Mines Physique 1 MP 2005

, ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AIËRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DESTELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2005
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures)

Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, EN STIM, INT, 
TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

PHYSIQUE 1 -MP

L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, 
comporte 5 pages.

- Si, au cours del'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est

amené à prendre.

0 Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques) qui
vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas 
explicitement.

A

. Notations : vecteur ----> V (on pourra écrire V) ; vecteur unitaire de la 
coordonnée c : c.

TEN SION S ET COMPRESSION S
DANS DES CORPS EN ROTATION

I. Fluide en rotation

Un réservoir cylindrique de rayon R, de hauteur H,

est rempli complètemenfpar un fluide de masse
volumique ,uO au repos. Le réservoir tourne à une

vitesse angulaire constante co autour de l'axe vertical

(Oz) du cylindre; il entraîne le fluide dans son
mouvement. On se place en régime permanent. On
note g l'intensité du champ de pesanteur et r la
distance à l'axe de rotation. Les phénomènes ne
dépendront explicitement que de la variable radiale r.

Cl» 1 --Montrer que la pression p(r) satisfait

l'équation différentielle, notée [1], %£ : w2r,u(r).
r

On précisera le phénomène décrit par cette équation--et le référentiel dans 
lequel elle
s'applique. Est--il légitime de ne pas tenir compte de la dépendance de p selon 
la cote z ?

Fig. 1 : cylindre en rotation

Cl 2 -- Le fluide est un gaz parfait d'équation d'état p(r) : k--BZ ,u(r), où m 
la masse d'une
m

molécule de fluide et kB la constante de Boltzmann. Ce gaz est en équilibre 
thermique.

Trouver la loi de la distribution de la pression ; cette loi est déterminée ici 
à une constante
multiplicative près, qui est déterminée dans la question qui vient.

E] 3 --- En exprimant la conservation de la masse, et en notant Po la pression 
au repos, établir

et commenter la relation

__ ___--___ 2
2k,.T [mw2R2] [ ]
\_-V--____JEURXp "'--"'-- --l

Fluide incompressible

D 4 On suppose dans cette question que la masse volumique #0 est constante, ce 
que l'on

exprime en disant que le fluide est incompressible. Quelle est, sous cette 
hypothèse, la nou-
velle loi de la distribution de la pression ? Peut--on déterminer la constante 
d'intégration ?

Fluide compressible

Cl 5 -- On abandonne l'hypothèse d'incompressibilité. On adopte comme équation 
d'état du
fluide, liant la masse volumique à la pression, l'équation ,u : ,u0[1+ Xo(P' 
PC)], où )(0 est
une constante. Vérifier que ;(0 n'est autre que le coefficient de 
compressibilité isotherme du
fluide, )(T, àla pression PO : 10 = )(T (PO).

Û 6 ----On suppose que 8= Zo(P_Po) vérifie |8|<<1. Intégrer alors l'équation [l] de la question 1 et montrer qu'au premier ordre en 8 la masse volumique dépend de r selon la loi w2 ,u(r)= flo[1+lo( 2'"° r2+KIl. D 7 --Déterminer la constante K en exprimant la conservation de la masse et donner l'expression complète de la distribution de pression. Tracer l'allure du graphe de p(r) pour 0 5 r S R. Le résultat obtenu serait--il valable pour un fluide incompressible ? E] 8 -- Montrer que la condition de validité du calcul, c'est--à--dire loi?" PO|<< 1, est équi- valente à l'inégalité 10 ,uoa)2R2 << 1. E] 9 ---- Le fluide est de l'eau de masse volumique ,u0 =103 kg.m"3 . La vitesse de rotation du réservoir est &) = 100 rad.s", son rayon est R=1m ; la pression au repos est PO =105 Pa et satisfait la relation )(0 u0c2 =1 ; sa valeur numérique est eau la vitesse du son dans l'eau, c eau ' ceau =1450 ms". L'hypothèse |8|<<1 est--elle valide ? Comparer la vitesse maximale 1) des molécules dans le réservoir à la vitesse du son. lTlilX Cl 10 -- Soit CGP la vitesse du son dans un gaz parfait (GP) de masse moléculaire m ; cette vitesse vérifie donc, à la température T, la relation )(TuâPcâP : 1. Calculer XT pour le gaz parfait ; établir la relation mcâP : kBT et montrer que l'approximation vmax << CGP appli-- quée au gaz parfait conduit à loi de distribution de pression trouvée à la question 4. Expli-- quer la formulation, paradoxale pour un gaz : le gaz parfait est incompressible. II. Rotation d'une barre rigide Une barre solide OA, de longueur au repos L0 et de section 5 constante et très petite devant Lä a une masse linéique 2.0. Cette barre tourne autour d'un axe vertical avec la vitesse angulaire constante &) (Fig. ZA et ZB). Fig. ZA Fig. 213 On appelle T(r) la tension de la barre au point P à une distance r de l'axe de rotation ; cette grandeur représente l'action du reste de la barre sur la longueur OP. D 11 -- En considérant un bilan de forces, établir qu'en régime permanent la mesure de T(r) sur l'axe radial, notée T (qui n'est plus une température !), vérifie dT "E'-;: --ÀOE2ï [3]. Barre rigide On suppose que la barre est rigide, c'est-à--dire que  : ÀO est constant. Cl 12 -- L'extrémité A est libre, l'extrémité O est fixe (fig ZA). Déterminer l'évolution de la tension, notée T1 (r), le long de la barre. D 13 -- L'extrémité O est libre, l'extrémité A est fixée à un mur vertical tournant à la vitesse angulaire &) (fig ZB). Exprimer la nouvelle tension, notée T2(r). CI 14 -- Les deux extrémités sont attachées au mécanisme assurant la rotation, de sorte que la longueur de la barre est constante, égale à LO. Peut--on déterminer la constante d'intégration dans l'équation [ 3 ] de la question 11 ? On pourra se reporter à la question 4. Barre déformable On abandonne maintenant l'hypothèse de rigidité. On adopte pour la barre l'équation d'état T À(r)=À{l--- (£)), où E est une constante appelée module de rigidité et s la section 3 constante de la barre (le module de rigidité de la barre rigide des questions 12 à 14 est T(f) SE infini). Dans la pratique, l'inégalité 8'( r) : << 1 est vérifiée pour les corps solides. T r ( ) . Le sE résultat sera mis sous la forme T(r)=f(r)+ K', où K ' est la constante d'intégration, indéterminée à ce stade, et f (r) une fonction à déterminer, sous la condition f (0) = 0 . E] 15 -- Intégrer l'équation [3] et donner le résultat au premier ordre en £'(r)= Cl 16 -- Déterminer la constante K ' en exprimant la conservation de la masse. En déduire que la loi de répartition de la tension T(r) est indépendante du module de rigidité. En quel point de la barre cette tension est-elle nulle ? III. Rotation à vitesse angulaire variable Une cheminée verticale est modélisée par un cylin-- dre homogène de masse M, de longueur D et de rayon très petit devant D. Pour une raison quel-- conque, l'équilibre de la cheminée est détruit; 'cette dernière amorce une rotation autour de sa base dans le plan vertical (0, x, y). On appelle 6 l'angle de la cheminée avec la verticale. On étudie le mouvement de la cheminée dans le repère RG en projection sur la base mobile de coordonnées polaires û, &, où û est porté par l'axe de la che- minée, @ est perpendiculaire à il dans le sens de rotation de l'angle 9 et G est le centre de masse de .;, . .;< 3333 la cheminée. Les moments d'inertie en G autour de l'axe 62 et en 0 autour de l'axe Oz sont respec- . 1 1 t1vement JG =E MD2 et Jo : -5 MD2. La liaison pivot en O est parfaite. Y Fig. 3 : la cheminée s 'écroule Cl 17 -- Déterminer, par application du théorème du moment cinétique en O, l'équation d'évolution de l'angle 9. D 18 -- Retrouver cette équation par un raisonnement énergétique. CI 19 -- Exprimer, en fonction de l'angle 9, les composantes R,, et R,, de la réaction du sol en O en projection sur il et sur v. D 20 -- Pour quelle valeur de 9 la cheminée décolle-t--elle du sol ? En réalité, une cheminée peut se briser au cours de sa chute. L'étude suivante va préciser les contraintes subies par la cheminée pendant sa chute. Une longueur OP = d de cheminée subit l'action du sol en O, l'action de son poids ainsi que l'action du reste de la cheminée sur elle--- même, en P. Cette action assure la rigidité de la cheminée. Le contact en P n'est pas ponc-- tuel. L'action du reste de la cheminée sur la longueur et est modélisée par une force S de composantes Su et S,, et un couple C porté par l'axe horizontal Oz. CI 21 -- En appliquant le principe fondamental de la dynamique à la longueurd de cheminée, exprimer S, en fonction de M, g, 9, d et D. La grandeur S', est appelée eflort de cisaillement. Tracer qualitativement le graphe donnant S, en fonction du rapport 5 (6 est donné). CI 22 -- Si la cheminée perd sa rigidité, elle s'effrite. Elle aura tendance à s'effriter au point où l'effort de cisaillement Sv est le plus important ; quel est ce point ? D 23 ---- Montrer que le théorème du moment cinétique en O, appliqué à la longueur d de cheminée conduit à l'expression suivante du moment (noté C) du couple C : 1 d 2 C=----Mgd ----1 sin9. 4 D Cl 24 -- Si ce couple est supérieur au couple maximum que peut subir la cheminée, celle-ci se brise. En quel point la cheminée se brisera--t--elle ? Commenter à ce sujet les deux photogra-- phies ci-dessous. FIN DE CE PROBLÈME FIN DE L'ÉPREUVE