CCINP Physique 2 MP 2002

SESSION 2002 A MPP209
concours communs vouncumou:s

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.
Une feuille de papier millimètré devra être distribuée avec le sujet.

Conformément à l 'usage typographique international, les vecteurs sont 
représentés en gras.

***

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la

rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa
copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été amené à

prendre.

***

A. ÉTUDE D'UNE BOBINE À CHAMP PULSÉ ET DE SON ALIMENTATION

Ce problème étudie certaines caractéristiques de l'alimentation et de la 
réalisation d'une bobine
utilisée pour créer un champ magnétique pulsé de très forte intensité 
permettant d'explorer les
propriétés de la matière dans ces conditions. Le principe retenu au Service 
National des Champs
Magnétiques Pulsés de Toulouse est de décharger un banc de condensateurs dans 
une bobine de
fort coefficient d'inductance pendant une durée relativement longue (première 
partie). La
description de la bobine et du champ qu'elle crée font l'objet de la deuxième 
partie.

Ces deux parties peuvent être traitées indépendamment.

Partie I -- Alimentation pour bobine à champ pulsé

Le circuit électrique de la figure 1 comporte trois branches en parallèle. La 
première est constituée
d'un condensateur de capacité C : 25mF . La seconde comprend seulement une 
diode idéale D ne
laissant passer le courant que de B vers A. La troisième contient une bobine de 
coefficient

d'inductance propre L : 64mH et de résistance R en série avec un interrupteur 
K. On prend en
compte la variation de résistance de la bobine due à l'échauffement brutal des 
conducteurs
pendant la décharge, en adoptant une valeur moyenne de la résistance R=1£2. On 
pose

(00 = l/«/ LC et oc : R/2Loeo S 1. Initialement K est ouvert et le condensateur 
chargé sous la
tension (VA -- VB ) : V0 : 15500V , D est donc bloquée et le courant dans la 
bobine est nul.

A l'instant t=O, on ferme K. On distinguera deux régimes suivant que D est 
bloquée ou
conductrice.

Tournez la page S.V.P.

1. Calculer l'intensité IL(t) du courant dans la bobine et la tension VC (1) 
aux homes du
condensateur en fonction du temps avant le déblocage de la diode.

2. Donner l'expression littérale et la valeur numérique de la durée Il au bout 
de laquelle

l'intensité du courant IL atteint sa valeur maximum [... . Calculer 
numériquement [Lm .

3. Donner l'expression littérale et la valeur numérique de la durée 152 au bout 
de laquelle la

tension VC s'annule. Calculer numériquement IL(TZ).

4. Calculer IL (1) après le déblocage de D.

5. Donner l'expression littérale et la valeur numérique de la durée "53 au bout 
de laquelle
l'intensité est revenue à 10% de sa valeur au moment du déblocage de D.

6. Tracer sommairement les courbes représentant l'intensité IL (t) et la 
tension VC (t).

7. Quelle est l'énergie électrostatique ee stockée initialement dans le 
condensateur ?

8. Que peut-on dire de l'énergie initialement stockée dans le condensateur 
lorsque l'intensité
est redevenue nulle ?

Partie II -- Bobine pour champ magnétique intense pulsé

Une bobine épaisse est réalisée en bobinant un fil d'un conducteur isolé de 
section rectangulaire
sur un cylindre à raison de n = 250 spires par mètre, en longueur, et m = 400 
couches par mètre,

\

en épaisseur. On néglige l'épaisseur de l'isolant et on suppose le bobinage a 
spires circulaires
planes parfaitement jointives. Une fois terminé, le bobinage a un rayon 
intérieur de R1 =lcm et

extérieur de R2 = 8,5 cm (Figure 2).
On suppose pour l'instant la bobine de longueur 1 >> R2 (approximation du 
solénoïde épais
infini).

1. Donner l'expression de la densité volumique de courant J en fonction de n, m 
et de
l'intensité [ du courant parcourant les spires.

2. En raisonnant sur les symétries, donner la direction du champ magnétique au 
point M de
coordonnées cylindriques p, 6, z .

3. Calculer le champ magnétique créé en tout point de l'espace par cette 
distribution de
courants.

4. Exprimer la force de Laplace d'F s'exerçant sur un élément de volume du 
bobinage
entourant le point M.

5. On suppose que l'intégralité de ces forces volumiques est transmise à la 
surface extérieure
par la structure métallique. Quelle est la force qui s'exerce sur l'unité de 
surface du

10.

cylindre de rayon R2 ? En déduire la pression p correspondante, appelée pression

magnétique.

On rappelle que l'énergie magnétique volumique est donnée par la relation 
classique
uB(M ): (1/2 ...) )B2(M ). En déduire l'expression de l'énergie magnétique 
emmagasinée
par unité de longueur du bobinage.

Montrer que le calcul précédent permet de déduire l'inductance propre linéique 
À d'un
soléno'1'de épais infini de rayons interne R1 et externe R2.

On prend maintenant en compte la longueur finie l de la bobine étudiée et on 
précise
que des efforts longitudinaux apparaissent également qui tendent à la déformer 
dans
le sens de son axe Oz.

Evaluer, en négligeant les effets de bord, l'inductance propre L de cette 
bobine en fonction
du nombre total N de spires par couche, du nombre total M de couches du 
bobinage, de la

longueur 1 de la bobine et des autres paramètres pertinents.

On peut montrer, à partir d'un bilan énergétique convenable, que la force 
magnétique
résultante qui s'exerce sur la face extrémale de la bobine située en z = 1/2 
est donnée par

la relation F : (1/2)12(dI/dl)ez, l'autre face étant soumise, par raison de 
symétrie, à une

force égale et opposée. Evaluer, en supposant les efforts uniformément répartis 
sur ces
faces, la pression magnétique p' qui s'exerce sur elles.

On donne ...) : 47th"7S.I. La bobine de la première partie est assimilée à une 
tranche de

l=18,5 cm du soléno'1'de décrit ci-dessus en négligeant les effets de bord. 
Calculer son

coefficient d'inductance propre L. L'intensité maximum au cours d'une décharge 
du
condensateur étant de 64OOA, calculer la valeur maximum atteinte par le champ
magnétique au centre de la bobine et par les pressions p et p' s'exerçant 
respectivement

sur sa surface cylindrique extérieure et sur ses faces extrémales. Sachant que 
la limite

2

d'élasticité du cuivre est de 103 N.mm" , qu'en concluez-vous ?

A K IL
A ?
C A D
=-- L
B
Figure 1

Tournez la page S.V.P.

B. DÉPHASAGE D'UNE ONDE AU PASSAGE PAR UN FOYER

Donnée numérique d'une constante universelle :

c = 2,99 792 458>< 108 ms"1 est la vitesse de la lumière dans le vide (valeur exacte). On se propose d'étudier le changement de phase, égal à TE, qui accompagne le passage d'une onde par un foyer, résultat qui fut découvert par le physicien français L. Gouy en 1890. Dans une première partie, on établit ce résultat à partir du principe d'Huygens-Fresnel. On analyse ensuite le dispositif interférentiel de Meslin qui permet de mettre en évidence expérimentalement ce changement de phase. Enfin, on donne l'exemple d'utilisation de ce résultat dans le cas du coronographe interférentiel achromatique, instrument destiné à détecter des planètes autour d'étoiles lointaines (exoplanètes). Dans tout le problème, les ondes considérées sont des ondes lumineuses monochromatiques qui se propagent dans l'air, assimilé au vide, ou dans le verre des lentilles utilisées. On exprime, en notation complexe, la variable lumineuse par la grandeur scalaire suivante : '_P_(r,t) = w(r)eXp(-- im!) où w(r)est l'amplitude complexe de l'onde au point défini par le vecteur r a partir d'une origine arbitraire O, (1) la pulsation et i2 = ----1 . Partie I --- Passage d'une onde sphérique par son centre On rappelle la relation intégrale suivante issue du principe d'Huygens-Fresnel, entre l'amplitude complexe ÏO (M ) en un point M et l'amplitude complexe £|1_(P) en un autre point P : P)=XL)M 'VO( M)e__xp(ikr)dS dans laquelle x est un coefficient, k = 2n/À, À étant la longueur d'onde dans le vide, r : MP, dS un élément de surface entourant le point M et @ le domaine d'intégration ; dans cette expression, on suppose que le vecteur r =MP est peu incliné par rapport à la normale en tout point de QD (Figure 1). 1. Justifier sommairement (environ 5 lignes) l'expression précédente reliant g(P) et E (M ). A l'aide de considérations d'homogénéité, trouver la dimension physique de x. Quelle est la signification physique du facteur 1/ i ? 2. On considère une onde sphérique dont le centre de courbure C est situé sur l'axe Oz, à la distance R de l'origine 0 (Figure 1). Le point générique M est situé sur la sphère de rayon R ; ses coordonnées sont x, y, z dans le repère Oxyz. Le point P, où l'on étudie l'amplitude complexe de l'onde, est placé sur l'axe Oz. Figure 1 a) On désigne par EUR la coordonnée de P sur l'axe Oz et on suppose que EUR < R. Le point M est voisin de l'axe Oz, avec x et y, d'une part, petits devant R et C et, d'autre part, pouvant être grands devant z. Montrer que r = MP s'écrit, de façon approchée : r= Ç+a(x2+y2)(l--l) ç1e oc étant un facteur numérique que l'on déterminera. b) En déduire que y(P) s'obtient en effectuant l'intégrale suivante : 2 2 %ap(i2n-Ï-] Hexp{t'fix ggy ]dx dy où 82 est une quantité dont on donnera la dimension physique et que l'on exprimera en fonction de À, Q et R. \ c) Sachant que les bornes d'intégration peuvent être prises égales a --oo et oo, calculer l'intégrale précédente en utilisant le résultat suivant : t2 f exp i7t--2-- dt=l+i En déduire, a une constante multiplicative près sans intérêt, l'expression suivante de l'amplitude complexe tp_(P) : 2 É exp i2n-ç- !) %. dans laquelle [) est une longueur que l'on exprimera en fonction de x et C. 3. Que devient l'expression précédente pour EUR; > R ? Conclure sur le 
changement de phase à la
traversée du centre C.

Tournez la page S.V.P.

Partie II -- F ranges de Meslin

1. Rappeler sommairement (environ 10 lignes) en quoi consiste l'interférence de 
deux ondes
sphériques, de même amplitude, isochrones et cohérentes, issues de deux sources 
S1 et 52,

en tout point P de l'espace. On tiendra compte d'un déphasage éventuel (po de 
l'onde issue

de 52 par rapport à celle provenant de 51- On désigne par rl et r2 
respectivement les

distances SIP et 52P. Donner l'expression de l'éclairement en P, dans le cas où 
'i = r2.

Quelle est l'allure des franges d'interférence dans un plan perpendiculaire à 
la droite définie
par 5182 ?

2. Deux demi--lentilles L1 et L). ont été obtenues à l'aide d'une lentille 
mince convergente L,
de diamètre D = 5cm et de distance focale image f = 25 cm, que l'on a coupée en 
deux,

selon une direction perpendiculaire à son axe optique Oz. Les deux 
demi-lentilles sont alors
écartées le long de l'axe optique Oz, d'une distance d = 0102 = 2 mm (Figure 2).

On éclaire l'ensemble par un faisceau de lumière parallèle, dirigé suivant 
l'axe optique, issu
d'une lampe à vapeur de mercure, de longueur d'onde dans le vide À = 543,5 nm.

3) Calculer, en unité SI, les valeurs de k, de (D et de la fréquence v. Quelle 
est la couleur de
la radiation utilisée ?

b) Faire une figure soignée représentant la partie commune des faisceaux 
sphériques issus
de F] et de F2 ; on prendra sur l'axe optique un facteur d'échelle égal à 25. 
Exprimer, en

fonction de d et À, la différence de phase (po entre les ondes arrivant 
respectivement en
F2 et en F1 ?

c) Donner l'expression de la phase (pl de l'onde sphérique, issue du foyer F] 
de la demi--
lentille L1, en un point P, situé dans la partie commune des faisceaux coniques 
issus de
F] et F2. On introduira rl = FIP et on prendra comme origine des phases celle 
de l'onde
sphérique provenant de Ll et convergeant en F].

(1) Même question pour la phase tp2, au point P précédent, de l'onde sphérique 
qui converge
au foyer F2 de la demi-lentille lq. Comment traduit-on le fait que le point P 
est atteint

par l'onde sphérique, provenant de LZ, avant le foyer F2 ? On introduira r2 = 
F2P et on
prendra la même origine des phases que précédemment.

3. a) Montrer que l'intensité, au point P, de l'onde résultant de la 
superposition des deux ondes
sphériques, issues de FI et F2, fait apparaître la différence de phase suivante 
:

0'(fi+rz)+B

oc et 6 étant deux quantités que l'on calculera en précisant leurs unités 
respectives. Quelle
est la géométrie des franges d'interférence dans un plan perpendiculaire à 17le 
'?

b) Calculer la largeur maximale du champ d'interférence dans un plan de front 
orthogonal à
l'axe optique du système.

c) On analyse le phénomène d'interférence dans le plan médian du segment F1F2.

Déterminer les caractéristiques géométriques des franges noires ainsi que leur 
nombre
dans le plan où le champ d'interférence est maximal.

(1) Pour agrandir la figure d'interférence, on utilise un objectif de 
microscope, de distance
focale image f ' = 2cm, qui en forme une image sur un écran situé à une 
distance de son

foyer image égale à 1,2 m. Quel est le grandissement transversal '?

Partie III -- Coronographes
1. Coronographe solaire de Bernard Lyot

En 1932, le physicien français B. Lyot proposa un moyen d'observer la couronne 
solaire, en
dehors des éclipses, à l'aide d'un télescope réfracteur, en occultant l'image 
du disque solaire.

3) On considère un télescope réflecteur constitué d'un miroir primaire concave 
M p et d'un

deuxième miroir convexe M 2. Ces deux miroirs sont assimilés à des miroirs 
sphériques

dont les rayons valent, en valeur absolue, respectivement Rp =19,972m et

R2 =4,465m. La distance qui sépare les sommets des deux miroirs est e=8,184m
(figure 3).

Où se trouve le foyer F p du premier miroir (foyer primaire du télescope) ? En 
déduire la

position de l'image FS qu'en donne le deuxième miroir (foyer secondaire du 
télescope).

Tournez la page S.V.P.

b) Sachant que le diamètre apparent du Soleil est de 32 minutes d'arc, trouver 
le diamètre du
diaphragme circulaire qui permet de laisser passer l'image de la couronne 
solaire, dans le
plan focal du télescope, en occultant celle du disque solaire.

c) Dans l'observation d'une étoile éloignée, le miroir primaire est diaphragmé 
par une
ouverture en forme de fente, de largeur D = 0,2m. Sachant que la longueur 
d'onde du

rayonnement émis par une étoile est À = 550 nm, trouver la largeur totale du 
maximum
principal de la figure de diffraction donnée par cette fente, dans le plan 
focal de M p . En

déduire le diamètre minimal du diaphragme qui, au foyer secondaire du 
télescope, permet
d'occulter la tache centrale et les deux premiers maxima secondaires de part et 
d'autre de
celle-ci.

2. Coronographe interférentiel achromatique

Le coronographe interférentiel achromatique, proposé en 1996 par deux 
astronomes français
]. Gay et Y. Rabbia, permet de réaliser l'occultation de l'image donnée par une 
étoile
brillante. On produit, à l'aide d'un dispositif interférentiel de type 
Michelson, l'interférence
destructive entre une réplique de l'onde caractérisant l'étoile brillante dans 
le plan image et
une seconde onde subissant un changement de phase à la traversée d'un point de
focalisation.

a) Expliquer qualitativement le fonctionnement du dispositif interférentiel 
représenté sur la
figure 4. On précisera le rôle des trois lentilles minces convergentes, sachant 
que les

rayons issus de FS tombent normalement sur la lentille L3 , et on décrira 
l'aspect du plan
focal de L3.

Figure 4

b) Pourquoi cet instrument est--il achromatique, c'est--à--dire insensible à 
une variation de la
longueur d'onde ? Les auteurs pensent utiliser ce coronographe pour déceler la 
présence

d'exoplanètes, c'est-à--dire de planètes orbitant autour de l'étoile brillante 
observée.
Commenter.

Fin de l'énoncé