs des pixels
Figure 12c Figure 12d
Données du sujet
Constantes de la physique Approximations

+ célérité de la lumière dans le vide :

c=3,0-10$ m:s"!
* constante de Planck :h =6,63:10-**m°.kg:s"!
 permittivité du vide :

Ep = 8,85-107!7 m °.kg !l.st. A7

° sin(x)=tan(x)= x s1 x est proche de 0
° cos(x) = 1 s1 x est proche de 0

°(1+x)" sl+ax six