CCINP Physique 2 MP 2007

SESSION 2007

).

EÜHEÜLIRE EÜH"IU"«IE FÜLTTEEHHIÛUEE--

EPREUVE SPECIFIQUE -- FILIERE MP

PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites.
(Les données numériques sont choisies pour simplifier les calculs)

>l<>l<>l< NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. >l<>l<>l< Partie A : OPTIQUE Ce problème d'optique comprend trois parties; un premier chapitre << Définitions >> introduit
l'approximation de Gauss qui sera utilisée dans les deux chapitres suivants : 
<< Etude de miroirs sphériques >> et << Etude de lentilles minces >>.

Les dix figures du problème d'optique sont en page 6/12.

Les éléments (objets, images, rayons lumineux) seront tracés en traits pleins ( 
-- ) s'ils sont
réels et en tirets ( ----- ) s'ils sont virtuels.

I. DEFINITIONS

1. Systèmes optiques.
a. Qu'appelle-t-on système optique centré '?
b. Qu'est-ce qu'un système optique catoptrique '?

2. Stigmatisme.
a. Qu'appelle-t-on stigmatisme rigoureux pour un point A a travers un système 
optique '?
b. Citez un système optique rigoureusement stigmatique pour tous les points de 
l'espace.

3. Aplanétisme.

a. Soit (A, A') un couple de points conjugués, par un système optique centré 
(S). Le point A
est situé sur l'axe optique. On considère un point B, voisin de A, tel que AB 
soit
transverse, c'est-à-dire situé dans un plan de front. A quelle propriété doit 
satisfaire B',
image de B a travers (S), pour conduire à un aplanétisme rigoureux du couple 
(A, A') '?

b. Citez un système optique rigoureusement aplanétique pour tous les points de 
l'espace.

1/12

4. Approximation de Gauss.
a. Enoncer les conditions qui permettent de réaliser l'approximation de Gauss.
b. Quelle conséquence l'approximation de Gauss a-t-elle sur le stigmatisme '?

Il. ETUDE DE MIROIRS SPHERIQUES

Un miroir sphérique est une calotte sphérique réfléchissante sur l'une de ses 
faces. Le centre de la
sphère est noté C et le point d'intersection S de la calotte avec l'axe optique 
est appelé sommet du
miroir.

Les miroirs sphériques étudiés seront utilisés dans l'approximation de Gauss.

1. Caractère convergent ou divergent d'un miroir sphérique.
a. Un miroir convexe est-il un système optique convergent ou divergent '?
b. Parmi les miroirs sphériques (m1) et (1112) représentés (Figure 1), lequel 
est divergent '?
c. En plaçant notre oeil loin d'un miroir sphérique (1113), on constate que 
l'image de notre oeil est
droite et réduite Le miroir (m3) est-il convergent ou divergent '?

2. Relations de conjugaison et de grandissement.
On cherche à déterminer la position de l'image A' d'un point A situé sur l'axe 
optique.
a. Relation de conjugaison de Descartes.
On considère un rayon incident AI issu de A qui se réfléchit en I (Figure 2).
a.]. Déterminer les relations liant les angles &, oc' et ,8 aux grandeurs 
algébriques

S_A , Ü , Î et Ê , dans l'approximation de Gauss.
a.2. Exprimer la relation entre les angles &, oc' et ,B.
a.3. En déduire la relation de conjugaison au sommet du miroir :

1 1 k1 , , , .
+ = = = ou la est un facteur que l on determmera.
SA' SA SC

a.4. Donner les expressions des distances focales image f ' = Ê et objet f = 
S--F du miroir

sphérique en fonction de Ê .

b. Relation de conjugaison de Newton.
On représente le miroir sphérique de centre C et de sommet S en dilatant 
l'échelle dans les
directions transverses (Figure 3).
b.]. Reproduire la Figure 3 en indiquant les foyers principaux objet F et image 
F' et
construire l'image A'B' d'un objet AB transverse.
b.2. En considérant les propriétés des triangles semblables, montrer que nous 
obtenons la
relation de conjugaison de Newton :

Ü.F'A'=f.f'

c. Relation de conjugaison : origine au centre.
c.]. En prenant le centre C comme origine, montrer que FA et F 'A' peuvent 
s'exprimer en

fonction de @ , CA' et &.
c.2. Déduire de la relation de Newton, la formule de conjugaison avec origine 
au centre :

1 1 k2 , , , .
= + = = ou [@ est un facteur que l on determmera.
CA CA' CS

2/12

d. Grandissement.
Si AB a pour image A'B' , nous représenterons le grandissement transversal par 
le rapport

! !

algébrique : )) = @ . Exprimer ce grandissement )) :

d.]. - en fonction de S71 et SA' .
d.2. - en fonction defi , fi et F_S .
d.3. - en fonction de @ et C--A'.

3. Correspondance objet-image pour des miroirs concave et convexe.
a. Construction géométrique de l'image A'B' d'un objet AB transverse.
Construire l'image A'B' à l'aide de deux rayons issus du point B pour les 
miroirs suivants :
a.]. (M1), de centre C1 et de sommet 81 (Figure 4).
a.2. (M2), de centre C2 et de sommet 82 (Figure 5).

b. Position de l'image A'B' et grandissement transversal.
On définira le rayon de courbure d'un miroir (MX) par : RX = SX CX

b.]. Le miroir (M3) est concave, de rayon de courbure R3 tel que lR3l = 20 cm. 
L'objet AB
est situé au milieu de F383 (F3 : Foyer objet ; 83 : Sommet). Calculer S3A' et 
en déduire

le grandissement transversal de l'objet.
b.2. Le miroir (M4) est convexe, de rayon de courbure R4 tel que lR4l = 40 cm. 
L'objet AB

est situé après 84 tel que S 4A = 50 cm. Calculer C4A' et en déduire le 
grandissement
transversal de l'objet.

4. Système réflecteur : le télescope de Cassegrain
Données numériques : Diamètre de la Lune : DL = 3 456 km
Distance Terre -- Lune : DTL = 384 000 km

a. L'axe optique d'un miroir sphérique concave (Wi), de sommet S, de centre C 
et de rayon
R = Ê est dirigé vers le centre de la Lune.
a.]. Déterminer la position de l'image A'B' de la Lune après réflexion sur (Wi).
a.2. Calculer le diamètre apparente du disque lunaire.
a.3. En déduire la dimension de l'image A'B' pour lRl = 60 cm.

b. On réalise l'objectif d'un télescope de type Cassegrain en associant deux 
miroirs sphériques
(Figure 6) :
- un miroir sphérique concave (W! 1), appelé miroir primaire, de sommet 81, de 
centre C1,

de foyer F1 et de rayon R1 = S1C1 .

- un miroir sphérique convexe (W! 2), appelé miroir secondaire, de sommet S2, 
de centre C2,

de foyer F2 et de rayon R2 = S,C2 .
Le miroir (W! 1) comprend une petite ouverture centrée en 81 pour permettre le 
passage de la
lumière après réflexion sur (W! 1) puis sur (W! 2).
Le miroir (W! 2) est de petite dimension, afin de ne pas obstruer le passage de 
la lumière
tombant sur le miroir primaire.
b.]. Où doit se situer l'image A'B' de la Lune après réflexion sur (W! 1), afin 
que le miroir
sphérique convexe (W! 2), caractérisé par 82, C2 et F2, en donne une image 
réelle A"B" ?

3/12

b.2. Déterminer la position du foyer image F', de l'association des miroirs (W! 
1) et (W! 2), en

exprimant S,F' en fonction de R1, R2 et d = 3,31 .
b.3. Exprimer le grandissement transversal )) de l'objet A'B' à travers le 
miroir (W! 2) en
fonction de R1, R2 et d = S,S1.

b.4. Calculer S,F', )) et la dimension finale de l'image A"B" pour : lej = 60 
cm;
jR,' =40 cm et jdl = 18 cm.

b.5. Quelle serait la distance focale image fL d'une unique lentille mince qui 
donnerait de la
Lune la même image A"B" ? Commenter.

III. ETUDE DE LENTILLES MINCES

Les lentilles minces étudiées seront utilisées dans l'approximation de Gauss.

1. Caractère convergent ou divergent d'une lentille mince.
a. Formes des lentilles sphériques minces.
Parmi les lentilles (ll) à (lg) représentées sur la Figure 7, indiquer dans cet 
ordre : la lentille
biconcave, la lentille ménisque convergent et la lentille plan concave.

b. Observation d'un objet éloigné.
On vise un objet placé à grande distance en plaçant l'oeil loin d'une lentille 
(17). Nous voyons
une image inversée de l'objet. La lentille (17) est-elle convergente ou 
divergente ? Justifier
votre réponse.

c. Déplacement transversal.
On place un objet réel de telle sorte que son image, vue à travers une lentille 
(lg), soit droite.
En déplaçant (lg) transversalement à son axe optique, on constate que l'image 
de l'objet se
déplace dans le même sens que la lentille. La lentille (lg) est-elle 
convergente ou divergente ?
Justifier votre réponse.

2. Relations de conjugaison et de grandissement.
a. Relation de conjugaison de Newton.
Reproduire et compléter le tracé des rayons BI et BF] de la Figure 8 pour 
l'obtention de
l'image A'B' de AB. (Foyer objet : F)

! !

Exprimer le grandissement transversal F = @ respectivement en fonction de @ et 
O--F

puis de @ et O--F'. (Foyer image : F')
En déduire la relation de conjugaison de Newton.

b. Relation de conjugaison de Descartes.
En prenant le centre 0 comme origine, montrer que la relation de conjugaison de 
Newton

conduit, après transformation (relation de Chasles) de @ et F 'A' , à une 
relation entre les
grandeurs algébriques OA , OA' et OF ' dite relation de conjugaison de 
Descartes.

Exprimer le grandissement F en fonction défi et OA' .

3. Correspondance objet-image pour des lentilles minces convergente et 
divergente.
a. Construction géométrique de l'image A'B' d'un objet AB transverse.
Reproduire et construire l'image A'B' de AB à l'aide de deux rayons issus du 
point B pour les
lentilles minces suivantes :

4/12

a.].
a.2.

Lentille (L1), de centre optique 01 et de foyers objet F1 et image F1' (Figure 
9).
Lentille (L2), de centre optique 02 et de foyers objet F2 et image F,' (Figure 
10).

. Position de l'image A'B' et grandissement transversal.
Donner la nature et la position de l'image A'B' d'un objet AB ainsi que le 
grandissement
transversal F pour les lentilles (L3) et (L4) suivantes :

b.].

b.2.

La lentille (L3) est convergente, de distance focale image +30 cm. Le 
positionnement de
AB est tel que O3A = 15 cm. La position de A' sera donnée par la valeur de 
F3'A' .
La lentille (L4) est divergente, de distance focale image --30 cm. Le 
positionnement de

AB est tel que AF4' = 20 cm. La position de A' sera donnée par la valeur de 
O4A' .

4. Système réfracteur : la lunette de Galilée.
Une lunette de Galilée comprend :
un objectif assimilable à une lentille mince ($), de centre 01 et de vergence 
V1 = 5 dioptries,
un oculaire assimilable à une lentille mince (%), de centre 02 et de vergence
V2 = --20 dioptries.
. Déterminer la nature et les valeurs des distances focales images f1' et f2' 
des lentilles.

U"

. La lunette est du type << afocal >> :

b.].

b.2.

b.3.

Préciser la position relative des deux lentilles, la valeur de la distance d 
=0102 et

l'intérêt d'une lunette afocale.

Dessiner, dans les conditions de Gauss, la marche d'un rayon lumineux incident, 
issu
d'un point objet à l'infini, faisant un angle 9 avec l'axe optique et émergeant 
sous
l'angle 9'.

En déduire le grossissement (ou grandissement angulaire) de cette lunette en 
fonction
des angles 9 et 9', puis des distances focales f1' et f2'. Valeur du 
grossissement ?

. Un astronome amateur utilise cette lunette, normalement adaptée à la vision 
d'objets

terrestres, pour observer deux cratères lunaires : Copernic (diamètre : 96 km) 
et Clavius
(diamètre : 240 km). Rappel : Distance Terre -- Lune : DTL = 384 000 km.

c.].

c.2.

L'astronome voit-il ces deux cratères lunaires :

- à l'oeil nu ? (Acuité visuelle : 3><10'4 rad) - à l'aide de cette lunette ? Justifier vos réponses. La planète Vénus, de 12 150 km de diamètre, occultera Jupiter (de diamètre 145 800 km) le 22 novembre 2065. Notre astronome amateur (qui sera certainement confirmé), pourra-t-il observer à l'oeil nu ou à l'aide de sa lunette le disque jovien occulté par Vénus ? Dans cette configuration, la distance Terre-Vénus sera DTV = 45><106 km. 5/12 (rm) (1112) Figure 1 B \: T ! _ X' A C S : ,: Figure 3 B L T _ : x, A 82 : C2 ; (M2) Figure 5 (11) (12) (la) (14) (15) (16) Figure7 ? (Îl) x' F1 A 01 %; x>
Figure9

Figure2
'-- B
: +
! _ : >
C1 81 : A x
,:
Figure4 (M1)
(M1)
, \--
("2äzflà
S2
- = . >
X C1 C2 ÿÊF' X
> )_
Figure6
B AI

A F
\ J
V
Figure 8
(L2)
Y
B
+
- : - >
X' F2' 02 A F2 X
A
Figure 10

6/12

Partie B : ELECTROMAGNETISME

Le problème d'électromagnétisme comprend quatre parties indépendantes : des 
généralités sur les
conducteurs, condensateurs et capacités et trois applications des condensateurs 
(système Terre-
ionosphère et circuit RC) et conducteurs (câble coaxial).

Les six figures du problème d'électromagnétisme sont en page 11/12.
Des valeurs numériques des fonctions lgx et tana sont en page 12/12.

Les grandeurs scalaires sont représentées par : a, b, AB, CD
Les grandeurs vectorielles sont en caractères gras : a, b, AB, CD

Notation des produits scalaire (AB - CD) et vectoriel (AB >< CD) de deux vecteurs. eo : désigne la permittivité du vide. lg x : désigne le logarithme décimal de x. I. CONDUCTEURS -- CONDENSATEURS -- CAPACITES 1. Conducteurs -- Propriétés. a. Quelle distinction fait-on entre un conducteur métallique et un isolant ? Parmi les types de matériaux suivants : plastique, métal, corps humain, verre, eau pure et eau du robinet, quels sont ceux que l'on classe parmi les conducteurs électriques ? b. Qu'appelle-t-on conducteur en équilibre électrostatique ? Définir à l'intérieur de ce conducteur les propriétés de : Ei (champ électrostatique), pi (densité volumique de charges) et Vi (potentiel électrostatique). Si l'on apporte des charges excédentaires à ce conducteur en équilibre électrostatique, où vont--elles se répartir ? c. On considère un conducteur métallique creux, de surface (S...), en équilibre électrostatique dans lequel une cavité, de surface (SC), ne contient pas de charges excédentaires (Figure 1). Définir à l'intérieur de la cavité les propriétés de: Ec (champ électrostatique), pC (densité volumique de charges), 00 (densité surfacique de charges sur (SG)) et V0 (potentiel électrostatique). Où vont se placer les charges excédentaires que l'on dépose sur ce conducteur métallique creux en équilibre électrostatique ? d. Théorème de Coulomb : énoncé et formulation. 2. Conducteurs -- Capacités. Soit V le potentiel d'un conducteur en équilibre, Q la charge portée par sa surface et a la densité surfacique de charge. a. Exprimer la capacité C du conducteur en fonction de Vet de Q. b. Calculer les capacités des conducteurs (en équilibre électrostatique) suivants : b.]. Conducteur plan : on considère un disque conducteur de centre 01, de rayon R1, portant une charge surfacique al, répartie uniformément sur une face. Calculer, en fonction de 01, R1 et 80, la charge Q et le potentiel V1 de ce conducteur et en déduire C1. b.2. Conducteur cylindrique : on considère un cylindre conducteur de rayon R2, de longueur ], portant une charge surfacique 02, répartie uniformément sur la surface latérale. 7/12 Calculer, en fonction de 02, R2, l et 80, la charge Q2 et le potentiel V2 de ce conducteur et en déduire C2. b.3. Conducteur sphérique : on considère une sphère conductrice de centre 03, de rayon R3, portant une charge surfacique 03, répartie uniformément sur la sphère. Calculer, en fonction de 03, R3 et 80, la charge Q3 et le potentiel V3 de ce conducteur et en déduire C3. 3. Condensateurs -- Propriétés. a. Qu'appelle-t-on condensateur électrique ? b. Parmi les condensateurs (plans, cylindriques et sphériques), citer trois types de condensateurs usuels. c. Enoncer le théorème de Gauss, puis exprimer sa formulation mathématique précise. 4. Condensateurs -- Capacités. Soit un conducteur creux (B) entourant totalement un conducteur (A) (Figure 2). Le conducteur interne (A), au potentiel VA, porte sur sa surface extérieure la charge QA. Le conducteur externe (B), au potentiel VB< VA, porte sur sa surface intérieure la charge QBi et sur sa surface extérieure la charge QBe. a. A l'équilibre électrostatique de ces deux conducteurs, quelle est la relation entre les charges QA et QBi ? Justifier votre réponse. b. En considérant ce système de deux conducteurs comme un condensateur, définir la charge Q de ce condensateur. En déduire la capacité C en fonction de Q et des potentiels VA et VB. c. Détermination des capacités des condensateurs suivants : c.]. Condensateur plan : donner, sans démonstration, l'expression de la capacité C1 d'un condensateur plan, supposé idéal, en fonction de e (écartement des deux armatures parallèles), S (aire des armatures) et 80. Application numérique : le condensateur plan est doté de plaques circulaires de rayon 6 cm qui se trouvent à 2,5 mm l'une de l'autre. Calculer sa capacité et la charge qui apparaîtra sur les plaques si on leur applique une différence de potentiel de 150 V. c.2. Condensateur cylindrique : soit un condensateur constitué de deux armatures cylindriques concentriques de rayons R1 et R2>R1 et de hauteur h. L'armature de 
rayon
R1 et de hauteur li porte la charge Q1.

- Déterminer, à l'aide du théorème de Gauss, le champ électrostatique entre les
armatures E.

- Exprimer la différence de potentiel AV = V (R1) -- V (R2) et en déduire la 
capacité
C2 du condensateur cylindrique en fonction de R1, R2, li et 80.

- Examiner le cas où R2 = R1 + e avec 6 << R1. c.3. Condensateur sphérique : un condensateur comprend deux armatures sphériques concentriques de rayons R1 et R2>R1. L'armature interne de rayon R1 possède une
charge Q1.

- Déterminer, en utilisant l'équation de Laplace, le potentiel électrostatique 
V(r) entre
les armatures et en déduire le champ électrostatique E(r) en fonction de R1, R2,
V(R1), V(R2) et r.

Le laplacien d'une fonction scalaire en coordonnées sphériques a pour 
expression :
2
Af(r,9,ça) = %î(r2 ï)+%£(sinâï)+ , _12 a]:
r ôr ôr r sm9 89 89 r sm 9 @@
- En déduire la capacité C3 du condensateur sphérique en fonction de R1, R2 et 
80.
- Examiner le cas où R2 = R1 + e avec 6 << R1. 8/12 Il. CONDENSATEUR SPHERIQUE : Système Terre-ionosphère On représente l'ensemble Terre-ionosphère comme un volumineux condensateur sphérique qui peut être modélisé par le schéma de la Figure 3. La Terre, de rayon R, se comporte comme un conducteur parfait de potentiel nul et porte une charge négative --Q (Q>0) 
uniformément répartie
sur sa surface, tandis que l'ionosphère représentée par une surface 
équipotentielle sphérique de
rayon R+zo, de potentiel V posséde une charge totale +Q. On suppose que 
l'atmosphère a la
permittivité du vide.

1.

Exprimer le champ électrostatique E(z) à l'altitude z (0R1. L'espace
entre les deux conducteurs est vide.

Le câble est traversé par un courant alternatif d'expression en notation 
complexe
[(z,t) = [m(z) exp(jwt) dans le sens de Oz pour le conducteur interne et dans 
le sens opposé pour le
conducteur externe (Figure 6). On suppose que les champs électrique l_î et 
magnétique E en tout
point M dans l'espace R1 < p < R2 sont de la forme : E= Eo(,0,Z) eXp(jwt) et ë= Bo(,0, Z) eXp(jwf) et que le champ électrique l_î est radial : l_î = E() (p, 2) exp(jwt)ep Donnée : Au point M (p, 9, z) de coordonnées cylindriques, la fonction vectorielle G (M) = Gp ep + G9 69 + GZ eZ admet pour rotationnel : ÔG ÔG rotG= lÆ--ÔË e + p--Æ e9+l Ô(pG9)_ p eZ p 69 62 p 62 6,0 p 6,0 69 1. Par application de l'équation de Maxwell--Faraday sous forme locale au point M entre les deux conducteurs, montrer que le champ Q est orthoradial. (On négligera toute composante continue de ce champ). 2. En appliquant l'équation de Maxwell-Ampère sous forme intégrale (théorème d'Ampère généralisé) à un cercle d'axe Oz, de rayon p (cercle passant par M), déterminer en fonction de p et du courant [m(z) exp(jwt), le champ magnétique ë . . . 88 E 3. Etabhr une relat10n entre --9 et p 2 mais sous forme locale au point M, à la distance p de l'axe 02. En déduire l'expression du champ électrique l_î en fonction de p et du courant [m(z) exp(jwt). (On n'introduira pas de champ électrique constant). en appliquant de nouveau l'équation de Maxwell-Ampère 4. En déduire que la fonction [m(z) satisfait à une équation différentielle dont une solution est [m(z) = 10 exp(--jkz) et donner l'expression de k. Montrer que cette solution correspond à une << onde de courant >> qui se propage parallèlement à l'axe Oz, avec un sens et 
une vitesse de phase
que l'on précisera.

5. Déterminer, à partir de l'expression de [m(z), les champs l_î et E en 
notation réelle (E,B), et
préciser les caractéristiques de cette onde électromagnétique existant entre 
les conducteurs.

6. Définir, en notation réelle, le vecteur de Poynting S et sa valeur moyenne 
temporelle < S>. En
déduire le flux de < S> à travers la couronne circulaire comprise entre les 
circonférences de
rayons R1 et R2.

10/12

Figure 5

!

Figure 6 z

l_fe'

Figure 2
[= 0
R _>
l_]e C _-- l_]s
Figure 4

[= 0

-->

A

C _-- (_jS'

11/12

Valeurs numériques de lg x et de tan oc

lg x : logarithme décimal de x

x 1,5 2 2,5 3
lg x % 0,176 % 0,301 % 0,398 % 0,477
x 11 101 1001 10 001
lg x % 1,041 % 2,004 % 3,000 4 % 4,000 04
tan oc : tangente de l'angle oc
& (rad) TC TC TC TC TC
2,01 2,02 2,03 2,04 2,05
tan oc ,... 128 % 64,3 % 43,1 % 32,5 % 26,1
& (rad) TC TC TC TC TC
2,1 2,2 2,3 2,4 2,5
tanoc : 13,3 :7,0 Z4,8 s3,7 S3,1
oc (rad) 3 1 L " L
10 30 100 300 1000
tan oc % 0,3 % 0,1 % 0,03 % 0,01 % 0,003

Fin de l'énoncé

12/12