CCINP Physique 2 MP 2010

SESSION 2010 MPP2008

A

(ORCOURS COMMUNS POIYTECÜNIOUÉS

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées

***

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la concision de la
rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 
'énoncé, il le signalera sur sa
copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu 'il a été amené à
prendre.

***

Partie A : OPTIQUE

Le problème d'optique sur les miroirs plans comprend deux parties indépendantes 
: l'étude de la
réflexion, suivie de celle du phénomène d'interférence entre deux ondes. Des 
applications diverses
illustrent ces différentes parties et ne devront pas être négligées.

Les grandeurs vectorielles sont en caractères gras.

-- ]. Miroirs plans --- Réflexion

1.1. Le miroir plan
1.1.1. Un rayon lumineux issu d'un point A se réfléchit en I sur une surface 
plane {P} et

parvient au point B (figure 1).

A partir des lois de Descartes, montrer, par un raisonnement de géométrie, que 
le
chemin optique [AIB] est minimal, la position des points A et B étant fixée.

SESSION 2010 MPP2008

A

(ORCOURS COMMUNS POIYTECÜNIOUÉS

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées

***

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la concision de la
rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 
'énoncé, il le signalera sur sa
copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu 'il a été amené à
prendre.

***

Partie A : OPTIQUE

Le problème d'optique sur les miroirs plans comprend deux parties indépendantes 
: l'étude de la
réflexion, suivie de celle du phénomène d'interférence entre deux ondes. Des 
applications diverses
illustrent ces différentes parties et ne devront pas être négligées.

Les grandeurs vectorielles sont en caractères gras.

-- ]. Miroirs plans --- Réflexion

1.1. Le miroir plan
1.1.1. Un rayon lumineux issu d'un point A se réfléchit en I sur une surface 
plane {P} et

parvient au point B (figure 1).

A partir des lois de Descartes, montrer, par un raisonnement de géométrie, que 
le
chemin optique [AIB] est minimal, la position des points A et B étant fixée.

1.1.2. Application: Dans léplan xOy, deux rayons lumineux issus du point A (O, 
+a) se
réfléchissent sur { P} aux points J et K (figure 2).

y
A (1) (2)

+a

&»

" {P} X
0 /Jx' K

!

figure 2

Écrire les équations des droites représentatives des rayons réfléchis ( l) et 
(2) en
fonction des tangentes des angles 9, == (AO, AJ) et 9, == (AO, AIO puis 
calculer les

coordonnées du point C, intersection des rayons (l.) et (2). Quelle est alors 
l'image du
point A ? En déduire une propriété caractéristique du miroir plan.

1.2. Association de deux miroirs
Expériences réalisables en « Travaux Pratiques » où l'objet ponctuel. A et la 
source ponctuelle

S sont lumineux.

1.2.1. Les miroirs sont parallèles et distants de d (figure 3).

(m2) (ml)
A
9 ' V
X d '?
figure 3

Un objet ponctuel A situé entre les miroirs à la distance x de (um) donne par 
réflexions
successives sur les miroirs (m1) et (m2) une série d'images sur l'axe X'X. On 
note A;
l'image de A par réflexion sur (m1), puis Az l'image de A par réflexion sur 
(m1) puis
sur (m3), etc.

Déterminer, en fonction de X et d, les abscisses AA1 , AA2 , AA3 et AA4 
d'origine A,

des images A1, A2, A3 et A4 et en déduire celles des_images AN suivant que N 
est pair
ou impair. Quel est le nombre d'images que l'on observe '?

1.2.2. Les miroirs forment un angle a (figure 4).

Un objet ponctuel. A situé entre (ml) et (m3) est repéré par l'angle (OA, (ml)) 
== 6. La
série d'images (A1, AZ,...,AN,...) correspond aux rayons réfléchis d'abord sur 
(m1),
tandis que la série (A-{,AÊ,_, ..... ,AÇ,.,...) correspond aux rayons réfléchis 
d'abord sur
(m2).

Déterminer les positions angulaires (OA, CAN) et (OA, OAÂ,) des images AN et 
AZ,.

pour N pa1r et 1mpa1r. Quel est le nombre d'1mages d1st1nctes observees 81 a = 
---- avec

P
;) entier ?

1.2.3. Les miroirs sont en position « Michelson >> (figure 5).

Y
. M2
(1112) A
S M
0 ' X
(L) (1111)
oeil ?
figure 5

Dans le trièdre Oxyz, les points S, O, M; et M2 appartiennent au plan Oxy. On 
donne :
OS:--15 cm., OM1 : OM2 =+5 cm.

Les miroirs (m,) et (m2) sont respectivement parallèles aux plans Oyz et OXZ. 
La lame
semi--réfléchissante (L), d'épaisseur négligeable, est située dans le plan 
bissecteur des
plans des deux miroirs. Les rayons lumineux transmis par (L) ne sont pas déviés 
et les
rayons réfléchis sur (L) se comportent comme dans le cas du miroir plan.

Les images obtenues S; et SZ de la source ponctuelle S à travers le système 
optique
s'observent dans la direction Oy par un observateur situé dans les ynégatifs. 
On note :

SÏ : l'image de S à travers (m.)

81 : l'image de S{ à travers (L)
S' : l'image de S à travers (L)
82 : l'image de S' à travers (m2).

1.2.3.1. Préciser les axes sur lesquels se trouvent les images S', S, S; et 82 
puis

déterminer leurs positions en exprimant les valeurs de: 05' , OS," ,ÜÎSÎ

et 052 .

1.2.3.2. Le miroir (nn) est translaté de 1 cm vers les X positifs. Recalculer 
les quatre

valeurs précédentes.
1.2.3.3. Le miroir (ml) ramené à sa position initiale, subit une rotation d'un 
angle

}/= --5" (sens inverse du sens trigonométrique). Représenter schéma--

tiquement les positions des images S' , Sî , 81 et 82.

1.3. Association de trois miroirs
1.3.1. Association en « coin de cube »
Trois miroirs plans sont associés pour former un trièdre rectangle Oxyz. Un 
rayon

lumineux de vecteur unitaire u= (a, ,6, y) se réfléchit successivement sur 
chacun des

trois miroirs. Exprimer en fonction des composantes de a, les vecteurs unitaires
u,, u2 et 113 après réflexions respectives sur les miroirs plans OXZ, Oyz et 
Oxy. Que
peut--on en conclure ?

1.3.2. Application : Réflecteurs lunaires.

Depuis l'année 1969, où des réflecteurs à «coin de cube » ont été déposés sur 
la lune

par les sondes soviétiques (Lunakhod) et par les missions américaines (Apollo), 
la

télémétrie Terre--Lune par impulsion laser s'est affinée pour déterminer avec 
précision

la distance Terre-Lune (ah,). On envoie une impulsion lumineuse à l'aide d'un 
laser

dirigé vers la Lune, qui tombe sur le réflecteur et qui se trouve réfléchie 
vers son point

de départ sur la Terre. Point de départ et point d'arrivée du signal sont au 
niveau du

foyer d'un télescope placé à la surface de la Terre.

1.3.2.1. Calculer cette distance du, sachant que le temps écoulé entre 
l'émission et la
réception du signal est de: t = 2 563 ms. Vitesse, supposée exacte, de la

lumière dans le vide : (:= 300 000 kms"1 .

1.3.2.2. On cherche maintenant à estimer le rapport entre l'énergie détectée au 
retour
par rapport à l'énergie envoyée au départ. On détermine un rendement
«aller» pA rapport entre l'énergie reçue par le réflecteur et l'énergie émise

. . . , . . a .
par le laser, qu1 sera pris egal au rapport des a1res : pA =--l-- avec an ane du

A

réflecteur lunaire et A} aire de la tache lumineuse du faisceau laser sur la
a,

A,

A; aire de la tache lumineuse réfléchie sur la Terre par le réflecteur lunaire.
Quel est le rapport entre l'énergie émise par le laser et celle reçue en retour
par le télescope ? On suppose qu'il n'y a pas de perte à la réflexion sur les
miroirs et on néglige l'effet de l'absorption atmosphérique.

Lune. De même le rendement «retour» p R : avec a; aire du télescope et

Données : Ouverture du faisceau laser, cône cr1 z 4"d'arc

. , . 2
Ane du reflecteur luna1re : 31 = 0,45 m
Ouverture du faisceau réflecteur, cône &, z lO"d'arc

Diamètre du télescope : DT : 1,5 m
Distance Terre--Lune : du

2. Miroirs plans ---- Interférences

2.1. Miroir de Lloyd
On considère le dispositif interférentiel du miroir de Lloyd composé d'un 
miroir plan AB, de

largeur let d'un écran placé en B, orthogonalement au plan du miroir. Une 
source ponctuelle
S, située à une hauteur 11 au--dessus du plan du miroir et à une distance d de 
l'extrémité A du

miroir, éclaire celui-ci sous incidence rasante (11 << d+1), d'une lumière de longueur d'onde À. Les faisceaux, direct et réfléchi par le miroir, contribuent aux interférences observées en un point M de l'écran (figure 6, page suivante). 2.1.1. 2.1.2. 2.1.3. 2.1.4. 2.1.5. 2.1.6. M "'!4 w M d I figure 6 Ce dispositif est--il a division du front d'onde ou a division d'amplitude ? Quelle est la conséquence sur les intensités [; et 12 des faisceaux issus des sources secondaires S] et SZ '? Positionner les sources secondaires 81 et 82 dans ce dispositif interférentiel et délimiter le Champ d'interférences dans le plan de la figure 6. Contrairement au rayon direct, le rayon réfléchi subit, lors de la réflexion, un déphasage de TC. Ces sources secondaires sont-elles cohérentes ? synchrones ? en phase ? Déterminer la différence de marche optique 5 et l'ordre d'interférence p au point M (BM 3 x) en fonction de À, 17, ], d et X. En déduire l'expression de l'intensité lumineuse [(X) en M. Quelle est la forme des franges obtenues ? Déterminer la position et la nature de la frange centrale. Exprimer l'interfrange 1' et en déduire le nombre N de franges que l'on peut observer sur l'écran en fonction de À, 17, let d. Application numérique : Calculer 1' et Ng, nombre de franges brillantes, sachant que : À 3 632,8 nm, !] ===--l mm, 13 30 cm et d= 50 cm. Application : Un bateau en mer à 10 km de la côte veut capter une émission radio FM de fréquence 100 MHZ. Le faisceau parallèle, provenant de l'émetteur situé sur la côte, se réfléchit en partie sur la mer et le dispositif s'identifie à celui du miroir de Lloyd (figure 7). zÿteau \ H \ ; --M(z) 0 -- I' Aflt' : ' mer figure 7 2.1.6.1. Par mer calme, celle-ci se comporte comme un miroir parfait : pour quelle raison l'émission de radio est--elle mal perçue quand l'émetteur est situé à une hauteur de 10 m et la perception bien meilleure quand celui-ci se trouve sur une colline à une hauteur de 700 m ? On justifiera la réponse en calculant l'interfrange i ' au niveau du bateau qui fait office d'écran. Ce calcul nécessite celui de la différence de marche géométrique A'= 22 sin6 (_ à démontrer), de la différence de marche optique d', de l'ordre d'interférence p'(z) et éventuellement celui de l'intensité vibratoire I'(z). L'interfrange 1" s'exprimera en fonction de la longueur d'onde émettrice Â' et de l'angle 6 indiqué sur la figure 7. 2.2. 21.62. Par mer agitée, celle--ci se comporte comme un miroir imparfait : la vibration propagée par le faisceau parallèle est perpendiculaire au plan d'incidence, avec un facteur de réflexion du miroir imparfait R, = 80 %. Exprimer, en fonction de [} (intensité du faisceau direct) et [ '; (intensité du faisceau ! ! ° o . ,.-. [, "" [, . reflech1) purs en fonct10n de R_L , le contraste "rfi" = --îOE-"------ÎÆL. + max min Calculer %pour R,= 80 %. La perception des ondes est--elle bien contrastée quand l'antenne réceptrice se déplace le long du mât du bateau '? Miroirs de Fresnel On considère le système interférentiel des miroirs de Fresnel (figure 8). Les miroirs (M1) et (M,--;), d'arête commune (A), font entre eux un angle a==3' et sont éclairés par une source ponctuelle S située à la distance d = 60 cm de (A), dans le plan de symétrie du système perpendiculaire à (A). Les miroirs donnent de S deux images S; et 82. Les interférences sont observées dans un plan (E) parallèle à (A) et perpendiculaire au plan médiateur de 8182 à la distance D = 1,40 m de (A). La position d'un point P sera repérée par sa distance X à l'axe (yiy), intersection du plan médiateur de S;Sz avec (E). S 2.2.1. La source (laser lle--Ne) émet de la lumière monochromatique de longueur d'onde flo == 632,8 nm.. 2.2.1.1. Exprimer la différence de marche optique ô(x) et l'intensité lumineuse [(P) dans le plan (E) en fonction de [O, a, (1, D, X et 2.0. ([ 51 === [S2 = [0 : intensité commune des sources secondaires). 2.2.1.2. Déterminer les expressions littérales et les valeurs numériques de l'interfrange 1' et de la largeur [du champ d'interférences. 2.2.2. La source S (lampe spectrale) émet deux radiations lumineuses de même intensité [ '0 et de longueurs d'ondes Â1 = 577,0 nm et Â2 = 579,1 nm (doublet jaune du mercure). 222.1. Établir l'expression de l'intensité [(P) en un point P de (E) et montrer qu'elle s'écrit sous la fom1e : ['(X) == 4[(', {l + cos[2m5(x). 1'(Àl , Â.,)] .cos[2rt.ô(x).g(Â1 , Â,)]} où l'on définira les fonctions f et g. 2.2.2.2. Montrer que, en théorie, des mesures sur le graphe de l'enregistrement de [ '( X) permettraient de déduire les valeurs des deux longueurs d'ondes. Le dispositif étudié ici permet-il effectivement de calculer /l, et xl, '? Justifier votre réponse. Partie B : ELECTROMAGNETISME Le problème d'électromagnétisme comprend deux parties indépendantes: une première partie « Onde quasi-monochromatique » comme approches mathématique et physique de l'onde monochromatique, suivie d'une seconde partie où deux plans conducteurs parallèles se comportent soit en « résonateur électromagnétique », soit en « guide d'ondes » pour une onde qui se propage à l'intérieur de ces plans. Représentation des grandeurs scalaires : &, AB et vectorielles : &, AB En notation complexe ces grandeurs sont soulignées : @, AB, 2, A_I_ä_' Notation du produit scalaire (F - G) et vectoriel (F >< G) des deux vecteurs F et G. Célérité des ondes dans le vide : c= 3><10"7 H.m" l ---------------F.m°"l 361t><109 Permittivité du vide : 80 = l. Onde quasi--monochromatique Une onde plane progressive monochromatique : ï{(z, [) : Y{,.e--""""'"' (où j2 = ------l) d'amplitude . . . . (0 % en tout pomt, de pulsat1on co et de vecteur d'onde k, se propage a la wtesse v= ; dans tout l'espace, la variable 2 prenant toutes les valeurs de l'intervalle]--oe,+oe[. Cette onde est mathématiquement acceptable si elle satisfait à l'équation de propagation des ondes et physiquement acceptable si l'énergie Wæ foe'gf_(z,t)lz dz transportée par cette onde à chaque instant est finie. 1.1. L'onde Fl_{ ( z,t) est--elle solution de l'équation des ondes '? Vérifie--telle la condition énergétique '? 1.2. On construit une nouvelle fonction 'I_{'( z,t) : '£_',(z,t)+'£,(z,t) en superposant deux ondes planes progressives monochromatiques de fréquences voisines, de même amplitude et se déplaçant ensemble à la même vitesse : ' - =w ----Aw k = k -----Ak Î1(Zaï)= A-6'ka'2) et Î2(Z,t)=Ae""5t"kfi) avec{w1 0 et { 1 0 w,=w0+Aw k,=k0+Ak 1.2.1. Montrer que '_z_'_"( z, t) : 5"J(z, t).e"'"°'°"°" en exprimant 'PO'( 2, t) sous sa forme réelle. Quelle est l'expression de la vitesse V du maximum de l'amplitude de l'onde résultante 'I__{'( 2, t) '? 1.2.2. L'onde Î_"(z,t) est--elle solution de l'équation des ondes '? Vérifie--telle la condition énergétique et en quoi diffère--t--elle de Y_'(z,t) ? 1.3. En superposant un plus grand nombre d'ondes monochromatiques de fréquences voisines et de même amplitude, on parvient à la notion de « paquet d'ondes » ou « d'onde quasi- monochromatique » où les vecteurs d'ondes [( sont contenus dans un petit domaine Air de valeur centrale ko. L'onde résultante de la superposition de p ondes Y_{p(z, {) : A.e'

où l'on exprimera YÇ,ÎZ, !) .

1.3.3. Dans '£"(z,t) , quel est le terme qui suscite le caractère 
monochromatique de

l'onde '? Quelle relation doit--il exister entre la constante A et le domaine 
Ak pour
obtenir une condition énergétique physiquement acceptable de .'{_'"( z,t) ? Que 
peut---

on conclure quant à la vitesse Ve de propagation de l'énergie '?

,
+oo -- *-
, sm u
Donnee : I { ) du=1t.
...... u

1.3.4. Pour une onde quelconque, montrer que vg peut s'exprimer en fonction de 
V.,, co et

dV$
da)
Application : Dans le cas d'ondes électromagnétiques se propageant dans un guide
. , . . . ca)
d'ondes, la v1tesse de phase est donnee par la 101 de d1spers1on : V,, = 7 7 q .
a)" -- c"a"'

Calculer Vg. Commentaire.

2.

2.1.

2.2.

2.3.

Onde entre deux plans parfaitement conducteurs.
Dans l'espace rapporté au repère orthonormé direct Oxyz, on définit la base 
(ex, ey, ez).

On dispose de deux plans métalliques parallèles au plan yOz et d'équations X = 
0 et .r= &. Dans
l'espace vide entre ces plans conducteurs, on étudie la propagation d'une onde
électromagnétique sinusoïdalede pulsation co et polarisée rectilignement 
suivant Oy. Suivant le
sens de propagation de l'onde, les deux plans métalliques joueront le rôle de 
«résonateur
électromagnétiqoe » (figure 2) ou de « guide d'ondes » (figure 3).

X
a ___________________________________________________________________ f---
.-:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:?:ï:ï:ï:ï:èô:àdu©teùi:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï"
M ___
ex EA V1de
[(
O ..................................
e,. .-:ï:ï:ï:èz':ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ïédndiiètèufi:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï" 2
Y figure2
À?
3 .................................. "T""
.-:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï.é9hdùfitèùrï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï"
M __
ex , v1de
EI kg
0- . ..............................
ey -'ï'ï°ï'è'zï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:bixùdiiÇï®r}:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï" Z
y figure3

Montrer que dans un conducteur parfait, en l'absence de champ statique, nous 
avons:
E :O , B: 0 , j = 0 , p = O(champ électrique, champ magnétique, densité 
volumique de
courant et densité volumique de charges).

Compléter les quatre relations de passage ci--après concernant les champs E et 
B au niveau de
la surface d'équation X = 0 entre le conducteur parfait (milieu 1) et le vide 
(milieu 2). Les
composantes de E et B seront indicées T (tangentielles) et N (normales) et nous 
poserons

05 et js respectivement la densité surfacique de charges et le vecteur 
surfacique de courant.

Relations: (l) E,.2 "Eîi : ; (2) EN2 "EN, : ; (3) BT2 ----BTl :: ; (4) BN2 "BN, 
:

Montage en « résonateur électromagnétîqae » (figure 2)
L'onde électromagnétique incidente (L}, _B_,--), polarisée rectilignement et 
parallèlement à Oy,

se propage vers le métal dans le sens du vecteur d'ondek : ----k.ex. En 
notation complexe, le

r - ' -- r ' k.
champ electr1que 1noedent est donne par : _E, = E, e"""" "e,.

2.3.1. Déterminer, à l'aide de l'équation de structure d'une onde plane, le 
champ
magnétique incident _l},-.

2.4.

2.3.2. En utilisant les relations de passage des composantes du champ 
électrique,
déterminer le champ _l:Ï,(O, [) de l'onde réfléchie sur le plan conducteur 
d'équation
.r= O, et en déduire les champs électrique _E_} et magnétique Q,. de l'onde 
réfléchie
en tout point de l'espace.

2.3.3. Exprimer le champ électrique total _E(X, [) et le champ magnétique total 
Ë(X, [) à
l'instant t en un point M(x, y, z) de la cavité. En déduire le rapport des 
modules des

E

champs complexes ------- en fonction de c, [( et X.

B

2.3.4. Montrer que la fréquence de l'onde dans cette cavité ne peut prendre que 
des
valeurs discrètes & exprimées à l'aide de l'entier N.
Application numérique : Calculer la fréquence propre minimale de ce résonateur
pour une distance a = 3 cm entre les plans métalliques.

L es résultats des quatre ques tions suivantes seront exprimés en fonction
de EUR... C, E... a etpourN:l .

2.3.5. Déterminer le vecteur de Poynting R(X, t) de l'onde résultante et en 
déduire sa
moyenne temporelle ;. Commenter le résultat.

2.3.6. Calculer la densité volumique d'énergie électromagnétique u(x, t) puis 
sa moyenne
temporelle t en fonction de 80 et E0.

2.3.7. Déterminer le vecteur densité surfacique de courant j,(t) qui parcourt à 
l'instant tla
plaque métallique, à l'interface métal--vide, en x= 0.

2.3.8. En déduire, en fonction de 80 et E), la pression électromagnétique 
moyenne

df , ,
temporelle < P>F<ä'ÿ> exercee par londe sur cette plaque, sachant que
, _ B(O,t) _ , ,, ,
df : JS(Ï)dS >< 2 est la force de Laplace exercee sur l element de surface dS du plan métallique d'équation X = O. _ Application numérique : On donne la valeur EO = 100 V.m"l ; calculer . 
et
< p> {,

Montage en « guide d'ondes » (figure 3, page 9)

On considère une onde électromagnétique (fil, 51), progressive, 
monochromatique, se
propageant dans le vide entre deux plans conducteurs distants de &, suivant la 
direction de Oz
et telle que le champ électrique reste parallèle aux deux plans. On impose que 
la forme de _E1

est : _El(x, z, :) == E,(x) e'(wt'kgz'e

), .

2.4.1. Exprimer l'équation de Maxwell--Faraday et en déduire que _Ig'1 est de 
la forme :
_B,(x,z,t)=[F(X)ex+jG(x)ez]e'W--ng', sachant que l'on exclut de _l}_'1 toute

composante statique. Expliciter les fonctions F(X) et G(X). Justifier 
l'attribution du
sigle « T.E » à cette onde.

2.4.2. Exprimer l'équation de Maxwell-Ampère et en déduire l'équation 
différentielle
vérifiée par l'amplitude E](X) du champ électrique. Les champs E1 et fil 
vérifient-ils
les deux autres équations de Maxwell '? Justifier votre réponse.

2.4.3. Résoudre l'équation différentielle vérifiée par E] (X) et donner la 
solution dans le cas

. (0 . . , . . . _
ou [(EUR < ---- , sachant que le champ electrique El ver1fie des conditions sur les plans c conducteurs du guide d'ondes. On notera a l'amplitude de la solution obtenue pour 51 (X) et on introduira un nombre entier Nl, non nul et positif, dénombrant Nl « modes » de propagation. 2.4.4. Connaissant E](X), déterminer les expressions, en représentations complexe et réelle, des champs électrique E1 et magnétique _là. 2.4.5. Exprimer kg en fonction de a), c, Nl et a. Quelle est la fréquence de coupure fc en dessous de laquelle la propagation de l'onde n'existe pas ? Calculer numériquement 12pour le mode N] = 1 eta = 3 cm. Les 1*ésultaz's des cinq questions suivantes seront exprimés pour N 1 = 1. 2.4.6. On nomme f la fréquence de l'onde. Exprimer la vitesse de phase V,, en fonction de 1" c et du rapport ---£- . !" Application numérique : Calculer numériquement v,, pour f= 3 12. 2.4.7. Déterminer le vecteur de Poynting R1(x, z, t) de l'onde résultante et en déduire sa moyenne temporelle [.

2.4.8. En déduire le flux énergétique moyen @... à travers une surface S 
perpendiculaire à
l'axe Oz et de largeur b suivant la direction O y. On introduira la vitesse de 
phase V,,

dans le résultat de ®....

2.4.9. Exprimer la densité volumique d'énergie électromagnétique ul(x, z, t) et 
sa
moyenne temporelle ;.

2.4.10. Calculer l'énergie électromagnétique localisée en moyenne dW..., dans 
un volume
d'épaisseur dz et limité par deux surfaces S perpendiculaires à Oz.
En déduire la vitesse de propagation de l'énergie moyenne v,. en fonction de 
v., à

travers les surfaces S perpendiculaires à Oz. Commenter le résultat.

f

Représenter sur un même graphe V9 et V,, en fonction du quotient des fréquences 
? .

C

Positionner sur le graphe les points représentatifs de V6. et v,, correspondant 
à
l'application numérique de la question 2.4.6.

Fin de l'énoncé