Mines Physique 1 MP 2003

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURS DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, 
TPE-EIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
Physique 1 --- Filière MP
L 'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, 
comporte 6 pages.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est amené
à prendre.

0 Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera 
pertinent, même lors--
que l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces 
initiatives ainsi que
des qualités de rédaction de la copie.

La surface de la Lune

On se propose d'étudier deux aspects de la surface lunaire : la température de 
surface et le
sol. Ces deux parties sont indépendantes entre elles.

Dans tout le problème, étoile et planètes seront considérées comme des sphères 
en équilibre
thermique, et qui se comportent comme des corps noirs.

0 Important : on trouvera en pages 5 et 6 un ensemble de données relatives à ce 
pro-
blème ; ces données complètent (ou, à l'occasion, répètent) celles de l'énoncé. 
Quelques--
unes de ces données pourront servir plusieurs fois ; - d'autres n'ont de valeur
qu'informative. Quand l'énoncé ne les indique pas, il appartient aux candidats 
de repérer
et d'utiliser les données utiles pour la résolution de certaines questions.

0 Les questions numérotées avec un astérisque (par exemple, D 4*) sont de type 
essen--
tiellement qualitatif ; elles demandent peu de calculs, voire pas du tout.

Partie I Températures de surface

Température terrestre

. Un modèle bien fluste

D 1 -- On modélise la surface de la Terre par une coquille sphérique de 
température uni--
forme, en équilibre thermodynamique : puissance absorbée et puissance émise 
sont égales.

Soit PS la puissance totale émise par le Soleil. Exprimer & en fonction du 
rayon solaire RS
et de la température solaire T S. Exprimer, en fonction de PS, la puissance Po 
reçue par la

Terre, à la distance DST du Soleil, supposé ponctuel. Exprimer alors la 
température de sur--
face de la Terre, 7} .

D 2 ---- En réalité, la puissance absorbée par la surface de la Terre n'est 
qu'une fraction de la

puissance du rayonnement solaire incident : la surface terrestre réfléchit la 
fraction A,,

nommée albe'do, de ce rayonnement. L'albédo moyen de la Terre est égal à 0,35, 
ce qui
signifie que 65 % du rayonnement solaire incident est absorbé. Etablir 
l'expression suivante

de la température de surface de la Terre :

2
Tt = --R--S-- (l'--Ar)1s4-

2DST

Cl 3 ---- Calculer alors la valeur numérique de T, ; ne pas s'offusquer de la 
valeur trouvée à
partir de ce premier modèle.

0 Influence de l'atmosphère terrestre

L'atmosphère joue un rôle essentiel dans le bilan thermique terrestre. 
Désormais, on enten--
dra par « Terre » la planète proprement dite, de rayon RT, entourée d'une 
pellicule sphérique
de gaz, qui constitue l'atmosphère.

L'atmosphère est modélisée par une couche d'épaisseur e << RT et de température uniforme Ta ; elle absorbe la fraction a du rayonnement solaire non réfléchi ; elle absorbe aussi la totalité du rayonnement du corps noir émis par la surface de la Terre. La Terre absorbe la totalité du rayonnement émis par l'atmosphère vers celle--ci (Fig. 1). Solaire, absorbé Solaire, absorbé Rayonné par par la Terre par l'atmosphère la Terre Atmosphérique, vers le ciel Atmosphérique, vers la Terre Fig. 1 : un bilan des rayonnements E] 4* -- À quoi pourrait être due la différence d'absorption de l'atmosphère pour les rayon-- nements solaire et terrestre '? Cl 5 -- Soit E' la température superficielle moyenne de la Terre calculée en tenant compte de l'influence de l'atmosphère. Exprimer R , puissance solaire absorbée par la surface terres-- tre; exprimer P2, puissance rayonnée par l'atmosphère vers la Terre. Effectuer un bilan thermique pour l'atmosphère. En déduire la relation TT" : (2 -- a)Tf' . Cl 6 -- Application numérique : calculer E' pour a= 0,35 (l'égalité et : AT est fortuite). C] 7 ---- Montrer que la température de l'atmosphère]... est égale à T, . Température lunaire . Température de la surface ensoleillée L'albédo moyen de la Lune,AL, est égal à 0,073 : 92,7 % du flux solaire est absorbé par le sol. On suppose l'albédo uniforme sur toute la surface éclairée. D 8 ---- Exprimer et calculer la valeur numérique de la température de surface de la Lune, T L,So,e,-, , en ne tenant compte que du rayonnement solaire. D 9* --- L'hypothèse d'une température uniforme pour la Lune n'est pas conforme à la réalité : la surface lunaire présente de gros écarts de température. Représenter sur un schéma la position, par rapport au Soleil, de la zone de températures les plus élevées. Cl 10--- Effectuer un bilan thermique pour une surface élémentaire de cette zone et en déduire T L...... , la température maximale à la surface de la Lune. La valeur expérimentale est de l'ordre de 120°C. . Le « clair de Terre ». Lorsque l'axe Soleil-Lune est perpendiculaire à l'axe Lune-Terre, on cherche à déterminer la température superficielle de la Lune en un point M éclairé uniquement par la Terre. Ce point reçoit le rayonnement de deux corps noirs de nature différente, celui du Soleil, réfléchi par la Terre, et celui de l'atmosphère terrestre. D 11 --- Evaluer la puissance surfacique de chacun de ces rayonnements. D 12 -- Déterminer la température maximale à la surface de la Lune uniquement éclairée par la Terre : ]}LTem. D 13* -- Comment serait modifiée la température d'un point M' situé dans la zone éclairée par le Soleil si l'on tenait compte également du rayOnnement terrestre '? E] 14* -- Un instrument situé à la surface de la Lune détecte un rayonnement visible et un rayonnement infrarouge. Indiquer le domaine de longueurs d'onde caractéristique de chacun de ces rayonnements. Le résultat sera donné en micromètres. Cl 15* ---- À quel domaine de longueurs d'onde appartient le rayonnement thermique émis par la Lune '? quelle est l'origine du rayonnement visible provenant de la Lune ? 0 Influence de la radioactivité . . . . 238 40 . La Lune contient des roches rad10act1ves, essentiellement U et K. La puissance volumique moyenne libérée par les roches lunaires, pL , a été évaluée à 10" 8 W.m"3 . D 16 --- Exprimer la température superficielle de la Lune, T L, Roches, pour les zones à l'ombre du Soleil et de la Terre et en ne tenant compte que de l'apport énergétique radioactif. Cl 17 * -- La radioactivité modifie--t-elle de façon significative la température dans les zones très éclairées ? Partie II Le sol lunaire Modélisations Le sol lunaire est bombardé et réduit en poussière par les météorites et le vent solaire, cons-- titué essentiellement de protons et d'électrons. La composition du sol lunaire est proche de celle des silicates, dont quelques caractéristiques physiques sont indiquées pages 5 et 6. La couche supérieure, très fine, est représentée par un empilement compact de sphères de sili-- cates, de rayon RS,--, et de température uniforme (Fig. 2). Le contact entre les sphères est supposé ponctuel. On note c la distance verticale minimale entre deux sphères en positions semblables : c =2J; RS,--, zl,633Rsü. Dans une telle structure compacte, le volume occupé par les sphères est de l'ordre de 74 % du volume de l'empilement. D 18* --- Justifier qu'avec un tel modèle les échanges thermiques entre les sphères soient limités au rayonnement. D 19* -- L'empilement précédent est maintenant modélisé par un ensemble de plans parallèles opaques, placés dans le vide, séparés par la distance c/2. Que pensez--vous de ce modèle '? Fig. 2 : Le plan inférieur de l'empilement compact est Ü 20 _ On suppose que l'écart de tem-- constitué de sphères dont les centres sont notés A. Une , ' , . , . perature AT d un plan a l autre est tres couche identique de sphères, dont les centres sont à ! 'à--pic _ des points de type B, est superposée à ce plan. Les centres pet1t devant la température de ces plans. des sphères de la troisième couche sont en sites de type A, La puissance surfacique émise à et ainsi de suite (empilement de type ABAB ...). _ l'équilibre thermodynamique par un corps de température T est P = 0'T4, où 0' est la constante de Stefan. Exprimer à l'aide de ces hypothèses le flux thermique J Q qui se propage de plan en plan dans la direction perpen- diculaire à ces derniers. Montrer que l'on peut caractériser le milieu ainsi modélisé par un coefficient de conductivité thermique dépendant de la température de la forme /1(T ): A(RS,,,a)T" ; trouver la valeur de n et l'expression de A. E] 21 -- La dimension des grains de poussière est, en ordre de grandeur, RS,-, z100 um; comparer l'ordre de grandeur de Â(T ) obtenu avec ce modèle avec la valeur expérimentale de la conductivité des silicates : KS,-, z1,11 W.K'1 .m'l _ D 22 -- Comparer la densité d et la capacité calorifique massique c de la couche supérieure avec ds,--, et CS,--[. D 23* ---- Il est généralement admis que ce sont les couches les plus profondes qui ont les caractéristiques physiques les plus voisines de celles des modèles ci-dessus. Pourquoi ? Influence de l'impact des météorites On admet que les météorites heurtant la surface lunaire ont même composition que le sol lunaire. On rappelle que le référentiel de Copernic, ou référentiel héliocentrique, est lié au centre de masse du système solaire et que ses axes pointent vers des étoiles réputées fixes. Le référentiel de Copernic est supposé galiléen. D 24 -- Vérifier que la vitesse d'impact d'une météorite frappant la surface lunaire et de vitesse négligeable dans le référentiel de Copernic est de l'ordre de 3 x 104 m.s'1 . Cl 25 -- Montrer que l'impact d'une météorite de masse 111! peut dégager une énergie suffi-- sante pour porter à l'état liquide une masse m2 de la surface de la Lune. Déterminer puis calculer le rapport mz/m1. E] 26* --- La solidification du matériau en fusion n'est pas sans effet sur la nature des trans- ferts thermiques ultérieurs. Vers quelle valeur se rapproche alors la conductivité thermique calculée précédemment ? Fin du problème Données numériques (avec une précision variable) Soleil - Rayon RS z 7><105 km 0 Température de surface T 5 % 5800 K 2 . L'angle solide sous lequel on voit la Terre depuis le Soleil est 7z----2T ST . Rayon terrestre RT z 6,38x 103 km 0 Distance Terre-Soleil DST x 1,5 >< 108 km 0 Masse terrestre MT z6><1024 kg . Albédo AT z0,35 . Rayon lunaire RL = 1740 km 0 Masse lunaire M L = 7, 7 >< 1022 kg . Distance Terre-Lune DLT % 3,84 x 105 km 0 Période du mouvement circulaire autour de la Terre PTL z27,25 jours (en restant dans le plan de l'orbite terrestre) . Période de rotation propre de la LunePL : PTL % 27,25 jours. La Lune présente ainsi toujours la même face à la Terre. Silicates . Densité ds,--, oe 2,51 . Conductivité thermique K S,--, x 1,11 W.K"'.m"1 . Capacité calorifique massique CS,--[ z 860 J .kg"1 K"1 0 Ordre de grandeur du rayon RS,--, z 100 um . Température de fusion du silicate T [ x 1500 K . Chaleur latente de fusion L f z 130 kJ .kg"1 » Constantes physiques . Célérité de la lumière dans le vide c z 3 >< 108 ms"1 , . Constante de la gravitation G x 6,67 ><10'11 m3 .kg".s'2 h . Constante de Planck hz6,63><10'34 J.s ( =-2-- ::10"34 J.s) 7z . Constante de Boltzmann kB z 1,38 >< 10"23 J .K°1 . Charge électrique élémentaire e = 1,6 >< 10"19 C 0 Masse de l'électron me z9,11 >< ..."31 kg ' Constante de Stefan o*= 5,7 >< 10"8 W .m"2.K"4 . Nombre d'Avogadro N A z 6,02 >< 1023 . Permittivité du vide 80 _z 8,85 >< IO"12 F.m"' . Constante des gaz parfaits R = N AkB x 8,31 ] .mol'1 .K'1 Données physiques _ U"... .Il%=- Loi de rayonnement du corps noir (loi de Planck) L'exitance M (en W.m'2) d'une source est la puissance totale qu'elle émet par unité de surface, toutes directions et toutes longueurs d'onde confondues. La loi de Stefan stipule que l'exitance d'un corps noir augmente comme la qua-- trième puissance de sa température: M=0'T". L'exitance spectrale M(À) est la puis-- sance émise à la température T par l'unité de surface du corps noir dans l'intervalle spectral [1,1 +dÀ] : dM= M(Â)dÀ . 1 1 Son expression est M(À)=2flhc2îg----r--. L'exitance spectrale est maximale c exp{ ) -- kB T  pour la longueur d'onde Â... liée à la température par la relation A : À...T : 2898 K. pm. On a 27rh02 (Â...)5T5 P À 1 f _ d , .... 050115 x =-- ; a 1 ure Cl- EURSSUS I'C l'ê-- A5 « { hC Âm) _  g p donc M(À)= "! t 1 f t' =--------=--------------. seneaonc10nmAx MÀ) x5 {{hc] 1 ex --- Formule mathématique div [grad(f)]= Af .