Mines Physique 1 MP 2001

A2001PHYS. MPI

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÊES,
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AERONAUTIOUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNIÇATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIÛNS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2001
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)

Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, 
TPE--EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
Physique 1 --- Filière MP
Cet énoncé comporte 7 pages de texte.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d' énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu 'il est amené
à prendre.

0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé.

0 Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera 
pertinent, même lors-
que l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces 
initiatives ainsi que
des qualités de rédaction de la copie.

. Par convention typographique, les vecteurs sont en gras et leur norme en 
italique : "V" =

DE LA TERRE A LA LUNE

Une odyssée problématique de l'espace

Certaines affirmations des oeuvres de Jules VERNE traduisent de façon 
romanesque des données
scientifiques, ou des hypothèses d'une grande modernité. Dans cette épreuve, on 
s'intéresse à quel-
ques--unes des péripéties du roman De la Terre à la Lune Où, à l'initiative de 
son président
BARBICANE, se forge et se réalise au sein du Gun Club de Baltimore le projet 
d'envoyer un objet sur
la Lune, à l'aide d'un canon.. L'épreuve comprend plusieurs parties 
indépendantes les unes des autres,
et que l'on pourra traiter dans l'ordre de son choix. Dans ce problème, 
exprimer signifie donner
l'expression littérale et calculer signifie donner la valeur numérique.

Dans tout le problème, on néglige la rotation propre de la Terre et celle de la 
Lune. La
Lune est supposée suivre une orbite circulaire autour du centre de la Terre.

Principales notations et valeurs numériques (voir d'autres valeurs en fin 
d'énoncé)

Rayon de l'orbite de la Lune autour du centre de la Terre d = 384000 km.
Intensité du champ de pesanteur terrestre g = 9, 81 m.s"2

Constante de gravitation G = 6,67 X 10"11 N . m2 . kg"2.
Masse de la Terre MT : 5,97 ><1024 kg. Tournez la page S.V.P. masse de la Lune m = O, 0735 >< 1024 kg (on adoptera la valeur : --5-- = 82 = à) r rayon de la Terre RT : 6378 km ' rayon de la Lune r : 1736,6 km Dans la suite du problème, on pourra introduire les périodes de révolution TT(Æ) dans le champ gravitationnel de la Terre, à la distance ! du centre de la Terre et T L(z) période de révolution dans le champ gravitationnel de la Lune, à la distance 2 du centre de la Lune. A. Préliminaires D 1 -- Exprimer g en fonction de G, MT et RT. Exprimer TT (d), période du mouve- . . . . R ment lunaire autour de la Terre en fonction de G, M T et d, puis en fonction de g, RT et ----L. Calculer T T (d). B. En négligeant la gravitation lunaire Dans cette partie, on néglige l'attraction lunaire. Un boulet de masse ,u est envoyé de la dx surface terrestre vers l'espace. On note x sa distance au centre de la Terre et V: --57 sa vitesse'. Le boulet est lancé à la verticale ; on suppose la trajectoire rectiligne et le boulet soumis uniquement à l'attraction terrestre. D 2 -- Exprimer l'énergie mécanique totale du boulet en fonction de g, x et RT. D 3 ---- Exprimer et calculer en fonction de g et de R, la vitesse de libération V,, , vitesse initiale minimale nécessaire pour atteindre l'infini. Cl 4 --- Exprimer et calculer en fonction deg, RT etD la vitesse initiale minimale V(D) nécessaire pour atteindre un point D situé à la distance D du centre de la Terre. Vérifier le résultat pour D : RT et pour D infini. D 5 ---- Exprimer la conservation de l'énergie mécanique du boulet avec la condition ini- tiale v(0)= V(D). Le résultat se lit comme une équation différentielle. Poser dans cette équation x(t) : Dsinz[w(t)] et trouver la solution sous la forme t = T, (D)f(w). Exprimer la valeur initiale % : w(0) en fonction de RT et de D. Dans la suite, on utilisera la fonction 1 2 x(w)=w--,sin(zw) [x(w)=--3--w'pourlwl«x). Cl 6 --- Exprimer, en fonction de % et de TT (D), le temps T(D) mis pour atteindre le point D. D 7 -- La destination du boulet a beau être la surface lunaire, on lance ce dernier avec la vitesse initiale V(d), comme'si l'on voulait lui faire atteindre le centre de la Lune avec une ' Le symbole v est la lettre « v », en italique (comme dans voir) et non pas le v (nu) grec. Page 2 sur 7. vitesse nulle. Établir alors l'expression approchée suivante de la durée T, du trajet : 1 3 »«=W) 1--f-(f-r- -i (fil-- d Calculer T,. Exprimer et calCuler la vitesse du boulet au point d'impact sur la Lune. D 8 ----Il n'est évidemment pas question de pointer le canon vers la Lune! En s'appuyant sur la question 7, exprimer et calculer l'angle 9, que doit faire, au moment du tir, l'axe Terre-Lune avec la ligne de tir, supposée verticale. Jules VERNE donne 6, : 64°. C. Avec la gravitation lunaire Problème statique : position d'équilibre d'un point sur l'axe Terre--Lune D 9 --- Exprimer et calculer en fonction de d, MT et de la masse m de la Lune, la posi-- tion du point d 'équigravitê E situé sur l'axe Terre--Lune (fig. 1). On note "; sa distance au centre de la Terre. Montrer que, si le boulet atteint ce point, il atteint la Lune. BARBICANE considère que Fig. 1 : notations pour le système Terre--Lune ce point est un point d'équilibre du système Terre-Lune ; est--ce vrai, d'un point de vue dynamique ? D 10 -- On veut une expression de la vitesse V (EUR), tenant compte de l'attraction lunaire, et donc plus précise que celle que l'on obtiendrait, à la question 4, pour D = EUR. BARBICANE affirme : Avant une demi--heure, je veux avoir trouvé la formule demandée . .. Effectivement, il propose peu après la formule suivante, donnant la vitesse v à la distance x du centre de la Terre, pour une vitesse initiale vo : Le résultat de BARBICANE est-il correct '? L'ingénieur NICHOLL l'identifie comme « l'intégrale de l'équation des forces vives ». Donner une interprétation plus moderne, indi- quer l'ordre de grandeur de chacun des termes. Exprimer et calculer V(EUR) nécessaire pour atteindre le point d'équigravité. D 11 -- Le modèle de la sphère d'influence (SI) stipule que pour RT 5 x <Ç, seule intervient l'attraction terrestre ; au-delà, seule intervient l'attraction lunaire. La sphère cen- trée sur la Terre et de rayon EUR est la sphère d'influence de la Terre par rapport à la Lune. Une sonde spatiale est dans la sphère d'influence de la Terre par rapport au Soleil si la force gra-- Tournez la page S.V.P. Page 3 sur 7. vitationnelle de la Terre est plus importante que celle du Soleil. Calculer le rayon de la sphère d'influence de la Terre par rapport au Soleil ; la masse du Soleil est de 2,0 x1030 kg et la distance moyenne de la Terre au Soleil est de 1,5><108 km. Selon ce modèle, la Lune serait--elle un astéroïde terrestre ou solaire '? Cl 12 --- On maintient cependant le modèle SI de la question 11... La vitesse initiale du boulet est maintenant V(ê). Sans faire le calcul, et en s'appuyant sur les résultats précédents, indiquer comment l'on pourrait exprimer dans ces conditions la durée 72 du trajet Terre- Lune. Il sera utile de considérer l'invariance des équations de la mécanique par renversement du temps, t --> --t.

D. Résistance de l'air

Un modèle fruste

Û13-- On néglige la pesanteur terrestre. On note Y (Y =20 km) l'épaisseur de

l'atmosphère, u(u= 104 kg) la masse du boulet, vo sa vitesse initiale, Vy sa 
vitesse au

sommet de l'atmosphère, et R : --kvv (k = 0,1 kg.m") la force de résistance de 
l'air. Cette

, . . - . V
force est opposee a la Vitesse et sa norme est R : kv2. Exprimer et calculer le 
rapport --'--'--.
Vo
, ' . VY 2 ' . . , , .
Comparer votre resultat a celui de BARBICANE :----- : î.Eta1t-1l coherent de 
negltger la
V0
pesanteur ?

Un modèle moins fruste

La résistance de l'air dépend de la densité de ce dernier et par suite de 
l'altitude y au--
dessus de la surface terrestre. Selon un modèle standard d'atmosphère, la masse 
volumique

de l'air suit la loi OE(y) = OE(O) exp(--qy). Nous adopterons l'expression R= 
Av2 exp(--qy),
avec A = 0,6 kg.m'1 (correspondant à la masse volumique au sol de w(0) = 1,255 
kg.m'3 ) et

q = 1,4 X 10"4 m". Pour le calcul de Vy, on continue de négliger la pesanteur.

D 14 ---- Exprimer la vitesse du boulet en fonction de y. Quelle doit être la 
vitesse à la
sortie du canon pour que le boulet atteigne la vitesse de libération V,, (cf. 
question 3) à la

sortie de l'atmosphère terrestre ?

D 15 -- Dans ces conditions, exprimer et estimer un ordre de grandeur de
l'échauffement du boulet si un pourcentage n = 5 % du travail de la force 
résistante est

transformé en énergie thermique. Exprimée en J .kg"'.K" la capacité thermique 
massique du
boulet dépend de sa température T selon la loi c(T) : 5 x 10"2 T .

Cl 16 -- Une méthode de protection contre cet échauffement consiste à recouvrir 
le

boulet d'un matériau réfractaire (« bouclier protecteur »), capable de se 
vaporiser en absor-
bant une grande quantité d'énergie : c'est le phénomène d'ablation. Justifier 
que, pendant le
temps dt, la variation de masse dm du bouclier protecteur est Âdm : --nRvd t, 
où Il est la

chaleur massique d 'ablation du matériau ; typiquement, À : 25 >< 106 J .kg" . Page 4 sur 7. Écrire le système différentiel reliant à l'instant t et à l'altitude y, la masse m et la vitesse v du boulet. Remarque : L" intégration du système différentiel ci--dessus, qui n'est absolument pas demandée, montre que, à la sortie de l'atmosphère, le boulet aura perdu une fraction importante de sa masse ini-- tiale, peut--être de l'ordre du tiers. E. Canon et poudre %////////////////////M Le canon (fig. 2) est cylindrique à base %» -- _____ 1ïî'3ï.':î.îïfîîääïäï:£..@îä .fîî , une longueur X , sa masse volum1que est ÆÆWW p =2 >< 103 kg.rÏ1". L'explosion produit un gaz de masse molaire Ma =20 g, à la température T. On note R la constante des gaz parfaits, R: 8, 311 K". X Fig. 2 : canon, poudre et « boulet » (cf question 21 ) D 17 --- En admettant que la masse du gaz est égale à celle de la poudre, exprimer le nombre N de moles gazeuses en fonction de p, Ma, S 'eth. D 18-- On tente l'hypothèse que le gaz est parfait et que son évolution est isotherme. Écrire alors l'équation du mouvement du boulet (de masse #) et exprimer la relation entre X et X0 pour que la vitesse de sortie du boulet ait une valeur Wdonnée. D 19 -- Quelle relation doit relier X0 et la longueur totale du canon, X, pour que cette ÊV... nr.--104 kg et T = 2000 K; dernière soit minimale '? Application numérique : W = 2 calculer X et X0. D 20 -- Reprendre les deux questions précédentes, sous l'hypothèse d'une évolution polytr0pique d'un gaz parfait, _où pression P et volume V sont liés par PV" =C'°. Pour l'application numérique, on prendra a = 2,0. Avec un modèle légèrement différent, les résultats de BARBICANE sont X = 297 m et X() = 66 m. [:| 21 -- Le boulet dans le canon est en réalité une capsule cylindro--conique à l'intérieur de laquelle trois explorateurs de l'espace et deux chiens ont pris place. Le parcours d'accélération est X,, =X --Xo =230 111. On définit l'accélération moyenne comme l'accélération constante a qui donne à la sortie du canon la vitesse vo = 17000 m.s"l . Calcu-- ler a. À titre documentaire, la plus grande accélération à laquelle un être humain standard puisse résister est amax :... g ; peut--on espérer des dispositifs ou des équipements permet-- tant de survivre à l'effarante accélération a ? F. Retour sur la sphère d'influence Selon les considérations de la question Il, la Lune devrait être un satellite du Soleil. On cherche donc une meilleure partition de l'espace que" celle que l'on peut déduire en s'appuyant sur le point d'équigravité. Tournez la page S.V.P. Page 5 sur 7. Formulafions générales On considère (fig. 3) 11 objets ponctuels en interaction gravitationnelle, de masses res-- pectives m; et de positions R,-- par rapport à un point d'accélération nulle dans le. référentiel d'R, F" mfm-. galiléen. L'équation du mouvement de l'objet iest m, dt2 '=G 2 r,}, avec " j=l,j$i rê y r... = R . ----R, , le vecteur r,-j pointe vers l'objet << j ». On nomme « 1 » l'objet de référence (parexemple la Terre) et l'on étudie le mouvement de l'objet « i » (par exemple le boulet) autour de l'objet « 1 >>. La trajec--
toire de l'objet étudié est perturbée par la présence des objets
« j » (par exemple la Lune) ; il s'agit d'évaluer cette perturba--
\ 0 tion.

Fig. 3 _- notatibm D 22 --- Le système considéré est constitué de la Terre
(M,,RT), de la Lune (m,RL) et du boulet B(,u,RB). En

considérant les trois équations vectorielles du mouvement, établir et commenter 
l'équation,
donnée ci-dessous, du mouvement du boulet par rapport à la Terre (les notations 
sont trans--
parentes). Cette équation montre la perturbation de la Lune, notée PL, sur une 
trajectoire

géocentrique.

r r
LB - YZ
3 +. 3
- (fm) (fn)
__ ,-------------1 \.___.'f--------------J
AT PL

CI 23 -- Établir l'équation du mouvement du boulet par rapport à la Lune sous 
la forme

, 75 ___-__" l2124-Les rapports

------'ÂI
___-_!II

___-"_|
=-fi"---l

-" ..."--_|
Ü----Ël

0.92

1.5
1.25

calibrent les perturbations
relatives d'un astre sur
l'autre. Revenant à la situa--
tion particulière où Terre,
boulet et Lune sont alignés,
exprimer pT et p,_ en fonc--

. x
t1on de u=-â et de

8= __r_n__ ; la fig. 4 montre
\IMT

). Que valent ces rapports au

0.75

0.5

0.25-

Fig. 4 : pL (en trait plein) et pT (en tirete') en fonction de u = x/d

l'allure des résultats. Vérifier la relation pT (u, 8 2)= pL(lu --- u,--:--2-
point d'équigravité ?

Page 6 sur 7.

Critère de Lagrange pour le problème à trois corps

Cl 25 -- Selon LAGRANGE, la séparatrice (surface de part et d'autre de 
laquelle, pour le

mouvement du mobile, on néglige l'influence de l'un des deux astres) est 
déterminée par
l'équation pT = pL. TÏSSERAND a montré que la séparatrice est sphéroïdale et 
que, dans le

cas du système Terre-Lune, le rayon de la sphère d'influence de la Lune est
- 2

5
r, (L) = (--5--] d. Considérant la figure 3, le résultat de TISSERAND est--il 
vérifié ?

T

Quelques données supplémentaires (à confronter, éventuellement, à vos résultats)

_ V.,, (km.s"') Période orbitale (jour) Période rotation Gout)

Fin du problème

Fin de l'épreuve

Page 7 sur 7.