Mines Physique 1 MP 2004

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,

'

DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY, .
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, 
TPE-EIVP

.Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
Physique 1 -- Filière MP

L'én0nce' de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, 
comporte 5 pages. '

° Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est amené

à prendre.

° Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions 
ultérieures.

° Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera 
pertinent, même lors--
que I'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces 
initiatives ainsi que

des qualités de rédaction de la copie. - »

LA PLONGÉE SOUS--MARINE

Si la plongée sous-marine apporte desjoies multiples, elle présente aussi des 
dangers, liés
aux aspects physiologiques et anatomiques du corps humain.

1 Plongée libre (sans bouteille)

L'eau Où le plongeur évolue est considérée comme un liquide homogène et 
incompressible,
de masse volumique p= 1,0x103kg.m°3, en équilibre dans le champ de pesanteur g 
uni--

forme, avec g= 9,81m.s"2. _La surface libre de l'eau (cote Z: O) est en contact 
avec

l'atmosphère, de pression constante P... = 1,013X 105 Pa.

Cl 1 -- Déterminer, littéralement et numériquement, la pression p(z)

de l'eau en un point de cote z; tracer le graphe de p(z).

Cl 2 --- On assimile l'air contenu dans les poumons du plongeur à un
gaz parfait ; cet air est caractérisé par une pression p(z) identique

à celle de l'eau à la cote 2, un volume V(z) (capacité pulmonaire)

variable (la cage thoracique se déforme sous l'effet de la pression),
et enfin par une température T,, constante et indépendante de la

profondeur. Calculer la capacité pulmonaire du plongeur à une cote z sachant 
que celui--ci,
avant de plonger, gonfle ses poumons à leur capacité maximale VM puis bloque sa 
respira--

tion. On donne 2 = --10 m et VM : 7>< 10'3 m3 . On définit le poids apparent du plongeur (et l'on nomme flottabilité) comme la résultante de la poussée d'Archimède et des forces de pesanteur. Comment varie la flottabilité lorsque la profondeur augmente '? diminue--t--elle ou augmente--t--elle ? E] 3 -- Afin de faciliter leur descente lors des premiers mètres, les plongeurs utilisent souvent un lest, plaque de plomb de volume négligeable, accrochée à une ceinture et facilement lar- gable. Ce lest ne doit pas être trop lourd car un surlestage peut inciter à descendre à une pro-- fondeur excessive, On appelle m la masse du plongeur, V * (z) le Volume de son corps et V}, le volume de son corps hors celui de la cage thoracique, de sorte que V * (2): VO +.V(z). Quelle masse m, de lest choisir si l'on adopte comme règle de sécurité le fait que le plon-- geur doit avoir une flottabilité nulle à la profondeur de 5 mètres '? Application numérique : V}, = O, 077 m3 et m = 80 kg . Il Plongée avec bouteille et détendeur Remplissage de la bouteille Afin d'effectuer le remplissage d'une bouteille à parois indéformables, de volume V,,, on utilise un compres- seur constitué (Fig. 2) d'un cylindre, de deux soupapes S et S' et d'un piston, mobile sans frottement entre les positions extrêmes AA' et BB'. Lors de l'aller (phase d'aspiration) la soupape S est ouverte alors que S' est fermée ; on a alors admission de l'air atmosphérique dans le cylindre à la pression P... . Lors du retour (phase de compression), l'air dans le cylindre est comprimé, de la pression Pa à la pression P,, ; la soupape S est fermée alors que la soupape S' s'ouvre dès que la pression dans le cylindre devient supérieure à celle de la bouteille P,, . Quand le piston est en AA', le volume limité par le piston et la section CC' est V...... ; quand le piston est en BB', ce volume est égal à Vmax . Les transformations de l'air sont isothermes (les températu- res dans le cylindre et dans la bouteille sont identiques, égales à la température T,, de l'atmosphère) ; les transformations sont quasi-stati ques ; l'air est toujoursconsidéré comme un gaz parfait. Fig. 2 : Compresseur Cl 4 -- La pompe n'ayant pas encore fonctionné, l'état initial du système est le suivant : ' Bouteille : pression P,, = P... , température T ,, = I:, . ° Cylindre : pression P...... , température T ... position du piston AA'- Le piston fait un aller et un retour. Déterminer la pression P,, à l'intérieur de la bouteille à la fin de cette transformation ; en déduire, sous l'hypothèse V... << V,,, la variation An du nombre de moles contenues dans la bouteille. Application numérique : V}, =5x10"3 m3 , V...in =2><10"5 m3, Vmax =2xlO" m3, T,=293 K et R=8,311.mol"'.K"'. Cl 5 --- Le compresseur ayant fonctionné, on considère qu'à un instant t donné, la soupape S est ouverte alors que la soupape S' est fermée ; l'état du système est alors le suivant : ° Bouteille : pression P,, = p , température T ,, = 72, . ° Cylindre : pression P... , température T a, position du piston AA'- Le piston fait un aller-retour ; déterminer le volume d'air V' dans le cylindre lorsque la sou- pape S' s'ouvre, puis, en fonction de p, V,,, P..., V... et Vmax , la pression p' dans la bou-- teille à la fin de cette opération. En déduire, en fonction des mêmes grandeurs, la variation Ap de la pression à l'intérieur de la bouteille. Déterminer la pression maximale pmax que l'on peut obtenir par ce procédé et interpréter le résultat obtenu. E] 6 -- Calculer Ap et pmax pour p =0,2><107 Pa, et en conservant les données numériques antérieures. Cl 7 -- On considère l'instant t de la question 5, l'état du système étant identique. Le "piston 1 , fait a allers-retours par seconde, la durée de chaque aller-retour est notée At (A! = ;) . Eta-- d blir l'équation différentielle liant p et 'ai:-- (on assimilera % à --(£-). D 8 -- Le compresseur ayant démarré à l'instant t= 0, les conditions initiales étant celles qui ont été définies à la question 4, déterminer la pression p(t) à un instant t quelconque. Vh ocVmin retours par seconde, calculer le temps T au bout duquel la pression p dans la bouteille est égale à 0,5><107 Pa. Compte-tenu de l'inégalité V... <<107 Pa , p.=4,0><105 Pa, V,, =5><10'3 m3, T, =293 K et T,=288 K. Cl 10 -- La respiration du plongeur est périodique, de fréquence f. Sous la pression locale p(z) et à la température T,, le volume moyen de l'air inspiré au cours de chaque cycle (avant d'être ensuite rejeté à l'extérieur) est QQ ; calculer le temps At,(z)au bout duquel le détendeur se bloque ; pour simplifier les calculs on admettra que le temps de descente du plongeur à la profondeur z est négligeable, que ce dernier se maintient tout le temps Ats(z) à la profondeur z et que le volume [20 ne dépend pas de la profondeur. Application numérique : Z: --20 m, QO= 2,0><10"3 m', ]: 0,2 s"' et Z,: 288 K. D 11 ---- Comparer At_.(z)au temps At,(O) mis par le détendeur pour se bloquer si le plongeur reste en surface, où 2: 0 et T : Ta. 111 Un exemple de danger, l'accident de décompression Lors d'une plongée, le détendeur équilibre la pression de l'air inhalé dans les poumons avec celle de l'eau environnante. Cet air est principalement composé d'oxygène (21 %) et d'azote (78 %). L'azote est un gaz diluant qui, au cours de la descente, se dissout par diffusion dans le sang puis dans les tissus. À température constante et à saturation, la quantité de gaz dis- sous dans un liquide est proportionnelle à la pression exercée par ce gaz sur le liquide (loi de Henry) ; la quantité d'azote qui se dissout dans l'organisme d'un plongeur augmente donc avec la profondeur. Ce phénomène engendre des problèmes lorsque le plongeur remonte trop vite à la surface : l'azote dissous, sous l'effet de la diminution de la pression, reprend sa forme gazeuse. Des bulles apparaissent alors dans l'organisme du plongeur. Dans 90 % des cas, les accidents de décompression sont localisés dans les articulations, particulièrement au niveau des tissus cartilagineux. Une hypothèse couramment admise (dite hypothèse de Hem- pleman) est que ces accidents surviennent lorsque la masse d'azote stockée dans les cartila-- ges dépasse une valeur critique. Cl 12 -- Le cartilage n'étant pas irrigué par le sang, les M01éC"le échanges d'azote entre sang et cartilage ont lieu uni-- de N2 quement par diffusion, supposée unidirectionnelle, sui-- vant Ox (Fig. 3). La concentration d'azote C(x, !) dans Fig. 3 : stockage d'azote le cartilage d'épaisseur [ (O S x S L) est supposée régie . . . ÔC x,t 82C x,t par l'équation de duffusron ------â------)----D----a--(3--)=O, [ x" où la constante D est le coefficientde diffusion. On cherche, pour cette équation, des solu- tions de la forme C(x,t)= K + ](x)g(z'), où K est une constante. Déterminer les équations différentielles vérifiées par /(x) et g(t). On introduira dans ces équations une constante q homogène à l'inverse d'une longueur (et qui n'intervient, à ce stade, que par son carré). D 13 ---- Montrer que, q étant fixé, la solution physiquement acceptable de l'équation de dif- fusion, Cq(x, l'), peut s'écrire Cq(x, t) : K] + [Ac, cos(qx)+ Bq sin(qx)]exp(--Dfit). \___5f__--_--_J =E,(x,t) CI 14 --- Le plongeur atteint la cote 2 au temps t= 0, puis reste à cette profondeur ; le temps mis pour atteindre cette cote est négligeable. On note C,.(z) la concentration en azote du sang du plongeur à la profondeur 2. Déterminer les valeurs autorisées de q et les expressions de K,], A,] et B,], les conditions aux limites étant Cq(0, t) : Cq(L, t) : C,.(z). Cl 15 -- Imposons à présent à la solution de l'équation de diffusion la forme C(x,t)=K+Zlfl(x,1), ] où E{(x, t), introduit dans l'équation de la question 13, est une fonction périodique de la variable x. Quelle est la période spatiale de cette fonction '? Déterminer alors l'expression de C(x,t) à la profondeur 2. On notera Co la concentration à saturation, homogène et à l'air libre, de l'azote dans le sang et on utilisera la condition ini-- tiale C(x,o)= Co. Rappel : 27r Si f(t)=AO+Z[Ancos(/zwot)+Bnsin(nwoz)l, Bn=%Lnf(u)sin(noeor)du T=ÊU_ 0 n:l FIN DE L'ÉPREUVE Les détendeurs modernes comportent en réalité deux étages : le premier étage est la pièce métallique sur la bouteille, qui abaisse la pression de celle de la bouteille (200 bars en début de plongée)jusqu'à 50--30 bars. Le deuxième étage est dans la bouche. Il équilibre la pression avec la pression ambiante respirée par le plongeur. C'est ainsi un détendeur "à la demande" : quand le plongeur aspire, une membrane est tirée par dépression, ce qui libère l'air dans étage amont, etc. Cette membrane revient ensuite en place, ce qui empêche le "débit continu" et donc un gaspillage d'air. Le problème présente l'ancien système "avec réserve" qui n'est plus guère utilisé de nosjours.