Centrale Physique et Chimie 2 MP 2024

Physique-Chimie 2
MP

4 heures Calculatrice autorisée

2024

Ce problème aborde quelques aspects historiques de la description de la 
structure de la matière telle qu'elle à
été élaborée au XXème siècle.

Il comprend trois parties largement indépendantes entre elles. La première 
partie porte sur le modèle classique
de l'atome et analyse quelques étapes de sa construction, ainsi qu'une de ses 
faiblesses principales. La deuxième
partie porte sur une analyse quantique élémentaire de l'atome d'hydrogène et 
présente une expérience illustrant
la dualité onde-corpuscule. La troisième partie, enfin, présente une preuve 
macroscopique de l'« hypothèse
atomique » au travers de l'étude du mouvement Brownien.

Certaines questions, peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part 
du candidat. Leur énoncé est repéré
par une barre en marge. Il est alors demandé d'expliciter clairement la 
démarche, les choix et de les illustrer,
le cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et 
tient compte du temps nécessaire à la
résolution de ces questions.

Partie À - L'atome classique : réussites et difficultés

I Le modèle « plum pudding » de J.J. Thomson

Dans la foulée de sa « découverte » de l'électron, J.J Thomson proposa en 1904 
un modèle d'atome appelé com-
munément modèle du plum-pudding. Dans ce modèle, l'atome est assimilé à une 
sphère de rayon a, contenant
les électrons, particules ponctuelles de charge --q, et de masse m. Ceux-ci se 
déplacent au sein d'une réparti-
tion volumique de charge positive p supposée uniforme dans le volume de l'atome 
et dont la présence assure
l'électroneutralité de l'atome.

Dans la suite nous nous limiterons à un modèle d'atome d'hydrogène pour 
simplifier.

IA -- Champ électrique de la distribution de charge positive.

Commençons par déterminer le champ électrique engendré par la distribution 
volumique de charge positive.

Q 1. Justifier par des considérations de symétrie que ce champ électrique est 
radial (on se placera en
coordonnées sphériques).

Q 2. Utiliser les invariances pour montrer que la distance radiale r est le 
seul paramètre pertinent pour
caractériser le champ électrique.

Q 3. Rappeler tout d'abord le théorème de Gauss en vous appuyant sur un schéma 
permettant d'illustrer
les notations. Appliquer ce théorème en exploitant les considérations de 
symétrie et d'invariance au cas de la
distribution de charges considérée, dont la charge totale est notée Q = +... En 
déduire que le champ électrique
à l'intérieur de l'atome s'écrit E =

= r où r = ru, est le vecteur radial et ü,. le vecteur radial unitaire.
070

I.B - Étude mécanique.

On cherche à présent à décrire le mouvement d'un électron par rapport à un 
référentiel relativement auquel la
distribution de charge positive étudiée précédemment est au repos. On supposera 
ce référentiel galiléen.

À un instant pris comme origine, l'électron est placé dans l'atome à une 
distance initiale r, < a, avec une vitesse v, telle qu'il reste toujours à l'intérieur de l'atome. On prend comme valeur numérique pour le rayon atomique &o -- 1,0: 10-10 m. Q 4. Justifier que le poids de l'électron est négligeable par rapport à la force électrique qu'il subit. Q 5. Montrer que le mouvement est plan. Q 6. En prenant un repère cartésien Oxy de ce plan dont l'origine coïncide avec le centre de l'atome, montrer que les coordonnées de l'électron obéissent au système d'équations suivant : { È + WÈT --=0 ÿ+wiy =0 où w, est une pulsation que l'on exprimera en fonction de la charge élémentaire q., de la masse de l'électron m, du rayon atomique a, et de la constante diélectrique du vide EUR. Q 7. Si on suppose la vitesse initiale dirigée perpendiculairement au rayon vecteur, caractériser la trajectoire de l'électron dans l'atome. P070/2024-05-06 11:15:27 Page 1/8 (cc) BY-NC-SA Fr Q 8. Exprimer l'énergie mécanique de l'électron et montrer que si le module de la vitesse initiale v, est inférieure à la valeur w, a -- ré alors l'électron reste bien dans l'atome tout au long de sa trajectoire. Q 9. On montre en électromagnétisme classique (c'est-à-dire à partir des équations de Maxwell) qu'une charge animée d'un mouvement périodique de fréquence f rayonne une onde électromagnétique de même fré- quence. Calculer la fréquence de l'onde électromagnétique associée, en déduire la longueur d'onde correspondante. À quel domaine spectral cela correspond-il ? IT Découverte du noyau (Rutherford) Après avoir identifié que le rayonnement a issu des diverses sources radioactives était en fait constitué d'atomes d'hélium de charge 2q, privés de leurs électrons, le physicien! E. Rutherford eut l'idée d'exploiter ce rayonnement pour sonder la matière et ainsi tester le modèle de J. J. Thomson étudié à la section précédente. IT. À -- Déviation par un feuille de mica Rutherford observa tout d'abord qu'un faisceau de particules & monocinétiques traversant une feuille de mica d'épaisseur L = 0,003 cm était dévié d'un angle maximal 0, d'environ 2°. [I en déduisit qu'il devait exister au sein de la matière un champ électrique transverse Æ, d'environ 100 millions de volts par centimètre. L'énergie cinétique des particules a avait pour valeur EUR, = 5 MeV où 1 eV --1,6:107 1 J. Q 10.  Justifier quantitativement l'ordre de grandeur du champ électrique transverse déduit par Rutherford à partir des résultats expérimentaux. On détaillera les notations utilisées en s'aidant d'un schéma. II.B --- Déviation des a dans le modèle de Thomson On peut tester plus précisément le modèle de Thomson étudié plus haut (où la charge positive est supposée diluée dans l'atome) en envoyant un faisceau de particules «a sur une feuille d'or. L'expérience, réalisée par H. Geiger, consiste tout d'abord à vérifier que le faisceau dans le vide et en l'absence de cible vient frapper en ligne droite un scintillateur, puis qu'en interposant la feuille d'or le faisceau s'élargit à cause des interactions des particules & avec la distribution de charges positives dans les atomes. II.B.1) Déviation par une collision unique Les atomes étant globalement neutres, on peut considérer qu'il n'y a interaction entre la particule a de charge q = +2q, et la charge positive Q = +74, (où Z = 79 pour l'or) que lorsque la particule rentre dans l'atome proprement dit. La déviation étant très faible, comme nous allons le vérifier plus loin, on peut calculer l'effet de l'interaction entre la particule à supposée ponctuelle et la distribution de charge positive en considérant que sa trajectoire est rectiligne (cf. figure 1). On note ü, la vitesse de la particule a. Figure 1 'Trajectoire rectiligne de la particule à traversant l'atome rempli d'une densité volumique de charge uniforme Q 11. En utilisant le champ électrique obtenu à la question Q 3 montrer que la force suivant la direction 27 e? \ 2 . - - \ b où EUR? -- , b est la distance de la trajectoire avec la droite parallèle 0 (®) transverse (axe Oy) vaut F, -- passant par le centre diffuseur (paramètre d'impact). Q 12. Montrer alors que la variation maximale de la quantité de mouvement de la particule & dans la 2Ze? aoVo direction transverse vaut Ap,, -- Ze? aÉ ec Q 13. En déduire que la déviation angulaire 00 correspondante vaut 00 -- où EUR, est l'énergie cinétique de la particule à. Effectuer l'application numérique. On prendra ag = 1,0 : 10719 m, EUR, = 5 MeV II.B.2) Collisions multiples Q 14. La cible constituée d'une feuille d'or d'épaisseur L = 1 mm contient N atomes sur la trajectoire de la particule a. Celle-ci effectue donc N collisions dont en moyenne la moitié vont donner une déviation positive +00 et l'autre moitié une déviation négative --00. on peut alors montrer que la déviation totale est une variable et pourtant prix Nobel de chimie ! P070/2024-05-06 11:15:27 Page 2/8 (cc) BY-NC-SA aléatoire dont l'écart type s'écrit AO = 60 N. Calculer l'ordre de grandeur de cette déviation et conclure quant à la possibilité d'avoir des déviations angulaires importantes (plusieurs dizaines de degrés) II.C --  Rétrodiffusion des a dans le modèle de Rutherford L'expérience de Geiger montre qu'on observe des angles de déviation importants, pouvant aller jusqu'à la rétrodiffusion (angles voisins de 180°), ce que Rutherford interprète comme l'existence d'une zone de très petite taille contenant la totalité de la charge positive et appelée depuis noyau de l'atome. On considère dans le modèle de Rutherford que la particule alpha ne pénètre jamais dans la distribution de charge positive. Q 15. On considère le cas extrême d'une collision frontale et on supposera pour simplifier que l'atome est immobile compte tenu de sa masse importante par rapport aux particules «a. Montrer en utilisant la conservation 32 . / . \ . / if _ 2Ze? \ E l' / È . Jus de l'énergie mécanique que le noyau possède un rayon maximal r, vérifiant r, = <-- où EUR, est l'énergie cinétique Les initiale des particules a. Q 16. Application numérique : on obtient une rétrodiffusion élastique jusqu'à des énergies incidentes EUR. = 40 MeV des @&. Déterminer alors les dimensions du noyau. Commenter. III Instabilité d'un modèle d'atome « classique » Le modèle d'atome de Rutherford avec une charge positive concentrée dans une région très petite de l'espace ayant été établi par les expériences de Geiger, on se propose dans cette partie d'étudier l'instabilité d'un atome dont les électrons seraient en orbite autour du noyau de façon analogue aux mouvement des planètes autour du Soleil. On se limitera ici au cas d'un atome d'hydrogène avec une charge positive +q, et un électron de charge --q. en orbite circulaire. IIT. À -- Puissance électromagnétique rayonnée par une charge accélérée On peut montrer dans le cadre de l'électromagnétisme de Maxwell qu'une charge qg animée d'un mouvement accéléré de vecteur d'accélération (&) rayonne au point M situé à grande distance un champ électrique E (M) -- q__ ä ATcoC? T à l'observateur. où à, est la projection du vecteur accélération sur un plan perpendiculaire à la droite reliant la charge QI Y X Figure 2 Système de coordonnées pour le calcul de la puissance électromagnétique rayonnée par une charge accélérée On introduit la base locale des coordonnées sphériques (ä,.. üp, ü) Q 17.  Exprimer le champ magnétique B(M ) associé en admettant que localement l'onde rayonnée a une structure d'onde plane se propageant dans la direction de OM. Q 18. Donner l'expression du vecteur de Poynting, en fonction des champs E (M) et B (M), et rappeler son interprétation physique. Q 19. En déduire alors que la puissance rayonnée à grande distance dans tout l'espace a pour expression 4 1 2 \ 217 . . / T P-= it a' où a est le module du vecteur accélération. On donne l'intégrale [ ; sin° 0 dO0 -- 3 (®) ITI.B -- Etude énergétique de l'atome « planétaire » Q 20. Dans un modèle d'atome d'hydrogène « planétaire » où l'électron a un mouvement circulaire uniforme / . / . / . 1 2 \ 7 . / autour du noyau, montrer que l'énergie mécanique s'écrit E -- --5 7 où À désigne la distance électron-noyau, 2 \ / 2 7 2 ge et où on a posé comme précédemment e* -- res Q 21. Ontient compte à présent de la puissance électromagnétique rayonnée par l'électron. Par conservation de l'énergie totale du système, l'émission d'une énergie de rayonnement doit s'accompagner d'une diminution P070/2024-05-06 11:15:27 Page 3/8 (cc) BY-NC-SA de l'énergie mécanique de l'électron. En supposant la trajectoire quasi-circulaire de rayon À, montrer que la 2 e$ 1 e # 9 # 9 # e ... puissance rayonnée par l'électron s'écrit P = 5-33 3x. Q 22. En déduire que la rayon moyen R obéit à l'équation différentielle RL -- --< . Q 23.  Estimer alors le temps de vie 7 de cet atome. Q 24. Effectuer l'application numérique en prenant pour rayon initial ay = 1,0 : 10m. Commentaires ? Partie B -- L'atome quantique IV Relations d'Heisenberg On cherche à déterminer ici l'ordre de grandeur de l'énergie d'un système atomique dans son état de plus basse énergie (état fondamental) en tenant compte des contraintes quantiques. On considère un modèle d'atome d'hydrogène où l'électron en interaction avec le proton comme noyau est décrit par la fonction d'onde suivante : Dr) = A pourr r

où r = |] est le module du vecteur position de l'électron et À est une 
constante. Le noyau, quant à lui, est
supposé localisé en r = (0.

Q 25.  Rappeler l'interprétation physique de la fonction d'onde 4 (r) et en 
déduire que la valeur de la constante

3
Arr °

A (à une phase près) vaut À --
Q 26. Calculer la valeur moyenne de la position (r) et du carré de la distance 
(IF). Montrer alors que la

« dispersion en position » définie par la relation Ar -- (IF?) -- (nf vaut Ar = 
Véro.

o

Q 27. Par analogie avec la fonction d'onde spatiale d (r), on introduit la 
fonction d'onde en quantité de
mouvement, x (bp) pour décrire la densité de probabilité dans l'espace des 
quantités de mouvement. On admet
que la fonction d'onde en quantité de mouvement, x (D) vérifie :

ter pour p < Po Xx(p)=0 pourp >»

où p désigne le module de », B est une constante et p, un paramètre ajustable 
que nous déterminerons un
peu plus loin. Par analogie avec la notion de fonction d'onde spatiale, 
proposer une interprétation du carré du
module de la fonction d'onde % (D).

Q 28. Comme précédemment, calculer la constante B et la « dispersion en 
quantité de mouvement » A.
Q 29. En vous appuyant sur les inégalités spatiales d'Heisenberg, justifier que 
si l'électron est dans son état

fondamental (c'est-à-dire de plus basse énergie) on doit avoir la relation 
SPoTo r À où À = e est la constante

de Planck réduite et le signe -- signifie « de l'ordre de grandeur de ».

Remarque : on a gardé le facteur 3/5 par cohérence avec les calculs précédents 
mais celui-ci ne signifie rien d'un
point de vue quantitatif sur le résultat final.

Q 30. On cherche l'expression de l'énergie de l'électron en fonction de r,,. 
Rappeler l'expression de l'énergie

2
potentielle d'un électron dans le champ électrique créé par le noyau. On notera 
e? -- --

où q, est la charge
(®)
élémentaire.

On cherche l'expression de la valeur a, du paramètre r, qui minimise l'énergie 
moyenne de l'électron (état
fondamental).

Q 31. Montrer que l'énergie potentielle moyenne (E,) de l'électron décrit par 
la fonction d'onde 4 (r) s'écrit
2

3 2 X 2197 Q
(E ) = --5-- où EUR -- _ avec q. est la charge élémentaire.
To EUR

Q 32. Montrer de même que l'énergie cinétique moyenne (Æ,) de l'électron décrit 
par la fonction d'onde
2
x (D) s'écrit (E,.) -- $ Po

10 m°
Q 33. En éliminant p, grâce à la relation obtenue à la question Q 29 (on 
remplacera le signe + par une
égalité pour effectuer ce calcul), établir l'expression de (E,,) en fonction 
uniquement de r,.
h?2

Q 34. En déduire que la « taille » de la l'atome d'hydrogène a pour expression 
a; + ==

2°

Q 35. Effectuer l'application numérique. Commenter.

P070/2024-05-06 11:15:27 Page 4/8 (cc) BY-NC-SA
V L'atome quantique : onde ou particule ?

L'observation d'interférences liées aux ondes de « particules » associées aux 
molécules reste un moyen spectacu-
laire de mettre en évidence le comportement quantique de la matière. En 2012 
une collaboration d'équipe de
physiciens et chimistes a réalisé une expérience? de type « fentes d'Young » 
avec des molécules de phtalocyanine
(C39H,8Ng noté par la suite PcH..)

A

=

 æ

(ob)

gp

A

(ob)

=

| OEs

O

=

00

(ob)

sa ES
TD k
Q> 08 ©)
= à 06
E 2 04 |
O k F

0 0.2 Â | ÿ

© -60 -30 0 30 60

Horizontal position

Figure 3 Expérience d'interférence de molécules de phtalocyanine. À gauche : le 
dispositif.
À droite : résultats expérimentaux, les positions horizontales sont mesurées en 
micromètres.

Le dispositif (cf. figure 3 gauche) est constitué d'un laser bleu qui vient 
évaporer des molécules de phtalocyanine
déposées sur la fenêtre d'entrée W. Le faisceau moléculaire ainsi produit est 
ensuite collimaté à l'aide de la fente
S puis diffracté par le réseau G placé à une distance ZL. de $ et constitué de 
fentes séparées de 100 nm les unes
des autres. Les molécules sont enfin déposées sur un « écran » placé à la 
distance L, = 564mm de @ (fenêtre
de sortie W,;) et détectées par fluorescence à l'aide d'un laser rouge et d'une 
caméra CCD haute résolution.
La répartition spatiale des molécules sur l'écran (cf. figure 3 droite) montre 
clairement des franges qu'on se
propose d'interpréter par un phénomène d'interférence. L'histogramme dans la 
fenêtre inférieure correspond à
l'intégration des événements reçus dans l'intervalle de déflexion compris entre 
les lignes pointillées.

Q 36. À partir de la formule de la molécule de phtalocyanine, calculer la masse 
d'une molécule de Pc...

Q 37. On note un élargissement des franges « vers le bas » que l'on attribue à 
l'action de la pesanteur sur
la trajectoire initialement horizontale des molécules. Montrer par un calcul 
simple de mécanique classique que
la trajectoire d'une particule de masse m soumise à l'action de la pesanteur g 
et de vitesse initiale horizontale
vo, présente à une distance D de son point de lancement une déviation verticale 
À donnée par la relation

h=39(a)

On suppose un axe vertical orienté en sens opposé à la direction de g 
conformément à la convention adoptée
dans l'article de façon à avoir des déflexions négatives comme indiquées sur la 
figure 3 droite.

Q 38. Comme indiqué sur la figure 3 droite, on sélectionne des molécules dont 
la déflexion se situe dans l'inter-
valle [--240, --160] um. En déduire la vitesse moyenne v, et la dispersion 
(indétermination) Av correspondante.
On prendra D = 0,96 m.

Q 39. Définir puis calculer la longueur d'onde de de Broglie À, des molécules 
de phtalocyanine.

Q 40. En interprétant le phénomène observé comme résultant d'interférences 
entre des ondes de longueur
d'onde À3, établir simplement que l'on observe des interférences constructives 
(et donc des densités de proba-
bilités de présence maximales des molécules) dans les directions 0, données par 
la relation asin 0, = kÀ3 où a
est la distance entre deux fentes consécutives et k£ est un nombre entier.
Ba où L, est la distance entre le réseau et
l'écran. Effectuer l'application numérique, puis estimer la dispersion Ai 
compte tenu de la dispersion en vitesse
obtenue plus haut. On négligera les incertitudes sur les mesures de Z, et de a.

Q 41. Montrer alors que l'interfrange 2 que l'on définira vaut à --

Q 42. Comparer avec la valeur obtenue expérimentalement. Conclure.

2 «Real-time single-molecule imaging of quantum interference» Th. Juffmann et 
al, Nature nanotechnology 7 (2012) p.297

P070/2024-05-06 11:15:27 Page 5/8 (CD) BY-Nc-SA
Partie C -- Préhistoire du concept d'atome : le mouve-
ment brownien

On appelle mouvement brownien l'agitation spontanée de particules de tailles 
micrométriques plongées dans un
fluide sous l'action des fluctuations thermiques. Ce phénomène n'a été 
correctement décrit qu'à partir des travaux
d'Einstein en 1905. Ce dernier montra tout d'abord qu'il existe une relation 
entre la diffusion des particules
browniennes, la température et la viscosité du fluide dans lequel ces 
particules sont plongées. Quelques années
plus tard, en 1908, Jean Perrin réalisera avec Léon Brillouin une célèbre série 
d'expériences qui confirmera
la validité de l'interprétation einsteinienne du mouvement brownien et 
confortera définitivement la réalité de
l'hypothèse atomique.

VI Présentation de l'expérience de Brillouin et Perrin

Cette expérience? consiste tout d'abord à préparer une solution de grains 
colloïdaux (appelés par la suite
simplement grains) de rayon r = 0,52 jm dans un mélange eau-glycérol de 
viscosité 7 = 0,165 Pa: s. On place
alors cette solution colloïdale, pour laquelle le nombre de grains par unité de 
volume est initialement uniforme
et vaut ny = 7,9 : 101% m° *, entre deux lames de microscope séparées d'un 
millimètre (cf. figure 4 gauche).
Cette distance entre les deux lames est suffisante pour considérer que 
l'évolution de la densité de grains au
voisinage des parois se fait dans un milieu semi-infini (cf. figure 4 droite). 
Le tout est placé dans un thermostat
de température 0 = 38,7 C.

Perrin remarqua que les particules qui viennent en contact avec les paroïs du 
récipient y restent collées, ce qui
entraîne une déplétion en particules des régions proches des parois. II comprit 
alors qu'on pouvait déterminer
le coefficient de diffusion de ces particules en enregistrant au cours du 
temps, le nombre de particules par unité
de surface qui se déposent sur le couvre-objet.

On admet que, dans le système de coordonnées de la figure 4 (à droite), le 
nombre n (x,t) de grains colloïdaux
par unité de volume obéit à l'équation de diffusion :
On On

où D représente le coefficient de diffusion des grains au sein du milieu.

d

Cuve.

Couvre

objet --|::

(

couvre-objet

portée
objet

Figure 4 Dispositif expérimental. À gauche : schéma de la cuve contenant les 
grains
colloïdaux plongés dans une solution d'eau glycérinée, extrait de la 
publication de L.
Brillouin. À droite : représentation du système de coordonnées Ox permettant de 
repérer les
grains par rapport à leur position en référence à la paroi couvre-objet située 
à l'origine.

Q 43. Citer deux autres phénomènes de la physique dont l'évolution est 
modélisée par une équation de ce
type.

VI.À --- Résolution numérique

La résolution analytique de l'équation equation VI.1 avec les conditions 
spécifiques de l'expérience (adhésion

des grains sur la paroi couvre-objet) n'étant pas élémentaire, nous nous 
proposons de modéliser la situation par

une analyse numérique basée sur un modèle probabiliste.

Pour cela, on étudie la densité de grains dans une boîte de longueur L telle 
que la paroi absorbante soit localisée

en æ = 0 et l'autre extrémité en x = L suffisamment loin pour que la densité 
reste à sa valeur initiale n, au

cours de l'évolution temporelle considérée.

-- On discrétise alors l'espace dans la direction Ox en N, intervalles de 
longueur a suffisamment petits pour
que la densité de grains ne varie pas de façon significative sur cette distance 
; et de même, pour étudier

en réalité conduite par Léon Brillouin alors jeune normalien sous la 
supervision de Jean Perrin.

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l'évolution temporelle de cette densité sur une durée T, on discrétise 
l'intervalle [0,71 en N, intervalles de
durée 7 telle que T = N,7.

-- Soit M(x,t) = n(x,t) x a la densité surfacique de particules dans une 
tranche d'épaisseur a . Introduisons
M{x,t)

la densité surfacique normalisée u (x,t) -- ,
no

on notera alors u,,, = u(x = ka;t -- mT) la densité
surfacique entre les abscisses x, = ka et x,,, = (k+1)a prise à l'instant t,, = 
mr.

-- Enfin, on notera p la probabilité qu'une particule dans la tranche numéro k 
passe dans une tranche voisine
(k + 1) pendant l'intervalle de temps 7 et de même la probabilité p identique 
pour qu'elle passe dans la
tranche voisine (k -- 1) pendant ce même intervalle de temps. Remarque : la 
couche en k = 0 correspondra
donc ici à la paroi « adhésive » du couvre objet.

Q 44. Montrer que pour tout m et pour k 2 2, on a la relation uy,,}1 = Uxm +P 
(up 1m + Up_im -- Zu 1m)

Q 45. Montrer que par passage à la limite continue (7 -- 0 et a -- 0) on 
retrouve bien l'équation equation VE.1

à condition de poser D -- par.

Q 46.  Justifier que compte tenu des conditions aux limites dues au 
comportement des particules sur la paroi,
on a pour tout m > 0 en k = 0 et k = I les relations :

UO m+1 -- UO,m + Pur m:
U1 m+1 -- PU2 1m + (1 En 2p) Um
L'ensemble des valeurs numériques u,,, est déterminé à l'aide d'un programme 
Python non demandé.

Comportement de ué aux temps longs

50 + --6--- données "
ajustement linéaire 7

40 -
30 -

20 -

10 -

ug carré de la densité surfacique
normalisée au niveau de la paroi

0 100 200 300 400
temps t en unité de T
Figure 5 Résultats de la simulation numérique de l'équation de diffusion en 
prenant :
a=1,r=1letp = 0,1. Tracé du carré de la densité surfacique normalisée de
particules sur la paroi en fonction du temps (en unité de 7), dans le cas p = 
0,1.

Q 47. L'évolution du carré de la densité surfacique normalisée en surface en 
fonction du temps (valeurs de
Um) est représenté sur la figure 5, pour la valeur p = 0,1, du paramètre de 
probabilité de saut. On note M, (t)
la densité surfacique sur la paroi (pour rappel, on à M, (t) = ny X a X 
u(0,t)). Vérifier à l'aide de ce graphe
que, passés les premiers instants, la densité surfacique M, (t) suit la 
relation M° (é) = aDné t où à est est un

coefficient numérique voisin de 1 à déterminer à partir du graphe.

VI.B - Comparaison avec les résultats de Brillouin/Perrin

Les résultats expérimentaux obtenus par Léon Brillouin sont représentés sur la 
figure 6) dans laquelle le carré
du nombre de grains N° comptés sur une surface d'aire $ = 2, 1.10 * cm? est 
représenté en fonction de la durée
de ses expériences exprimées en heures.

Q 48. En utilisant les données numériques précisées plus haut dans la 
description de l'expérience et en vous
appuyant sur le résultat de la question précédente, extraire de la figure 6 la 
valeur du coefficient de diffusion D
des grains colloïdaux dans cette solution. On indiquera la procédure mise en 
oeuvre et on prendra soin d'exprimer
ce résultat en unité du système international (SI).

Une relation, due à Einstein, établit un lien très général entre le coefficient 
de diffusion des grains colloïdaux de
rayon r, D, et la viscosité du fluide 7, à la température T':

GrnrD = kgT. (VI2)

P070/2024-05-06 11:15:27 Page 7/8 (cc) BY-NC-SA
Nombre de grains

700 -

600 -

500 -

400 -

300 -

4 6 8 10

Vt (avec t compté en heures)

Figure 6 Courbe représentant le carré du nombre de grains déposés sur une aire
S = 2,1.10 * cm? de la paroi couvre-objet en fonction du temps exprimé en 
heures.

Q 49.

En exploitant le résultat précédent et la relation d'Einstein (eq equation 
VI.2) déduire une estima-

tion de la constante de Boltzmann k,, puis de la constante d'Avogadro. On 
indiquera précisément les dif-
férentes valeurs numériques et leurs unités utilisées dans ce calcul. On donne 
la constante des gaz parfait
R=8,31J-K !:mol !. Commenter le résultat.

Données et formulaire

vitesse de la lumière dans le vide : c=3,0:10°m:s 1

champ de gravitation à la surface de la Terre : g = 9,81 ms"
charge élémentaire : q, = 1,6: 10 1° C

masse de l'électron : m = 9,1 - 10°! kg

permittivité du vide : EUR = 8,85-10 l? Fm !

constante de Planck réduite À -- e -- 1,05-10 %J.s
constante d'Avogadro : N 4 = 6,02 : 10** mol !.

masses molaires : du carbone M(C) = 12 g: mol !, de l'azote M(N) = 14 g:mol ! 
et de l'hydrogène
M(H)=1g:mol |

électron-volt : 1eV=1.6:10 1% 7J

2
on notera e? -- _
TO

2

dont la valeur numérique vaut e* = 2,3: 10 * J.m en unité du système 
international

ou en unité atomiques e* = 1,4 eV - nm

eeoeFrINeee

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