e3a Physique et Chimie MP 2022

SESSION 2022 (> MP9PC

NES
e3a

POLYTECH

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

PHYSIQUE-CHIMIE

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

-_ Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en
évidence des résultats.

- Ne pas utiliser de correcteur.

-_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux problèmes indépendants.

Tout résultat donné dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même 
s'il n'a
pas été démontré par le ou la candidat(e).

Les explications des phénomènes étudiés interviennent dans l'évaluation au même
titre que les développements analytiques et les applications numériques.

Les résultats numériques exprimés sans unité ou avec une unité fausse ne sont 
pas
comptabilisés.

Les données utiles sont fournies à la page 11, en fin d'énoncé.

1/11
PROBLÈME 1
Étude d'un diapason

Ce problème porte sur l'étude d'un oscillateur mécanique faiblement amorti très 
utilisé en musique :
le diapason.

Figure 1 --- Gauche : diapason de musicien. Droite : diapason (avec son 
marteau) muni d'une
caisse de résonance pour améliorer l'émission sonore, utilisé dans 
l'enseignement

Partie 1- Étude de la réponse percussionnelle

Les branches du diapason sont décrites comme un oscillateur masse-ressort 
oscillant selon un
axe horizontal, amorti par frottement fluide linéaire en la vitesse.

(k, Co)
< D- 70 Figure 2 -- Modélisation des branches du diapason par un oscillateur masse-ressort horizontal. La coordonnée z repère la position de la masselotte sur l'horizontale On note m la masse de la masselotte, k la constante de raideur du ressort linéaire équivalent, { Sa longueur à vide et {(r) sa longueur à l'instant r (voir figure 2). De plus, on suppose que la | \ -->
masselotte est soumise à une force f = -Av'.

-->
Q1. Quel phénomène physique la force f modélise-t-elle ? Justifier par un 
argument
énergétique le signe de la constante 1.

À l'instant : = 0, on percute l'une des branches du diapason, ce qui provoque 
la mise en
mouvement de chaque branche. On suppose le choc instantané, c'est-à-dire que 
les branches
pseudo-oscillent librement pour f > 0. Une note est alors émise.

2/11
Q2.

Q3.

Q4.

On note z{r) = {(t) -- & la position de la masselotte. Établir l'équation 
différentielle dont z(r)
est solution pour f > 0.

Exprimer la fréquence propre et le facteur de qualité Q de ce système en 
fonction de k, m
et À.

Sachant que l'on obtient des pseudo-oscillations, établir l'expression 
littérale de z(r) en
fonction de k, m et À et de constantes d'intégration que l'on ne cherchera pas 
à déterminer.

La masse de certains diapasons, utilisés par les musiciens, de fréquence propre 
voisine de
500 Hz vaut 30 g. Pour un diapason sans caisse de résonance, l'émission sonore 
est détectable
a l'oreille pendant environ une trentaine de secondes.

Q5.

Q6.

Q7.

Q8.

Réaliser une estimation de la constante de raideur du ressort équivalent. De 
même,
réaliser une estimation de la constante de raideur de ressorts utilisés en 
travaux pratiques.
Commenter.

Proposer une estimation du facteur de qualité du diapason. Comparer cette 
valeur à celle
d'un oscillateur masse-ressort de travaux pratiques.

Pour un oscillateur masse-ressort de travaux pratiques, dont la période propre 
vaut une
seconde, indiquer s'il est correct d'affirmer que la durée entre deux maxima 
successifs
de la position de la masselotte vaut effectivement 1,0 s. On s'appuiera sur une 
discussion
numérique à partir d'un développement limité à l'ordre 1 de la pseudo-période 
en 1/Q°.

De même, est-il correct d'affirmer que les branches d'un diapason de fréquence 
propre fi
oscillent à la fréquence jf, après percussion ?

Pour préciser l'estimation précédente du facteur de qualité du diapason, on 
réalise un enregjistre-
ment à l'aide d'un microphone en utilisant un diapason équipé d'une caisse de 
résonance en bois
permettant d'augmenter l'intensité de l'émission sonore (voir schéma du 
montage, figure 3). On
obtient les deux enregistrements présentés sur le document 1.

ll vers système

ÉÉRES ! .
/ ee h d'acquisition

Figure 3 -- Schéma du dispositif expérimental étudié dans la question 9

Q9. Exploiter le document 1 pour estimer au mieux la fréquence propre et le 
facteur de

qualité du diapason A (on reproduira sommairement la (ou les) figure(s) 
utilisées pour
faire apparaître la méthode graphique employée pour ces déterminations). 
Comparer la
valeur du facteur de qualité mesuré en présence de la caisse de résonance à 
celui du
diapason en son absence. Commenter.

3/11

Document 1 - Étude de la réponse percussionnelle

0,3
0,2
0,1

0

rnes du microphone (V)

8 0,1
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0 l 2 3 =. 5 6

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een
pm lnhpulanlen |
meet
ee

Tension aux bornes d'un microphone enregistrant le son émis par la caisse de 
résonance du
diapason À en réponse à une percussion avec le marteau (lors de deux mesures).

4/11

Partie Il- Génération du champ excitateur

Un solénoïide long (longueur Z, rayon R), d'axe Oz, parcouru par un courant 
d'intensité Z et
possédant n spires par unité de longueur est utilisé pour générer un champ 
magnétostatique

de
B (voir figure 4).

eVeVeVeV eV eV eV eV eV e\(eVe\ eV ee

YU

Figure 4 -- Schéma du solénoïde

Q10. Dans l'approximation du solénoïde infini, justifier que le champ 
magnétostatique en tout
point M à l'intérieur du solénoiïde est de la forme :

B (M) = Be
où r est la distance de M à la droite Oz et u, le vecteur unitaire dirigeant 
l'axe Oz dans le
sens des z croissants (voir figure 4).

Q11. Justifier que le champ magnétostatique est uniforme à l'intérieur du 
solénoïde infini. Établir
son expression en admettant qu'il est nul à l'extérieur.

Q12. Estimer la norme B, de ce champ pour un bobinage de 1 : 10° spires-m"! 
avec 1 = 0,1 A.
Comparer cette valeur à l'ordre de grandeur de la valeur du champ magnétique 
terrestre.

Q13. Quel est l'intérêt d'avoir supposé le solénoïde infini? À quelle(s) 
condition(s) cette
approximation est-elle valide ?

On suppose maintenant que le courant i(f) = Icos(wt) parcourant les spires du 
solénoïde est

lentement variable.

Q14. Rappeler et nommer les équations de Maxwell.

Q15. En admettant que l'expression du champ magnétique obtenue à la question 
Q11 reste
valide à condition de remplacer 7 par i(f), justifier qu'en tout point M à 
l'intérieur du

-->

solénoïde, le champ électrique E (M, r) est de la forme :

E'(M,n = Elr, nu

dans la base cylindrique (x, ug .u,) d'axe Oz.

Q16. Montrer que Er, ft) = Er) sin(wf). On précisera l'expression de E,(r) en 
fonction de Z, uo,
n, r et w, puis en fonction de B,, r et w.

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Partie INT - Interaction entre le champ excitateur
et une branche du diapason

solénoïde

vers système

* } d'acquisition

Figure 5 -- Schéma du dispositif expérimental étudié dans les parties Ill et IV

Le champ électromagnétique obtenu aux questions Q15 et Q16 est utilisé pour 
forcer des
oscillations mécaniques des branches du diapason. Les branches du diapason sont 
positionnées
près d'une extrémité du solénoïde (voir figure 5).

On suppose que les branches du diapason sont recouvertes d'un métal assimilé à 
un conducteur
parfait et on néglige les effets des bords au niveau du diapason, c'est-à-dire 
que l'interface
air/métal est assimilée à un plan d'équation z = cste, où Oz est l'axe du 
solénoïde. L'air est
assimilé au vide du point de vue de ses propriétés électromagnétiques.

Q17. Qu'est-ce qu'un conducteur parfait ?

En un point M au voisinage de l'interface air/métal et de l'axe Oz à 
l'extérieur du solénoïde, le
> --
champ électromagnétique (E; , B; ) dans l'air créé par le solénoïde est d'abord 
approché par

E; (M, sin(@t) up

Eo(r)
2

(M, t)

B
5 COS(wf) U

dans la base cylindrique (u,',uy ,u) d'axe Oz, où Ei(r) et B, sont les 
quantités dont les expressions
ont été obtenues dans la partie Il. Dans toute la suite, on se limite à des 
points M situés au
voisinage de l'axe Oz.

Q18. Justifier l'existence d'un champ réfléchi (OEE,. B.) dans l'air.

Q19. Exprimer E, (M, 1) à l'aide de la relation de passage fournie en fin de 
sujet. En déduire

--> , , ,
B; (M, ?) en utilisant une équation de Maxwell. Dans le cadre de ce modèle, 
donner alors
l'expression du champ électromagnétique dans l'air.

En réalité, un modèle plus fin permet de montrer que le champ magnétique 
(total) dans l'air près
de l'interface air-métal est de la forme :

z+L Z

Ve+LP+R VR+?|

B (M. t) = b(z) cos(wt) U avec b(z) = Bo

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Q20. Sachant que z = 5 mm, R = 5 cm, L = 50 cm, montrer que

b@) = B(1+a+).

On donnera la valeur du coefficient numérique a. Dans quelle limite cette 
expression
approchée redonne-t-elle celle obtenue à la question Q19 ?

-->
Dans la suite, on conserve l'expression affine de B (M.,r) obtenue à la 
question Q20. Le fer
qui constitue les branches du diapason s'aimante en présence du champ 
magnétique excitateur.

-->
On admet qu'en présence d'un champ B (M, r) dans l'air, l'élément de volume dV, 
centré sur le
point M dans le métal, se comporte comme un aimant de moment magnétique dx (M, 
r), tel que :

-- : -->
d'A (M, t) = x B (M, f dV

-->
où r est une constante réelle positive. On rappelle qu'un dipôle de moment 
magnétique M
-- -->
plongé dans un champ magnétique B subit la force F, , telle que :

Fs = (M : grad PB.

Q21. On considère un élément de volume dV, centré sur le point M, situé au 
voisinage de

l'interface air/métal. Montrer que la force dF, subie par cet élément de 
volume, dans le
cadre du modèle développé dans cette partie, s'écrit à l'ordre le plus bas :

dF = --a cos" (wt) dV U

où a est une constante positive que l'on exprimera en fonction de x, B,, R et
éventuellement a (si l'on n'a pas déterminé sa valeur à la question Q20). Les 
dipôles
induits sont-ils attirés vers la zone de champ fort ?

Q22. Pour un diapason résonant à la fréquence 256 Hz, à quelle fréquence 
doit-on régler la
source du courant i(f) pour exciter le diapason à résonance ?

7N1
Partie IV - Fabrication de la source de courant et résultats expérimentaux

On peut fabriquer une source de courant oscillant à l'aide d'un générateur de 
tension continue et
d'un oscillateur à tube fluorescent, dont le fonctionnement est présenté sur le 
document 2.

Document 2 - Description de l'oscillateur à tube

Un oscillateur à tube fluorescent, noté T, est un dipôle équivalent à un 
résistor dont la
résistance peut prendre deux valeurs :

e celle d'un interrupteur ouvert lorsque le tube est éteint;

e celle d'une résistance de r = 500 kQ lorsqu'il est allumé.

Le dipôle T est inséré dans le montage électrique suivant :

dl
KR

C

ET) (D)

Le tube fluorescent T ne s'allume que si la tension à ses bornes u(r) est 
supérieure à U,

appelée tension d'allumage. Il reste alors allumé tant que la tension u(r) est 
supérieure à
U, < U, (U, est la tension d'extinction) et s'éteint sinon. On ferme K à l'instant rs = 0, le condensateur étant initialement déchargé. Q23. À quelle condition sur E le tube s'allume-t-il? On suppose cette condition vérifiée dans la suite. Exprimer alors l'instant d'allumage r, en fonction de E, U, et Tr = RC. Q24. Le tube étant allumé pour f > t,, exprimer la tension w(r#) en fonction de 
E" = E/(1 +R/r),
U,,r,R,T =T/(1+R/nett,.

Q25. À quelle condition portant sur U, et E', le tube s'éteint-il? On suppose 
cette condition
vérifiée. Exprimer l'instant # auquel le tube s'éteint.

Q26. Dans le cas où u(r) est une fonction qui devient périodique, exprimer sa 
période T'en
fonction de E, E",U,,Tetr.

Q27. Tracer l'allure de «(r) pour rt > 0 en représentant quelques oscillations. 
On positionnera £,,
te, T, U,, U,, E et E".

En modifiant les valeurs de R, C ou E, on peut changer la période T. C'est sur 
ce principe que

fonctionne la source de courant utilisée pour alimenter le montage excitateur 
du diapason. On

enregistre la puissance sonore émise par le diapason à différentes fréquences. 
On s'assure que

l'amplitude 7 de l'intensité alimentant la bobine ne varie pas lors des 
différentes mesures. On

obtient la courbe présentée sur le document 3, avec le diapason A étudié dans 
la partie I.

8/11

Document 3 - Étude en régime forcé

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100

219,5 219,6 219,7 219,8 219,9 220 220,1 220,2 220,3 220,4
fréquence de l'oscillateur à tube (Hz)

Tension aux bornes du microphone enregistrant le son émis par la caisse de 
résonance du
diapason À en réponse à un forçage en fréquence.

Q28. À partir des mesures présentées sur le document 3, réaliser une estimation 
de la
fréquence propre et du facteur de qualité du diapason A. Commenter.

L'oscillateur à tube présente des oscillations qui ne sont pas sinusoïdales.

Q29. À posteriori, le fait que l'oscillateur ne soit pas sinusoïdal vous 
semble-t-il problématique
pour réaliser l'étude en régime sinusoïdal forcé ?

9/11

PROBLÈME 2
Synthèse de l'ammoniac

S'il est un constituant essentiel des diapasons, le fer intervient également 
comme catalyseur
dans certaines réactions chimiques, telles que la synthèse de l'ammoniac NH; 
(g) dans le procédé
Haber-Bosch selon la réaction :

3 H(g) + N2(g) = 2NH;(g) (1)
La réaction est réalisée à 450 °C.
Q30. Donner un schéma de Lewis de l'ammoniac.
Q31. Donner la structure électronique d'un atome de fer dans l'état fondamental.
Les ions monoatomiques couramment rencontrés pour le fer sont Fe** et Fe**.
Q32. Donner la structure électronique de ces ions. Lequel est le plus stable ? 
Justifier.

À 450, le fer cristallise dans un système cubique centré pour lequel le 
paramètre de maille de
la maille conventionnelle vaut 3-10° pm. Cette maille compte un atome de fer à 
chaque sommet
et au centre de la maille.

Q33. Exprimer, puis estimer la masse volumique du fer dans cette structure.

À 450, l'enthalpie standard A,H, ° de la réaction (1) vaut --114,7 KJ-mol ! ; 
son entropie standard

de réaction AS, ° vaut ---245,9 J-K-!-:mol !.

Q34. Commenter ces deux valeurs numériques.

Q35. Exprimer la constante d'équilibre K, de la réaction (1) à la température T 
en fonction de
À,H,° et A,S,° à la même tempéraiure.

À 450C, l'application numérique conduit à K, = 3: 10 *. Le diazote et le 
dihydrogène sont
introduits en proportions stæoechiométriques dans le réacteur qui est maintenu, 
tout au long de la
synthèse, à une pression totale P de 300 bars et à une température de 450 EUR. 
Le mélange initial
contient exclusivement du diazote et du dihydrogène.

Q36. Que vaut la variance de l'équilibre (1) ?

On définit le rendement r de la synthèse comme le rapport entre la quantité de 
matière d'ammo-
niac obtenue à l'équilibre et la quantité de matière d'ammoniac que l'on 
obtiendrait si la réaction
était totale.

Q37. Exprimer K,; en fonction de r, P et p°. Commenter la réponse à la question 
Q36.

Q38. Quel est l'effet d'une augmentation de la pression totale à température 
constante sur le
rendement de la synthèse ? Commenter le choix de la valeur 300 bars pour la 
pression
totale de la synthèse industrielle.

Q39. Quel est l'effet d'une augmentation modérée de la température à pression 
constante sur
le rendement de la synthèse ?

Q40. En quoi aurait-il été préférable de se placer à 25% ? Quelle peut être la 
raison du choix
de 450 C ? Quel est le rôle d'un catalyseur ?

10/11
Données utiles

e Perméabilité magnétique du vide : uo = 4x : 1077 H-m°!

e Relation de passage pour le champ électrique à une interface entre
deux milieux © et À :

M
Mt
E(M,n- EM, n = M0 > = CM 7

EUR0

e En coordonnées cylindriques,

--»,._ Of lof, of
grad f = ar + 20" + 2"
---- I0A, OA;\_, [0A, OAÀ,\_, 1/0 OA,
A =|- -- -- |u, : --|[--(rAy) --
ro C 00 OZ E | OZ Or Jr Tr Le ) 00

e Nombre d'Avogadro : N4 = 6,02 : 10 mol |
e Masse molaire du fer : M(Fe) = 55,8 g-mol ! : numéro atomique du fer : 26

e V2=14:x = 10

FIN

11/11

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