e3a Physique et Chimie MP 2024

SESSION 2024 © MP9PC

NE
e3a

POLYTECH'

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

PHYSIQUE-CHIMIE

Durée : 4 heures

NB. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

« Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, 
mais exclusivement pour les schémas
et la mise en évidence des résultats.

. Ne pas utiliser de correcteur.

« Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées.

Le sujet est composé de deux problèmes indépendants.

-- Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, 
même s'il n'a pas été démontré par le candidat ou
la candidate.

-- Les explications des phénomènes étudiés interviennent dans l'évaluation au 
même titre que les développements analytiques
et les applications numériques.

-- Les résultats numériques exprimés sans unité ne sont pas comptabilisés.

1/8
PROBLÈME 1

Quelques aspects de l'interaction entre le champ électromagnétique et la matière

Les notations et valeurs numériques des grandeurs utilisées dans ce problème 
sont résumées dans le tableau ci-dessous.

Grandeur Notation | Valeur numérique
Célérité des ondes électromagnétiques dans le vide C 3,00: 10°m-s"!

Constante de Planck h 6,63 : 107% J.s

Permittivité du vide EUR 8,85-1077F.m !
Perméabilité du vide Lo 4x -107/H:m !

Charge élémentaire e 1,60 : 1071? C

Masse d'un électron m, 9,11-101kg

On note j le nombre complexe de partie imaginaire positive vérifiant j* = --1. 
En régime sinusoïdal forcé de pulsation æ, on

convient d'associer à toute grandeur sinusoïdale a(f) = À cos(oet + @,) deux 
grandeurs complexes :

-- ]a première, notée À = Ae! 4, appelée amplitude complexe associée à a;
-- Ja seconde, notée a(r) = Ael(®+Pa) = Aei®f, appelée grandeur sinusoïdale 
complexe associée à a.

Dans le cas où la grandeur sinusoïdale est un champ a(M,f) = A cos[oet+ f (M 
)+6,], dépendant de la date f et de la position OM
d'un point M via une fonction f nulle lorsque M est confondu avec O, on note 
a(M,r) = Aell®T/ (MI ]à orandeur sinusoïdale

complexe associée à a. À l'exception de ], les grandeurs complexes sont 
soulignées.

Les différentes parties de ce problème sont, dans une large mesure, 
indépendantes les unes des autres. Néanmoins, des notions
et notations utiles sont introduites au fil du sujet. Aussi est-1l conseillé de 
lire et de résoudre les parties du problème dans l'ordre
de présentation.

Partie I -- Généralités sur les ondes électromagnétiques dans le vide

On se place dans le vide, milieu supposé n'avoir n1 charge n1 courant. On 
introduit un repère cartésien orthonormé direct

(O,e;, e,, e-). Un point M quelconque de l'espace est repéré par ses 
coordonnées cartésiennes (x, y, z).

-- --
Q1. Citer les quatre équations de Maxwell vérifiées par les champs électrique E 
et magnétique B dans ce milieu.
> > ne --> A > | -- . N° , 2 . .
On rappelle que rot(rot &') = grad(div e)-- Ae,où + est un champ vectoriel et À 
est l'opérateur laplacien vectoriel.
--
Q2. Obtenir l'équation de d'Alembert vérifñée par le champ électrique E. En 
déduire la relation entre c, EUR, et Ho.

On considère une onde électromagnétique solution de l'équation de d'Alembert de 
type plane progressive monochromatique,
de vecteur d'onde k et de pulsation temporelle w. On suppose qu'elle se propage 
dans la direction et le sens de ez.

Q3. Montrer que les champs électrique et magnétique de l'onde sont transverses 
à l'aide de la notation complexe.

_,
On suppose le champ électrique E de l'onde polarisé rectilignement selon e°. On 
note E, son amplitude et @ sa phase à
l'origine du temps et de l'espace.

. » . » , . 40° » >
Q4. Donner l'expression du champ électrique réel de l'onde en un point M à 
l'instant de date f, noté E(M , t). On fera notamment
apparaître E,, æ et k.

Q5. Établir la relation entre k et w, appelée relation de dispersion.

Q6. Obtenir l'expression du champ magnétique réel de l'onde en un point M à 
l'instant de date f, noté B(M 1).
Q7. Exprimer le vecteur de Poynting de l'onde en un point M à l'instant de date 
f, noté TI(M 1).

QS8. Exprimer la densité volumique d'énergie électromagnétique en un point M à 
l'instant de date 7, notée w(M ,f), en fonction
de E,, ©, k, EUR,, t et de z.

Q9. On note T la période temporelle de l'onde plane progressive 
monochromatique. Montrer que les valeurs moyennes tempo-
2
CEE >
5 EUR

relles de If et de w vérifient a = c{W)re: =

2/8
Partie II - Modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène

On s'intéresse à l'atome d'hydrogène dans le modèle de Bohr. Dans ce modèle, le 
proton est supposé immobile et placé à
l'origine O du repère cartésien (O, e;, e,, e-). L'électron est soumis au champ 
électrique coulombien du proton et on néglige

® ® # ® TT? LA ® # TT? h \
l'effet de son poids. Le moment cinétique L,, de l'électron par rapport à O est 
quantifié : Lo | AT OÙ A Ee N°.
7

---
Q10. Montrer que L,, est constant. En déduire que le mouvement de l'électron 
est plan.

--
À ep
DES Ds. % -->
°° EN EUR
La
P4
'
74 $
' \ e"
? \
Li À \ y
! |
I 0 i
Ü LL.
[ Ed
O 7 à
[1 ! e X
\ [i Z
\ ?
N 4
(N '
N 74
NN 4
EN La
De pd
.. P
ACTE DS Le

Figure 1 -- Repérage d'un point M dans le plan du mouvement de l'électron.

---
On introduit le vecteur unitaire e; de telle sorte que L,, soit de même 
direction et de même sens que e;. On introduit aussi la
base locale cylindrique (e7, 84, e;) d'axe (O, e). Un point M du plan du 
mouvement est repéré par ses coordonnées cylindriques
(r, 0,0) comme indiqué sur la figure 1. On note donc L, = Lo ez.

Q11. Exprimer L,, en fonction de m,, r et de e

On suppose que l'électron est en mouvement circulaire autour du proton.
Q12. Justifier le fait que le mouvement de l'électron est uniforme.
Q13. Obtenir l'expression de la vitesse v = || || de l'électron en fonction de 
e, m,, EUR, et du rayon R de sa trajectoire.

Q14. En déduire que le rayon de la trajectoire s'écrit R = n'a; où a, est le 
rayon de Bohr que l'on exprimera en fonction de e,
m,,, EURp et de h. Calculer numériquement 4.

Q15. Citer la relation numérique entre le joule et l'électronvolt.
4 ° Z ° 2 2 ° É , ' :
Q16. Montrer que l'énergie mécanique de l'électron s'écrit &,, = ---- et donner 
l'expression de £, en fonction de e, m,, EUR, et
n
de h. Calculer la valeur numérique de E,, exprimée en joule et en eV.

Q17. Citer la relation entre l'énergie d'un photon E, et sa longueur d'onde 4. 
Calculer, en joule et en eV, l'énergie d'un photon
de longueur d'onde À = 600 nm.

Lorsqu'un photon est absorbé par un atome d'hydrogène, cela provoque une 
transition d'un niveau d'énergie repéré par l'entier
n vers un niveau d'énergie repéré par l'entier p.

Q18. Donner, en fonction de E;, h, c, n et de p, l'expression des longueurs 
d'onde 4, , des photons susceptibles d'être absorbés.

Q19. On admet que les transitions associées à des longueurs d'onde dans le 
visible sont obtenues pour n = 2. Donner les valeurs
de p et À,, correspondant effectivement à une longueur d'onde dans le visible.

Q20. Que vaut l'énergie d'ionisation de l'atome d'hydrogène, c'est-à-dire 
l'énergie minimale à fournir pour que l'électron
échappe à l'attraction coulombienne du proton ?

3/18
Partie IIT -- Pression de radiation

-- __--
E; M2
B k
. -->
B; i e.
O+
> EUR
EURy Z
Milieu 1 : vide Milieu 2 : conducteur parfait
z=0

Figure 2 -- Onde électromagnétique en incidence normale sur un conducteur 
parfait.

On considère la situation de la figure 2 où le demi-espace z < 0 est le vide et le demi-espace z > 0 est un conducteur parfait.
Une onde incidente, >, identique à à celle décrite dans les questions Q4 à Q6, 
est réfléchie sur la surface du conducteur. On notera
respectivement k:  E, (M, ?) et B. (M, ?) le vecteur d'onde, le champ 
électrique et le champ magnétique de cette onde incidente en
un point M à l'instant de date f. On donne les relations de passage utiles pour 
le problème. Entre deux milieux 1 et 2, on a :

np A(E; -E;)= 0 et np A (B; -- Bi) = hoj,,

OÙ #12 12 Est un vecteur unitaire orthogonal à l'interface, dirigé du milieu 1 
vers le milieu 2, où les champs E, et B, (respectivement
E, et B;) sont les champs totaux dans le milieu 1 (respectivement dans le 
milieu 2) au voisinage de l'interface et où ji est le
vecteur densité de courant de surface. On rappelle que les champs électrique et 
magnétique sont nuls dans un conducteur parfait.

. , v . D . > . à 40: ,
Q21. Déterminer l'expression du champ électrique réfléchi £,.(M, f) en un point 
M à l'instant de date f. On supposera que l'onde
électrique réfléchie conserve la même polarisation que l'onde incidente.

_,
Q22. Déterminer l'expression du champ magnétique réfléchi B,(M , f) en un point 
M à l'instant de date f.
Q23. Que vaut le champ magnétique total en z = 07 (dans le vide au voisinage du 
conducteur) ? En déduire l'expression du
.e > \
vecteur densité de courant de surface j,(r) sur la surface du conducteur, à la 
date f.
On admet que B(z = = (,f) = ; [BG = = 07 ,f) + B(z = 0*,r)|. En outre, en 
présence de courants surfaciques et d'un champ
--
magnétique, la densité surfacique de la force de Laplace s'écrit f, -- j, \ B.

_,
Q24. Exprimer la force de Laplace totale F; s'exerçant sur l'aire S de la 
surface du conducteur en fonction de &,, E,, S, æ et de
[.

Q25. Calculer la valeur moyenne de cette force sur une période temporelle T'de 
l'onde. En déduire que l'on peut lui associer une
pression p, dite pression de radiation, dont l'expression est p = £pEé.

On appelle intensité Z du champ électromagnétique la norme de la valeur moyenne 
du vecteur de Poynting. On rappelle qu'en
Ep EG
5

Q26. Calculer numériquement la pression de radiation pour la lumière venant du 
soleil (1, = 1 kW: m") et pour celle d'un laser
de haute intensité (1, = 1 GW : m").

vertu de la relation démontrée dans la question Q9, on a 1 =

On veut désormais retrouver l'expression de la pression de radiation en 
décrivant la lumière de manière corpusculaire, en
la modélisant par un ensemble de photons se déplaçant dans un faisceau 
cylindrique d'axe e° et de section S. On prendra une
longueur d'onde À de 600 nm et on appelle E, l'énergie d'un seul photon.

Q27. On note n, la densité volumique de photons dans le faisceau (on se place 
dans le cadre d'un modèle simple où cette densité
est uniforme). Exprimer n"y en fonction de E,, c et de J puis calculer sa 
valeur numérique dans le cas du laser d'intensité
I.

Q28. Exprimer la quantité de mouvement P, d'un photon en fonction de son 
énergie E,.

Q29. Déterminer l'expression vectorielle de la variation À P, de la quantité de 
mouvement d'un photon lors d'un rebond sur la
surface métallique en fonction de E, et de c. On fait l'hypothèse d'un rebond 
élastique, c'est-à-dire sans perte d'énergie
cinétique.

Q30. Exprimer la variation de quantité de mouvement Ap,; de l'ensemble des 
photons qui rebondissent sur la surface métallique
d'aire ;S' pendant une durée infinitésimale df en fonction de Z, 5, df et de c.

Q31. En déduire la force exercée par les photons sur l'aire ;S pendant une 
durée df et retrouver l'expression de la pression de
radiation.

478
Partie IV -- Notion de force pondéromotrice

Le principe de la force pondéromotrice est qu'un électron oscillant dans un 
champ électrique harmonique uniforme subit en
moyenne, sur une période, une force électrique résultante nulle. En revanche, 
avec un champ non uniforme, la force moyenne
résultante n'est pas nulle. C'est ce qu'on appelle la force pondéromotrice. 
Celle-c1 a de nombreuses applications, comme le
piégeage ou l'accélération de particules chargées.

On considère un électron libre placé dans un champ électrique oscillant É(?) -- 
E, cos(oef) et on s'intéresse à son mouvement.
On ne prend en compte que la seule composante électrique de la force de 
Lorentz. Pour simplifier, on considère un modèle à une
dimension : E(x,f) = E,,(x) cos(wf) e, le mouvement de l'électron étant lui 
aussi selon l'axe (Ox). Tout d'abord, on considère
E,,(x) = E, constant.

Q32. Obtenir une valeur numérique limite de E,, permettant de négliger le poids 
de l'électron par rapport à la force de Lorentz
électrique. On fera intervenir l'accélération de pesanteur g.

Q33. Vérifier que la force moyenne sur une période exercée par le champ 
électrique sur l'électron est nulle.
En régime sinusoïdal forcé établi, la vitesse de l'électron à la date f est de 
la forme u(r) e° = V, cos(æt + @,)er.

Q34. Exprimer V, en fonction de e, E,, m, et de «. Préciser la valeur du 
déphasage @, entre la vitesse et le champ électrique.
On note x(r) e° = X,, cos(wt + @,)e, le vecteur déplacement de l'électron.

Q35. Exprimer X,, en fonction de e, E,, m, et de «w. Préciser la valeur du 
déphasage @, entre la position et le champ électrique.

On considère désormais un champ non uniforme en adoptant un modèle affine 
simple : E,(x) = E, + ax, où a et E, sont
deux constantes positives.

----.
Q36. Quelle est l'unité de « ? Dans quel sens est orienté grad(E=) ? Donner son 
expression en fonction de E, et de «, en supposant
q 8 m P 0 PP
que |ax|  Ey.

On admet que, à l'échelle d'une période, le mouvement de l'électron autour de x 
= 0 reste le même que celui décrit dans la
question Q35.

Q37. Représenter le champ électrique et la force subie par l'électron lorsque x 
= X,, et lorsque x = --X,,, en utilisant le fait
que la position et le champ électrique sont en phase. Dans quel sens est la 
résultante de ces deux forces ? Que peut-on en
déduire quant au sens de la force pondéromotrice ?

Q38. Calculer la force pondéromotrice subie par l'électron, définie comme la 
force moyenne sur une période exercée par le champ
électrique sur l'électron. On l'exprimera en fonction de e, m,, ©, E, et de a.

On trouve généralement comme expression de la force pondéromotrice :

2
-- q >
fn = An grad(E?).

EUR

Q39. Vérifier, sur la situation simple de variation linéaire de l'amplitude du 
champ décrite ci-dessus et avec le résultat de la
question Q36, que l'on retrouve bien le résultat de la question précédente.

On trouve sur une page Wikipedia à propos de l'accélération plasma, la phrase 
suivante : « The Texas Petawatt laser facility
at the University of Texas at Austin accelerated electrons to 2 GeV over about 
2 cm ». Sa longueur d'onde est À = 632 nm.

Q40. Avec un modèle simple d'énergie cinétique initiale nulle et de force 
constante, évaluer la valeur de la force pondéromotrice
nécessaire pour obtenir cette accélération.

Q41. On considère que la puissance du laser P = 1 PW = 1 : 10! W est répartie 
sur un faisceau de diamètre de 0,1 mm. Estimer
le champ moyen E, de ce laser et en déduire la valeur de « requise pour 
produire la force calculée à la question précédente.
On pourra utiliser la relation démontrée dans la question Q9.

5/8
PROBLÈME 2
Étude cinétique et thermodynamique d'une réaction d'isomérisation

On dit que deux espèces chimiques, notées 1, et 1,, sont isomères lorsqu'elles 
ont la même composition atomique mais des
organisations spatiales différentes. Elles participent à une transformation 
chimique, dite réaction d'isomérisation, modélisée en
solution aqueuse par la réaction d'équation :

1,(aq) = 1, (aq).
On note a la concentration initiale en Z,(aq) dans la solution. À la date f, on 
note XF) = [1,(aq)](r), avec x(0) = 0.

On s'intéresse d'abord à la cinétique du sens direct, soit (aq) -- J,(aq). On 
suppose que la réaction est d'ordre un. On note
k, la constante de vitesse et v, la vitesse volumique de réaction dans le sens 
direct.

Q42. Exprimer v, en fonction de k,, a et de x.

La réaction dans le sens indirect, soit Z,(aq) -- 1,(ag), est également d'ordre 
un. On note Kk, la constante de vitesse et v, la
vitesse volumique de réaction dans le sens indirect.

Q43. Exprimer v, en fonction de k, et de x.
On s'intéresse à la cinétique simultanée des sens direct et indirect.

a

Q44. Exprimer la vitesse de disparition globale de l'espèce Z,, c'est-à-dire -- 
, En fonction des vitesses v, et v,. En déduire

que x vérifie une équation différentielle du premier ordre par rapport au temps 
que l'on exprimera en fonction de K,, k, et
de a.

La solution de cette équation différentielle s'écrit, pour f > 0, x(f) = x, [1 
-- 6e Kitkp) |.
Q45. Exprimer x, en fonction de a, k, et de k;.

On cherche à suivre expérimentalement la cinétique simultanée des sens direct 
et indirect par mesure de l'absorbance A(f) de
la solution à différentes dates f. À une longueur d'onde À donnée, chaque 
isomère absorbe différemment la lumière. Aussi a-t-on :

A = EU T1, (ag)] + et [1,(aq)]

où EUR, et EUR, sont les coefficients d'absorptivité molaire respectifs de Z, 
et de 1, pour la longueur d'onde choisie et où EUR est la largeur
de la cuve utilisée pour mesurer l'absorbance. On réalise l'expérience à la 
température T' = 20 °C.

Q46. Citer le nom de l'appareil permettant de mesurer l'absorbance d'une 
solution. Expliciter la manière avec laquelle on procède
pour choisir la longueur d'onde 1 de travail optimale. Définir l'opération dite 
de « réglage du blanc ». On se limitera à un
paragraphe de cinq lignes maximum.

Date de la mesure (min) (Q | 3 5 10 Durée très « longue »
Incertitude-type sur la date (s) 2 2 2 2

Absorbance de la solution A9 = 0,150 0,186 0,234 0,263 0,294 A,, = 0,306
Incertitude-type sur l'absorbance 2:107* | 2-10 | 1:10 | 1-10

Tableau 1 - Mesures et incertitudes-type de l'absorbance et des dates au cours 
de l'expérience décrite dans le texte.

Les mesures effectuées sont résumées dans le tableau 1. Pour exploiter les 
mesures, on cherche à réaliser une régression
linéaire en représentant les variations, en fonction de f, d'une grandeur g(4, 
À, À.) s'exprimant en fonction de À, À, et À... Les
coefficients de la régression linéaire sont obtenus par une simulation de Monte 
Carlo, en prenant en compte les incertitudes-types
sur les dates f et l'absorbance À. La simulation est réalisée à l'aide d'un 
script Python reproduit dans le script 1. On précise
que les fonctions mean et std de la bibliothèque numpy prennent en argument un 
ndarray (un tableau de valeurs) et renvoient
respectivement la moyenne et l'écart-type de ce tableau. En outre, la fonction 
uniform du module random de numpy permet de
tirer un nombre aléatoire entre les deux valeurs données en argument avec une 
probabilité uniforme sur l'intervalle.

6/8
© © M M OU EH © ON  --

55

import numpy as np

from matplotlib import pyplot as plt
from numpy.random import uniform
from numpy import polyfit

# Dates des mesures et incertitudes-type
t = [1, 3, 5, 10] # minutes
u t = [2/60, 2/60, 2/60, 2/60] # minutes

# Absorbances mesurées et incertitudes-type

A = [0.186, 0.234, 0.263, 0.294]

u_ A = [2e-3, 2e-3, 1e-3, 1e-3]

# Absorbance à t = @ et au bout d'une durée très « grande »
AQ = 0.150

Ainfty = 0.306

N = 1000 # nombre de simulations

# Initialisation du stockage des coefficients de régression linéaire
a MC = [|]
b_MC = []

for k in range(N):
# Initialisation du stockage des valeurs simulées pour la simulation numérotée k
t_MC_k = []
A_MC_k = []

for i in range(tlen(t) ):
# Simulation des mesures par tirage aléaloiïire dans l'intervalle d'incertitude
# sqrt est La fonction racine carrée
t_MC_k.append(t[i] + uniform(-u_t[i] x np.sqrt(3), u_t[i] x np.sqrt(3)))
A_MC_k.append(Al[i] + uniform(-u_ A[i] x np.sqrt(3), u_A[i] x np.sqrt(3)))

# Permet de réaliser des opérations sur tous les éléments d'une « liste » 
(conversion list vers ndarray)
A_MC_k = np.array(A MC_k)

# Régression linéaire pour la simulation numérotée k

# Attention : log est Le logarithme népérien Ln

# La fonction polyfit renvoie un tuple de deux éléments obtenus par régression 
linéaire
# Le premier est Le coefficient directeur, le second l'ordonnée à l'origine

reg_Llin_ MC = polyfit(t_ MC_k, np.log(1 - ((A_MC_k - AQ) / (Aïinfty - AQ))), 1)

# On conserve les deux coefficients obtenus pour la régression linéaire
a_MC.append(reg_ lin MC[O])
b_MC.append(reg_ Lin MC[1])

a = np.mean(a MC)

b = np.mean(b_ MC)

# Aucune explication sur Le paramètre ddof n'est attendue et il peut être ignoré
u_a = np.std(a MC, ddof = 1)

u_b = np.std(b MC, ddof = 1)

print(a, u_a, b, u_b)

Q47. En exploitant la ligne 42 du script, donner l'expression de g(4, 4,, À,,).

On admet que la relation attendue entre g(4, À,, À.) et f est de la forme g(4, 
A4, À) = --(k, + k,)r.

Q48. Expliquer le principe de la méthode de Monte Carlo utilisée pour 
déterminer les valeurs des coefficients de la régression

linéaire ainsi que leur incertitude. On s'appuiera, en particulier, sur les 
lignes 32, 33, 42, 48, 49, 52 et 53. On se limitera à
un paragraphe de huit lignes maximum.

Lorsque l'on interprète le script, la ligne -0.256, @.010, -0.007, Q@.032 
s'affiche à l'écran.

Q49. Justifier l'accord entre l'expérience et la relation g(A, À,, À,,) = --(k, 
+ k,)f et donner la valeur calculée de k, + k;.

On s'intéresse désormais à l'équilibre chimique associé à la réaction 
d'isomérisation, modélisée par la réaction d'équation

1,(aq) = 1,(aq). L'équilibre est atteint au bout d'une très grande durée de 
réaction.

TI
Q50. Citer la relation à l'équilibre chimique entre les concentrations de 7, de 
1, et la constante thermodynamique K°.
À T = 20 °C, l'enthalpie libre standard de réaction À,.G" de la réaction 
d'isomérisation vaut À,G°(T") = --3,05 K] : mol"!.
Q51. Calculer la valeur de K°(T°) à la température de l'expérience (T° = 20 
°C). On donne R = 8,31 J: K=-! : mol"!.

L'équilibre chimique est un équilibre dynamique : les réactions dans les sens 
direct et indirect se déroulent simultanément et
se compensent.

Q52. Exprimer K°(T°) en fonction de k, et de k;. Calculer numériquement k;, et 
k, à la température de l'expérience.

FIN

8/8

NATIONALE - 241096 - D'après documents fournis

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