Physique-chimie 2
F
MP
CONCOURS CENTRALE-SUPÉLEC 4 heures Calculatrice autorisée
2020
Proxima du Centaure
Ce problème est une invitation à regarder vers les étoiles, et tout
particulièrement l'étoile la plus proche de la
planète Terre après le Soleil : Proxima du Centaure aussi appelée Proxima
C'entauri.
Il est constitué de 4 parties totalement indépendantes. La première partie
étudie une caractéristique de l'atmo-
sphère terrestre qui a permis le développement de la vie sur Terre et peut-être
un jour sur une exoplanète. La
deuxième partie est relative à l'observation de Proxima du Centaure et à la
détermination de sa distance et de
sa taille. La troisième partie s'intéresse à un vaisseau capable de rejoindre
Proxima du Centaure et d'explorer
une exoplanète dont la découverte fait l'objet de la dernière partie.
Certaines questions peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part du
candidat. Leur énoncé est repéré
par une barre en marge. Il est alors demandé d'expliciter clairement la
démarche, les choix et de les illustrer,
le cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et
tient compte du temps nécessaire à la
résolution de ces questions.
Certaines données numériques sont regroupées en fin d'énoncé ; d'autres
relèvent de l'initiative du candidat.
I Ozone et atmosphère
I.A --- De l'importance de l'ozone
La figure 1 présente la répartition de l'ozone (0;) dans l'atmosphère
terrestre. Sa concentration varie avec
l'altitude, le maximum se situe entre 30 et 35 km d'altitude avec une moyenne
de 8 molécules d'ozone pour un
million de molécules d'atmosphère.
Température (°C)
120 100 80 60 40 20 0 20 40 60 80
100
thermosphère
80
7
pe,
dy,
Æ 60 mésosphère
a
d
TD
le
z 40 O,
20 stratosphère
troposphère
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Ozone (partie par million)
Figure 1 Répartition de l'ozone et température aux latitudes moyennes dans
l'atmosphère terrestre
La figure 2 montre le flux solaire ultra-violet reçu au sommet de l'atmosphère
et le flux résiduel à la surface de
la Terre. La différence est due à l'absorption du rayonnement ultra-violet par
la couche d'ozone. Le graphique
précise l'absorption moyenne pour chaque bande du rayonnement ultra-violet.
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nm!)
--A
10 radiation au sommet de l'atmosphère
"
4 106
= radiation à la surface
-- de la Terre
5 10 8
&
8
4 10710 UVe, 100% UVa, 50%
Fe
200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350
Longueur d'onde (nm)
avec indication de l'absorption moyenne pour chaque bande UV
Figure 2 Absorption du rayonnement solaire par la couche d'ozone -- d'après
NASA Ozone Watch
Q 1. Justifier que les rayonnements présentés sur le graphique de la figure 2
correspondent à des rayonne-
ments ultra-violet. Pourquoi les rayonnements ultra-violets sont-ils qualifiés
de rayonnements ionisants ?
Q 2. Expliquer l'importance de la couche d'ozone dans la protection de la vie
terrestre.
I.B --- Atome et molécule de l'oxygène
Q 3. Donner la configuration électronique de l'oxygène dans son état
fondamental.
Q 4. Proposer une représentation de Lewis pour la molécule de dioxygène.
Q 5. Proposer une représentation de Lewis de la molécule d'ozone sachant
qu'elle n'est pas cyclique.
e 128 pm
Figure 3 Schématisation d'une molécule
d'ozone où chaque sphère représente un atome
d'oxygène
Q 6. La molécule d'ozone a la structure spatiale présentée sur la figure 3.
Justifier l'existence d'un moment
dipolaire et le représenter sur un schéma de la molécule.
IC --- Thermodynamique de la formation de l'ozone
Nous étudions l'équilibre
Ô O (2) -- 2 Os(a)
Q 7. Calculer la constante de cet équilibre à 25 °C à l'aide des données
fournies en fin d'énoncé.
Q 8. Calculer la pression partielle en ozone dans l'atmosphère terrestre au
niveau du sol.
Q 9. Dans quel sens est déplacé cet équilibre lorsqu'on s'élève dans la
troposphère ? Que peut-on en dire
dans la stratosphère ? Un raisonnement qualitatif argumenté est attendu.
I.D --- Cinétique de la formation de l'ozone
Le mécanisme de la production de l'ozone stratosphérique a été élucidé dès 1930
par le géophysicien britannique
Sydney Chapman. Pour fabriquer cette molécule constituée de trois atomes
d'oxygène, il faut des atomes d'oxy-
gène libres. Aux longueurs d'onde inférieures à 240 nm, le rayonnement
ultra-violet peut dissocier les molécules
de dioxygène O, suivant la réaction (1.1).
O, = 0° + O° (L.1)
Cette première partie du mécanisme est rapide sous l'effet du rayonnement
ultra-violet et conduit à un équilibre
de constante X°..
La seconde partie du mécanisme (1.2) est une réaction simple qui obéit à la loi
de van't Hoff en cinétique : les
ordres partiels dans l'expression de la vitesse de réaction sont les
coefficients stoechiométriques de la réaction.
On note k la constante cinétique de cette réaction.
k
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Q 10. Expliquer qualitativement que la concentration en ozone dans l'atmosphère
présente un maximum à
une altitude particulière, comme le montre la figure 1.
Q 11. Exprimer la pression partielle en radical O° en fonction de la pression
partielle en dioxygène et de la
constante À.
Q 12. Quel est l'ordre de la vitesse de formation de O, par rapport à la
pression partielle en dioxygène ?
II Découverte de Proxima du Centaure
IT. À --- Première observation de l'étoile
L'étoile Proxima Centauri a été découverte en 1915 par l'astronome britannique
Robert Innes, alors directeur
de l'observatoire de l'Union à Johannesburg en Afrique du Sud. C'est une étoile
de type naine rouge, de masse
My = 2,44x10%kg et de rayon Ry = 9,81 x 10*km. Elle est située à D = 3,99 x
10!*km soit 4,22 années-lumière
du Soleil.
Dans la suite du sujet, toutes les applications numériques seront faites à la
longueur d'onde moyenne du visible
Àçps = 600 nm.
Q 13. Justifier, par un argument d'ordre de grandeur, que la distance entre la
Terre et Proxima du Centaure
peut être approximée à 4,22 années-lumière.
Pour voir l'étoile Proxima Centauri, un instrument d'optique est utilisé. Il
est modélisé dans la suite par deux
lentilles :
-- une lentille convergente L, objectif, de centre optique O,, de foyer
principal objet F,, de foyer principal
image F! et de distance focale image f = 8m;
-- une lentille divergente L, de projection, de centre optique O,, de foyer
principal objet F,, de foyer principal
image F° et de distance focale image f, = -0,02 m.
Si le point objet À et le point image 4' sont conjugués par la lentille Z de
focale f" et de centre O, d'après la
Formule de Descartes on a
1 1 1
OA OA ff!
et le grandissement transversal est
_ AB OÀ'
7 AB O4
L'instrument d'optique est pointé vers l'étoile Proxima Centauri.
Q 14. Où est située l'image de l'étoile par la lentille L,, appelée image
intermédiaire À,B, ? Illustrer cette
situation par un schéma.
Q 15. Déterminer l'expression de la taille de cette image intermédiaire A,B,
(non algébrique) en fonction
du rayon À}, de l'étoile et des caractéristiques de la lentille objectif ZL..
Q 16. La lentille de projection L,, divergente, sert à faire de l'image
intermédiaire À, B, une image définitive
A' B", réelle, non inversée et agrandie d'un facteur 4. Calculer la distance
O,O, pour respecter ces contraintes.
Q 17. Illustrer par un schéma la position de A,B,, de AB" et de L, (sans
représenter L,).
Q 18. En 1915, l'image définitive ÀA'B" de l'étoile se formait sur une plaque
photographique de dimension
24 mm x 36 mm, composée de cristaux de 10 1m de chlorure d'argent, précipité
blanc qui noircit à la lumière.
L'image définitive de l'étoile Proxima Centauri est-elle vue comme ponctuelle
ou étendue sur la plaque photo ?
Q 19. À l'occasion du centenaire de la découverte de Proxima du Centaure, en
2015, la photo de l'étoile a été
reprise avec l'instrument d'optique de l'époque mais la plaque photographique a
été remplacée par un capteur
CCD (Charge Coupled Device) de 100 millions de pixels, de taille identique à la
plaque photo originelle. L'image
définitive de l'étoile Proxima Centauri est-elle vue comme ponctuelle ou
étendue sur le capteur photosensible ?
L'efficacité quantique QE d'un capteur CCD donne le taux de transformation de
la lumière en charge, soit la
probabilité qu'un photon incident donne « naissance » à un électron dans le
capteur. Pour la longueur d'onde
étudiée, cette sensibilité quantique QE est de 30%.
Q 20. Sachant que la puissance surfacique reçue sur Terre par le Soleil dans le
visible est de 600 W:m * et
que la lentille d'entrée de l'instrument est de diamètre D, = 50 cm, de combien
d'électrons sera composé le
signal résultant de l'étoile pour une exposition de 12 minutes du capteur ?
Quelle est la charge produite par le
capteur ?
Q 21. La diffraction par la lentille d'entrée L, est-elle gênante pour les
observations ?
ITI.B --- Mesure de la distance entre la Terre et l'étoile
La parallaxe est l'effet du changement de position de l'observateur sur ce
qu'il perçoit.
La parallaxe annuelle est, par définition, l'angle qui mesure le déplacement,
au cours de l'année, de la position
apparente, perçue depuis la Terre, d'une étoile proche par rapport aux étoiles
lointaines (figure 4).
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étoiles lointaines
Figure 4 Schéma explicatif de la mesure de parallaxe solaire
Sur la figure 4, deux instants d'observation sont représentés par O, et O:.
Le satellite Hipparcos (High Precision Parallaxe Collection Satellite) a mesuré
la parallaxe de P£ = 1545
millisecondes d'arc pour Proxima Centauri.
Q 22. Calculer, à partir de cette valeur de la parallaxe Pr, la distance
séparant l'étoile Proxima Centauri
du système solaire et comparer à la valeur donnée au début de cette partie.
Q 23. Pourquoi la distance entre la Terre et le Soleil varie-t-elle au cours de
l'année ?
IT.C --- Mesure du rayon de l'étoile
En 2002, le VLT (Very Large Telescope) utilisa l'interférométrie pour mesurer
le diamètre angulaire de Proxima
Centauri: à = 1,02 + 0,08 milliseconde d'arc. Connaissant sa distance, obtenue
par la méthode de la parallaxe,
il est alors possible de déterminer son rayon.
II.C.1) L'étoile est d'abord supposée ponctuelle et l'instrument d'optique est
pointée sur elle. L'étoile se
situe à l'infini sur l'axe optique de l'instrument, elle est repérée par son
centre $. Le dispositif d'interférométrie
est modélisé par deux trous d'Young de taille identique, respectivement en 7)
et T,, séparés d'une distance a
réglable. Ce dispositif est placé devant la lentille convergente L, de
l'instrument d'optique. Pour simplifier, on
ne tiendra pas compte dans cette partie de la seconde lentille Z, et les
observations sont donc effectuées dans
le plan de l'image intermédiaire. Un point M dans ce plan est repéré par son
abscisse x (figure 5).
(Li)
A
S' 7
eee Ta
= x M
a/2 Ce L
S ---- D _ ZE. _ Lo ee... iT a ----
EUR : FE'
: 1
ï
Lo
4
Figure 5 Schéma du dispositif d'interférométrie
pour la mesure du rayon de l'étoile Proxima Centauri
Q 24. Faire un schéma des deux rayons lumineux passant par 71 et 7, qui
convergent vers le point M.
Représenter la différence de marche entre ces deux rayons sur ce schéma.
Q 25. Établir l'expression de l'ordre d'interférence ps(M), produit par la
source S'au point M.
Q 26. Décrire alors la figure d'interférences.
Q 27. En notant 1, l'intensité moyenne, donner, sans démonstration,
l'expression de l'intensité lumineuse
I(M) dans le plan d'observation.
II.C.2) L'étoile est à présent modélisée comme une source étendue vue sous un
diamètre angulaire a. On
considère un autre point source $" à la périphérie de l'étoile (figure 5).
Q 28. Faire un schéma des deux rayons lumineux issus de $", passant par T° et
T, et qui convergent vers le
point M. Représenter la différence de marche entre ces deux rayons sur ce
schéma.
Q 29. Établir l'expression de l'ordre d'interférence ps (M) produit par la
source S' au point M.
Q 30. En déduire l'expression de la plus petite valeur de a qui conduit au
brouillage de la figure d'interférence
produite par les deux sources incohérentes S'et S".
Q 31. Faire l'application numérique et commenter.
Q 32. Expliquer qualitativement pourquoi le raisonnement précédent, utilisant
deux sources ponctuelles l'une
située au centre et l'autre sur le bord apparent de l'étoile, rend compte des
observations obtenues avec l'objet
étendu qu'est la véritable étoile.
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IIT Voyager vers Proxima du Centaure
Pour accomplir un voyage hypothétique vers Proxima du Centaure, on envisage un
vaisseau à voile solaire,
propulsé grâce à la réflexion du rayonnement électromagnétique du Soleil sur la
voile. Plus la voile est grande
et réfléchissante, plus grande est la force de propulsion.
Une onde plane progressive monochromatique, se propageant selon ü.,. depuis les
x < 0, arrive sur la voile solaire,
métal de conductivité réelle +, assimilée dans un premier temps à un demi
espace infini x > 0 (dénommé dans
la suite approximation espace infini).
L'onde incidente dans le demi espace vide des x < 0 s'écrit, en notation
complexe,
E = E exp(j(wt -- kx))ü
1 U
et arrive en x = Ü sur un métal de conductivité 7.
Q 33. Rappeler sans démonstration l'équation dont le champ électrique est
solution dans le vide. En déduire
la relation de dispersion liant k et w en fonction de la célérité c de l'onde.
Comment qualifier la propagation de
cette onde ?
Q 34. Établir l'expression du champ magnétique associé à cette onde incidente.
Q 35. Déterminer l'expression de la valeur moyenne temporelle du vecteur de
Poynting associé à cette onde
incidente.
Cette onde incidente donne naissance à l'interface avec la voile solaire à :
-- une onde réfléchie (se propageant selon --%, dans l'espace x < 0) de la forme
E,=r£E, exp(j(wt + kx))ü, :
-- une onde transmise (se propageant selon +ü,. dans l'espace æ > 0) de la forme
-->
E =tE, exp(j(wt -- k x))ü,,.
Dans le métal (demi espace x > 0), le champ électrique de l'onde transmise
vérifie l'équation différentielle
_ 0E, OE,
AE, -- CRETE + HOË0 542 (IIL.1)
Q 36. Proposer une simplification de l'équation (IIL.1) pour une onde, dans le
domaine du visible ou de
l'infrarouge, se propageant dans l'or de conductivité + = 45 x 10% S:m {.
Q 37. Exprimer le vecteur d'onde complexe kE, en fonction d'une longueur à
dont on donnera l'expression
et la signification.
Q 38. Proposer une épaisseur raisonnable pour la voile solaire afin que
l'approximation espace infini puisse
être conservée. Sachant que la masse volumique de l'or est p = 19,3 g-cm *,
estimer la masse d'une voile solaire
de surface 100 m*.
vide métal vide
Figure 6
La figure 6 représente l'évolution spatiale de la norme du vecteur de Poynting
moyen pour une voile pour laquelle
l'approximation espace infini n'est plus vérifiée. À est le coefficient de
réflexion en énergie de la voile.
Q 39. Commenter cette figure. À quel phénomène la situation étudiée est-elle
analogue ?
Q 40. En utilisant le modèle corpusculaire de la lumière, proposer une
expression de la force qui s'exerce sur
la voile en fonction, entre autres paramètres, de la puissance
électromagnétique moyenne incidente par unité
de surface et de À, coefficient de réflexion en énergie de la voile. Évaluer
l'ordre de grandeur de cette force à
proximité de la Terre où la puissance surfacique du rayonnement solaire est
d'environ 1000 W:m°*.
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IV Une exoplanète : Proxima Centauri b
Le 24 août 2016, l'observatoire européen austral annonce en conférence de
presse la découverte de Proxima
Centauri b, une planète « super Terre » rocheuse de masse M, d'environ 1,3
masse terrestre, en orbite à une
distance de 7 millions de kilomètres de Proxima Centauri (soit dans la zone
habitable). Cette exo-planète a été
détectée, de manière indirecte, par la méthode des vitesses radiales.
Figure 7 Schéma représentant l'étoile Æ et la planète P en rotation
autour du point @, centre de masse du système {étoile + planète} :
le point Fest un point utilisé pour étudier le mouvement de E et P
autour de G
IV.A - Étude du mouvement du système {étoile + planète}
La détection de la planète repose sur le fait que le centre de masse G du
système {étoile + planète} n'est pas
confondu avec le centre de l'étoile. L'étoile Æ et la planète P tournent toutes
les deux autour du centre de masse
G du système complet (figure 7).
Le centre de masse G est défini par l'une des deux relations
(Mp + Mh)AG = MR AË+ MAP pour tout point À
Toutes les forces autres que la force d'interaction gravitationnelle entre la
planète et l'étoile sont négligées. On
suppose que le référentiel d'étude, de centre G dont les 3 axes pointent vers
trois étoiles lointaines est galiléen.
Q 41. Établir la relation GP= ----E__ EP, Contrôler la pertinence de cette
expression en étudiant des
M 5 + Mp
cas limites.
On note pour la suite À = EPet |f| = r.
Q 42. En appliquant le principe fondamental de la dynamique à la planète P dans
le référentiel d'étude,
établir l'équation différentielle vérifiée par r.
On considère le point F défini par r -- GF. Ce point est en mouvement
circulaire, de période T\ autour de G.
Q 43. Établir la relation
r _ G(Ms+M
T2 AT?
Quel nom porte cette loi ?
Q 44. Justifier que Æ a un mouvement circulaire uniforme autour de G et
établir l'expression de sa vitesse
de révolution en fonction de M}, M, r et T
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IV.B --- Résultats ayant conduit à la découverte de la planète Proxima Centauri
b
Dans le cas le plus favorable à l'observation, la Terre est dans le plan des
trajectoires de E et P (figure 7),
l'étoile Æ possède alors un mouvement apparent oscillant et la mesure de sa
composante V de vitesse selon l'axe
de visée depuis la Terre est possible par effet Doppler-Fizeau, qui entraine un
décalage des raies spectrales de
l'étoile par rapport à leur position mesurée sur Terre, selon la relation
Jobs = Jem ... V
Jen C
OÙ fem EURt Jobs représentent respectivement la fréquence à l'émission et la
fréquence observée sur Terre.
Le professeur Bouchy de l'observatoire astronomique de Provence propose, en
2005, dans son intervention sur
les exoplanètes la formule suivante pour le décalage Doppler lors de la
détection indirecte d'exoplanètes par la
méthode des vitesses radiales
Jobs -- Jem _ (re) Mhsini 1
fem T (Mp + M)? cv1-- e2
où M, et M} sont respectivement les masses de la planète et de l'étoile, T'la
période de la planète, e l'excentricité
de l'orbite et 2? l'angle entre la ligne de visée et la perpendiculaire au plan
orbital du système. L'excentricité e
vérifie 0 < e < 1, avec e = 0 pour une orbite circulaire.
Q 45. En utilisant les résultats de la sous-partie précédente (IV.A), établir
une formule analogue à la formule
proposée par le professeur Bouchy. Commenter les différences.
Q 46. Connaissant la masse de Proxima centauri, My = 2,44 X 10*° kg déterminée
grâce à l'analyse de son
rayonnement, exploiter les données expérimentales de la figure 8 pour
déterminer la masse de la planète Proxima
Centauri b.
20 l Î I I I I Ï --
15 | _-
10 ju À À
| DT OT J KL N
RV (km/hour)
©O
|
SL ÿ à
--10 + 7
--15 ---
--20 © | | | | | | | | |
20 30 40 50 60 70 80 90
Days since 1 Jan 2016
Figure 8 Variations de la vitesse radiale de l'étoile Proxima Centauri au cours
du premier tri-
mestre 2016 -- Source : European Southern Observatory, Guillem Anglada-Escudé
CIEL
2020-02-17 19:06:53 Page 7/8
Données
Perméabilité magnétique du vide
Permittivité diélectrique du vide
Charge élémentaire
Constante d'Avogadro
Constante de Boltzmann
Constante des gaz parfaits
Constante de Planck
Vitesse de la lumière dans le vide
Constante universelle de la gravitation
Masse de l'électron
Masse du proton
Rayon moyen de la Terre
Distance Terre-Soleil
Masse de la Terre
Rayon du Soleil
Masse du Soleil
Masse volumique de l'eau pure à 10 °C
Énergie de l'atome d'hydrogène dans son état fondamental
Numéro atomique de l'oxygène
Masse molaire atomique de l'oxygène
Enthalpie molaire standard de formation de O,
Entropie molaire standard de O,
Entropie molaire standard de O:
lo = 47 x 107 H-m
En = 8,854 x 10 {2 Fm !
e = 1,602 x 10 © C
N 1 = 6,02 x 107 mol !
kp = 1,381 x 10 J-K°!
R = 8.314J.K !'mol |
h = 6.626 x 10 % J.s
c = 3,00 x 10° ms !
G = 6,674 x 10 !! m°kg Les 2
m, = 9,109 x 10 "1 kg
m, = 1,673 X 10777 kg
Rr = 6,38 x 10% m
Drs = 1,50 x 105 km
My = 5,97 X 10% kg
Re = 6,96 x 10$ m
Ms = 1,99 x 10° kg
p = 1,00 x 10° kg-m *
--13,6 eV
8
16,0 g-mol
141,9 kJ:mol-* (à 298 K)
205 J-K"-mol-" (à 298 K)
239 J-K'-mol =" (à 298 K)
ee eFINee.e
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CIEL