Centrale Physique MP 2004

 

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Ce problème étudie quelques aspects de la physique des guides d'onde et cavités
résonantes. On ne s'intéresse qu'à la partie non statique du champ électroma--
gnétique. Les grandeurs a priori complexes sont notées soulignées. La représen-
tation complexe d'une grandeur réelle g est g telle que Re( g ) = g . On désigne
par i le nombre complexe tel que i2 = --1 .

Données numériques :

Permittivité du vide : 80 = 8, 8 - 10'12 SI

Perméabilité du vide : '

Vitesse de la lumière : c = 3,0 -- 108 m - s'1

_ --à % ----> -------> --> -> +
Formule d'analyse vectorielle : rot(rotA) : grad(divA) --AA.

Partie I - Étude d'un guide d'onde et d'une cavité

I.A - Propagation d'une onde guidée

L'espace est muni d'un repère orthonormé direct (Oxyz) associé à la base
> I ' / I ' .
(Èx, Èy, ez) . Le metal cons1dere dans cette partie est parfa1t.

I.A.1) On considère deux plans métalliques parfaits d'équations y = 0 et
y = b . De façon à éviter des pertes par rayonnement on cherche à faire se pro-
pager selon la direction (Ox) une onde plane progressive, harmonique (mono-

chromatique) de pulsation (» , polarisée rectilignement selon (Oz) . Montrer que
ceci est impossible.

I.A.2) On choisit alor_s d'envoyer cette onde en oblique entre les deux plans
selon le vecteur d'onde k1 faisant l'angle a (a E ]O, x/2[) avec l'axe (Ox).
Le champ électrique associé est noté y

-> -------->
i(oet--k1'ÛM)g %

...à
13 =E0e 2. [el

a) En utilisant notamment les lois de Descartes,
. . , . --+
déterm1nerl'express1on du champ électrique E2 de
l'onde plane réfléchie. Déterminer les valeurs--pos-
sibles de sinoæ en fonction d'un entier p , ?... (longueur d'onde dans le vide) 
et b .

Z

b) Donner l'expression de la somme É des champs incident et réfléchi. Justifier
sans calcul pourquoi ce champ est bien solution des équations de Maxwell. Dans
quelle direction et quel sens y a-t-il propagation ? Déterminer en fonction de
ko : oe/c et a le module du vecteur d'onde k g dans le guide.

I.A.3)

a) Exprimer en fonction de c et b la fréquence minimale f 6 en deçà de laquelle

il ne peut y avoir de propagation. Quelle condition doit vérifier b pour qu'une
onde de 2, 5 GHz puisse se propager ?

b) Trouver la relation entre k() et k g . Comment appelle-t-on cette relation '?

c) Trouver une relation entre la vitesse de phase 04, et la vitesse de groupe Ug
sans les calculer explicitement, puis donner leurs expressions en fonction de c 
,
p et du rapport de la fréquence de l'onde sur fc. Déterminer littéralement et
numériquement la valeur de l'angle a pour lequel la vitesse de groupe est la

plus grande (prendre b = 6,6 cm et f = 2,5 GHz). Quelle est la valeur de p
associée '?

I.A.4) , On ferme le guide par deux autres plans parallèles en 2 = O et z = a .
Montrer sans calculs que cela est possible sans changer les solutions précéden--
tes. Sur quels plans apparaissent des charges surfaciques ?

I.B - Du guide d'onde à la cavité

On ferme le guide d'onde par deux plans infiniment conducteurs en x = O et
x = l . On obtient une cavité électromagnétique.

I.B.l) On considère le champ È de la question I.A.2-b) que l'on note

_) i(oet--k x)
Ei : E0(y)e g ÈZ

et quel'on peut considérer comme un champ incident sur le plan x = l . Expli-
quer sans calcul pourquoi il existe un champ réfléchi. Montrer que si on suppose
un champ réfléchi de la forme

i(oet + kgx) >

__è
5=K@bæ %.

. à , - A
seul champ a coex1ster avec Ei , alors les équations de Maxwell peuvent etre
vérifiées. Déterminer K et montrer qu'il existe une condition de quantification
sur kg.

I.B.2) En déduire que les pulsations possibles dans le cadre des hypothèses
effectuées sont de la forme :

2 2

w : nc <%) + (%) où m et p sont des entiers. 133) a) Montrer que le champ électrique peut se mettre sous la forme É : Ecsin(pny/b)sin(mmc/l)ei...ÈZ avec EC réel. On se place dans la suite dans le cas où m = = 1 . Quelles sont les parois de la cavité susceptibles de porter une densité surfacique de charge non nulle ? Des- siner un schéma de la cavité en indiquant avec les signes + et -- les charges rela- tives de ces faces en espaçant d'autant plus ces signes que la densité surfacique est faible en valeur absolue (préciser les axes Ox , Oy et Oz ). b) Donner l'expression du champ magnétique È en fonction notamment de EC , x et y , puis préciser les faces de la cavité où apparaissent des courants surfaci- ques. 0) Calculer W e(t) et W m(t) les énergies électriques et magnétiques instanta- nées dans la cavité en fonction de WO-- _ soEî V/ 8 (V étant le volume de la cavité). Représenter sur un même graphe les évolutions temporelles de We et Wm . Que vaut l'énergie électromagnétique totale W ? Commenter. Trouver une analogie avec un circuit électrocinétique simple. Partie II - Dispositifs en liaison avec le guide d'onde II.A - Analogie électrocinétique On considère le dipôle AB suivant, constitué d'une suite de cellules en T (20, L, 20) placées ' 20 | 2lC . en cascade (les deux condensateurs placés en série de deux cellules successives placées en cas- L cade sont équivalents à un condensateur unique de capacité C ). II.A.1) Calculer l'impédance du dipôle en met-- tant en évidence deux cas différents (prendre soin de lever les indéterminations sur les signes). Quelle est, en fonction de L et C, l'expression de la pulsation critique wc ainsi mise en évidence ? II.A.2) Interpréter énergétiquement la différence de comportement du dipôle dans les deux cas précédents. En quoi ce système est--il analogue à un guide d'onde ? II.B - Étude qualitative de deux dispositifs à guide d'onde II.B.1) Lentille métallique « plans parallèles » a) Montrer que si on définit l'indice n d'un guide en utilisant la vitesse de phase (n =c/v® ) on obtient n < 1. b) On considère le dispositif ci-contre constitué de plans parallèles. Une onde électromagnétique plane, progressive, harmonique et polarisée orthogonalement au plan de la figure, arrive sur ce dispo- sitif parallèlement aux plans métalliques. Montrer sans aucun cal- cul, mais en utilisant une analogie optique, que ce système se comporte comme une lentille dont on précisera la nature (on pourra considérer une lentille d'air au sein d'un bloc de verre). Justifier, en utilisant un principe d'optique physique, l'utilisation de la vitesse de phase à la question précédente. II.B.2) Coupleur unidirectionnel. On considère deux guides parallèles ayant une paroi commune : le guide inférieur est parcouru, de la gau- che vers la droite, par une onde transverse électrique correspondant à un seul des modes mis en évidence dans la question l.B.3-a). Le guide supérieur ne contient aucune source de champ électromagnétique. On ne s'intéresse qu'aux dépendances en x . On réa- lise, en un point A , un trou de faibles dimensions devant la longueur d'onde (voir figure ci-contre). a) Expliquer sans calcul pourquoi une onde se pro age dans le guide supérieur dans les deux sens possibles. On note 52 : sOe'(OEt' '" l'onde émise par A se pro- pageant dans le sens des se croissants. Déterminer l'amplitude complexe g}, de l'onde émise par A se propageant dans le sens des x décroissants. b) On effectue un trou B supplémentaire à droite du trou A , et distant d'un quart de longueur d'onde. Déterminer de même SE et 51--3 . c) En déduire l'amplitude de l'onde en tout point du guide supérieur, commen-- ter et montrer qu'il existe une onde progressive s'y propageant, préciser son sens de propagation. Partie III - Étude thermodynamique d'un dispositif de chauffage Les micro-ondes peuvent être absorbées par différents matériaux notamment ceux contenant de l'eau liquide. L'échauffement de ces matériaux a de nombreu- ses applications industrielles : séchage d'encres et peintures, séchage sous vide de produits pharmaceutiques ou alimentaires, décongélation... Le caoutchouc étant un très bon absorbant des micro-ondes, on utilise ces dernières pour le chauffer afin d'obtenir sa vulcanisation (des ponts entre molécules se forment et le caoutchouc devient « solide »). C'est un modèle simplifié du chauffage d'une petite pièce de caoutchouc que l'on étudie par la suite. On se place dans le cadre d'un modèle à une dimension : toutes les grandeurs ne dépendent que de l'abs- cisse et éventuellement du temps. Valeurs numériques : >.=1SW--m"1-K"1 a=0,05cm"

3

1 ---1

=2,IJ-g_l-K
2

CP
l=l,Ocm PO=2,4W--cm_

p 1200 kg - m--

III.A - Absorption des micro-ondes par le matériau

III.A.1) On considère une onde plane arrivant
sous incidence normale sur le matériau en x = 0 .
La puissance transportée par l'onde par unité de
surface est notée P(x). On admet que la puis-
sance volumique absorbée en un point d'abscisse
x est proportionnelle à P(x) , on la note aP où a est appelé coefficient 
d'absorp-
tion. Établir l'expression de P(x) en fonction de FO (puissance initiale de 
l'onde)
a et x.

III.A.2) Le matériau est de longueur finie
notée 21. Deux ondes incohérentes de même
puissance initiale Po arrivent maintenant sur
le matériau en x = --l et en x = l.

En supposant que al «] déterminer l'expres-
sion de la puissance volumique absorbée par le matériau, notée o , en fonction
de Po et a . Le chauffage est--il uniforme ? Effectuer l'application numérique.

III.A.3) Dans le cadre du modèle unidimensionnel que l'on étudie ici, seules les
surfaces en x = --l et x = 1 sont en contact avec l'air ambiant de température
constante et uniforme Ta . On note h le coefficient de transfert 
conducto-convec-
tif entre le matériau et l'air (on suppose que ce transfert suit la loi de 
Newton).
La surface latérale est isolée thermiquement de l'air. Æ)éterminer le vecteur 
den-
sité volumique de courant de conduction thermique je en x = 0 , x = l et x = 
---l
en faisant intervenir h si possible. En déduire que l'on peut se ramener à 
l'étude
du matériau entre les abscisses x = 0 et x = l . '

III.B - Établir l'équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ de 
tempé-
rature T(x, t) ;poser D : À/(pcp) et u : G/(pcp) où )» est la conductivité 
ther--
mique du matériau, p la densité volumique de masse, cp la capacité thermique

massique à pression constante. Donner la valeur numérique du coefficient de
diffusion D.

III.C - Régime permanent

III.C.1) Établir l'expression de T(x) sous la forme de la somme de trois termes
dont deux font intervenir séparément l'influence de la conduction et des échan-
ges conducto-convectifs avec l'air ambiant. Tracer l'allure de la courbe 
représen-
tative. Commenter les cas A --> +00 et h --> +00 . Quelle est l'influence de h ?

III.C.2) Évaluer littéralement et numériquement l'écart maximal de tempéra--
ture au sein du matériau. Pourquoi cherche-t-on en pratique à faire en sorte que
cet écart soit le plus faible possible '?

III.D - La puissance électromagnétique
instantanée émise par le dispositif géné-
rant les micro-ondes n'est pas réglable.
Par contre on peut régler la puissance
moyenne en faisant suivre les phases
d'émission par des phases d'extinction
du dispositif générant les micro--ondes.
Dans le cas où ces phases ont la même durée, la puissance moyenne émise est
la moitié de la puissance instantanée en phase d'émission. On se place dans ce

cas dans la suite: L'allure de P(t) , puissance instantanée, est indiquée sur le
schéma ci-contre.

On ne tient compte dans la suite que de la première harmonique de ce signal

dépendant du temps, c'est l'approximation de la première harmonique. On écrit
alors

P(t) : Po<%+ +âsinoet) avec (1) : 2n/T où T = 1,0 s est la période de P(t). On se place dans le cas où le régime forcé est atteint. III. D. 1) a) Dans l'équation de la question III. B le terme provenant des sources internes est écrit en représentation complexe. u --- _u0+Aue'°' .Exprimer u0 et Au en fonction de a , P0 , p et cp. b) On pose T : Ï1 + T2 où I1 est la réponse en température àla partie station- naire des sources internes et T2 la réponse àla partie variable sinusoïdalement. Écrire les équations aux dérivées partielles vérifiées par T1 et T2 . III. D. 2) a) On cherche pour T2 une solution de la forme T2 -- f (x)e' "" où f est une fonc- tion à valeurs complexes. Établir l'équation différentielle vérifiée par f. Donner la forme générale des solutions et définir en fonction de w et D une longueur caractéristique des variations spatiales de T2 que l'on notera lc . Calculer numé- riquement le et justifier que le milieu peut être considéré comme infini. b) En déduire dans le cadre de cette approximation la seule condition aux limi- tes sur I . Montrer que 252 ne dépend pas de x et donner son expression en fonc-- tion de êl_t. Que représente formellement I2 par rapport à âl_æmt ? Évaluer littéralement et numériquement l'amplitude temporelle des écarts de tempéra- ture. III.E - Dans cette partie on s'intéresse à la mise en place d'un modèle numéri- que de la situation physique exposée précédemment. Le but de cette modélisa-- tion est de pouvoir calculer à l'aide d'un programme informatique le champ de température pour différents types de forçages P(t). Le principe est de découper le matériau en N couches (de longueurs AZ-- _ l / N et de section S ) dont la tem- pérature est supposée homogène On pose '? Tn _ Tn -- 1 --> '

J...n : "*(T)Êx
le vecteur densité volumique de courant de conduction thermique à l'interface

de séparation entre les couches n--1 et n. L'ordre croissant des couches est
donné par ex.

III.E.1) Dans cette question on s'intéresse au modèle ,
très simple à deux couches. Le chauffage par rayonne- /
ment s'effectue par la droite de l'échantillon dont la
surface latérale et la partie gauche sont thermique-
ment isolées (schéma ci-contre). Comme dans les par-- /
ties précédentes, on prendra en considération les
transferts thermiques conducto-convectifs à l'interface avec le milieu 
extérieur.

a) Établir les équations différentielles vérifiées par T1 et T2 en faisant 
interve-

nir les grandeurs Cc : pSAZCP , a : kS/Al et PC : AloS (ne pas résoudre les
équations). '

b) Compléter le schéma ci-contre, de façon à
obtenir une situation analogue électriquement à
la situation précédente, et écrire les équations
vérifiées par les potentiels V1 et V2. Écrire un
tableau mettant en évidence les analogies entre
les situations thermiques et électriques.

III.E.2) On cherche, dans le cadre d'un calcul numérique, une condition sur le
nombre N de couches à utiliser. On note To un temps caractéristique de l'exci-
tation (périodique ou non). Déterminer, à partir de l'équation de la chaleur, un
temps caractéristique 1: lié aux phénomènes de diffusion en fonction de l , D et
__N . En déduire une condition littérale sur l'ordre de grandeur de N . 
Effectuer

une application numérique pour une excitation périodique de fréquence de
l'ordre de «1 Hz.

Partie IV -- Guide en métal non parfait

On suppose dans cette section que le métal constituant le guide d'onde est en
cuivre de conductivité non infinie y-- _ 5,9 107 S m .La fréquence considérée
est 2,5 GHz.

IV.A - Champ électrique dans le métal et aspect énergétique

L'espace est muni du repère orthonormé (Oxyz) . Afin d'étudier simplement le
champ électrique dans le métal du guide on considère la modélisation suivante :
un métal remplit le milieu semi-infini y z 0 , la variation spatiale selon la 
direc-
tion de l'axe (Oz) (appartenant à l'interface de séparation entre le vide et le

métal) est celle d'une onde plane progressive monochromatique de vecteur
d'onde k.

on pose É : E(y)ei(wt-- kZ)êx
IV.A.1)

a) Montrer que dans le métal la densité volumique
de charge est nulle.

b) Calculer dans le métal le rapport des ordres de

grandeur du courant de déplacement

7) -->
_]d : eoâE/ôt
. . 7>
et du courant volum1que de conduct1on ]v. Commenter.

c) En tenant compte de la question précédente, établir l'équation aux dérivées

partielles vérifiée par le champ E. En déduire l'équation vérifiée par E ( y) On
posera:

@ : /.À.
M0YUÜ

Calculer numériquement ô .
+
d) En déduire l'expression de ju en fonction de y , ô , oe , t , z et d'une 
constante

que l'on notera j 0 .

IV.A.2) On s'intéresse dans cette question au lien entre les représentations
surfaciques et volumiques des courants. On considère un cylindre semi-infini
dont la base, d'aire dS , appartient àla surface de séparation entre le vide et 
le
métal et dont les génératrices sont parallèles à l'axe des y . On prendra 
l'origine
de l'axe en un point de la base de la colonne de métal considérée.

a) En pratique, la profondeur de pénétration de l'onde dans le métal est faible.
On peut donc modéliser les courants dans le métal par un champ de vecteur den-
sité surfacique de courant js. Établir la relation vectorielle entre js et le 
champ
de vecteur densité volumique de courant ju.

b) On note  la moyenne temporelle de la puissance dissipée par effet
Joule dans une colonne d'aire dS. Trouver l'expression de  en fonc-
tion de y et de jv.

c) En utilisant les résultats de la question IV.A.l--d, exprimer Z et 
en faisant intervenir notamment jo , 6 et y. En déduire :

(-- --.

. . , , . . . _.)
d) Montrer que Yl'on pourra1t cons1derer que la repart1t10n surfac1que js est

équivalente énergétiquement à une densité de courant volumique uniforme sur
une épaisseur ôeff. Exprimer ôeff en fonction de 6.

NB - Pertes énergétiques et optimisation

On étudie dans cette partie les pertes dues à l'effet
Joule. La prise en compte d'une conductivité non infi-
nie modifie les solutions obtenues dans le cas d'un
métal parfait. Néanmoins, on considère dans la suite
que y reste suffisamment grand pour que l'on puisse
approximer dans le vide les champs par ceux obtenus
dans le cas du métal parfait.

On s'intéresse plus particulièrement au cas du premier mode transversal élec-
trique dont le champ s'écrit :

--> _ gï, i(oet--k x)->
E-- -- Eosm( g)e g ez.
IV.B.1) En utilisant la relation de passage pour le champ magnéti ue au voi-
sinage d'un métal parfait donner l'expression de jî en fonction de B et 110 .

IV.B. 2) Déterminer les composantes réelles du champ magnétiqueB E.n

déduire l'expression de  (où < > est l'opérateur de valeur moyenne dans le
temps) en fonction de E0 , oe , b , k g et y.

IV.B.3) Montrer que la valeur moyenne dans le temps de la puissance dissipée
par unité de longueur du guide peut se mettre sous la forme

où P0 est une constante à déterminer en fonction de E0 , >\o (longueur d'onde
dans le vide), y, 6 , 110 et c.

IV.B.4) On suppose fixée la longueur a transversale du guide. Déterminer en
fonction de 7\o et a la valeur optimale bo pour laquelle il y a minimisation des
pertes énergétiques lors de la propagation de l'onde dans le guide. Calculer
numériquement b0 dans le cas où a = 2,0 cm .

IV.B.5)

a) Calculer la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting <Ëë>. En
déduire la puissance moyenne temporelle Pm traversant une section du guide.

b) Montrer que la variation de Pm le long du guide est exponentielle et calculer
numériquement la longueur caractéristique de décroissance.

ooo FIN ooo