CCINP Physique 2 MP 2011

SESSION 2011 MPP2008

A

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Partie A : OPTIQUE

QUELQUES PROPRIETES ET APPLICATIONS DE L'APPAREIL
PHOTOGRAPHIQUE

Un appareil photo est constitué d'un ensemble de lentilles dont le but est de 
former l'image réelle
d'un objet sur un détecteur sensible aux radiations lumineuses, c'est-à-dire 
film argentique ou
barrettes CCD. Cet ensemble est associé à un boîtier qui joue le rôle de 
chambre noire et qui
contient un obturateur, un système optique de visée et de mise au point ainsi 
qu'une cellule
photoélectrique qui permet de mesurer le flux lumineux incident. La figure 1, 
ci-dessous, représente
les principaux éléments d'un appareil photo de type réflex, avec un miroir 
pivotant (a), un verre de
visée (b), une lentille collectrice (c), un pentaprisme en toit (d) ainsi qu'un 
oculaire (e).

Pentaprisme

Figure 1 : appareil photo

Préambule

Le système optique qui constitue l'objectif doit restituer la forme et les 
couleurs de l'objet, ceci
dans des conditions où les rayons lumineux incidents ne vérifient pas 
nécessairement les conditions
dites de Gauss. Il doit donc pouvoir corriger les aberrations chromatiques et 
géométriques. La
valeur absolue de la distance focale de l'objectif est communément appelée << focale >>. Elle
représente la distance entre la pellicule (ou la matrice CCD) et la lentille 
équivalente à l'objectif
pour un sujet à l'infini, c'est-à-dire à grande distance. Les usages veulent 
que l'on qualifie de
longue (respectivement courte) focale, un objectif dont la focale est plus 
grande (respectivement
plus petite) que la longueur de la diagonale du détecteur utilisé, c'est-à-dire 
pellicule ou matrice
CCD. Ceci implique que le choix de la focale est indissociable de celui du 
format du détecteur.

Les deux parties du sujet d'optique sont indépendantes. Les notations sont 
telles que tout paramètre
relatif à un objet sera indice' avec un 0, tandis que tout paramètre lié à une 
image le sera par un i.

PARTIE I : ÉTUDE DE DEUX COMPOSANTS ESSENTIELS, L'OBJECTlF ET LE PENTAPRISME

MODÉLISATION D'UN OBJECTIF PHOTO

1. Objectif assimilé à une simple lentille mince (L1), de focale image f,--1 = 
50 mm

On considère le protocole représenté sur la figure 2. L'appareil est 
initialement réglé sur un
objet placé à l'infini. On constate alors que pour former une image nette sur 
une pellicule fixe

d'un objet situé à une distance x de l'objectif (comptée positivement) : x(> O) 
= --PO, il faut

déplacer l'objectif d'une certaine distance, appelée tirage, et notée t. Cette 
opération constitue
la mise au point.

1.1 À l'aide de la relation de conjugaison, exprimer le tirage ten fonction des 
seuls x et ]? ].

I.2 Exprimer littéralement puis calculer la variation de ce tirage pour un 
objet placé entre x = 2 et
x = 100 fi]. Sachant qu'une mise au point n'a de sens que pour un déplacement 
mécanique
d'au moins un demi-millimètre, cette dernière est-elle nécessaire dans le cas 
présent ?

1.3 Reprendre la question précédente pour un objet placé entre x = 100fi1 et x 
= 10 1%.

(L1)

Figure 2 : protocole avec lentille simple

11. Objectif bifocal

Considérons trois lentilles minces (L2), (L3) et (L4), de centres O2, 03 et 04, 
placées suivant un
même axe optique. (L2) et (L4) sont identiques et divergentes, de distance 
focale image
| fi2 | = 60 mm, tandis que (L3) est convergente avec |fl3 | = 35 mm.

11.1 Dans cette première configuration (a), les lentilles (L2) et (L3) sont 
accolées.

Il.1.a.

Il.1.b.

Il.1.c.

Montrer que la distance focale image fi23 de la lentille équivalente au système
(L2) + (L3) peut se mettre sous la forme fi23 = fi, & / ( fi2 + fia). La 
calculer et en

déduire la nature de cette lentille équivalente. Pour un rayon incident 
parallèle à l'axe
optique, tracer le rayon à la sortie de cette lentille équivalente de foyer 
image F ,v23.

Déterminer la distance 0204 en fonction de fl2 et fl3 pour que le système 
constitué
des trois lentilles soit afocal. La calculer.

Exprimer le grandissement transversal G... en fonction de fi2 et fl3 pour un 
objet
éclairé par un rayon incident qui arrive parallèlement à l'axe optique. On 
pourra
raisonner en termes de faisceau lumineux cylindrique parallèle à l'axe optique 
dont
on exprimera le grandissement du rayon à travers le système optique. Donner
finalement l'application numérique de ce grandissement transversal.

II.2 Dans cette deuxième configuration (b), les lentilles (L3) et (L4) sont 
maintenant accolées

en ayant pris soin de maintenir la distance 0204 identique à celle de la 
question

précédente. Montrer que le nouveau grandissement transversal % est relié à G... 
par une
relation très simple que l'on précisera, et en faire l'application numérique.

11.3 En se replaçant en configuration (a) et en supposant les conditions de 
Gauss respectées,
exprimer le grandissement angulaire G,... = a' / a en fonction de fl23 et fi4, 
avec a et a' les
angles orientés des rayons incident et émergent définis par rapport à l'axe 
optique.
Calculer G..., puis le comparer à G.... Pour s'aider dans le calcul, faire un 
schéma où seront
tracés deux rayons incidents, parallèles entre eux, l'un passant par le centre 
02 de la
lentille équivalente, l'autre passant par le foyer objet équivalent F023. 
Reprendre le
raisonnement pour la configuration (b), et déterminer Gab le grandissement 
angulaire
correspondant.

II.4 On place enfin derrière la lentille (L4), la lentille (L1) utilisée en I.

II.4.a.

II.4.b.

II.4.c.

II.4.d.

II.4.c.

À quelle distance de (L4) doit-on placer la pellicule photographique (ou la 
matrice

CCD) pour obtenir une image nette d'un objet placé à l'infini ? La distance 0401
importe-t-elle ?

Où doit-on placer la lentille (L1) pour que l'encombrement du système lentilles
pellicule / CCD soit le plus faible possible ?

À l'aide de G,... et Gaz, (grandissement angulaire dans la configuration (b)), 
exprimer

les dimensions A,1 B}.1 de l'image formée sur la pellicule / CCD d'un objet 
placé à

l'infini pour les configurations (a) et (b), et dont le rayon limite arrive sur 
la lentille
(L1) selon un angle de a = 5° par rapport à l'axe optique de cette lentille. 
Calculer
ces dimensions.

En déduire les distances focales images fia et fi}, de l'objectif constitué des 
quatre
lentilles, respectivement pour les configurations (a) et (b). Pour ce faire, la 
taille des

images AflBi1 calculée précédemment, on admettra l'existence d'une lentille

équivalente pour les deux configurations (a) et (b) et on montrera (par 
exemple) que
pour (a) : fia = fi ] G..., et l'on donnera l'application numérique 
correspondante de fia.
On appelle champ angulaire la portion conique de l'espace objet dont l'objectif
photographique donne une image nette. Ce champ est exprimé par l'angle 205 du
cône qui a pour sommet le centre 0 d'une lentille mince équivalente (voir 
figure 3
et raisonnement ci-dessus). Ce champ est limité par la plus grande dimension du
détecteur d, c'est-à-dire la diagonale d'un format rectangulaire. Après avoir
exprimé la relation entre a, d et la focale f de l'objectif (celle de la 
lentille
équivalente des questions précédentes, c'est-à-dire f = fia et f = fil,), 
calculer le
champ angulaire pour les deux configurations de lentilles (a) et (b) 
susmentionnées
pour un film de format 24 >< 36 mm. Commenter la compatibilité des valeurs obtenues pour les champs angulaires avec les conditions dites de Gauss. / \ f pellicule objectit \\ \ Figure 3 : champ angulaire 11.5 Si l'on compare maintenant avec l'objectif mono-lentille de la section 1.1, quel est l'avantage de l'objectif bifocal ? Y aurait-il des inconvénients ? III Objectifs dédiés spécifiquement àla macrophotographie. La macrophotographie concerne l'ensemble des techniques photographiques permettant de photographier des sujets de petite taille. On considère un objet réel situé à 30 cm de l'objectif mono-lentille (L1) utilisé en I et II, avec un tirage fixé à t = 6 mm. III.1 Déterminer la position de l'image p,--; par rapport à la lentille (L1), ainsi que le grandissement transversal G, 1. Peut-on photographier de manière nette cet objet ? III.2 On place devant l'objectif, à une distance 6, une lentille additionnelle convergente (L5), de focale fi5 supérieure àfi;. On pose x = -- po5 (comptée positivement), la distance entre l'objet et le centre 05 de la lentille (L5). Donner l'expression de x en fonction des distances focales images fi ; et fi5, de e et t, afin que l'image soit nette sur la pellicule. III.3 La distance 6 valant 5 cm, déterminer les valeurs minimales de x pour que l'objet puisse être photographié de façon nette pour les deux valeurs de distances focales 125 = 20 et 50 cm. III.4 Conclure quant à l'intérêt d'utiliser cette lentille additionnelle (L5) et quant à la dépendance de x en fonction de 1%. PARTIE II : QUELQUES PARAMETRES IMPORTANTS D'UN APPAREIL PHOTO Outre les notions de tirage, de grandissement transversal et de champ angulaire déjà vues dans la première partie, celles de profondeur de champ, de résolution et d'éclairement du plan image sont toutes aussi importantes pour caractériser un appareil photographique. Profondeur de champ / Résolution La photographie d'un objet de taille finie doit demeurer nette sur toute la profondeur de champ. On se reportera à la figure 4 qui modélise un objectif avec la simple lentille mince de distance focale image fl ] du I de la première partie, et sur laquelle on peut voir que l'ensemble des points objets situés sur l'axe optique entre A01 et A02, pour un diamètre Bd du diaphragme (D), n'impressionnent qu'un seul grain argentique de la pellicule (ou un seul pixel de la matrice CCD). Cette gamme de distance séparant ces objets de l'objectif Ado = dol -- d,,2 est appelée profondeur de champ, avec do; et dog respectivement les distances algébriques Ag,O et Ag,O. En effet, l'image d'un objet ponctuel AO n'a pas nécessité d'être rigoureusement ponctuelle en raison de la taille finie & d'un grain (ou d'un pixel), et par conséquent, la photo restera "nette" si la dimension 8,-- de l'image d'un point est inférieure à cette taille 6. La profondeur de champ dépend également de la focale, de la distance à laquelle se trouve l'objet ainsi que du nombre d'ouverture qui correspond à une ouverture maximale du diaphragme. II 1.1 1.2 Figure 4 : profondeur de champ En notant d,, la distance AOO à laquelle un objet de dimension 80 donne une image de dimension 8,- = 8 dans le plan de détection, exprimer do; et d,,g en fonction de do, Dd, 8 et du module du grandissement transversal |th = EUR,- / s.,. En déduire l'expression de la profondeur de champ. Influence de la diffraction I.2.a. I.2.b. Dans cette question, on détermine l'ordre de grandeur de la limite de résolution spatiale due à la seule diffiaction. Une fente infinie selon Oy, de largeur a selon Ox, est éclairée normalement selon l'axe Oz en lumière monochromatique, d'intensité 10, de longueur d'onde À et suivant les conditions dites de Fraunhofer. Elle est suivie de la lentille (L1), de focale image fi]. On observe alors la figure de diffraction sur un écran placé dans le plan focal image de (L1). Exprimer l'intensité lumineuse I sur l'écran en fonction de x, coordonnée suivant l'axe (Ox) de l'écran. En déduire l'expression de la largeur de la tache centrale de diffraction en fonction de it, a et ]? 1. En admettant que la limite de résolution spatiale Ax,-- pour une pupille d'entrée d'un objectif photographique de diamètre D,; (tel qu'étudié précédemment) est assimilable à la largeur de la tache centrale de diffraction obtenue dans la question précédente pour une fente infinie de largeur a = 2Dd, calculer cette limite de résolution spatiale due à la seule diffraction pour l'ouverture numérique maximale N.O = 2,8 ainsi que pour l'ouverture numérique minimale N.O = 1,4, sachant que l'objectif est éclairé sous une longueur d'onde de 550 nm. Comparer ces nombres à EUR et conclure. Éclairement du plan image L'éclairement du plan image È,- est donné comme le rapport dqä,- / dS,--, avec q5,-- le flux lumineux image et Si la surface du plan image, et s'exprime donc en W. m_2. La figure 5 décrit les principaux paramètres qui fixent l'éclairement du plan image. On reconnaît entre l'entrée E et la sortie S du système optique, les pupilles Pe et Ps qui diaphragment le faisceau optique et fixent ainsi les angles maximaux d'inclinaison des rayons incidents [30 et images [$,-. On peut montrer que le flux lumineux infinitésimal image est donné par dq)i = Li dS'JCOSÔÇ in avec L,-- : 1:L,, la luminance du plan image liée à celle de l'objet L,, par le facteur de transmission 1:, 6,-- l'angle d'inclinaison image variant entre 0 et [B,--, et dQ,-- l'élément infinitésimal d'angle solide image. 11.1 Exprimer l'éclairement du plan image Èi en fonction de l'angle [31--, La et "L'. 11.2 En partant de l'expression trouvée en 11.1, montrer que l'expression littérale approchée :rrL0 4(N.O)2 Pour ce faire, on utilisera la conservation du stigmatisme dans un plan perpendiculaire à l'axe optique qui s'exprime par la relation des sinus d'Abbe : no sin [30 = G, ni sin ,--, ainsi que la relation approchée (petits angles) qui lie grandissement transversal G,, quantité sin /30 et nombre d'ouverture, N.O, soit G; = 2 (NO) sin &. L'effet produit sur le film ou la matrice CCD ne dépend que de l'énergie lumineuse reçue, donc de l'exposition lumineuse È}T , avec T le temps de pose. L'exposition variant en T / (N.O)2, discuter brièvement le compromis entre le temps de pose et l'ouverture du diaphragme. (petits angles) de l'éclairement vaut : È,-- % Plan objet Plan image Figure 5 : éclairement du plan image Partie B : ÉLÉCTROMAGNETISME Le champ magnétique Ce problème, composé de trois parties, propose la détermination du champ magnétique pour une boule chargée dans différentes configurations. L'assimilation de cette boule chargée à l'électron permettra, dans quelques applications, d'approcher la valeur du rayon de l'électron. Représentation des grandeurs scalaires : a, AB Représentation des grandeurs vectorielles : (1, AB Notation du produit scalaire (F - G) et vectoriel (F x G) des deux vecteurs F et G. Données : masse : m = 9,1x10""kg - pour l'électron charge : e = --l, 6 >< 10--19C rayon: R6 = 3 >< 10_15 m (valeur donnée par excès) - Constante de Planck : h = 6, 6x10'34J.s - Perméabilité du vide : ,uo = 475x10_7 H.m_1 1 3675 >< 109 - Vitesse de la lumière dans le vide : c = 3 >< 108m.s'1 - Permittivité du vide : 50 = F.m'1 - Dans un système de coordonnées sphériques (r, 0, ça), on définit : - la base orthonorrnée directe (e,, eg, e,). - le gradient d'une fonction : grad f (r, 6, (p) = âf er + 1 ôf ea + _1 âf e ôr r 66 rsml9 ôcp "' - l'élément de volume : du = r2 sin 6drd0dtp - l'élément de surface sur la sphère de rayon a : dS = a2 sin Bdl9d(p - la valeur de l'intégrale : f:Ï sin'6dû = Î Les parties 1, II et III sont majoritairement indépendantes (résultats de 1.3. utilisés en 11.6.2.). I. Boule chargée au repos. On considère une boule de centre C, de rayon R uniformément chargée de densité volumique de charges p. 1.1. Exprimer la charge Q de la boule en fonction de p et de R. 1.2. Par utilisation des règles de symétrie et les invariances du système, expliquer la forme du champ électrostatique E (M) en un point M(r, @, ça) et E(C). 1.3. Appliquer le théorème de Gauss pour définir le champ électrostatique dans les cas : Eint (r < R) et Eext (r a R) que l'on explicitera en fonction de Q, R, r et e,. II. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. Application numérique : calculer E...(R) pour Q = lei et R = Re. Tracer l'allure de E(r) champ déduit de 1.3. et reporter les coordonnées de E...(R.). Dans cette configuration de « boule chargée au repos >>, quel est alors le champ
magnétique B(M) ?

En déduire, en fonction de Q et de R, les énergies électromagnétiques W1 dans 
la boule
et W2 à l'extérieur de la boule et vérifier que l'énergie électromagnétique

2
W=Wl+W2 = 3Q .
2On£0R

Application numérique : en assimilant l'énergie de repos mc2 de l'électron à 
l'énergie
électrostatique de la boule immobile, déterminer la valeur du rayon R(, de 
l'électron.

Boule chargée en mouvement de translation

La boule précédente est animée d'un mouvement de translation rectiligne 
uniforme de vitesse v

suivant la direction Ox. À l'instant t = 0, le centre C de la boule passe par 
l'origine 0. Un point
M est repéré par r = CM et 0 = (Cx, CM) (figure 1).

11.1

11.2

11.3

11.4

11.5

Figure 1 : boule chargée en mouvement de translation

Définir, en tout point M, en fonction de Q, R et v, le vecteur densité de 
courant j. On
notera jim et j... les vecteurs densité de courant, respectivement à 
l'intérieur et à
l'extérieur de la boule de rayon R.

Exprimer, d'après la loi de Biot et Savart et à l'instant t = O, le module B... 
du champ
magnétique B... au point M extérieur à la boule, en fonction de Q, v, r et 0.

Déterminer la circulation C B de B..., le long d'un contour circulaire (T') du 
plan yOz

ext
(EUR = 15/2), centré en O et de rayon r = R légèrement supérieur à R (on 
supposera que
B...(r > R) : B...(r "' R )).

Exprimer le flux CD,-- de la densité de courant j à travers une surface qui 
s'appuie sur (F).

En déduire que le théorème d'Ampère appliqué à la densité de courant j sur (F) 
n'est
pas vérifié. Quelle en est la cause ?

III.

11.6 En régime variable, le théorème d'Ampère doit s'appliquer à la densité de 
courant:

J = j + 50 % où j est la densité de courant définie en 11.1.
, ôE , .
[1.6.1 Que represente le terme 50 î dans l expressmn de J ?

[1.6.2 Exprimer les champs EiIlt et Eext trouvés en 1.3 respectivement en 
fonction de
gradM (r2 ) = 2r et de gradM (1/ r) = --r/ r'.

[1.6.3 Montrer que :

E. E
a .... =Êgrade