Centrale Physique et Chimie 1 MP 2022

Physique-chimie 1
MP

4 heures Calculatrice autorisée

2022

Centres de données

Un centre de données -- data center en anglais -- est un lieu regroupant des 
installations informatiques chargées
de stocker et de distribuer des données (data). Ces dernières années, 
l'expansion des services en ligne a entrainé
une croissance exponentielle du nombre de centres de données, dégageant de 
grandes quantités de chaleur. La
régulation en température de ces lieux est donc devenue un enjeu 
environnemental majeur.

Ce problème est composé de deux parties, elles-mêmes divisées en différentes 
sous-parties, totalement indépen-
dantes. La première partie propose une étude thermodynamique et thermique de 
dispositifs utilisables pour le
refroidissement d'un centre de données. La deuxième partie porte sur le projet 
de délocalisation des centres de
données dans l'espace.

Certaines questions, peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part 
du candidat. Leur énoncé est repéré
par une barre en marge. Il est alors demandé d'expliciter clairement la 
démarche, les choix et de les illustrer,
le cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et 
tient compte du temps nécessaire à la
résolution de ces questions.

Certaines données numériques sont regroupées en fin d'énoncé ; d'autres 
relèvent de l'initiative du candidat.

I Refroidir les centres de données, quelques solutions techniques
contemporaines

IA - À l'échelle des composants

À l'échelle des composants, il est nécessaire d'évacuer la chaleur dégagée, par 
les transistors des microprocesseurs
notamment. Pour ce faire, des ventilateurs sont installés afin de renouveler en 
permanence l'air au contact des
composants. De plus, des ailettes de refroidissement sont assemblées 
directement sur la surface des composants
afin de pouvoir dissiper le plus possible de chaleur vers l'extérieur par 
transfert conducto-convectif.

On modélise une de ces ailettes par un cylindre d'axe (Ox), de rayon a, de 
longueur b > a et de conductivité
thermique À. Elle est accolée en x = 0 au composant de température T7, ; le 
contact thermique en x = 0 est
supposé parfait. Le reste de l'ailette est au contact de l'air que l'on suppose 
de température 7}, uniforme.

>
ST
a

Figure 1 Modélisation de l'ailette

En régime stationnaire, supposé atteint dans toute cette sous-partie, la 
température T(x) est considérée comme
uniforme sur la section droite de l'ailette située à l'abscisse x pour tout x 
EUR [0, b].

Q 1. Énoncer la loi de Fourier relative au vecteur densité de flux thermique JQ 
qui caractérise le phénomène
de conduction thermique le long de l'axe de l'ailette.

L'air qui entoure le solide, constamment renouvelé et de température uniforme 
7°, échange avec l'ailette un
transfert conducto-convectif. Dans une fine couche de fluide au contact de la 
surface du solide, ce transfert
latéral peut-être modélisé par la loi de Newton :

Je) -- R(T(x) = 1) ñ

où 7 correspond à la densité de flux conducto-convectif et à est un vecteur 
unitaire, normal à la surface
d'échange et orienté du solide vers l'air. Le coefficient h, dont certaines 
valeurs numériques sont disponibles en
fin d'énoncé, est appelé coefficient de transfert thermique de surface.

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Q 2. En réalisant un bilan de puissance thermique sur une tranche de longueur 
dx de l'ailette, montrer que
la température suit l'équation différentielle

dT 1 1 a
-- -- TT = - TT avec 0 = 1] --. [.1
dx?  Ô? 02 2h d.1)
Q 3. Vérifier l'homogénéité de l'expression du paramètre Ô introduit dans la 
question précédente. Estimer
sa valeur numérique dans le cas d'une ailette en silicium de rayon a = 1 mm.
Q 4. Expliciter les conditions aux limites que doit vérifier le champ de 
température T(x) en x = 0 et en
x = b.
Le , ,, Le T(x) --T,,
Sur la figure 2 est représentée la solution « normalisée » de l'équation (1.1), 
définie par TT CT en fonction
CS
de l'abscisse adimensionnée x/b, pour différentes valeurs du rapport b/6ô.
1.0 &=
VS
\ nn,
\ %.
oe S L
Fe F 0.8 - SK -- n
ÿ ....
= \ --
= HF * De
al Nu Te
U re ST mm:
2 0.6 - # D
| ss
© 4
OE nn
U %., Ge
5 0.4 - 0 =
F 1
SU ., nn.
--- "., TT
E -- D=01 +. + .-----
a --.-- b/6=1 |
0.2 - *%, N
= bj6 = 2 gs
uw: b/6 = 5 en
---- b/6 = 10 LE nan
"5 : | | Litrseneneeneerennne
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

Abscisse adimensionnée : x/b

Figure 2 Représentation graphique du champ de température dans une ailette
en silicium (solution de l'équation (1.1)) pour différentes valeurs du rapport 
b/d

Q 5. En précisant les approximations effectuées, obtenir une expression 
analytique approchée de T'(x) dans
le cas où b > Ô. Vérifier la cohérence de cette expression avec la figure 2.

LR. . . . Ty -- | .
On définit la résistance thermique À,, de l'ailette de refroidissement par À,, 
-- + où P désigne la
puissance thermique totale évacuée par l'ailette dans l'air.
Q 6. La figure 3 donne une représentation graphique de l'évolution de la 
résistance thermique d'une ailette

cylindrique en fonction du rapport b/ô, pour différents matériaux. Interpréter 
physiquement l'existence d'une
valeur asymptotique de À,, commune aux différents matériaux lorsque b 0 ; 
justifier sa valeur numérique.

Q 7. Retrouver, par le calcul, la valeur asymptotique de la résistance 
thermique À,, de l'ailette en silicium
dans le cas où b > 6.

Q 8. En pratique, les ailettes sont réalisées en aluminium et leur longueur est 
fixée à db = 2 cm. En vous
appuyant sur la figure 3, justifier ces choix, puis estimer le nombre 
d'ailettes (de rayon à = 1 mm) à associer à
un microprocesseur dissipant une puissance thermique de 200 W pour que la 
température de ce dernier n'excède
par 60 °C en régime stationnaire de fonctionnement. Commenter.

I.B -- À l'échelle des locaux

Dans toute cette sous-partie, on s'intéresse au système de refroidissement 
d'une salle informatique de 25 m°,
située dans le sud de la France, dans laquelle sont placés plusieurs serveurs 
de données. L'objectif est de
maintenir la température de la salle à une valeur inférieure ou égale à T,,,, = 
35 °C, sachant que les serveurs
de données dégagent une énergie thermique de 100 kW:h chaque jour.

Q 9. La solution première de refroidissement de la salle repose sur 
l'utilisation d'un système de condition-
nement d'air (parfois désigné « climatiseur » par abus de langage). Estimer le 
coût annuel, en euros, de cette
solution en considérant que le système de conditionnement d'air fonctionne en 
permanence et que son efficacité
-- où COP (Coefficient de Performance) -- est égale à 8.

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-- Silicium
---- Aluminium
---- Acier
10* -
=
V
C
e
OE
10? -
101 y E LE LT VX ; VE 0er FOEURE t FU OH UE TERRE E HO OL E UUTE v Bi, SE LUE 
MERE E UN ONE um
10 + 10° 10° 10-71 10° 10" 10?

b/6

Figure 3 Évolution de la résistance thermique d'une ailette de
rayon & -- 1 mm, en présence de ventilation, en fonction du rapport b/ô

Afin de réduire les dépenses engagées pour le refroidissement de la salle, une 
alternative intéressante est celle
du free-cooling, qui consiste à ventiler la salle tout en exploitant la 
fraicheur de l'air extérieur. Pour ce faire,
on a recours à l'installation d'un ventilateur pouvant remplacer l'air de la 
pièce avec le débit de volume D, --
830 m°-h !. La puissance absorbée par le ventilateur est P, = 60 W.

Q 10. L'air de la pièce est modélisé par un gaz parfait diatomique, à la 
pression atmosphérique et à la
température 7°,.,,. Exprimer, puis évaluer numériquement, la masse volumique 
p,;, de l'air dans ces conditions.
En déduire le débit de masse d'air D,,, en kg-s-', brassé par le ventilateur 
dans ces mêmes conditions.

Les relevés annuels de température à l'extérieur de la salle sont présentés sur 
la figure 4.

40

u il |

TA

20 | huh | A Vu h |
10 all! MEMTNE uw! A DA MA
| Pi [y \ UN

ei

Température (°C)

-10

Y ce s° \ x © x, AS & @ @ @
1EUR & < > AS NÉ o s S s \:
0 a
\ OS eC
ee Y Ô
Figure 4 Relevé des températures journalières minimales et maximales
à l'extérieur de la salle pour l'année 2021 (source infoclimat.fr)

Lorsque le système de free-cooling ne permet pas de maintenir la température de 
la salle à une température
inférieure ou égale à 7°... le système de conditionnement d'air prend le relais 
et le système de free-cooling
s'arrête.

Q 11. À l'aide d'un modèle simple, estimer la période de l'année sur laquelle 
le système de free-cooling est
fonctionnel. En déduire le gain annuel en euros obtenu grâce à l'installation 
du système de free-cooling dans
cette salle informatique.

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IT Délocaliser les centres de données, une solution d'avenir ?

Afin de lutter contre les cyberattaques, mais surtout de profiter d'un 
refroidissement optimal et « gratuit », une
start-up californienne projette de stocker des données dans des satellites en 
orbite à basse altitude autour de la
Terre. Le projet prévoit la mise en orbite de 10 satellites en tout.

IT. À -- De la difficulté d'une communication directe

Chaque satellite est assimilé à un point matériel M] de masse m4 = 4t, en 
orbite circulaire à l'altitude h --
650 km autour de la Terre de centre ©, de rayon À et de masse M4. On suppose 
que la Terre est un astre
présentant une répartition de masse à symétrie sphérique de centre ©. Les 
frottements sont négligés ; seule la
force gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite est à prendre en 
compte.

L'étude est réalisée dans le référentiel géocentrique X,, de repère associé (O, 
ü,,, ü,, ü,), supposé galiléen. L'axe
(Oz) est défini de sorte que la trajectoire du satellite considéré soit 
contenue dans le plan z = 0. L'ensemble des
grandeurs vectorielles seront exprimées dans la base polaire (&,.,ü,) associée 
à ce plan (figure 5).

U +
À üp _
Uy.
ü
À © .-M
u, (e) Po (
.° 0
O ü, L
Figure 5

Q 12. Montrer que le mouvement du satellite est uniforme.

Q 13. Déterminer l'expression de la vitesse orbitale du satellite v, sur son 
orbite circulaire en fonction de la
constante de gravitation universelle G et des paramèêtres M, R+ et À.

Q 14. Evaluer numériquement la vitesse v,, ainsi que la période de révolution 
7, correspondante.

Pour appréhender la difficulté à communiquer avec les satellites de basse 
altitude directement depuis la surface
de la Terre, on peut se référer à un article publié sur le site Internet du 
journal Le Monde le 13 janvier 2017,
intitulé « Comment communique-t-on en direct avec l'ISS ? ». Dans cet article, 
publié lors du premier séjour de
l'astronaute Thomas Pesquet à bord de la Station Spatiale Internationale (ISS), 
on peut lire l'extrait suivant.

« La Station Spatiale Internationale (ISS) étant sur une orbite basse, elle 
survole la surface

terrestre d'assez près (environ 400 kilomètres). À cette altitude, la vitesse 
orbitale est très
rapide (environ 27 500 km/h, soit 7,6 km par seconde), rendant toute 
communication radio
directe avec le sol impossible à établir plus d'une minute. La communication 
avec l'ISS passe
donc par des satellites relais positionnés très haut, sur une orbite dite « 
géostationnaire »,
à 36 000 kilomètres d'altitude, qui permet aux satellites qui y sont de rester 
au-dessus d'un
point de la surface terrestre de façon fixe. |...] Ces satellites servent de 
relais de communica-
tion aussi bien pour des équipages humains que pour de nombreux satellites 
placés sur une
orbite basse qui ont également besoin de communiquer avec les équipes au sol. »

Q 15. Discuter quantitativement l'affirmation selon laquelle « la vitesse 
orbitale [rend] toute communication
radio directe avec le sol impossible à établir plus d'une minute ».

II. B --- Communication avec les satellites relais

Vis-à-vis de la propagation des ondes électromagnétiques, les premières couches 
de l'atmosphère peuvent être
assimilées au vide. À partir de 80 km d'altitude, dans l'ionosphère, il y à 
présence d'un gaz ionisé, très dilué,
appelé plasma. Le vide et le plasma ont pour permittivité diélectrique EUR, et 
pour splitéabilité magnétique wo.
IL.B.1) Propagation dans le vide

L'onde de communication envoyée depuis la surface de la Terre vers le satellite 
est supposée plane, progressive

selon l'axe (Ox) et harmonique de pulsation w et de vecteur d'onde kü,. En 
notation complexe, son champ
électrique s'écrit

E(M,t)=E, exp(i(wt -- kx)) à,

où i* -- --1et E, est un nombre qui peut être supposé réel grâce à un choix 
judicieux de l'origine des temps.

Q 16.  Rappeler les équations de Maxwell dans le vide et établir l'équation de 
propagation du champ électrique
dans le vide, en l'absence de charge et de courant.

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Q 17. Établir la relation de dispersion de l'onde de champ électrique complexe 
E (M,t) dans le vide. Le vide

est-il un milieu dispersif ?

Q 18. Déterminer, en notation complexe, le champ magnétique B(M ,t) associé au 
champ électrique E (M, t).

II.B.2) Propagation dans le plasma

L'onde de communication doit ensuite traverser l'ionosphère. Le plasma 
ionosphérique se caractérise par une

densité volumique d'électrons libres n, de charge --e, de masse m,,, et une 
densité volumique de cations n, = n,

de charge +e, de masse m,, : l'ensemble est donc localement neutre. L'onde 
étudiée est maintenant notée
E(Mt)=E) exp(i(wt -- kx)) à,

où on pose k = k" +ik". On considère que n,., n., E,, w, k" et k" sont réels, 
uniformes et constants. De plus,
on s'intéresse uniquement à la situation où k" > 0 et k"7 < 0. Dans le plasma, les électrons et les ions sont soumis à la force de Lorentz due aux champs électrique et magnétique de l'onde. On négligera toute autre action et on supposera, en outre, que les particules possèdent des vitesses très petites devant c. Q 19. En admettant que le rapport des amplitudes du champ électrique et du champ magnétique dans le plasma soit assimilable à celui dans le vide, montrer que les effets de la partie magnétique de la force de Lorentz sont négligeables devant ceux de la partie électrique. -- UV ' . . + , déterminer l'expression Q 20. En admettant que l'accélération d'un électron du plasma soit donnée par du vecteur vitesse complexe Ù d'un électron, positionné en M à l'instant £, en fonction de m,,, e, w et E (M, t). De la même façon, donner l'expression du vecteur vitesse d'un cation. Que peut-on dire de Jv,| par rapport à |. | ? Q 21. Justifier qu'il existe dans le plasma une densité de courant 7(M,t). En déduire, en utilisant les résultats précédents, que l'expression de la conductivité complexe du plasma notée 7 s'écrit de façon approchée 2 ne EUR 1 Ë e Me Q 22. Calculer la puissance volumique moyenne fournie par le champ électromagnétique aux électrons libres. Commenter. Q 23. Établir l'équation de propagation du champ E(M ,t) dans le plasma. Q 24. En déduire l'expression de k£* dans le plasma. Mettre en évidence une pulsation caractéristique, dite pulsation plasma, notée w, dont on fournira l'expression en fonction des grandeurs utiles parmi EUR, e, EURç, m et n.. EUR On suppose dans un premier temps w < w.,. Q 25.  Expliciter l'expression de k et en déduire les expressions des champs réels E(M,t) et B(M,t). On fera apparaître une épaisseur caractéristique 0, que l'on définira et que l'on exprimera en fonction de w, w,, et c. Q 26.  Représenter l'évolution spatiale à un instant quelconque des profils des champs électrique et magné- tique de l'onde et décrire leur évolution temporelle. Q 27. Calculer la valeur moyenne du vecteur de Poynting associé à cette onde. Caractériser l'onde obtenue. On suppose désormais que w > w:,.

Q 28. De la même façon que pour le premier cas, expliciter l'expression de k. 
En déduire les expressions des
champs réels E (M ,t) et B(M ,t), puis établir l'expression de la valeur 
moyenne du vecteur de Poynting.

Q 29. Déterminer l'expression de la vitesse de phase v,, ainsi que celle de la 
vitesse de groupe v, en fonction
de w,,, w et c. Tracer v, et v,, en fonction de w. Le milieu est-il dispersif ? 
Comparer ces vitesses à c et commenter.

En réalité, la densité électronique n, dans l'ionosphère varie dans le temps et 
en fonction de l'altitude. La
figure 6 présente son évolution.
Q 30. Calculer la valeur numérique de la fréquence minimale que doit posséder 
l'onde pour atteindre un

satellite relais géostationnaire à partir de la surface de la Terre. À quel 
domaine du spectre électromagnétique
appartient cette fréquence ?

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800

600

300

200

Altitude (km)

Jour

100
80

50 Ë = Æ Ë. a
107 10° 10° 19" 10° iQ" 10°

Densité électronique (m )

Figure 6 Évolution de la densité électronique dans l'ionosphère en
fonction de l'altitude (d'après Culture Sciences - Physique, ENS Lyon)

IT.C -- Disposer d'une source d'énergie

Les batteries lithium-ion sont actuellement les plus utilisées pour alimenter 
en électricité les appareils nomades,
notamment grâce à leur importante énergie massique.

II.C.1) L'élément lithium
L'isotope le plus abondant du lithium est le fLi.

Q 31. Donner la configuration électronique de l'élément lithium dans l'état 
fondamental. À quelle famille
appartient-il ?

Q 32.  Justifer le caractère réducteur du lithium. Quel ion le lithium peut-il 
former le plus facilement ?
II.C.2) Obtention du lithium

Le lithium peut être extrait à partir de différentes espèces minérales. L'une 
d'elles, le spodumène, est broyée
dans un broyeur à boulets dans lequel est ajouté de l'acide sulfurique en 
excès. Cette lixiviation avec de l'eau
permet de libérer le lithium en solution. Les impuretés sont précipitées par 
neutralisation à la chaux, puis le
lithium est précipité par du carbonate de sodium Na, CO, à l'état de carbonate 
de lithium. Le sodium appartient
à la même famille que le lithium.

Le carbonate de lithium Li, CO, est un composé peu soluble dans l'eau. Sa 
solubilité est égale à 13,1 g-L' à
20 °C et vaut 7,2 g-L-! à 100 °C.

Le composé purifié est alors transformé en chlorure par réaction avec l'acide 
chlorhydrique, puis le lithium métal
est obtenu par électrolyse.

Q 33. Écrire l'équation de la réaction (R) de dissolution du carbonate de 
lithium.

Q 34. Calculer la valeur de l'enthalpie standard de réaction associée à la 
réaction (R). Commenter son signe.
II.C.3) Accumulateur lithium-ion

Un accumulateur lithium-ion fonctionne par l'échange réversible d'ions lithium 
entre une électrode négative et
une électrode positive (figure 7).

Au pôle & de l'accumulateur, les atomes de lithium sont insérés dans une 
structure carbonée de type graphite,
que l'on peut noter C6 (s)- En effet, lors de la charge, les ions lithium sont 
réduits et les atomes de lithium
s'insèrent dans la structure de type graphite. La formule chimique du composé 
d'insertion obtenu est LiC,.
À l'inverse, lors de la décharge, les atomes de lithium sont oxydés et les ions 
lithium se « désinsérent » ; chaque
atome de lithium peut alors libérer un électron.

Q 35. Écrire la demi-équation électronique de réduction des ions Lit, la 
réaction d'insertion des atomes
de lithium dans le graphite, puis en déduire la demi-équation électronique 
bilan modélisant l'ensemble de ces
phénomènes pendant la charge.

Q 36. Déterminer le nombre maximum d'atomes de lithium qui peuvent être insérés 
dans 1 g de carbone
solide. En déduire la charge électrique maximale que peut délivrer l'électrode 
de graphite lors de la décharge
en A-h, par kilogramme de graphite.

Le pôle &@ est constitué d'une source de lithium métallique, comme le dioxyde 
de cobalt et de lithium, de formule
brute LiCoO,.

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Figure 7 Schéma de fonctionnement de la pile lithium-ion lors de la décharge

Q 37. Les espèces LiCoO, et CoO, forment un couple rédox. Identifier l'oxydant 
et le réducteur dans ce
couple sachant que le nombre d'oxydation dans l'espèce LiCoO, est égal à la 
charge de l'ion monoatomique
stable qu'il forme. En déduire la demi-équation électronique qui se produit 
lors de la charge au niveau de
l'électrode contenant du cobalt.

Q 38.

Plusieurs batteries sont associées en série pour obtenir la tension souhaitée. 
Par analogie avec d'autres satellites
sur des orbites d'altitudes similaires, on peut prévoir que le générateur 
solaire du satellite se trouvera dans
l'ombre de la Terre à chaque révolution pendant une durée d'environ 35 min et 
éclairé durant 65 min.

Q 39. Déterminer la masse minimale de graphite nécessaire pour faire 
fonctionner une des batteries de sorte
qu'elle débite un courant de 10 À lorsque le satellite est dans l'ombre.

Écrire l'équation bilan du fonctionnement de l'accumulateur lors de la décharge 
et lors de la charge.

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Données

Conductivité thermique du silicium
Conductivité thermique de l'aluminium
Conductivité thermique de l'acier
Coefficient conducto-convectif air-métal (air statique)
Coefficient conducto-convectif air-métal (air renouvelé)
Prix du kWh

Constante des gaz parfaits

Constante de la gravitation universelle
Masse de la Terre

Rayon moyen de la Terre

Perméabilité magnétique du vide
Permittivité diélectrique du vide
Vitesse de la lumière dans le vide
Charge élémentaire

Masse de l'électron

Masse du proton

Constante d'Avogadro

Constante de Faraday

Masse molaire atomique du lithium
Masse molaire atomique du carbone
Masse molaire atomique de l'azote

Masse molaire atomique de l'oxygène

Page 7/8

Àg; = 148 W-m !-K !
An = 237 W:m !K |
Acier = 90 W-m LK |
h, = 30 W:m *K !

h,. = 300 W-m °-K {
0,17 EUR

R = 8,314J-K !:mol !
G = 6.67 x 10711 m°kg ls 1
My = 5,97 x 10°* kg
Ry = 6,40 x 10 m

Lo = 1,257 x 10% H:m !
En = 8,854 x 10 2? Fm !
ce = 3,00 x 10° mes !

e = 1,602 x 10 © C

m, = 9,109 x 10 YT kg
m, = 1,673 x 10 27 kg
N 1 = 6,02 x 10° mol |
F = 9,65 x 10% C-mol !
M,; = 6,94 gmol |

M = 12,0 g-mol !

MX = 14,0 gmol {

M, = 16,0 g-mol !

CETTE
Formulaire
rot(rot à) = grad(div à) -- Aû
Soit deux fonctions sinusoïdales f et g, scalaires ou vectorielles, de même 
période et d'écritures complexes

respectives f et g. La valeur moyenne de la fonction ÿ x g, le symbole X 
signifiant une opération de produit
(scalaire ou vectoriel), vérifie la relation

(FX 9) = 5 Re(f x g)

où Re désigne la partie réelle et g° le conjugué de la fonction complexe g.

eeoeFrINeee

Page 8/8 CITES

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