CCINP Physique 2 MP 2001

SESSION 2001 MP008

A

CONCOURS COMMUNS POlYTECHNIOUES

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

PHYSIQUE 2

DURÉE : 4 heures

Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous 
réserve des conditions
définies dans la circulaire nO 99-186 du 16.11.99.

Conformément à l'usage international, les vecteurs sont représentés en gras.

On donne les constantes physiques suivantes :

Charge élémentaire : e z 1,60X10_19C

Masse de l'électron : me : 0,91X10_30kg

Vitesse de la lumière dans le vide c z 3><108 rn.s_l A. PIÈGES ÉLECTRONIQUES 11), 20, 3D Les pièges électroniques 1D, 2D, 3D sont des dispositifs qui permettent, à l'aide de champs électriques et magnétiques, de confiner un électron (masse me et charge --e) dans une très petite région de l'espace, selon une, deux ou trois dimensions, respectivement. Les mouvements de l'électron seront rapportés à un référentiel R(Oxyz). I. Piège 1D On considère un champ électrostatique E dont le potentiel V associé a pour expression : 212_x2_y2 V(I') =VO 4d2 1. Montrer que ce potentiel, dit quadrupolaire, satisfait à l'équation de Laplace AV : 0, où A est l'opérateur laplacien. 2. Représenter, pour Vo (x, y, z,t) a donc pour expression :

Z'"X

(x, y, z, t) : --[VS + U... cos(Qt)] 2
2Ï0

Figure 2

3) Ecrire les trois équations différentielles du mouvement de l'électron selon 
les trois axes
du référentiel % En déduire que les équations selon Ox et Oz peuvent se mettre 
sous la
forme :

' d2ÿi
d92

+ [ki _ 2% C05(29)l61i = 0 avec 9 : __

q,-- étant la variable spatiale considérée (x ou z), k,-- et u,-- des quantités 
que l'on exprimera
en fonction de VS ,Um et :

2 2
__ meQ '"0

OL
26

Quelle est la dimension physique de oc '?

Tournez la page S.V.P.

b) On montre que les équations précédentes admettent une solution stable, 
c'est--à--dire une
solution pour laquelle l'électron est confiné au voisinage de 0 dans le plan 
Oxz, si :

----0,5 Lil-2 $ À,- S l--lu,--I.

Représenter sur un graphe (u,-,M), la zone de stabilité. En déduire, sur un 
graphe

donnant vs =Vs /0t en fonction de u... =U... /0t , la zone de stabilité du 
piège 2D de
Paul.

c) On désigne par I le point situé, à la limite de la zone de stabilité, pour 
lequel la valeur de
la tension vs est maximale avec u positif. Trouver ses coordonnées u, et v,. On

IH

choisit le point de fonctionnement vs = v , / 2 et u... = u,. Quelle doit être 
la fréquence
associée à Q pour que U ... = 5V , sachant que r0 : 2 mm ? En déduire la valeur 
de V8.

111. Piège 3D

On soumet simultanément un électron aux forces exercées par un champ magnétique 
uniforme

(11.1) et par un champ électrique quadrupolaire (1.4). On réalise ainsi un 
piège 3D, appelé piège de
Penning.

1. Ecrire les trois équations différentielles du mouvement, dans la base de K 
en fonction de
(oc et (:)Z . A quelle équation différentielle satisfait la variable complexe 
C, = x + iy ?

2. En déduire les deux solutions de cette dernière équation en fonction de wc 
et (1), . Montrer

que le mouvement est la superposition de deux mouvements sinuso'r'daux, de 
fréquences fl
et f2 que l'on calculera.

B. FAISCEAU GAUSSIEN

On se propose d'étudier l'onde lumineuse monochromatique, de pulsation to, 
issue d'un laser;
l'une quelconque des composantes du champ électromagnétique (E, B) assoc1é 
s'écrit :

ï(x, y,z, t) = w(x, » z)exp<-- ioer) w(x,y,z) étant l'amplitude complexe de la composante considérée et exp(--ioet) la fonction caractérisant la dépendance temporelle du champ, en notation complexe (i2 = -- ) Le faisceau lumineux est dit gaussien car l'amplitude complexe w(x, y,z) varie, dans un plan fixé par une valeur de z, selon une loi de Gauss, en fonction de la coordonnée transversale 1/2 p=(x2 +y2) : \£,(x y,Z)= A(p, z)exp(ikz) avec A(p,z)=C(z)exp{-- D J où k=_ü_)_=_2£ w2(z) C 7\. k et c étant respectivement la longueur d'onde (dans le vide) et la vitesse de la lumière dans le vide. La distance w(z) est appelée le rayon de la section droite du faisceau gaussien, au point de coordonnée z sur l'axe optique ; l'amplitude réelle sur l'axe C(z) ne dépend que de z. Nous étudierons d'abord la structure du faisceau gaussien émergeant d' un laser, au fur et à mesure de sa propagation, puis nous analyserons la façon dont le faisceau est transmis par une lentille mince convergente. 1. Répartition de l'intensité de l'onde lumineuse dans un plan de front Le plan de front, perpendiculaire à la direction moyenne de propagation, dans lequel le rayon de la section droite du faisceau gaussien est minimal, est pris comme origine des z. Cette valeur minimale WO du rayon de section est appelée le waist (taille en anglais) du faisceau gaussien. a) Quelle est la répartition de l'éclairement ou intensité de l'onde lumineuse [ = \11 \;f' dans le plan de front z ? Représenter avec soin le graphe correspondant I(p) de cette répartition. Calculer, en fonction de w, sa largeur totale à mi--hauteur Aol/2 . b) L'intensité précédente représente l'éclairement, c'est-à-dire le flux lumineux que reçoit, par unité de surface, un écran plan placé perpendiculairement à la direction moyenne de propagation. Calculer le flux lumineux total CD, reçu par l'écran, en fonction de w(z) et de C(z). c) Quelle est la fraction de la puissance lumineuse totale que reçoit un détecteur dont la surface coïncide avec le disque de rayon w ? En déduire l'éclairement du disque dans le cas où CD -- --lOmW et W: 1mm. 2. Transfert ondulatoire d'un faisceau gaussien dans l'approximation de Fraunhofer Un faisceau gaussien cylindrique, issu d'un laser He-Ne, de longueur d'onde 7\. : 632,8 nm, a un waist wo qui vaut 0,5 mm. Du fait de la propagation, ce faisceau subit un phénomène de diffraction à partir du plan de front Oxy placé en z = 0. Tout se passe comme si le faisceau était diffracté à l'infini par une pupille, située dans le plan Oxy et centrée en 0, dont la transm1ttance t(x, y) a la forme d'une gaussienne : Tournez la page S.V.P. 2 2 f=exp(----X--%y--l

WO

a) Expliquer sommairement (moins de 10 lignes) pourquoi l'amplitude complexe de 
l'onde
diffractée, dans le plan de front éloigné, d'abscisse z, est donnée par 
l'expression suivante

(? se lit tchapeau) :

Î(u,v) : jfæt(x, y)exp[-- i2n(ux + vy)] dx dy

où u et v sont deux quantités que l'on reliera aux composantes oc et B sur Ox 
et Oy, du
vecteur unitaire porté par OP, P étant le point de coordonnées X et Y dans le 
plan
d'observation (figure 1). Calculer l'intégrale précédente, sachant que :

J_: exp(-- 7tE,2 )exp(-- i2naâ) dE_, : exp(--- Tta2)

x X

Figure 1

b) Etablir l'expression de l'intensité I(u,v) de l'onde lumineuse. En déduire 
la largeur
angulaire totale à mi--hauteur A91/2 de la distribution d'intensité, en 
fonction de k et WO.
Calculer AG] /2 en minute d'arc.

3. Transfert ondulatoire d'un faisceau sphérique

a) Rappeler l'expression complexe tu , en un point P, d'une onde monochromatique

sphérique, dont la source est placée au point 0, origine des coordonnées. On 
désigne par

1/2 . _ _ , , \ , _ _
r = (x2 + y2 + z2) la d1stance du po1nt courant P cons1dere a l origine.

b) Développer l'amplitude complexe u; (r) de cette onde dans le voisinage de 
l'axe optique
--S

Oz (x2 + y2 << zz.) Montrer que, si on néglige les termes d'ordres supérieurs à 2, Y_S(r) s'écrit, à une constante multiplicative près : F(Z) . P2 \U (p,z)= exp "[À--Z F (z) étant un terme de phase, fonction de z, que l'on déterminera. c) Un système optique (ES) transforme une onde sphérique divergente à l'entrée (E) en une onde sphérique divergente à la sortie (S) (figure 2). Montrer qu'une lentille mince convergente peut réaliser une telle transformation, pourvu que l'origine de l'onde incidente soit située sur l'axe optique et convenablement placée par rapport au centre optique de la lentille et à son foyer principal objet. Faire une construction géométrique soignée. Dans quel cas la lentille transforme--t--elle une onde sphérique divergente en une onde plane ? Figure 2 (1) De façon générale, la relation entre le rayon de courbure algébrique --Ëe d'une onde sphérique, à l'entrée du système optique, et le rayon de courbure algébrique R S de l'onde sphérique, à sa sortie, est la relation homographique suivante, appelée « règle abcd » : aÎéEUR +b @: _ CRe+d On se place dans le cas d'une lentille mince, de distance focale image f, transformant une onde sphérique incidente qui diverge en une onde sphérique émergente qui diverge aussi ; les rayons de courbure des ondes divergentes sont alors comptés positifs. Sachant que a = l , calculer les coefficients b, c et d. 4. Transfert ondulatoire d'un faisceau gaussien Une onde monochromatique gaussienne peut être considérée comme une onde sphérique dont le rayon de courbure est un nombre complexe q défini par : _q_ R C avec: 1/2 2 -- zâ rcwâ }, 7th z R=z l+----2-- ZR=---- 5=---- et w=w0 l+_2-- La règle (1de est la même que pour une onde sphérique mais le rayon de courbure algébrique R est remplacé par q . a) Tracer avec soin, le graphe w/ Wo en fonction de z / ZR- b) Montrer que q = z -- iK , K étant une quantité que l'on exprimera en fonction de ZR. Tournez la page S.V.P. c) On utilise une lentille mince convergente, de distance focale image f =lOcm, pour transformer la géométrie d'un faisceau laser dont le waist vaut WO : 0,5 mm et la longueur d'onde 7\. = 632,8 nm. Calculer la longueur de Rayleigh zRe correspondante. En appliquant la règle abcd, trouver la relation donnant la valeur zS de z pour le waist à la sortie en fonction de celle ze relative au waist à l'entrée. (1) Quelle est l'expression du rapport W0,s /w..., des waists ? A quelle distance de la surface de la lentille se trouve le waist émergent, lorsque le waist incident est placé à 0,1 m en avant de la face d'entrée de la lentille ? Comparer les waists à l'entrée et à la sortie. EUR) En déduire les valeurs de là et @. Situer sur l'axe optique de la lentille, par rapport au centre de cette dernière, les positions W,, et WS des waists incident et émergent, ainsi que les centres de courbure C e et C5 des faisceaux incident et émergent. Les couples (We,WS) et (CEUR,Cs) sont--ils conjugués au sens de l'optique géométrique '? Commenter. Fin de l'énoncé