Centrale Physique MP 2005

 

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mâw omäQ=OE - &&...ch &:8ËU

Ce problème propose d'étudier divers modèles de l'atome qui se sont succédés au
cours des deux derniers siècles. Dès la fin du XIXe siècle, des expériences ont 
mis
en évidence la notion d'atome contenant une charge positive ainsi qu'une charge
négative, celle-ci identifiée comme étant constituée d'électrons de charge --e 
et
de masse me . On connaît aussi le nombre de masse A caractéristique de chaque
espèce.

Les valeurs numériques demandées seront calculées avec les données suivantes :

1 -1

4neO : 9 F - m
9'- 10

Masse de l'électron : me : 9, 1 - 10"31 kg
Charge élémentaire : e = 1, 6- 10"19 C
Célérité de la lumière dans le vide : c = 3 - 108 m - s"1
Constante de Planck : h = 6, 63 - 10"34 SI '
Masse d'un atome de nombre de masse A : mat : A x 1, 67 - 10"27 kg

, , .--> --> ---> --> --> -->
Formule d analyse vectorielle : rot( f F) = f rot(F) + grad( f ) A F

Les diverses parties sont largement indépendantes.

Partie I - Le modèle de Thomson

En 1904, le physicien anglais Sir Joseph John Thomson (1856--1940) propose le
modèle suivant pour l'atome d'hydrogène :

° Il est constitué d'une sphère de centre 0 et de rayon a .

° La charge positive e de l'atome est répartie uniformément dans le volume
intérieur de cette sphère.

° La sphère est supposée fixe dans un référentiel galiléen propre à l'étude,
--> --> -->
auquel on associe le repère orthonormé direct (0, ex, e y, e,) .

° L'électron se déplace librement à l'intérieur de la sphère ; on repère par M 
sa
position et on note ?-- = OM son vecteur position.

0 On néglige l'interaction gravitationnelle devant l'interaction électromagnéti-
que.

I.A - Quelle est l'expression de la force ressentie par l'électron ? On posera

e2
k = .
47oe a3
0

I.B - Pourquoi nomme-t-on aussi le modèle de J.J. Thomson « modèle de l'élec-
tron élastiquement lié à l'atome »?

I.C - Mouvement de l'électron
1.0.1) Montrer que le mouvement de l'électron est plan.

I.C.2) La loi de force précédente définit un modèle, analogue à trois dimen-
sions de l'oscillateur harmonique, connu sous le nom d'oscillateur spatial. Don-

ner la (ou les) équation(s) du mouvement de l'électron pour les conditions
initiales suivantes. on suppose _qua t = 0 ,rO : "0 ex et vo : vo ez où ex est 
le
vecteur unitaire de l'axe Ox et ez le vecteur unitaire de l'axe Oz.

I. C. 3) Tracer l'allure de la trajectoire, le plan de figure étant le plan de 
la tra-

jectoire. Comparer cette trajectoire à celle de la Terre autour du Soleil (en 
sup-
posant un champ de force central en 1/ r ).

I.C.4) Quelle est la période du mouvement en fonction de me et k ?

1.0.5) En prenant a = O, 1 nm , calculer la fréquence du mouvement et la lon-

gueur d'onde associée. Dans quel domaine du spectre électromagnétique celle--ci
est-elle située. ?

I. C. 6) On se place, dans cette question uniquement, dans le cas particulier où

"0 A "0 = 0. Quel est le mouvement de l'électron. ? Donner un exemple d'analogie
mécanique.

I.D - Application

On soumet l'atome d'hydrogène précédemment décrit à l'action d'une onde plane
lumineuse représentée par un champ électrique de valeur

Ê : EO cos(oet--ËZ - ?) eî où EO est l'amplitude du champ électrique, (» la 
pulsa-

tion du champ telle que ou « /k/me et ko le vecteur d'onde.

On s'intéresse au mouvement de l'électron supposé astreint à rester sur l'axe

Oz. De plus, on se place dans le cas où la longueur d'onde 7»0 asSociée à cette
onde est telle que 7'o » a .

I.D.1) Montrer que l'approximation précédente permet de considérer que le
champ est « uniforme » au niveau atomique et que) l'on peut écrire simplement

le champ électrique sous la forme Ê' : Eo cos(oet) ez. En déduire l'équation 
dif-
férentielle du mouvement de l'électron.

I.D.2) Justifier l'approximation (» « /k/me dans le cas de la lumière visible.

I.D.E_ä_2 Donner une solution en régime établi z(t) (coordonnée de l'électron 
sur
(0, EUR,) ), dans le cadre des deux approximations précédentes.

I.D.4) Le système ainsi constitué rayonne à son tour une onde
électromagnétique : en effet, l'atome d'hydrogène ainsi excité peut être consi-
déré comme un dipôle électrique oscillant. Donner l'expression du moment dipo-
laire È . On suppoSera que l'émission n'affecte pas la solution précédente.

I.D.5) Définir la zone de rayonnement.

I.D.6) On rappelle que le potentiel vecteur_ÿcréé par le dipôle électrique

oscillant de moment dipolaire 3 dirigé suivant eZ au temps t et àla distance r
du dipôle eSt :

"> > __ Ïgp(t--r/c)*
A(r, t) - 41: --------r ez
.--à . o o o .
où p' ez dés1gne la dér1vée première par rapport au temps du moment d1pola1re
[n' et c la célérité de la lumière dans le vide. Montrer que le champ magnétique

rayonné dans la zone de rayonnement est, en coordonnées sphériques :

' sin6 -->
M0 p'(t--r/c) eq).

È ' t

(r, ) _ 4nrc
Rappeler sans démonstration la structure locale de l'onde rayonnée dans la zone
de rayonnement. En déduire l'expression du champ électrique rayonné, toujours
dans la zone de rayonnement, en fonction notamment de p'(t -- r/ c_) .

I.D.7 ) Montrer que la puissance électromaguétique rayon2née dans tout

l'espace est, en moyenne dans le temps, de la forme P = a w (2 ) où a est une
constante à expliciter.

I.D.8) Expliquer l'origine de la couleur bleue du ciel en C
admettant que les atomes de l'atmosphère ont un comporte-- | |
ment identique à celui de l'atome d'hydrogène lorsqu'ils sont

soumis aux rayons solaires.

I.D.9) Analogie électrique : on considère le circuit électri-- gî ' L
que représenté ci-contre. Le générateur délivre la tension

ËË : U sin(oet). Montrer que la charge q du condensateur

suit une équation analogue à celle de la question I.D.1. À

quoi sont analogues les grandeurs U , L et C ? '

I.D.10) Commenter l'intérêt du modèle de J.J. Thomson.

Partie II - Du modèle de J.J. Thomson à celui de
Rutherford

II.A- Généralités sur le problème a deux corps

On considère un système S isolé constitué de deux particules A et B de masses '
respectives ma et mb. On étudie ce système dans un référentiel % supposé
galiléen. On se donne également un point 0 fixe dans ce référentiel. On appelle
Fa (respectivement Fb) la force exercée par B sur A (respectivement exercée

par A sur B ). On suppose que leur module ne dépend que de la distance r entre
les deux particules.

II.A.1) Soit C le centre de masse du système S . Dans le référentiel % , don-
ner l'expression de la vitesse de C en fonction des vitesses des points A et B .
Quel est le mouvement de C dans 9? ?

II.A.2) Qu'appelle-t-on référentiel barycentrique ?

II.A.3) On se place dans le référentiel barycentrique 9? du système S . On
--> ---->

note ?; : E'Â , Fg : (Îê et on appelle v; (respectivement vl"; ) la vitesse du 
point

A (respectivement la vitesse du point B ) dans ce référentiel. Quelle est la 
rela-

tion entre v_â et v?" .

II.A.4) On pose r = AB . Donner le lien entre ?; et ? puis entre ?; et ?.

II.A.5) Montrer que le problème possédait initialement 6 variables d'espace et

qu'il est maintenant réduit à 3 variables d'espace dans le référentiel 
barycentri-
que.

II. A. 6) Montrer que l'étude du système dans ce référentiel se réduit à l'étude
plus simple du mouvement d'une seule particule (que l'on nommera mobile fic-
tif) de masse M et de vecteur position ? soumise à la force Fb. On donnera

l'expression de u.

II.A.7) Dans le cas particulier où m b » ma , que vaut M et où se trouve le 
centre
de masse C ? '

II.B - Invalidation du modèle de Thomson par l'expérience de
Rutherford

L'expérience réalisée en 1911 par le physicien anglais Rutherford a été l'une 
des
étapes les plus importantes dans l'histoire de la physique atomique. L'expé--
rience consiste à bombarder une mince feuille d'or avec les particules a émises
par un corps radioactif. On constate que ces particules a ressortentde la 
feuille
métallique, certaines étant déviées : on dit qu'elles sont diffusées. Quelques
rares particules sont même rétrodiffusées, c'est-à-dire qu'elle sont déviées 
d'un
angle supérieur à 90 degrés. On se place dans le référentiel du laboratoire, 
sup-
posé galiléen, où la feuille est fixe.

On étudie, pour le moment, la diffusion d'une particule a par un atome cible B .

La particule a , de masse ma , arrive de
l'infini avec une vitesse 50 (voir figure)
et un paramètre d'impact b (distance _
minimale à laquelle elle passerait à
côté de B en l'absence de toute interac-
tion). L'atome cible B possède une
masse mb telle que mb » ma .

On néglige toute interaction gravita-
tionnelle. L'énergie potentielle
d'interaction entre la particule a et l'atome cible B , distants de r , est 
électros-

tatique et de forme a priori quelconque : on la note W(r) et elle est prise 
nulle à
l'infini. '

II.B.1) On suppose, comme à l'époque, que la partie essentielle de la masse de
l'atome est liée à sa charge positive. Une particule a est un atome d'hélium
ionisé, portant deux charges élémentaires positives et de nombre de masse égal
à 4 . Expliquer pourquoi on peut considérer le mouvement des particules a
comme étant insensible à l'interaction avec les électrons de l'atome B . On pro-
posera un raisonnement qualitatif faisant abstraction de la présence du noyau.

II.B.2) Dans le cas de l'expérience de Rutherford, les particules cibles étaient
des atomes d'or (nombre de masse A = 197 , numéro atomique Z = 79 ). Qu'en
déduit--on pour la position du centre de masse dans l'expérience '? Quelle hypo-
thèse peut-on raisonnablement faire pour l'atome cible B '? Finalement, à quoi
est due la déviation de la particule a ? ' *

II.B.3) Invalidation du modèle de Thomson

On se propose de montrer que l'existence de particules rétrodiffusées invalidele
modèle de Thomson. Pour ce faire, on peut se contenter de trouver une majora-

tion de l'angle maximal de déviation prévu par ce modèle. Le rayon de l'atome
est a = O, 1 nm .

a) Montrer, en utilisant le modèle de Thomson, que la particule a perçoit une

force électrostatique maximale Fmax en r = a et évaluer numériquement Fmax .

b) On donne la vitesse de la particule a incidente : "o = 1, 6 - 107 m - s_1 . 
On sup-
pose que la force F..., s'applique constamment dans l'atome B àla particule (1
afin de la faire dévier. Évaluer numériquement une majoration de l'angle de
déviation maximale possible.

0) En pratique, la feuille d'or utilisée comportait environ 400 plans atomiques
successifs. Conclure quant àla validité du modèle de Thomson.

II.C - Confrontation du modèle de Rutherford à l'expérience

Rutherford propose dans son modèle, par rapport au modèle de Thomson, une
répartition différente de la charge positive Ze : Celle--ci se trouve maintenant
dans un noyau quasi--ponctuel autour duquel gravitent les électrons. On se place
dans le référentiel galiléen du laboratoire où l'atome B est fixe.

II.C.1) Pourquoi parle-t-on de modèle planétaire ? À quelles grandeurs
mécaniques peut-on faire correspondre, par analogie, la constante 50 , la charge
de l'électron et la charge du noyau ?

II.C.2) Montrer que l'énergie potentielle d'interaction de la particule a avec
l'atome B , dans le modèle de Rutherford, est de la forme W(r) : K /r. On pré-
cisera l'expression de K .

II.C.3) Soit ? : fil le vecteur position de la_particule a. On pose
@
dt '

Montrer que le moment cinétique ? , exprimé en B , de la particule a , est 
cons--
tant.' Quelle(s) conséquence(s) en déduit--on pour sa trajectoire ?

9

+
Ê=mav etl

-> > +
D: =rAp.

II.C.4) Quelle est la nature de la trajectoire suivie par la particule ?
Pourquoi ? (Aucun calcul n'est demandé). La représenter.

II.C.5) On peut se passer de l'équation de la trajectoire suivie par la 
particule
a pour calculer son angle de déviation en utilisant l'intégrale première du mou-

vement
.L...) )

.)
£":3u +maK£.

Montrer que ce vecteur est bien une constante du mouvement.

: _ ---->
II.C.6) En utilisant les expressions initiale et finale du vecteur fÏ ,

démontrer la relation liant le paramètre d'impact b à l'angle de déviation 
 dq> l'angle solide sous lequel est vue, depuis la cible, la 
zone
du détecteur comptant les particules déviées d'un angle «:> à dq> près. (On aura
remarqué que le problème admet la symétrie de révolution autour de Bx ).

a) Déterminer le nombre dn de ces particules déviées, ayant initialement un
paramètre d'impact compris entre b et b + db , en fonction de J , b et db.

b) Le comptage donne accès au rapport dn/(JdQ) appelé section efficace diffé-
rentielle de diffusion. L' exprimer en fonction de B et «p .

c) Geiger et Marsden obtinrent expérimentalement une section efficace diffé--
rentielle évoluant suivant une loi en 1/ sin4(q>/ 2) . Commenter.

(1) Quelle est la valeur de la déviation q> correspondant àla plus petite 
distance
d'approche rm du noyau par une particule a ? Estimer la valeur de "m pour une
particule a d'énergie cinétique incidente de 5,3 MeV.

e) En réalité, Geiger et Marsden constatèrent que leur loi en 1/ sin4(q>/ 2) 
n'est
valable que pour des déviations 4) < % : 150°. Que peut-on en déduire sur la nature de l'interaction entre la particule a et le noyau suivant la valeur du paramètre d'impact b ? On fera ressortir un paramètre d'impact frontière, noté bo , que l'on calculera numériquement pour les particules en précédentes. En déduire la distance minimale rm0 d'approche de ces particules (pour 4) : q>0 ).

f) Donner l'ordre de grandeur actuel de la taille du noyau atomique. Commen-
ter les résultats précédents.

Partie III - Modèle semi-quantique de Bakr

Avant de s'intéresser à la structure de l'atome, on avait déterminé que chaque
atome (sous le coup d'une excitation) était capable de rayonner une onde élec-
tromagnétique (parfois appartenant au spectre visible). Pour l'atome d'hydro-

gène, les longueurs d'onde caractéristiques de ces rayonnements vérifient la loi
expérimentale de Balmer--Rydberg :

1 1 1
-- = R -- --- -- (1)
x,... H (n2 102) '
où n et p sont des entiers (n < p ) et R H est la constante de Rydberg. On sou- haite retrouver thé0riquement ce résultat en s'intéressant à l'atome d'hydro- gène. III.A - Quantification et condition de Bohr III.A.1) Dans le modèle de Rutherford, il est possible d'envisager une trajec- toire circulaire de rayon R de l'électron autour du noyau fixe. Calculer la vitesse v correspondant à cette orbite et en déduire lapériode T de rotation de l'élec- tron sur cette orbite en fonction de 80 , mEUR , e et R. III.A.2) Montrer que la force électrique ressentie par l'électron dérive d'une énergie potentielle que l'on explicitera. En déduire l'énergie mécanique E. ' III.A.3) On numérote par deux entiers n et p deux orbites circulaires distinc- tes d'énergies mécaniques respectives En et E p . On note Ln et L p les moments cinétiques respectifs par rapport au noyau. Montrer que 1 1 Ep_En =Y(Zî--IJ--ÎJ) - . (2) Y est une constante que l'on explicitera en fonction de e , 80 et me . III.A.4) En tenant compte de résultats connus en 1913 (théorie du corps noir, théorie de l'effet photoélectrique), Bohr a pu poser la relation bien connue aujourd'hui : EP --En : hvnp entre énergie et fréquence. De plus, il a posé la condition de quantification du moment cinétique suivante pour les orbites circu- laires L,, : nh (où h = h/ (Zn) est la constante réduite de Planck). Montrer que ces deux relations permettent de retrouver l'égalité (1). En déduire une expression de la constante de Rydberg R H en fonction de 80 , me , e , c et h . Faire l'application numérique. III.A.5) Quelle correction devrait-on apporter au résultat précédent si l'on vou- lait tenir compte de la mobilité du noyau ? Faire l'application numérique. III.A.6) Commenter le fait que le modèle de Bohr soit dit semi-quantique. III.B - Confirmation du modèle de Bohr : expérience de Franck et Hertz (1913) On considère l'expérience représentée sur le schéma de la figure ci-après. Dans une ampoule fermée, des électrons sont émis par un filament chauffé et placés dans une atmosphère contenant une vapeur de gaz monoatomique sous faible pression. Une grille permet soit d'accélérer soit de freiner les électrons. Cette grille est portée au potentiel électrique VG positif. L'électrode collectrice est por- tée au potentiel électrique V P . Le potentiel électrique VG est obtenu grâce à un circuit contenant deux résistances variables (x et R -- x , avec x compris entre 0 et R ) et un générateur délivrant une tension Vo . Dans le montage, on place éga- lement un ampèremètre mesurant l'intensité du courant électrique circulant du point G au point P. On supposera I « V0/ R . III.B.l) Quelle est la tension de la grille VG ? A quoi servent les résistances réglables ? Comment réaliser pratiquement ' ce dispositif ? III.B.2) Le filament chauffé émet des électrons de vitesse quasi- nulle. Quelle est" la vitesse des électrons au niveau de la grille ? III.B.3) On suppose que l'élec-- trode collectrice est au potentiel VP : VG--e où 8 est une cons- tante positive supposée petite devant VG. Quelle est la vitesse des électrons au niveau de l'élec-- trode (dans l'hypothèse où la traverSée de la grille s 'effectue sans changement de vitesse et où la vapeur de gaz est sans influence)? potentiel O III.B.4) À quoi sert l'ampèremètre ? Justifier le nom de l'électrode dite collec- trice. - III.B.5) On Suppose maintenant quela vapeur de gaz contenue dans l'ampoule influence le mouvement des électrons. Ces derniers peuvent subir deux types de collisions avec les atomes du gaz. Soit : 0 une collision élastique, où l'électron conserve son énergie cinétique, 0_ une collision inélastiqùe, où l'électron peut transférer de l'énergie à l'at0me. On notera W l'énergie transférée à l'atome de gaz Sous forme d'énergie potentielle. On donne ci-contre la courbe j de I en fonction de VG. a) Interpréter cette courbe pour 0 s VG 5 V. b) Que se passe- t---il pour VG : V,. ? c) Interpréter la suite de la courbe. III.B.6) En déduire que l'atome ne peut prendre à l'électron qu'une quantité d'énergie parfaitement | déterminée "W,. que l'on exprimera. * ' " " " III.B.7) Accord avec le modèle de Bohr : a) Dans les expériences faites avec de la vapeur de mercure, on mesure V,. = 4, 9 V. (Le potentiel d'ionisation est 10,5 V ). Qu'arrive-t-il aux atomes de mercure dès que VG est supérieur à V,. ? b) Commenter la phrase suivante : « Le fait que l'électron ne puisse pas céder à l'atome une quantité d' énergie inférieure à W, vient confirmer la notion des niveaux d'énergie discontinus introduite à partir de la condition de quantifica- ' tion de Bohr » Partie IV - Chute du modèle de Bohr et théorie quantique IV.A- En utilisant la théorie classique du rayonnement, montrer que le modèle de Bohr est remis en cause. Que pouvez--vous en conclure ? IV.B - Critère quantique Une action en physique, pour un système donné, est une grandeur Caractéristi- que de ce système ayant pour unité celle de la constante de Planck. Ainsi h-- = 1,05 10"3 4SI est appelée une action. On peut déterminer une action en com- binant des paramètres pertinents pour la description des phénomènes physi- ques enjeu. Un système dont l'action caractéristique admet une valeur proche de h , est un système pour lequel on ne peut plus faire abstraction des phénomè- nes quantiques. Par contre, si sa valeur est très supérieure à 71 , alOrs l'étude du système relève de la physique classique. IV.B.1) Rappeler l'unité de cette constante h dans le système international. IV.B.2) Regardez une montre mécanique à aiguilles ! Montrez que les horlo-- gers n'ont pas besoin d'une formation en physique quantique (on pourra notam-- ment faire intervenir la taille et la masse des pièces du mécanisme. . .) IV.B.3) La description d'une antenne radio de puissance 1 kW relève--t-elle de la physique quantique lorsqu'elle émet à 1MHz ? IV.B.4) Un circuit oscillant de capacité 10_10 F , d'inductance 10_4 H et par-- couru par un courant d'intensité d'amplitude 1 mA relève-t--il de la physique quantique ? IV.B.5) Prenons maintenant l'atome d'hydrogène. Il possède une énergie d'ionisation égale à 2 - 10"8 J . Son spectre, par ailleurs, est caractérisé par une longueur d'onde minimale )» = 100 nm . L'atome d'hydrogène relèvè-t--il de la phy-- sique quantique ? En déduire une justification de la remise en cause du modèle de Bohr. IV.B.6) Dans le modèle quantique de l'atome d'hydrogène, de quelle manière décrit-on le comportement de l'électron ? IV.B.7 ) Conclusion À partir de ces exemples, préciser le rôle joué par les modèles dans les sciences physiques. On se demandera en particulier si l'on peut dire d'un modèle qu'il est vrai ou faux._ . 00. FIN ooo