Centrale Physique et Chimie 2 MP 2023

Physique-chimie 2
MP

4 heures Calculatrice autorisée

2023

Errare humanum est, perseverare diabolicum

Ce sujet propose d'étudier deux découvertes qui finalement n'en furent pas ! Il 
est constitué de deux parties
indépendantes.

Certaines questions, peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part 
du candidat. Leur énoncé est repéré
par une barre en marge. Il est alors demandé d'expliciter clairement la 
démarche, les choix et de les illustrer,
le cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et 
tient compte du temps nécessaire à la
résolution de ces questions.

Les grandeurs complexes sont notées soulignées.

Certaines données numériques et un formulaire sont disponibles en fin d'énoncé 
; d'autres données relèvent de
l'initiative du candidat.

I La chasse au péritio

En astronomie, les sursauts radio rapides (fast radio burst) sont de brèves 
émissions radio intenses, d'une durée
allant d'une fraction de milliseconde à 3 secondes, dont l'origine est encore 
mal comprise. Ils sont étudiés à
l'aide de radiotélescopes, comme celui de Parkes en Australie. En 2010, 16 
sursauts atypiques ont été découverts,
dont on a essayé de comprendre l'origine. Ils ont été appelés péritios 
(perytons), du nom de l'animal imaginaire
maléfique, mi-oiseau et mi-cerf, au plumage bleu ou vert.

Après s'être intéressé à la structure d'un miroir de radiotélescope, on 
détaillera les péritios, pour en arriver à
leur origine, finalement identifiée en 2015.

IA --- Un miroir pour les ondes électromagnétiques

L.A.1)

Q 1. Énoncer les équations de Maxwell. Que deviennent-elles dans une région 
vide de charges et de cou-
rants ?

On se placera dans cette situation dans toute la sous-partie LA.
Q 2. En déduire l'équation de propagation vérifiée par le champ électrique 
(équation de d'Alembert).
On considère une onde électromagnétique dans le demi-espace x < 0, dont le champ électrique est de la forme E;(M,t) = E, cos(wt -- kx)ü,. (L.1) Q 3. Préciser la direction et le sens de propagation de cette onde ainsi que son état de polarisation. Établir la relation, dite relation de dispersion, entre k et w. Cette onde rencontre une plaque métallique plane, constituée d'un conducteur parfait, dont la surface est située en æ = 0 (figure 1). E(M,t) plaque conductrice Figure 1 Onde électromagnétique rencontrant un conducteur parfait On rappelle les relations de passage du champ électromagnétique entre un milieu 1 et un milieu 2, _ _ o(M,t). E,(M,5) -- E,(M,0 = 20005, (12) 0 B(M,t) -- B(M,t) = po7 (Mt) À 9 (L3) P059/2023-03-09 11:09:25 Page 1/9 (cc) BY-NC-SA où M est un point de l'interface, E;(M,t) et B;(M,t) les limites des champs dans le milieu 4 en un point M, -- M, o(M,t) la densité surfacique de charge en M, 3.(M,t) la densité de courant surfacique à l'interface et n,_,, le vecteur unitaire normal à l'interface en M, dirigé du milieu 1 vers le milieu 2. Q 4. Rappeler la définition d'un conducteur parfait. Que peut-on alors dire du champ E (M ,t) dans un tel milieu ? Q 5. Le champ électrique de l'onde décrite par l'équation (I.1) vérifie-t-il la relation de passage (L.2) ? Dans le demi-espace x < 0, règne aussi une onde de la forme E.(M,t) = E,,. cos(w't + k'x). En utilisant les relations de passage, déterminer E,,., w' et k". Préciser la direction et le sens de propagation de cette onde ainsi que son état de polarisation. Q 6. Dans le milieu x < 0, établir l'expression des champs électrique E (M,t) et magnétique B(M t) résultants. Comment qualifier l'onde correspondante ? [.A.2) On dispose au laboratoire d'un équipement permettant d'étudier des ondes électromagnétiques dites centimé- triques. On réalise l'expérience décrite figure 2, où E est un émetteur d'ondes centimétriques, P une plaque métallique, À une antenne reliée à un boitier électronique B délivrant une tension continue U proportionnelle à la moyenne temporelle (E?} du champ électromagnétique au niveau de l'antenne A. TD Figure 2 Dispositif expérimental à ondes centimétriques On place la plaque P à une distance D d'environ 46 cm de l'émetteur et on relève la tension ÜU délivrée par le boitier pour diverses valeurs de la distance d entre l'émetteur et l'antenne. Les mesures obtenues sont présentées en figure 3. 6 -- ITS 4 | >, :
> 2--
0 reprennent pre br
37
d (ou)
Figure 3 Tension Ü en fonction de la distance d entre l'antenne et l'émetteur
Q 7. Déduire de l'enregistrement de la figure 3 la fréquence f des ondes 
utilisées.
Le constructeur annonce une fréquence fn = 11 + 1,1 GHz, soit une 
incertitude-type uns = a = 0,6 GHz.
Q 8. Estimer l'incertitude-type sur la fréquence déterminée expérimentalement 
et discuter de l'acceptabilité
de la mesure par rapport aux données constructeur par un calcul d'écart 
normalisé.
L.A.3)

La figure 4 présente une deuxième expérience. E et R sont respectivement un 
émetteur et un récepteur d'ondes
centimétriques, P., et P;, sont deux plaques métalliques et $ est une plaque de 
bois aggloméré. Le récepteur R
fonctionne comme l'antenne et le boitier électronique utilisés lors de 
l'expérience précédente.

Les deux plaques P. et P; étant perpendiculaires entre elles, on déplace la 
plaque P; selon l'axe Ox et on
mesure la tension U délivrée par le récepteur, la position x de la plaque étant 
relevée par rapport à une origine
arbitraire.

Q 9. Expliquer le rôle des éléments P,, P, et S. À quel autre montage rencontré 
en travaux pratiques ce
montage est-il analogue ?

Q 10. Établir l'expression de la tension U (x) en introduisant les grandeurs 
utiles. Déduire des mesures une
estimation de la fréquence des ondes.

Q 11.  Estimer le contraste associé à la courbe expérimentale et proposer une 
explication à sa valeur.
L.A.4)

On rappelle que le champ magnétique est nul dans un conducteur parfait.

P059/2023-03-09 11:09:25 Page 2/9 (cc) BY-NC-SA

TD
N
V)
OS HO ND & RO OO ES

0 1 2 3 4 D 6 T
x (cm)

Figure 4 Expérience en ondes centimétriques

Q 12. Déterminer la densité de courant surfacique 7,(M,t) sur le conducteur 
dans le cas représenté figure 1.
Quelle est la source physique du champ réfléchi E,(M,t) ?

On utilise un émetteur d'ondes centimétriques, générant un champ E(M,t) =E, 
cos(wt --kx)u,,. On remplace le
plan métallique de la figure 1 par une grille métallique, constituée de 
barreaux parallèles séparés d'une distance
très inférieure à la longueur d'onde À de l'onde électromagnétique émise par le 
générateur. On admet que, dans
ce cas, la grille se comporte comme un plan conducteur dans lequel les seuls 
courants électriques qui peuvent
s'établir ont même direction que les barreaux.

On considère trois situations différentes par l'orientation de la grille par 
rapport au champ E (figure 5).

-- -- --

E E E

U U U
1 45°

cas n°1 cas n°2 cas n°3
Figure 5 Onde électromagnétique incidente sur une grille métallique

Q 13. Dans chacun de ces trois cas, décrire le plus précisément possible le 
champ électrique observé en x > 0.

Q 14. À quel dispositif rencontré en travaux pratiques cette grille fait-elle 
penser ?
L.A.5)

Pour étudier les ondes électromagnétiques d'origine spatiale, on utilise un 
radiotélescope, basé sur le même
principe qu'un télescope optique : un miroir parabolique réfléchit les ondes 
vers des capteurs situés à son foyer.

Q 15. Proposer une réalisation pratique du miroir d'un radiotélescope de très 
grande dimension (de l'ordre
de la centaine de mètres) fonctionnant dans le domaine des ondes centimétriques.

I.B ---  L''énigme des péritios
L'observatoire de Parkes, en Australie, dispose d'un radiotélescope de 64m de 
diamètre, utilisé entre autres

pour l'étude des pulsars. En 2007, il a permis de découvrir des sursauts radio 
rapides, observés dès 2001, dont
on a établi l'origine extragalactique. Ils seraient émis par des étoiles à 
neutrons particulières.

En analysant d'anciens enregistrements, on a trouvé qu'en 1998 le télescope de 
Parkes a détecté des signaux
similaires aux sursauts rapides, appelés « péritios ». Leur origine fut une 
énigme, résolue seulement en 2015.

Les péritios sont des signaux radio d'une durée de quelques centaines de 
millisecondes, présentant une variation
de fréquence similaire à la dispersion des impulsions émises par les pulsars 
s'étant propagées à travers un plasma
froid dilué. La figure 6 représente la structure temporelle et fréquentielle 
d'un péritio qui est donc un signal
quasiment sinusoïdal dont la fréquence varie lentement avec le temps.

1.B.1)

Afin de caractériser la variation temporelle de fréquence caractéristique lors 
de la réception d'une impulsion
radio, détaillons la modélisation d'un plasma froid dilué. Il est constitué :

-- de cations de masse M, de charge +e à la densité volumique n, :

-- d'électrons de masse m, de charge --e à la densité volumique n..

P059/2023-03-09 11:09:25 Page 3/9 (cc) BY-NC-SA
fréquence (MHz)
1200 1300 1400 1500

200 400 600 800

temps (ms)

Figure 6 Structure temporelle et fréquentielle d'un péritio

On fait les hypothèses suivantes :

-- on néglige les interactions entre les particules (plasma peu dense), elles 
ne sont alors soumises qu'au champ
électromagnétique de l'onde présente dans le plasma ;

-- comme M > m, les ions, du fait de leur inertie, sont considérés comme 
immobiles ; c'est le modèle du
« plasma froid » où l'on néglige l'énergie d'agitation thermique des ions, 
considérés comme « froids » :

-- en l'absence d'onde, le plasma est localement neutre : les cations et les 
électrons ont la même densité volu-
mique 7 ;

-- le plasma est soumis à une onde électromagnétique plane pseudo-progressive 
harmonique transverse
E(M,t) = E, exp(i(wt -- kx))

avec E, -ü, = 0 pour une onde transverse se propageant selon k = ku...

Q 16. Montrer que le plasma reste localement neutre en présence de l'onde. Que 
peut-on alors dire de la
densité volumique n, d'électrons dans le plasma ?

Q 17. En considérant que les électrons ne sont soumis qu'à la seule force 
électrique (on néglige l'effet du
champ magnétique), montrer que la densité volumique de courant dans le plasma 
est reliée au champ électrique
par une relation de la forme

j=0,E
et exprimer la conductivité complexe 0 8 EUR fonction des données.

Q 18. À partir des équations de Maxwell, établir la relation de dispersion sous 
la forme

où l'on exprimera la pulsation plasma w,, en fonction de n, m, e et EURç.

Q 19. À quelle condition sur w l'onde peut-elle se propager dans le plasma ?

Q 20. Établir alors l'expression de la vitesse de groupe v, en fonction de w, 
w, et c.
I.B.2)

On considère une onde électromagnétique émise par un astre à une distance L de 
la Terre. Le temps de parcours
de la composante de l'onde à la pulsation w est

Hu) | Lo

Q 21. Pourquoi ne peut-on pas écrire a priori t(w) -- _ ?

&Q

Q 22. Établir l'expression de t(). Quelle est son interprétation physique ?
Q 23. Quel est le signe de 7(w) = t(w) -- t(æ) et quel sens concret donner à 
cette grandeur ?

On définit la mesure de dispersion DM (pour dispersion measure) par

L

DM -- fr dé.
0

P059/2023-03-09 11:09:25 Page 4/9 ()EXTE:
Pour un plasma interstellaire, on a typiquement n, & 107 cm *.

Q 24. Montrer que pour des ondes d'une fréquence f de l'ordre du gigahertz, on 
peut écrire

où l'on exprimera À en fonction de e, EUR, m et c.
Q 25. Calculer la valeur de À.

Q 26. Cette relation est-elle qualitativement en accord avec l'enregistrement 
de la figure 6 ?
L

Dans la définition DM -- | n, d£, on exprime usuellement la densité 
électronique n, en em * et la distance L

0
en parsec, unité de distance astronomique : la mesure de dispersion est alors 
donnée en pc-cm *.

Q 27. À partir de la figure 6. estimer la mesure de dispersion DM, en exprimant 
le résultat d'abord en unités

du système international puis en pc-cm *.

Q 28. Les mesures de dispersion mesurées pour des objets extragalactiques sont 
usuellement de quelques
centaines de pc-cm *. Peut-on exclure une origine extragalactique aux péritios ?

Différents indices ont fait pencher la balance vers une origine terrestre des 
péritios : détections dans des directions
en dessous de la ligne d'horizon, ou sur un large champ de visée. Et surtout, 
ces phénomènes se produisent
pendant les heures de bureau, en semaine.

En 2014, l'observatoire de Parkes s'est doté d'un enregistreur plus performant, 
pouvant couvrir une bande de
fréquence allant de 402 MHz à 3 GHz, l'équipement utilisé jusqu'alors ne 
permettant d'explorer qu'une bande
de 400 MHZ de large, centrée sur 1382 MHz.

Des chercheurs ont alors découvert que plusieurs péritios sont associés à une 
émission d'onde électromagnétique
dans le domaine de fréquence de 2,3 à 2,5 GHz, inaccessible avec l'ancien 
matériel. Il est apparu que les péritios
sont toujours accompagnés d'une émission à 2,4 GHz, mais que l'on observe de 
nombreuses émissions à 2,4 GHz
non accompagnées de péritio. L'analyse des enregistrements sur deux mois montre 
que les péritios sont répartis
pendant la journée, entre 9h et 17h. Ces observations ont permis aux chercheurs 
de trouver le coupable : un four
à micro-ondes utilisé par le personnel de l'observatoire. La sous-partie I.C 
étudie le four à micro-ondes afin de
déterminer si l'ouverture de la porte du four avant la fin de son 
fonctionnement permet d'expliquer les péritios
observés.

IC --- Le four à micro-ondes

Un four à micro-ondes est constitué d'un klystron, qui émet une onde 
électromagnétique généralement à la
fréquence f = 2,45 GHz, acheminée par un guide d'onde vers la cavité du four. 
Cette cavité est un parallélépipède
entouré de parois métalliques, délimitant l'espace 0  0.

Q 34. Comment se simplifie l'équation de Maxwell-Ampère si EUR, f < ao ? Cette condition est-elle vérifiée dans le cadre du four à micro-ondes ? P059/2023-03-09 11:09:25 Page 6/9 (cc) BY-NC-SA Q 35. Établir alors l'équation vérifiée par B(M ,t) dans le conducteur. Qu'est-ce qui permet de dire qu'elle traduit un phénomène irréversible ? Citer un phénomène décrit par une équation analogue dans un autre domaine de la physique que l'électromagnétisme. On cherche une solution de cette équation dans le domaine x > 0 sous la forme
B(x,t) = f(x) expliwt)ü..

Q 36. Établir et résoudre l'équation différentielle vérifiée par la fonction 
complexe f(x), sachant que l'on

impose en æ = 0 le champ B -- B, cos(wt)üu,,. On posera une longueur 
caractéristique à que l'on exprimera en
fonction de 9, © et w.

Q 37. Commenter l'expression du champ B(x:. t) dans le conducteur. Donner 
l'interprétation de 6.

Q 38.  Rappeler l'expression de la puissance volumique cédée par un champ 
électromagnétique à un conduc-
teur ohmique.

Q 39. Établir l'expression de la puissance moyenne (temporelle) dissipée dans 
les deux parois de la cavité
de section S, en fonction de B,, w, à, S'et Lo.

On définit le facteur de qualité de la cavité par

énergie stockée dans la cavité

Q = ---------- ET --
énergie dissipée par période

Q 40. En admettant que l'on puisse prendre en première approximation 
l'expression de l'énergie totale établie
en considérant les conducteurs des parois comme parfaits, établir l'expression 
du facteur de qualité de la cavité
en fonction de a et 6.

Q 41. Calculer la valeur de Q pour un four à micro-ondes, avec a = 36 cm.

Q 42. Montrer que l'énergie totale W(t) décroît avec un temps caractéristique 7 
que l'on exprimera en
fonction de w et Q.

Q 43. Calculer numériquement 7. Peut-on expliquer les péritios par le champ 
émis lors de l'ouverture d'un
four à micro-ondes ?

II Le mystère des étoiles à éruptions de potassium

Les astronomes utilisent des spectrographes pour décomposer la lumière des 
étoiles afin d'obtenir des informa-
tions sur leur température et leur composition.

En 1962, à l'observatoire de Haute-Provence, Daniel Barbier et Nina Morguleff 
observent l'apparition brève de
raies de potassium intenses dans le spectre d'une étoile (figure 9). Ils ont, 
par la suite, observé d'autres éruptions
de potassium, apparemment aléatoires. Beaucoup d'autres enregistrements 
effectués par d'autres observatoires
ont été examinés pour chercher des éruptions similaires, mais personne n'a pu 
en trouver.

Abs. Atm.
KI 7665 KI 7699
Î
M f\
| | \
W J \,
HA N ANS pie pm Mr nr
"| | | |

| | |

Figure 9 À gauche, spectre usuel d'une étoile -- À droite,
éruption de potassium avec des raies à 7665 À et 7699 À

Les chercheurs sont donc partis en quête d'autres sources de potassium et ont 
fini par déterminer qu'une
allumette produit les mêmes raies d'émission que celles observées à 
l'observatoire de Haute-Provence. Il s'agissait
en fait d'un opérateur qui fumait près du foyer du télescope.

Nous nous intéressons dans cette partie au potassium et au chlorate de 
potassium, constituant présent dans les
allumettes.

Q 44. Donner la structure électronique du potassium (7 = 19). À quelle famille 
appartient-il ? Quel nombre
d'oxydation non nul usuel peut-on prévoir ?

P059/2023-03-09 11:09:25 Page 7/9 (cc) BY-NC-SA
Le chlorate de potassium, de formule KCIO,, est une substance blanche 
cristalline, utilisée comme agent oxy-
dant, comme désinfectant ou comme explosif. La méthode d'obtention utilisée 
commence par l'électrolyse d'une
solution de saumure (chlorure de sodium concentré), afin de préparer dans un 
premier temps du chlorate de
sodium NaCIO..

Q 45.  D'apres les potentiels standard des couples en présence, écrire les 
réactions prévisibles à l'anode et à
la cathode.

Q 46. En réalité, on observe l'oxydation des ions chlorure à l'anode. Expliquer 
cette observation en appuyant
votre réponse sur des courbes intensité-potentiel schématisées.

La figure 10 donne le diagramme potentiel-pH du chlore. Par convention, une 
frontière entre les domaines de
deux espèces dissoutes correspond à l'égalité des concentrations de ces deux 
espèces, tandis que la pression
partielle d'une espèce gazeuse est prise égale à 1 bar sur une frontière. On 
note EUR, la concentration de tracé. Les
espèces considérées sont Cl, (8)? Co HCIO et CIO.

1,8

1,6

1.4 SOU e UE

1.2 --

_ 10
2 A --
R 0,8

0,6

0,4

0.2

0,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 I0 11 12 13 14
pH

Figure 10 Diagramme potentiel-pbH du chlore

Q 47. Identifier, en justifiant les réponses, les espèces correspondant aux 
domaines À, B, C et D.

Q 48. On donne E°(CL/CI) = 1,36 V. Quelle est la valeur de la concentration de 
tracé c, utilisée pour ce
diagramme ?

Q 49.  Qu''arrive-t-il à l'espèce B quand on la met en solution pour pH > 2.5 ? 
Écrire la réaction correspon-
dante pour 2,5 < pH < 7,5 et pour pH > 7,5. Comment s'appelle cette réaction ?

Les ions chlorate CIO, interviennent dans les couples CIO, /HCIO et CIO, /CIO . 
La figure 11 présente le
diagramme potentiel-PH de ces couples superposé à celui du chlore.

1,8
1,6
BEN C D
4 annee --unn
FL FR
1,2 TNT = |
nu h TRE
-- 1,0 ET
> SC CIO: --Q
T7 TL 3
ER 0,8 TT
HCIO À DR
0,6 FFT
| CIO" Tel
0,4
|
0.2
|
0,0
0 1 2 3 4 95 6 7 8 9 I0 II 12 13 14
pH
Figure 11

P059/2023-03-09 11:09:25 Page 8/9 (Cc)EATET]
Q 50. Montrer que les ions CIO" ne sont pas stables et se décomposent selon une 
réaction dont on écrira
l'équation bilan et dont on calculera la constante d'équilibre.

Après évaporation et filtration, on obtient NaCIO, cristallisé, que l'on fait 
réagir avec du chlorure de potassium,
sous une température de 75 °C selon la réaction

puis on refroidit à 10 °C pour forcer la précipitation de KCIO..
On considère l'équilibre de précipitation

+
K (aa)

+ C0; = KCIOz (9

)

Q 51. À partir des données thermodynamiques. justifier qu'un refroidissement 
favorise la précipitation de

KCIO;.
Q 52. Calculer la solubilité en gramme par litre de KCIO, dans l'eau pure à 75 
°C et à 10 °C.

Données
Célérité de la lumière dans le vide c = 3.00 x 10$ ms {
Permittivité diélectrique du vide En = 8,85 x 10 2 Fm
Perméabilité magnétique du vide Lo = 1,26 x 10 © H:m
Constante de Planck h = 6.62 x 10 % JS |
Charge élémentaire e = 1,60 x 10 1 C
Masse de l'électron m,. = 9,11 x 10 1 kg
Parsec 1 pe = 3,086 x 10/6 m
Constante des gaz parfait R = 8.,314J-K !:mol |
Élément K CI O
Masse molaire (g-mol-*) 39,1 35,5 16
Couple Na' /Na | H'/H, | O,/H,0 | CL/CI | CIO-/CT | CIO, /CI0-
E° potentiel redox standard à 25 °C --2,71 0,00 1,23 1,36 1,73 1,32
(V)
/ + _--
Composé KCIO: Ko CIO, (ac)
A;H° (kJ:mol=) | 397,7 252,4 104,0
S° (J-K--mol 1) 143,1 102,5 162,3
EE In 10 = 0,06 V à 25 °C.
Formulaire

Soit À un champ vectoriel s'exprimant en coordonnées cartésiennes par A -- A, 
(2,9, 2)4, + A,(x,y,2)u, +
A,(x,y,z)u..

--

rot(rot À) = grad(div A) -- AA

ra (4 Ou); f[oa 04); [9% da);
_ | ày Oz Y Oz Ôx % Ôx Oy Y

eeoeFrINeee

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