Centrale Physique MP 2008

Concours Centrale - Supélec 2008

Épreuve :

PHYSIQUE

Filière

MP

PHYSIQUE

Filière MP

PHYSIQUE
Calculatrices autorisées.

Gravitation, gravimétrie et géodésie spatiale
La connaissance du champ de pesanteur terrestre est fort utile dans de 
multiples domaines scientifiques. Sa variabilité spatiale nous renseigne sur la 
constitution interne de
notre planète, sa variabilité temporelle sur les mouvements verticaux de la 
surface de la
Terre. Les domaines d'application sont nombreux : de la prospection 
archéologique et
minière, à l'étude des marées terrestres et l'orbitographie satellitaire. Après 
quelques
généralités sur la gravitation (I), nous nous intéresserons, dans ce problème, 
à la notion
de géoïde (II) puis à différentes méthodes de mesures : les unes permettent une 
détermination locale du champ de pesanteur (III), l'autre qui, grâce aux 
satellites artificiels,
apporte une solution à la mesure globale du champ gravitationnel terrestre (IV).

Ces quatre parties sont assez largement indépendantes. Les vecteurs sont
représentés en gras. Le gal représente l'unité utilisée en géodésie et en 
géophy­2
­2
sique pour exprimer l'accélération de la pesanteur : 1 gal = 10 m.s .
Données numériques :
Constante de gravitation universelle

G = 6, 67  10

­ 11

­ 12

Permittivité électrique du vide

 0 = 8, 85  10

Masse de la Terre

M T = 5, 98  10

2

N  m  kg
Fm

24

­2

­1

kg

3

Rayon de la Terre

R T = 6, 38  10 km
(quand on supposera la Terre sphérique)

Partie I - Attraction gravitationnelle et champ de
pesanteur terrestre
I.A - Le champ de gravitation terrestre
e
I.A.1)
Exprimer la force électrostatique F 1 / 2 exercée par une charge ponctuelle q 1 
sur une charge ponctuelle q 2 et faire un schéma précisant clairement
les notations utilisées. En déduire le champ électrostatique E créé par une
charge ponctuelle q .
I.A.2)
Énoncer le théorème de Gauss de l'électrostatique.

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PHYSIQUE

Filière MP

Filière MP
g

I.A.3)
Exprimer la force gravitationnelle F 1 / 2 exercée par une masse ponctuelle m 1 
sur une masse ponctuelle m 2 . En déduire le champ gravitationnel G
créé par une masse ponctuelle m .
I.A.4)
Dresser un tableau présentant les analogies entre les grandeurs 
électrostatiques et les grandeurs gravitationnelles. En déduire le théorème de
Gauss pour le champ gravitationnel créé par une distribution de masses 
quelconques.
I.A.5)
Application : dans un premier temps, on assimile la Terre à une sphère
de centre O , de rayon R T et de masse M T uniformément répartie dans tout le
volume.
a) Déterminer le champ gravitationnel terrestre G T en tout point M de
l'espace et représenter graphiquement G T en fonction de r = OM .
b) Calculer G 0 = G T à la surface de la
Figure 1
Terre.
GT
En réalité la masse M T n'est pas uniforméG0
ment répartie. Dans un modèle plus élaboré
dans lequel on suppose la symétrie sphérique
conservée, les variations de G T sont repré3
R1
RT
r
sentées sur la figure 1 avec R 1 = 3, 50  10 km .
c) Justifier que le champ gravitationnel à la surface de la Terre n'est pas 
modifié.
d) Justifier que dans ce modèle, on considère le noyau terrestre ( 0 < r < R 1 ) comme homogène. Calculer sa masse volumique moyenne. e) Dans le manteau terrestre ( R 1 < r < R T ) , la masse volumique est-elle supposée fonction croissante ou décroissante de r ? Justifier. I.B - Le champ de pesanteur terrestre En première approximation, le poids mg d'un point matériel de masse m est la résultante de la force de gravitation exercée par la Terre et de la force d'inertie d'entraînement du référentiel terrestre par rapport au référentiel géocentrique. I.B.1) Définir un référentiel galiléen. Définir les référentiels géocentrique et terrestre. Concours Centrale-Supélec 2008 2/12 PHYSIQUE Filière MP I.B.2) Expliquer à l'aide d'un schéma pourquoi le jour sidéral (période T de rotation propre de la Terre) diffère du jour solaire moyen T 0 = 24 h (durée entre deux passages successifs du Soleil au zénith). Évaluer en minutes l'ordre de grandeur de T 0 ­ T . Quel que soit le résultat trouvé précédemment, on prendra ­5 ­1 = 7, 29  10 rad  s comme vitesse angulaire de rotation du référentiel terrestre dans le référentiel géocentrique. I.B.3) Exprimer en un point M de latitude  , le champ de pesanteur terrestre g = g à la surface de la Terre en fonction de G (constante de gravitation universelle), M T , R T ,  et  . On pourra faire toute approximation jugée utile. I.B.4) Calculer les valeurs extrémales de g . Quelle erreur relative maximale commet-on si l'on confond champ de pesanteur terrestre et champ de gravitation terrestre ? I.B.5) Quelle devrait être la durée du jour sidéral pour qu'il existe des lieux de pesanteur nulle à la surface de la Terre ? Partie II - Forme de la Terre : géoïde et ellipsoïde de référence Le géoïde terrestre est la surface équipotentielle du champ de pesanteur, choisie pour être voisine du niveau moyen des océans. Lorsque les scientifiques parlent de la forme de la Terre, c'est habituellement de la forme géométrique du géoïde dont il s'agit. En 1666, Cassini observe que Jupiter a une forme aplatie (rayon équatorial supérieur au rayon polaire). À tour de rôle, Hooke (1686-87), Newton (1687) et Huygens (1690) affirment que la Terre présente une forme ellipsoïdale aplatie aux pôles. En 1743, Clairaut propose que la Terre se comporte comme une masse fluide en équilibre dans le référentiel terrestre : c'est l'hypothèse de l'équilibre hydrostatique aboutissant à une Terre ellipsoïdale (ellipsoïde de fluide idéal). Nous adopterons ici un modèle simple pour trouver un ordre de grandeur de l'aplatissement de la Terre : · On considère que la déformation de la Terre est suffisamment faible pour que le champ de gravitation créé par la Terre soit le même que celui de la Terre sphérique et homogène calculé au début du problème. Concours Centrale-Supélec 2008 3/12 PHYSIQUE Filière MP · La Terre se comporte comme un corps fluide z homogène de masse volumique µ . M d · La Terre présentant la symétrie de révolution y O autour de son axe de rotation Oz , on travaillera dans le plan méridien ( Oyz ) (figure 2). En M ( y, z ) , la pression est notée Figure 2 p ( y, z ) . En O , la pression est notée p 0 et à la surface de la Terre, la pression est notée p atm . · Le référentiel géocentrique est considéré comme galiléen. II.A - On admettra que la résultante des forces de pression subies par une particule de fluide de volume d entourant M s'écrit : dF p = ­ grad ( p )d . Quelles sont les deux autres forces subies par cette particule de fluide dans le référentiel terrestre ? On écrira les expressions de ces trois forces en fonction des paramètres du problème et on représentera ces forces sur la figure 2. II.B - Montrer que p p ------ = ­ K 1 y et ------ = ­ K 2 z , z y où K 1 et K 2 sont des constantes positives qu'on exprimera en fonction de G , µ et  . II.C - En déduire que la ligne isobare à la surface de la Terre dans le plan ( Oyz ) a pour équation 2 2 y z -----2- + ----2- = 1 b c où on exprimera les constantes positives b et c en fonction de p 0 , p atm , K 1 et K2 . II.D - Le volume de l'ellipsoïde de demi grand axe b et de demi petit axe c est 4 2 --- b c . 3 Montrer que : 2 ­1 / 6 3 RT b -------- =  1 ­ --------------- RT GM T 3 2 1/3 . RT c -------- =  1 ­ --------------- RT GM T Concours Centrale-Supélec 2008 4/12 PHYSIQUE Filière MP 3 2 RT II.E - Après avoir évalué numériquement --------------- , donner l'expression littérale GM T de l'aplatissement b­c f = -----------c puis sa valeur numérique. L'ellipsoïde de référence est l'ellipsoïde qui s'approche au plus près du géoïde ; ses paramètres actuels (référence GRS 80) sont : · Rayon équatorial : b = 6378, 137 km . 1 · Aplatissement : f = -------------------- 298, 257 II.F - Quelles sont les principales raisons de la différence entre l'aplatissement calculé précédemment et l'aplatissement réel ? En tout point de latitude  de la surface de l'ellipsoïde de référence, le champ de pesanteur est donné par la formule qu'on utilisera par la suite pour les applications numériques utiles : g 0 (  ) = 9, 78032677 ( 1 + 5, 2789  10 ­3 2 sin  + 2, 3295  10 ­5 4 sin  ) (en m  s ­2 ) (système GRS 80) Partie III - Mesure du champ de pesanteur et de ses variations locales La pesanteur présente des irrégularités plus modestes, simplement dues au fait que le sous-sol terrestre est hétérogène. Les distances caractéristiques de ces variations sont de l'ordre de la centaine de mètres et leurs mesures nécessitent un appareillage de grande précision. Nous proposons d'étudier dans cette partie deux types de gravimètres (du latin gravis = lourd, et du grec µ = mesurer), l'un exploitant la mesure de la période de pendules, l'autre celle du temps de chute libre d'un corps. On suppose, dans cette partie, que le référentiel terrestre est galiléen. III.A - Le pendule pesant On considère une tige homogène OA de longueur l , de masse m , mobile dans un plan vertical ( Oyz ) . La liaison Ox est considérée parfaite. Le moment d'iner1 tie de la tige par rapport à l'axe de rotation Ox est J = --- ml 2 . On prendra 3 l = 5, 000 cm et m = 1, 000 g . III.A.1) Exprimer la période T 0 des petites oscillations de ce pendule en fonction de l et g 0 (  ) champ de pesanteur à la surface de la Terre à la latitude  . ­4 La mesure de T 0 s'effectue avec une précision relative de 10 . Concours Centrale-Supélec 2008 5/12 PHYSIQUE Filière MP III.A.2) À la latitude  = 45° , quelle est la variation minimale  g 0 de g 0 que le pendule met en évidence ? III.A.3) Ce dispositif est-il suffisant pour mesurer les différences du champ de pesanteur entre l'équateur et les pôles ? III.B - Le gravimètre à chute libre Le principe de détermination du champ de pesanteur terrestre consiste ici en la mesure d'intervalles de temps nécessaires à un corps tombant dans le vide pour parcourir une distance donnée. La grande précision de cette technique est obtenue par la mesure de distances par interférométrie et de temps par horloges atomiques. III.B.1) Étude de l'interféromètre de Michelson On considère l'interféromètre de Michelson dont les miroirs M 1 (de centre O 1 ) et M 2 (de centre O 2 ) sont perpendiculaires entre eux. Une lame séparatrice L S , de centre I , semiL réfléchissante, sépare le faisceau incident en deux faisceaux de même intensité lumineuse. Cette lame est inclinée de 45° par rapport à O 1 I et O 2 I . Une lame compensatrice L C de O2 même épaisseur et de même indice que la S I lame séparatrice est placée parallèlement à LS LC L S . Une source étendue S éclaire le dispositif. O1 a) Quel est le rôle de la lame compensatrice ? Figure 3 Dans la suite, on considère que l'ensemble des deux lames est équivalent à une lame semiréfléchissante infiniment mince. On éclaire le dispositif avec une lampe spectrale (par exemple une lampe à vapeur de mercure). b) Comment réaliser une source quasi-monochromatique à partir de cette source ? On supposera par la suite la source monochromatique de longueur d'onde  0 . Les miroirs sont positionnés de telle sorte que O 1 I ­ O 2 I = e  0 . c) Décrire la figure d'interférence. Où sont localisées les franges d'interférence ? d) Pour observer ces interférences sur un écran, on utilise une lentille convergente. Où doit-on placer l'écran ? Justifier le choix d'une lentille de grande distance focale. Concours Centrale-Supélec 2008 6/12 PHYSIQUE e) Un capteur d'intensité lumineuse est placé au foyer image de la lentille convergente L . Le miroir M 1 se déplace dans une direction parallèle à sa normale. Exprimer l'intensité lumineuse enregis- J 0 trée par ce détecteur en fonction de e et de 0 = 1 / 0 . Filière MP dI ------d Figure 4 III.B.2) Interférogramme en lumière blanche. = 1/ On remplace la source précédente par une source 1 2 de lumière blanche. On modélise la répartition spectrale en intensité par une distribution rectangulaire (figure 4). a)  2 = 1 /  2 et  1 = 1 /  1 représentent les longueurs d'onde limites du spectre visible. Donner les ordres de grandeurs de  2 et  1 . b) Montrer que le détecteur (toujours I Figure 5 placé au foyer image de la lentille convergente L ) enregistre une intensité lumineuse I = I 0 [ 1 + V ( e ) cos ( 2e (  1 +  2 ) ) ] e 0 où on exprimera V ( e ) en fonction de e et  =  2 ­  1 . c) Tracer V ( e ) et cos ( 2e (  1 +  2 ) ) sur le même graphe en respectant l'ordre de grandeur relatif de  1 +  2 et  =  2 ­  1 . Quand le miroir M 1 se déplace, le détecteur enregistre donc le signal ci-dessus (figure 5). III.B.3) Le gravimètre absolu balistique. Soient deux plans horizontaux distants de h . Un point matériel de masse m lancé verticalement vers le haut traverse chacun de ces plans deux fois (une fois en montant, une fois en descendant). a) En notant t inf (resp. t sup ) l'intervalle de temps entre les deux traversées du plan inférieur (resp. du plan supérieur), montrer que l'accélération de pesanteur g supposée uniforme sur la hauteur de l'expérience s'exprime simplement en fonction de h , t inf et t sup . Pour mesurer h , t inf et t sup on utilise l'interféromètre de Michelson étudié précédemment en y apportant les modifications suivantes. Le miroir M 1 est remplacé par un coin de cube réfléchissant. Ce réflecteur ( C ) est composé de trois miroirs plans identiques formant les faces d'un trièdre recFigure 6 tangle (figure 6). Concours Centrale-Supélec 2008 7/12 PHYSIQUE Filière MP b) Montrer qu'un rayon lumineux incident Figure 7 z est renvoyé dans la direction opposée après L trois réflexions sur les trois faces du réflecteur. Quel intérêt présente ce réflecteur par rapport à un miroir plan ? Le miroir M 2 est remplacé par un ensemble J O3 I de deux miroirs plans fixes M 3 (de centre S O 3 ) et M 4 (de centre O 4 ) et une lame semiréfléchissante telle que O 3 J ­ O 4 J = d >> 2
g
(figure 7). Cette lame semi-réfléchissante
sera considérée comme infiniment mince. Le
O4
(C)
réflecteur ( C ) est catapulté vers le haut à
l'instant t = 0 . L'axe ( Iz ) est vertical.
c) Montrer que le détecteur enregistre alors quatre maxima d'intensité 
lumineuse (on notera t 1 , t 2 , t 3 et t 4 ces instants successifs). En 
déduire l'expression
de l'intensité du champ de pesanteur au lieu de l'expérience en fonction de d et
de ces instants.
d) Application numérique : une mesure donne t 4 ­ t 1 = 9, 7406 ms et
t 3 ­ t 2 = 3, 6171 ms avec d = 100, 00 µm . En déduire la valeur de g sur le 
lieu
de l'expérience.
e) Pourquoi avoir utilisé une source de lumière blanche plutôt qu'une source
monochromatique ?
f) Proposer un moyen de mesurer avec une grande précision la distance d .
III.B.4) Précision du gravimètre balistique.
L'expression du champ de pesanteur terrestre g 0 (  ) est affinée en tenant
compte de l'altitude h du point où on effectue la mesure. Dans la suite, on se
placera à la latitude  = 0 .
a) Donner l'expression approchée du champ de gravitation terrestre à l'altitude
h en fonction de ce champ à l'altitude nulle, de h et R T . On ne tiendra pas
compte de la présence d'un relief quelconque (correction à l'air libre).
b) Du fait de la topographie du terrain, on affine encore cette expression
en considérant que le relief se présente sous forme d'une table d'épaisseur h et
de masse volumique µ au voisinage de la station de mesure (correction de 
plateau). Déterminer le champ de gravité créé en tout point de l'espace par un 
plateau infini d'épaisseur h et de masse volumique µ .
c) Les géologues ont adopté l'expression semi-littérale suivante pour g :
Correction de Bouguer : g B ( , h ) = g 0 (  ) ­ 0, 3086 h + 0, 0419 µh
(1)

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Filière MP
­3

où g B est en milligal, h en mètre et µ en kg  dm . Vérifier l'adéquation 
numérique aux questions précédentes.
d) Le gravimètre balistique permet de déterminer la valeur de g 0 avec une 
précision relative de 10 ­9 . En utilisant la correction à l'air libre, à 
quelle élévation
l correspond cette variation relative ?
e) Comment doit-on choisir d par rapport à l pour que l'hypothèse g uniforme
soit satisfaite pour l'expérience ?

Partie IV - Mesure du champ de gravitation terrestre et de
ses variations globales : l'accéléromètre SUPERSTAR
Il s'agit d'un accéléromètre électrostatique de grande précision (plage de 
mesure variant
­6
­8
entre 10  g et quelques 10  g ) utilisé dans le domaine spatial et développé par
l'ONERA. Trois de ces accéléromètres sont actuellement en orbite dans des 
satellites
ayant pour mission d'améliorer la connaissance du géoïde terrestre et notamment 
ses
variations saisonnières. Le principe en est le suivant : une masse d'épreuve 
est maintenue en lévitation par des forces électrostatiques produites par des 
électrodes. On mesure
la force nécessaire au maintien de la position de cette masse au centre de 
l'accéléromètre
(lui-même placé au centre d'inertie du satellite) ; on connaît alors 
l'accélération du satellite et par mesure combinée de positionnement de 
celui-ci, on accède au champ de gravitation terrestre.

IV.A - Obtention de la lévitation électrostatique
IV.A.1) Nous modélisons un condensateur plan par deux plans conducteurs,
parallèles, de surface S , distants de e (faible devant les dimensions 
caractéristiques de chaque plan), placés dans le vide et soumis à la différence 
de potentiel
U.
a) Exprimer la densité volumique d'énergie électrostatique dans le condensateur 
en fonction de U , e et  0 .
b) Exprimer l'énergie totale du condensateur. En déduire l'expression de sa
capacité.
2
c) Application numérique : on donne S = 16 cm et Figure 8
U
e = 60 µm . Calculer la capacité.
IV.A.2) Un condensateur plan est soumis à une
d.d.p. constante U (figure 8). On admettra que cha-

x

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e

0

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Filière MP

que armature de surface S subit une force électrostatique dirigée vers l'espace
inter-armatures et de norme
2
-------- S
2 0
(où  représente la densité surfacique de charge de l'armature chargée 
positivement). Donner les expressions vectorielles de ces forces en fonction de 
U , S ,
e et  0 .
IV.A.3) Mise en pratique dans l'accéléromètre : la masse d'épreuve est un
parallélépipède en alliage de titane, de dimension 4 × 4 × 1 ( cm ) , de masse
m = 72 g et portée à un potentiel V p . La suspension électrostatique est 
réalisée
par l'intermédiaire de 6 canaux de commande (pour les 6 degrés de liberté de la
masse) et d'asservissement agissant séparément selon les 3 axes de 
l'accéléromètre.
On constitue des paires d'électrodes, formant Figure 9
Vp
autant de condensateurs, en plaçant vis-à-vis des
faces de la masse d'épreuve des plaques portées à
V2
V1
des potentiels différents. Nous allons nous intéresser dans toute la suite de 
cette partie au contrôle et à la mesure de l'accélération selon une
seule direction (figure 9).
x
a) En supposant la géométrie du système parfaitement symétrique, en appelant S 
la surface des
électrodes en regard et e la distance qui les sépare, exprimer la résultante des
forces électrostatiques F esx s'exerçant sur la masse d'épreuve et colinéaires à
l'axe x .
b) Dans le cas où V 2 = ­ V 1 = V , donner l'expression simplifiée de F esx en 
fonction de V , V p , S , e et  0 .

x
x
x

x
x
x

IV.B - Accéléromètre et mesure de forces de surface
En dehors de toute phase de poussée, le satellite est soumis, en plus de la 
force
de gravitation terrestre, à des forces dites de surface qui comportent
principalement : la force de traînée aérodynamique, la pression de radiation
solaire et la pression de radiation terrestre (due à l'albédo).
IV.B.1) Rappeler l'origine des deux dernières forces.

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PHYSIQUE

Filière MP

IV.B.2) Ces quatre forces
Figure 10
sont représentées figure 10
(l'échelle de leurs intensités
n'est pas respectée) pour différentes positions du satellite
direction du
Soleil
sur sa trajectoire. Identifier
Terre
ces forces en vous justifiant.
On cherche à déterminer les
tensions de type V à appliforce 1
quer aux électrodes pour
force 2
maintenir la masse d'épreuve
force 3
trajectoire du satellite
immobile par rapport à l'accéforce 4
léromètre. On rappelle que
celui-ci est placé au centre d'inertie du satellite.
IV.B.3) En appelant respectivement a S et G T l'accélération du satellite dans
le référentiel géocentrique (supposé galiléen) et le champ de gravitation 
terrestre, exprimer la condition d'équilibre de la masse d'épreuve dans le 
référentiel
lié au satellite.
IV.B.4) En appelant respectivement a Sx et G Tx les projections des grandeurs
précédentes selon l'axe x , déterminer la tension V (appelée tension de 
suspension) à appliquer sur les électrodes placées selon cette direction, pour 
maintenir
la masse d'épreuve à l'équilibre.
Le suivi de la position du satellite par le GPS (Global Positioning System) 
permet de déterminer a Sx et donc de remonter à l'information G Tx . Au cours 
de son
mouvement, le satellite subit des forces variables. La masse d'épreuve aurait
donc tendance à s'écarter de sa position d'équilibre. L'objectif des 6 boucles
d'asservissement est de déterminer à chaque instant les tensions à appliquer
sur les différents jeux d'électrodes pour maintenir l'équilibre de la masse
d'épreuve.

xxxxx
xx
xx

xxxx
xx
xx
xx

xx
xxxx
x
xx

xxx
xx
xx
xx

xxxx
xx
xx
xxxx
xx

IV.C - Contrôle en position de la masse d'épreuve
Le détecteur de position utilisé dans le dispositif de contrôle est un détecteur
capacitif.
On superpose au signal V p utilisé précédemment et appliqué à la masse
d'épreuve, une tension sinusoïdale V d = V d0 cos t . Les condensateurs (formés
par la masse d'épreuve et les électrodes qui leur font face) de capacité C 1 et 
C 2
forment un pont grâce à un transformateur différentiel. Après démodulation
synchrone, la sortie analogique est proportionnelle au déplacement x de la
masse (voir figure 11). L'amplificateur opérationnel est considéré comme idéal.

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Cf
i2
C1

C2

x
x
x

n2

n1
masse
d'épreuve

e­x
x

i

i1

xx

­
+

A

démodulateur
synchrone

S

ns

xxx

e+x
Vd

Vd
Figure 11

IV.C.1) Exprimer C = C 2 ­ C 1 pour un déplacement x de la masse d'épreuve.
À quelle condition sur x la relation reliant C à x est-elle linéaire ? Quelle 
est
cette relation ? Cette condition sera supposée réalisée par la suite.
IV.C.2) On admettra que le circuit secondaire du transformateur différentiel
se comporte comme une source de courant délivrant le courant i = i 2 ­ i 1 .
Exprimer alors V A en fonction de C , C f et V d (on négligera les impédances
des bobinages face à celle des condensateurs et on ne s'intéressera qu'à la 
partie
variable de V A ).
IV.C.3) Le démodulateur synchrone est composé d'un multiplieur analogique
et d'un filtre passe-bas (figures 12 et 13).

u

v
xxxxx
xxxxx
xxxxx

xxx
xxx
xxx

s = k  uv

Figure 12 : multiplieur

Figure 13 : démodulateur synchrone

Donner l'expression du signal s ( t ) en sortie du multiplieur.
À quelle condition sur la pulsation de coupure (notée  PB ) du filtre passe-bas,
V S est-il un signal continu ? Exprimer dans ce cas V S en fonction de C , C f ,
V d0 et k .
IV.C.4) Finalement on obtient une relation du type : V s = ­ x avec  > 0 . 
Donner l'expression de  en fonction de k , S , C f , e ,  0 et V d0 .
··· FIN ···

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