Centrale Physique MP 2012

MP
4 heures

Calculatrices autorisées

2012

Physique

Lancé le 20 juin 2008 de Vandenberg (Californie), le satellite océanographique 
Jason 2 permet, entre autre, de
mesurer la hauteur des océans.
Dans une première partie, le problème étudie la trajectoire de ce satellite 
au-dessus de l'ionosphère, d'abord
en considérant la Terre comme sphérique, puis en prenant en compte sa 
non-sphéricité. La seconde partie du
problème aborde la diffusion des ondes radar sur l'océan et la troisième partie 
étudie l'influence de l'ionosphère
sur la propagation de telles ondes.
Les trois parties sont indépendantes.
Notations
+
,
Dans tout le problème, f (M, t) désigne la valeur moyenne dans le temps de la 
grandeur f (M, t).
La pulsation  sera toujours réelle, positive, non nulle.
!
"
À toute grandeur réelle
f (M, t)
!
" = A(M ) cos t - (M ) , on pourra associer la grandeur complexe
f (M, t) = A(M ) exp i t - (M ) .

Le nombre imaginaire i est tel que i2 = -1.
La polarisation d'une onde électromagnétique fera référence au champ électrique.
Données utiles
Masse d'un proton

mp = 1,67 × 10-27 kg

Masse d'un électron

me = 9,11 × 10-31 kg

Charge élémentaire

e = 1,60 × 10-19 C

Permittivité diélectrique du vide

0 = 8,85 × 10-12 F · m-1

Perméabilité magnétique du vide

µ0 = 410-7 H · m-1

Célérité de la lumière dans le vide

c = 3,00 × 108 m · s-1

Constante de gravitation

G = 6,67 × 10-11 N · m2 · kg-2

Masse de la Terre

MT = 5,97 × 1024 kg

Rayon de la Terre

RT = 6378 km

Vitesse angulaire de rotation de la Terre sur
elle-même dans le référentiel géocentrique

T = 7,29 × 10-5 rad · s-1

Formulaire
2
- 1- þ 2 -- 1
þ ) - A
þ
rot rot(A ) = grad div(A
Gradient d'un champ scalaire V en coordonnées sphériques (r, , )
--
1 V
1 V
V
þur +
þu +
þu
grad V =
r
r 
r sin  

Les résultats numériques seront donnés avec un nombre de chiffres significatifs 
compatible avec celui utilisé pour
les données de l'énoncé.

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Page 1/6

I Le satellite Jason 2
I.A ­

Étude de l'orbite

I.A.1) Rappeler l'expression de la force de gravitation Fþ qu'exerce la Terre 
(centre T , masse MT ) sur un
satellite (point matériel S, masse m), en fonction de la constante de 
gravitation G, des masses MT et m, de la
-
distance r = T S et du vecteur unitaire þuT S = T S/T S.
y

þu

þuT S

S
x

T
Figure 1

I.A.2) On se place dans le référentiel géocentrique (T, xg , yg , zg ) noté (Rg 
), de base fixe (þexg , þeyg , þezg )
(figure 2b).
zg

Nord
zg

zg
S

þ
Z

N
yg

i

yg

T

Plan équatorial

N
xg

xg

(xg T yg ) : plan équatorial

Sud
(a)

(b)

r = TS
(c)

Figure 2
a) Définir le référentiel géocentrique. Pourquoi ce référentiel n'est-il pas 
rigoureusement galiléen ? Justifier.
Dans toute la suite, le référentiel géocentrique (Rg ) est considéré comme 
galiléen et, sauf mention contraire,
seule l'action de la Terre est prise en compte.
b) Dans ce référentiel, quelles sont les deux grandeurs mécaniques du satellite 
qui se conservent (on justifiera
la réponse) ? Quelles caractéristiques du mouvement peut-on en déduire ?
I.A.3) On se propose d'établir l'expression de la trajectoire du satellite 
autour de la Terre à partir de l'invaþ = þv  þT - GMT m þuT S où þv est
riant dynamique de Runge-Lenz. On définit le vecteur de Runge-Lenz par R
la vitesse du satellite dans (Rg ) et þT le moment cinétique du satellite dans 
(Rg ), calculé en T .
þ
dR
dans (Rg ). Conclure.
a) Calculer
dt
þ ? Justifier.
b) Dans quel plan se trouve R
2

þ et  l'angle entre R
þ et -
þ · þuT S = T - GMT m où T est la
c) On note R la norme de R
T S. Montrer que R
mr
norme du moment cinétique þT du satellite. En déduire l'expression de la 
trajectoire du satellite sous la forme
p
r() =
; donner les expressions de p et e en fonction de T , G, MT , m et R.
1 + e cos 
Suivant les valeurs de e, rappeler les différentes trajectoires possibles.
I.A.4) On admet que la trajectoire de Jason 2 est circulaire (en réalité, e = 
9,5 × 10-5 ), de centre T , de rayon
r0 = 7714 km, soit une altitude h = 1336 km (juste au dessus de l'ionosphère). 
La masse du satellite Jason 2
est m = 525 kg.
Établir en fonction de G, MT , m et r0 , les expressions de :
- la norme de la vitesse orbitale du satellite v0 ;
- la période de révolution T0 ;
- son énergie mécanique Em .
Calculer numériquement ces grandeurs pour le satellite Jason 2.

3 avril 2012 10:50

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I.B ­
Écart à la trajectoire circulaire
On appelle inclinaison du satellite l'angle i = 66 entre le plan équatorial et 
le plan de l'orbite (ici 0 < i < 90 : þ le vecteur unitaire orthogonal au plan de l'orbite et orienté on parle d'orbite prograde) (cf. figure 2a). On note Z à partir du sens de parcours de la trajectoire (le sens de parcours est indiqué sur les schémas). On appelle noeuds N et N  les deux intersections de la trajectoire circulaire du satellite avec le plan équatorial (figure 2b). À cause des irrégularités de la répartition de la masse terrestre (en particulier l'aplatissement aux pôles) et des forces d'attraction de la Lune et du Soleil, en utilisant les coordonnées sphériques (figure 2c.), le potentiel de gravitation V s'écrit (à l'ordre le plus bas en la perturbation) : B A 3 42 " RT J2 ! GMT 2 3 cos  - 1 1- V (r, ) = - r r 2 où J2 = 1083 × 10-6 est un nombre sans dimension. I.B.1) Déterminer les composantes gr , g , g du champ de gravitation dans- la base - sphérique (þur , þu , þu ) (cf. figure 2c). Donner l'ordre de grandeur de la valeur maximale du rapport -g /gr - dans le cas du satellite Jason 2. Conclure. La composante gr confère à la trajectoire les propriétés essentielles (mouvement plan, circulaire) ; on se propose d'étudier l'influence de g . I.B.2) Soit þT le moment en T de la force de gravitation, appliquée en S. Déterminer ses coordonnées dans la base sphérique (þur , þu , þu ). Ce moment peut également être projeté dans la base fixe (þexg , þeyg , þezg ) de (Rg ) (cf. figures 2b et c) ; on peut montrer (la démonstration n'est pas demandée au candidat) qu'en moyennant sur une période T0 on obtient, pour le mouvement circulaire du satellite : 2 = - T T0 3 RT r0 , 2 y = - T T0 + , z = 0 3 RT r0 + + x , 42 42 3 J2 sin i cos i cos 2 3 J2 sin i cos i sin 2 Exprimer þT en fonction de sa norme T , i,  et des vecteurs unitaires þexg , þeyg et þezg . dþT Déterminer ensuite dans (Rg ) (à ce stade, on considèrera que T , i et  dépendent du temps). dt + , dþT = þT et que la norme T reste à peu près constante, déterminer de nouvelles En admettant que + , dt + , + , expressions de x , y et z . I.B.3) I.B.4) Montrer que i ne dépend pas du temps et que ó 3 42 GMT RT d 3 cos i = - J2 dt 2 r03 r0 d þ correspondant à cette variation ? Comparer les . Que représente le vecteur dt þ et vecteurs þ T (vecteur rotation de la Terre sur elle-même) en direction et sens. En s'aidant de la figure 2b et du théorème du moment cinétique en T , montrer qu'on pouvait prévoir le sens de variation de . I.B.5) On définit alors une nouvelle période, la période nodale, qui est le temps entre deux passages à l'équateur dans le même sens. Pour Jason 2, elle vaut Tn = 112 min 26 s, elle est très voisine de T0 . Pour les satellites océanographiques, il est intéressant d'avoir un échantillonnage homogène de la surface du globe pendant une période, appelée période de répétitivité TR : il faut pour cela que le satellite repasse à la verticale des mêmes points du sol tous les TR = N Tn où N est le nombre entier de révolutions du satellite durant une période de répétitivité. On note k le nombre de fois où un même point du sol croise le plan de l'orbite du satellite dans un sens donné pendant une période de répétitivité. Déterminer l'expression de k en fonction de Tn , T ,  et N . Calculer la valeur de k pour N = 127. Dans la suite, on note  = 3 avril 2012 10:50 Page 3/6 II Diffusion des ondes radar par l'océan Un radar altimétrique embarqué émet une onde électromagnétique (onde radio de fréquence f = 13,6 GHz). L'onde est émise en direction de la mer, celle-ci absorbe l'onde et la réémet : on parle de diffusion. Cette onde rétrodiffusée, appelée écho, est captée en retour par le radar. La mesure de la durée du trajet aller-retour permet de déterminer la distance {surface océan ­ satellite} ; par différence avec la position du satellite par rapport à un ellipsoïde de référence, on en déduit la hauteur de la mer. On supposera que, durant ce trajet aller-retour, le satellite est immobile au dessus de la mer. Dans toute cette partie, l'atmosphère sera assimilée au vide (indice optique égal à 1). Certaines perturbations apportées par le fait que l'ionosphère est un plasma seront abordées dans la partie III. II.A ­ Diffusion sur une mer plate On s'intéresse au processus de rétrodiffusion de l'onde réémise par une surface S de l'océan, éclairée par le radar. L'onde arrivant sur l'océan est considérée comme plane (bien qu'étant sphérique). Elle se propage dans la direction þu = sin  þey - cos  þez (figure 3) ( est sans rapport avec celui de la partie I). La direction de propagation n'est donc pas forcément celle de la verticale. þu z þu P y O -- OP = x þex + y þey Figure 3 On s'intéresse à la rétrodiffusion dans la direction  , cette rétrodiffusion est à rapprocher de la diffraction à l'infini. On considère que les angles  et  sont faibles. L'amplitude de l'onde diffractée (ou rétrodiffusée) en un point M à l'infini par une ouverture de surface S est donnée par la relation suivante : 3 4 ÚÚ -- 2 Ad (M ) = K t(P ) exp i (þu - þu ) · OP dS S où K est une constante complexe, t(P ) un coefficient rendant compte de l'efficacité de la diffusion et  la longueur d'onde de l'onde radar. On s'intéresse à une portion de mer carrée, de côté a = 7 km selon les axes x et y, centrée en O, lisse de telle sorte que t(P ) = t0 avec t0  R+ . On considèrera que les vecteurs directeurs þu et þu  des rayons incidents et rétrodiffusés sont toujours dans le plan (yOz) (cf. figure 3). II.A.1) Déterminer l'éclairement diffracté (ou rétrodiffusé) Ed en M , en fonction de ,  , , a et de l'éclairement maximal E0 . II.A.2) Pour quel angle  l'éclairement est-il maximal ? Cela peut-il correspondre à l'écho perçu par le satellite ? II.B ­ Diffusion sur une mer houleuse On envisage la même portion de mer, mais cette fois-ci houleuse, de telle sorte que 4 3 2y t(P ) = t0 + t1 cos d avec a  d et a  . II.B.1) L'hypothèse a   était-elle valable à la question précédente ? II.B.2) Montrer que l'onde diffusée est constituée de trois ondes se propageant dans trois directions que l'on déterminera en fonction de , d et . II.B.3) Laquelle de ces trois ondes est susceptible de correspondre à l'écho reçu par le satellite ? Quelle condition doivent vérifier d,  et  pour pouvoir effectivement récupérer cet écho ? 3 avril 2012 10:50 Page 4/6 III Propagation d'ondes électromagnétiques III.A ­ Ondes électromagnétiques dans le vide III.A.1) Rappeler les équations de Maxwell en présence de charges et de courants. Quelles sont les traductions globales, dites aussi formes intégrales, de ces lois locales ? þ III.A.2) Établir l'équation de propagation du champ E(M, t) dans le vide (en l'absence de charges et de courants). III.A.3) On considère une onde dont le champ électrique en notation complexe s'écrit : þ E(M, t) = E0 exp i(t - kx) þey où E0  R+ et k  R+ . Caractériser cette onde (donner 5 qualificatifs). III.A.4) À quelle condition sur k et  cette onde est-elle une solution de l'équation de propagation ? Comment appelle-t-on cette relation ? Le vide est-il un milieu dispersif (à justifier) ? þ III.A.5) Déterminer l'expression réelle du champ magnétique B(M, t). þ III.A.6) Déterminer l'expression du vecteur de Poynting (M, t). Quelle est la signification physique du flux þ de  à travers une surface S ouverte, arbitrairement orientée ? III.B ­ Ondes électromagnétiques dans un milieu conducteur III.B.1) En absence de densité volumique de charges, mais en présence de densité volumique de courants þ t) en fonction de þ (M, t). þ (M, t), établir l'équation de propagation du champ E(M, þ III.B.2) On considère une onde du type E(M, t) = E0 exp i(t - kx) þey où E0  R+ et k  C. On pose, en þ notation complexe, la relation d'Ohm : þ (M, t) =  E(M, t) où  est la conductivité électrique complexe du milieu, on suppose qu'elle ne dépend ni de l'espace ni du temps. þ t) en fonction de . Réécrire l'équation de propagation du champ E(M, À quelle condition sur k et  cette onde est-elle une solution de l'équation de propagation ? On ne cherchera pas à résoudre cette équation. III.B.3) On pose k = k1 + i k2 , avec k1 et k2 réels. þ a) Écrire en notation réelle l'expression du champ électrique E(M, t). b) Par analogie avec le vide, dire ce que représente k1 , la partie réelle de k. Donner une interprétation du signe de k1 . Quel phénomène physique traduit k2 , la partie imaginaire de k ? Que dire si le produit k1 k2 est positif ? Que dire si le produit k1 k2 est négatif ? c) Définir par une phrase la vitesse de phase v et donner l'expression de la vitesse de phase de cette onde en fonction des grandeurs précédemment définies. þ þ t), þk (vecteur d'onde complexe) et B(M, t). III.B.4) Démontrer une relation simple entre les vecteurs E(M, þ Déterminer les expressions de la représentation complexe du champ magnétique B(M, t) et du champ réel þ þ þ B(M, t). Que dire des champs E(M, t) et B(M, t) si k2 est non nul ? þ III.B.5) Déterminer l'expression du vecteur de Poynting (M, t) puis l'expression de sa valeur moyenne + , þ (M, t) . Commenter. þ (M, t) = E0i exp i(t - k x) þey où E0i  R et k = kA1 + i kA2 avec kA1 et III.B.6) Une onde incidente, E + i A A kA2 deux réels, se propageant dans le milieu (A) arrive en incidence normale sur une interface située en x = 0 et séparant le milieu (A) du milieu (B). þ (M, t) = E exp i(t + k x) þey , se Cette onde incidente donne naissance à deux ondes, l'une réfléchie, E r 0r A þ propageant dans le milieu (A) et l'autre transmise, E t (M, t) = E 0t exp i(t - k B x) þey où k B = kB1 + i kB2 avec kB1 et kB2 deux réels, se propageant dans le milieu (B). On définit les coefficients de réflexion et de transmission énergétiques au niveau de l'interface située en x = 0 par .f .f e. e. .þ . .þ . .r (O, t). .t (O, t). .f .f R = e. et T = e. .þ .þ . . .i (O, t). .i (O, t). þ i (O, t), þ r (O, t) et þ t (O, t) représentent respectivement les vecteurs de Poynting, au voisinage d'un point O où þ désigne le module du vecteur A). þ de l'interface, des ondes incidente, réfléchie et transmise (ëAë þ (M, t). a) Justifier l'écriture du champ E r b) Donner les expressions de R et de T en fonction des données précédentes. 3 avril 2012 10:50 Page 5/6 c) Que vaut la somme R + T ? Quelle est la signification de cette égalité ? d) Que dire des coefficients R et T si kB1 = 0 ? Quelle en est la signification ? Ne pouviez-vous pas prévoir ce résultat dès les questions III.B.4 ou III.B.5 ? e) Connaissez-vous un exemple similaire en électrocinétique ? III.C ­ Propagation des ondes électromagnétiques dans l'ionosphère L'ionosphère, couche de l'atmosphère située à plus de 60 km d'altitude, peut être considérée comme un plasma : c'est un milieu ionisé, caractérisé par une densité volumique d'électrons libres de charge -e, de masse me , égale à n1 = 1,00 × 1011 m-3 et une densité volumique de cations de charge +e, de masse mC , égale aussi à n1 , l'ensemble est donc globalement neutre. La valeur de n1 est supposée constante. þ t) = E0 exp i(t - kx) þey où On se propose d'étudier dans ce milieu la propagation d'ondes du type E(M, E0  R+ et k  C. On pose à nouveau k = k1 + i k2 , avec k1 et k2 réels ; si k1 Ó= 0, alors on choisira k1 > 0.
Dans toute la suite, vous pourrez utiliser les résultats démontrés dans la 
partie III.B.
Dans le plasma, les électrons et les ions sont soumis à la force de Lorentz due 
aux champs électrique et magnétique
de l'onde. On négligera l'effet de la pesanteur et les interactions entre 
particules chargées, et on supposera que
les particules sont non relativistes (i.e. leurs vitesses sont très petites 
devant c).
III.C.1) En admettant que le rapport /|k| est de l'ordre de c, montrer que les 
effets de la partie magnétique
de la force de Lorentz sont négligeables devant les effets de la partie 
électrique de la force de Lorentz.
III.C.2) En régime établi, et en supposant que l'amplitude des déplacements des 
charges reste petite devant la
longueur d'onde, déterminer l'expression du vecteur vitesse þv e (dans le 
référentiel galiléen d'étude) d'un électron,
þ
t). Donner l'expression du vecteur vitesse þv i
positionné en M à l'instant t, en fonction de me , e,  et E(M,
d'un cation. En déduire l'expression de la conductivité complexe du plasma . À 
la vue des valeurs numériques,
n1 e2
.
montrer que  = -i
me 
III.C.3) Calculer la puissance volumique moyenne fournie par le champ 
électromagnétique aux électrons libres.
Commenter.
III.C.4) Établir l'expression de k 2 dans le plasma. Mettre en évidence une 
pulsation caractéristique dite pulsation plasma p ; donner son expression et 
calculer sa valeur numérique pour l'ionosphère. Calculer la longueur
d'onde dans le vide p associée. À quel domaine du spectre électromagnétique 
appartient cette longueur d'onde ?
III.C.5) On se place dans le cas  < p . a) Donner l'expression de k en fonction de p ,  et c (on prendra k2 négatif). þ þ b) Donner les expressions des champs réels E(M, t) et B(M, t). Caractériser l'onde obtenue. + , þ c) Donner l'expression de (M, t) dans le plasma. III.C.6) On se place dans le cas  > p .
a) Donner l'expression de k en fonction de p ,  et c. Commenter.
þ
þ
b) Donner les expressions de E(M,
t) et B(M,
t). Caractériser l'onde obtenue (donner 5 qualificatifs).
+
,
þ
c) Donner l'expression de (M, t) .
d) Déterminer l'expression de la vitesse de phase v () de cette onde en 
fonction de p ,  et c. Le milieu est-il
dispersif (justifier la réponse) ?
e) Calculer la vitesse de groupe vg () en fonction de p ,  et c. Donner la 
signification physique de cette vitesse.
f) Comparer v () et vg () à c. Que penser du fait que v () puisse être 
supérieure à c ?
III.C.7) Le choix de la fréquence des ondes radars émises par Jason 2 (f = 13,6 
GHz) vous semble-t-il correct ?
· · · FIN · · ·

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