Mines Physique 1 MP 2006

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2006
PREMIERE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière MP '

(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage de la calculette est autorisé

Sujet mis à disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, 
TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

PHYSIQUE 1 --MP '
L'énoncé de cette épreuve comporte 9 pages.

- Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie
et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est 
amené à prendre.

0 Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques qui vous semble-
ront pertinents. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des 
qualités de rédaction de la copie.

ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES : MORCEAUX CHOISIS

L'épreuve est constituée de deux parties indépendantes ; elle concerne d'abord 
la propagation

d'ondes électromagnétiques dans une fibre optique ( domaine infrarouge proche}, 
ensuite la pro-
duction de rayonnement électromagnétique par une antenne ou par un réseau 
d'antennes

(micro-ondes, de fréquences comprises entre 300 MHz et 300 GHz environ).

Dans tout le problème, emprimer signifie donner l'eoepression littérale et 
calculer

signifie donner la valeur numérique.

Données générales :
80 permittivité diélectrique du vide, 80 % 8, 84 >< 10"12 F.m"1 ,u0 splitéabilité magnétique du vide, ,uO : 47r >< 10"7 H.m_l % 1,26 x1(Ï6 H.m"1 c vitesse de la lumière dans le vide, c w 3 >< 108 m.s"1 (EO/Jocz : l). Prêlimînaîre Ü 1 -- Quelle est, exprimée en longueur d'onde, la bande spectrale des micro--ondes ? Quel phy-- sicien fut le premier à. produire expérimentalement et détecter des ondes électromagnétiques de fréquence de l'ordre du GHz, en 1887, confirmant ainsi la théorie de J. O. Maxwell? À quel domaine de longueur d'ondes le rayonnement proche infrarouge appartient-il ? I ---- Guidage par fibre optique On considère (Fig. 1) un guide d'ondes diélectrique constitué de deux cylindres concentriques de section circulaire, et constitués l'un et l'autre de matériau isolant (la silice). L'indice de réfraction de la partie Fig. 1 -- Guide d'ondes diélectrique. centrale, appelée coeur, est noté n1 (cet indice n'est pas nécessairement uniforme) ; l'indice de la partie périphérique, appelée gaine, est noté 112, avec 112 < n1 ', l'indice de gaine est uniforme. Le milieu extérieur est l'air, assimilé au vide et . . , C donc d'indice égal à 1. On note f la fréquence des ondes, &) leur pulsation et À =----- leur f longueur d'onde dans le vide. I -- 1 Fibre optique à saut d'indice Dans une fibre a saut d'indice, le coeur (de diamè-- tre a) et la gaine sont des milieux homogènes : n] et 172 sont uniformes. On note z la direction géné-- rale de propagation (Fig. 2). Fig. 2 - Fibre & saut d'indice. L'indice de _ _ coeur est noté n, et l'indice de gaine n2_ D 2 -- Montrer que le rayon lum1neux est gu1de dans le coeur (c'est--à--dire qu'il n'en sort pas) si 9 est supérieur a une certaine valeur, HL, que l'on exprimera en fonction de 111 et de n,. Calculer 9L pour une fibre d'indice de coeur 111 = 1,456 entourée d'une gaine d'indice n2 : 1,410. Ü 3 ---- On note !' l'angle d'entrée du rayon à l'extérieur de la fibre (Fig. 2). Exprimer, en fonc-- tion de A = n1 ---- 172 (A << n,) et n,, la valeur maximale de il (notée i ) pour que le guidage max soit assuré dans la fibre. Calculer sin(imax) (appelée ouverture numérique). Introduction auoe questions 4 à 8 La condition 9 > & est nécessaire mais non suffisante pour rendre compte du 
détail de la
propagation dans la fibre. Anticipons sur les résultats de l'approche 
ondulatoire en introdui--

sant, de manière empirique à. ce stade, une phase associée aux rayons1 : les 
ondes planes asso--

1 Des travaux relativement récents justifient cette procédure, qui semble 
paradoxale.

ciées aux rayons totalement réfléchis interférent. Seuls certains angles 
d'inclinaison satisfont

une condition de phase qui construit une interférence identique tout le long de 
l'axe de propa--
gation ; ils correspondent aux modes guidés. Considérons (Fig. \

3) la direction de propagation parallèle à AB et à CD et le

plan d'onde (n) relatif à cette direction. Pour qu'il y ait

propagation, il faut que les champs correspondant a cette

Fig. 3 -- Rayons et plan d'onde.

direction soient en phase.

D 4 -- On ne tient pas compte de l'éventuel déphasage introduit par la 
réflexion sur l'interface

coeur / gaine. Montrer alors que le déphasage ça entre l'amplitude de l'onde en 
P et l'onde en P'

a
s'exprime par ça = 472' n1 ÎCOS (9).
o

Ü 5 --- En déduire l'existence de modes de propagation, valeurs discrètes de 9 
notées 9," où m

est un entier, pour lesquelles la propagation est possible. Exprimer le nombre 
N M de modes

possibles, en fonction de n,, 112, a et À. L'entier m est appelé l'ordre du 
mode.

D 6 -- Le diamètre de coeur 61 étant donné, démontrer l'existence d'une 
fréquence de coupure

pour le mode d'ordre m. Préciser le comportement fréquentiel du dispositif.

D 7 ---- Le mode fondamental correspond, par définition, à m = O. Exprimer, 
puis calculer pour

/l = 1,5 >< l()'6 m la valeur maximale que peut prendre a pour que seul ce mode se pr0page. On dit alors que la fibre est monomode. D 8 ---- Soit L la longueur de la fibre. Exprimer la différence AT de temps de parcours de l'entrée à la sortie, entre le trajet de durée minimale (@ = O) et le trajet maximal (@ = Q). Donner l'expression approchée de AT en fonction seulement de L, A et C. On convient que le débit maximal de la fibre, R'aut est l'inverse de AT . Calculer Rsaut (bits par seconde). max 9 max Introduction à la partie I ---- 2 Dans les fibres optiques utilisées en télécommunications, un mes- sage (Fig. 4) est constitué d'une succession de signaux (on dit quelquefois impulsions) binaires (présence, [0] ou absence [l]) de durée égale, 5. Le débit numérique maximal, exprimé en signaux 1 t." d . , , . Rsau "' =--. Divers phenomenes distordent max 5 les impulsions qui se propagent, ce qui entrave la reconstitution de l'information. On améliore Fig. 4 -- Le signal 010. par seconde, est alors la situation en utilisant une fibre dite. & gradient d'indice. L'indice de réfraction est continu a l'intérieur de ce genre de fibre1 ; il varie dans le coeur avec la distance r à l'axe 02 et il est constant dans la gaine (r _>_ a), avec la valeur n,.

L'indice dans le coeur (Fig. 5), est modélisé, pour

F(£), où F
a

est monotone croissante sur [0,1], avec F (O) = O.

2 2
14Ï.Ç.ÏÎ2.

OSrSa, par n(r)=n1 2
"!

Fig. 5 -- Un profil d'indice, F(u) : if.

I -- 2 Fibre optique à gradient d'indice

Cl 9 -- On admet que la loi de
Descartes est applicable de pro--
che en proche, c'est--à--dire que

n (r) sin [9 (r)] est constant.

Un rayon lumineux entre dans la

fibre au centre de la face
Face d'entrée de la fibre

d'entrée, avec un angle externe

Fig. 6 -- En A, représentation de l'angle externe d'entrée dans la

fibre, i, et de l'angle interne, 90 ; en B, représentation de la loi
de Descartes dans un plan méridien et pour deux: dioptres plans l'intérieur de 
la fibre vers les r_
situés en r et en r + dr. '

d'incidence i ; il se dirige à

croissant avec un angle interne
90 au point (2 = 0+ , r = 0 ), de sorte que sin(i) = n1 COS(ÛO_). Montrer que 
ce rayon se propage

dans un plan et que l'équation différentielle donnant sa trajectoire dans la 
fibre s'écrit

1+(ËÏ) =--------"2(r' ' [1].

dz nf sin2 90
Ü 10 ---- Quelle est la valeur de F (1) ? Retrouver l'expression de l'ouverture 
numérique (cf.

question 3), à partir de l'équation différentielle ... et de l'expression 
générale de l'indice.

Ü 11 ---- En considérant le portrait de phase associé à ..., montrer que la 
tra--

/\/ jectoire des rayons, r(z), est une fonction périodique de Z.

D 12 ---- Dans une fibre à. gradient d'indice de longueur L, la différence de 
temps de parcours

2
1 n -- n L .
entre le trajet minimal et le trajet maximal est AT ' = --2--n1 (--l----À] --. 
Déduire de cette rela--
n[ c

1 En réalité, il est constant par morceaux autour de l'axe de révolution.

Rgrad.ind.

max

R saut

tion le débit numérique maximal (cf. question 8). Exprimer et calculer

FIN DE CETTE PARTIE

II ---- Antennes rayonnantes
Un dipôle élémentaire variable d;(t) = [(lp (l)] üz, placé en O,

parallèle à. Oz (Fig. 7), rayonne à grande distance un champ

électromagnétique dont la composante électrique est notée

1 dÿ(t -- r / c)
47Z8062 r

dË(M,I) : sin(9) ila ,

_... ...--0

avec OM = r et "a et uz vecteurs unitaires associés aux coor--

Fig. 7' Dip0'e rayonnant. données 9 et z ; dÿ désigne la dérivée seconde de dp 
par

rapport au temps.

Il --- 1 Rayonnement à grande distance

E] 13 --- Définir la zone de rayonnement et rappeler les hypothèses conduisant 
à l'expression ci--

dessus du champ rayonné.

D 14 -- Une antenne (Fig. 8) est constituée d'une tige

métallique rectiligne fine, de longueur 2L, parcourue par
le courant I(Z,t) = 10 f(z) COS(Cz)Ï), où la fonction f est
indéterminée a ce stade. On note [(2, t) = îRe [__I_(Z, t)].

Exprimer dj? (l' ) dérivée temporelle du moment dipolaire
Fig. 8 -- Antenne filaire ; AB = 2L. '

' élémentaire associé à l'élément dz d'antenne placé en P
(dans le cas du probleme, ?" >>L !).

(O? = Z) , en fonction de [(z, t) et de dz.

Ü 15 ---- On s'intéresse au champ rayonné à grande distance par cette antenne, 
avec notamment
r >> L. On adopte la notation complexe standard. Montrer que le déphasage entre 
le champ
élémentaire dËÎ(M,I) produit en M par le dipôle d; placé en P, et le champ 
dËâ(M,-t) pro--

Z 0)
duit en M par le dipôle placé en O est, à l'ordre le plus bas en --, (0 = ---- 
Z COSÛ .

I" C

D 16 -- En déduire l'expression, sous forme d'une intégrale faisant intervenir 
f (2), du champ

Ë(M,I) produit à grande distance par l'antenne entière. Identifier ainsi une 
onde sphérique.

Introduction à la partie II -- 2

On s'intéresse aux antennes demi--onde, ainsi nommées parce que leur longueur 
2L est égale à

1 c
la demi--longueur d'onde du rayonnement qu'elles émettent : 2L = --Â , où Â = 
27r--.

2 60

II -- 2 Antenne dipolaire
Ü 17 --On choisit (cf. question 14)

f(z) : cos (7z --Z--) : cos(27z --Z--).
2L Â

F'9- 9 " Antenne demi'onde " Montrer que, dans ces conditions,
schéma et réalisation.

1 ] cos ËÏ cos (H)]
E(M,t)=-- ---°----------_--------sin w(t--£) ua,
27rEUR06 r srn(9) c

7r
_ coslî--cos(9)]
... l --I-'-'-- ----2------explïiæ(t -- LH ua.

qui correspond, en notation complexe, à. _E_(M,t) = _
275800 r sm(9) C

D 18 -- Rappeler la structure de l'onde rayonnée à grande distance et justifier 
de ce fait la rela--

1

tion Ë(M,t) = ---- "', AË(M,t), où ür est le vecteur unitaire radial (_Ë a son 
sens usuel). Don--
_ C

ner l'expression du vecteur de Poynting fi.

E] 19 ---- On rappelle que l'aire d'une portion de sphère de rayon r

et d'extensions angulaires (d 9,dç0) autour de (9,ç0) (Fig. 10)
4

est dS=r'°'sin(6)d9dça; sachant que L"Sin3(6)dÛ=--3.,

établir l'expression suivante de la puissance moyenne totale

rayonnée par l'antenne demi--onde

:! 2 7Ï

Fig. 10 - Aire élémentaire 1 12 COS îCOS(9) A 12
découpée sur une sphère. P : _Q_ ___--___ d9 : __0__

r 47æo c sin(9) 47Z'80 c

' 0
7: 7Z'
cos2 [--2-- cos (Q)]
U 20 -- Calculer l'intégrale A =

_ (167 à. l'aide de votre calculette (ne pas
sm(9)

0

chercher sa forme explicite) ; vérifier votre calcul en vous aidant de la Fig. 
11, qui représente

l'approximation cos {% cos(9)] % 0,95 sin2 (6).

D 21 -Oalculer la résistance d'antenne, 'R, définie par

la relation P = --l--ÎRIO2 .

r 2
D 22 ----On note 

de l'amplitude du vecteur de Poynting (cette grandeur a

: la valeur moyenne dans le temps

Fig. 11 - La fonction cos[ncos(H)/2]
en trait plein et son approximation
en pointillés. L'abscisse est en degrés.

sans doute été introduite à la question 19) et <">tmax

sa valeur maximale par rapport aux variables angulaires.

Le diagramme de rayonnement (on dit aussi bien

l'indicatrice) est défini ici comme le graphe, en coordonnées polaires (p,9) de 
la fonction

...) : <Î--ÏÎ" !,max . Tracer sommairement le diagramme de rayonnement de l'antenne demi-- onde. Vérifier que le maximum de puissance est émis dans le plan xOy normal à. l'antenne. II --- 3 Réseaux d'antennes dipolaires On étudie un réseau de N antennes A0, A., ..., AN--l , identiques à l'antenne dipolaire de la partie Il - 2 et centrées sur Oy aux points d'ordonnées yP : pa, avec 0 _<_ p 5 N -- l. Les courants alimentant chacune _ , _ des antennes sont sinusoïdaux de pulsation &) ; ils se Fig. 12 -- Reseau d'antennes demi--onde espacées de « a » 3...-- Oy, Le récepteur distinguent les uns des autres par leurs amplitudes et EUR3t en M (73 EUR"); dans le plan 170 y. leurs déphasages respectifs. On s'intéresse au rayon-- 2 res (r,çp). On suppose réalisées les inégalités r >> Â (Â : 4L) et r >> Na.

72' . .
nement dans le plan xOy (@ = ----j, dont les points M sont repérés par leurs 
coordonnées polai--

Les parties Il -- 3 -- 1 et Il ---- 3 ---- 2 sont indépendantes.

. Il -- 3 - ] Modulation de phase

Le système électronique d'alimentation fournit à A p le courant _I£ : I0 expi 
(cat --- pl/I ) , où 10

et {,il sont des réels constants. Les puissances moyennes émises par chaque 
antenne sont donc

identiques. On pose K = 50-- et CD : W -- Ka sin (ça) .
c

__

Ü 23 --Exprimer le champ E rayonné par A0 en _M(r,ç0) dans le plan æOy, puis 
l'expression

_()

. a "" , A .
au premier ordre en ---- du champ _Ë_p rayonne au meme pomt par A p .

l'

_

D 24 --- En déduire le champ E total rayonne en M par le réseau, en fonction de 
F

o '

N et l//._
La Fig. 13 illustre quelques aspects du résultat.

=:& "Il
II Il"
III--. ... , \
:' ". ; f "
IIIIIIIIIIII
l!llæltl 

---150 ---100 ----50 0 50 100 150

Fig. 13 -- Quelques résultats relatifs à un réseau de sis:
1
antennes espacées de a = --ÿ:Â.

(A) Puissances moyennes (normalisées à l'unité) par unité
d'angle solide dans le plan oeOy, en fonction de ça (en degrés}.

{B) Diagrammes de rayonnement correspondants.

( C) Agrandissement de la partie en pointillés de (B), pour
tj! : O.

__>

D 25 --Justifier que l'amplitude,E(OE), de E n'a de

sens que pour l// -- Ka S @ 5 l// + Ka. Admettant que

. CP '. . '.
l'amplitude du champ est maximale lorsque sm (Î) : O, établir que ce max1mum 
est atteint
. . . l// a . , .
pour des angles polaires ç0m sat1sfaoeant --2----îsm(çam) : m, ou m est un 
nombre ent1er.
- 7Z'

Ü 26 ---- Calculer l'amplitude maximale du champ ; comment la largeur du pic 
principal, qui

correspond a m = 0 varie-t--il avec N ?

D 27 ---- Comment, dans le cas général, le diagramme de rayonnement se 
déforme-t--il avec N

i
2

(nombre, nature et répartition des lobes ...)? On pourra ne considérer que le 
cas 61:

(espacement demi--onde). La Fig. 14 pourra guider vos réponses.

mn.-"I'm *
||--=Lulnm {EHÆEEI

[Il !... I-IllI-l
!_IIII II"".-
!_IÆH_I

--1OÛ -- 5G 5" 100150 "20

Fig. 14 -- À gauche, puissances moyennes pour un réseau de 20 antennes en 
fonction de ça ( en degrés}.

À droite vue agrandie au voisinage de ça = O. Trait plein : N = 6 et traits 
pointillés N=20.

. III-- 3-- 2Modulation d'amplitude: le réseau binomial

:::: _w , D 28 -- Posons z : exp[iKa sin(a)]

_ Am.--___"fl: et considérons le polynôme
_ ' "__" PN (z) = (1 + z)N puis le carré du
"ËEh' module RN (ça) = |PN (z)!2 . Montrer

_ "'--Akÿ' que, si le rapport _'_'_ est suffisam--
"_..." Â

' "'Il--"'"...-- rnent petit et que si le courant ali--
Ka =1t , x x
'w' " mentant AP eSt

--1 -o.5 @ 0.5 1
' N ! .
Fig.. 15 -- Indicatrice d'un réseau binomial de sia: antennes. Ip : 
------------IO exp(zwt),
---- p!(N -- p)!
alors le diagramme de rayonnement est une fonct10n decro1ssante de ça pour 0 < ça < --2--, qu1 ne s'annule pas sur cet intervalle. D 29 Ê- Selon quel(s) critère(s) préfèrera--t--on tel ou tel type de modulation ? Fin de cette partie Fin de l'épreuve