Mines Physique 1 MP 2007

A 2007 PHYS. I MP

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2007
PREMIERE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière MP

(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorisé

Sujet mis à disposition des concours : EN SAE (Statistique), EN STIM, INT, 
TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

PHYSIQUE ] --MP.

L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il est
invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant 
les raisons des initiatives
qu'il est amené à prendre.

0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions 
ultérieures, même s'il n'a
pas été démontré.

. Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques)
qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas 
explicitement. Le barème
tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la 
copie.

Notations : vecteur --> À (gras) ; norme du vecteur Y --> V(italique) ; vecteur 
unitaire --> â.

Dans toute l'épreuve, exprimer signifie << donner l'expression littérale » et calculer signifie << donner la valeur numérique ». SATELLITES DE TÉLÉCOMMUNICATION On se propose d'étudier quelques aspects du fonctionnement de satellites de télécommunica- tion en orbite autour de la Terre. Sauf mention contraire, on considérera que la Terre est une sphère homogène de rayon RT et de centre O, immobile dans l'espace, sans rotation propre. À la fin de cet énoncé (page 7), sont regroupées des valeurs de grandeurs physiques et un formulaire utilisables dans cette épreuve. I SATELLITES SUR ORBITE CIRCULAIRE D 1 -- Un satellite de masse M5 est en orbite circulaire de centre 0, a une altitude h de l'ordre de quelques centaines de kilomètres (orbite basse). Établir la relation entre la période Physique 1 2007 : filière MP. de révolution T et h. Exprimer de même la relation entre la vitesse \) = HYH et h. D 2 -- Soient EC et Ep l'énergie cinétique du satellite et son énergie potentielle dans le champ de gravitation de la Terre ; établir le << théorème du viriel >> : 2EÇ + 
Ep = 0 .

D 3 -- À chaque position P du satellite

correspond un point Q sur la Terre a la
verticale de ce point. L'ensemble des
points Q définit la trace de la
trajectoire. Pour un observateur situé
en Q, la durée de visibilité T d'un
satellite est l'intervalle de temps entre
son apparition sur l'horizon {point A
de la Fig. 1) et sa disparition sous
l'horizon {point B). Exprimer T en

fonction de h, G, M T et RT.

Calculer T pour h = 8 >< 105 m. D 4 -- Calculer T / T . Pour les besoins Fig. 1 : Satellite P, point Q et ligne des horizons AB. de la téléphonie mobile» on place Sur Le plan orbital représenté est dit polaire (la ligne des Orbloes P0131Ï65 (C eSt'a'dloe des pôles est N 'SNS '). L 'angle est dit aneillaire. C0noenues dans un plan méfldlên terrestre) un ensemble de satellites, identiques, appelé << train de satellites >>. Ces satellites sont disposés 
régulièrement sur leur
orbite polaire commune, à l'altitude de 800 km. Calculer le nombre minimal de 
satellites
nécessaires pour former un << train >> afin que tous les points au sol, dans le 
même plan méri-
dien que l'orbite, voient au moins un satellite atout instant.
Combien d'orbites polaires de ce type faut-il pour couvrir la surface de la 
Terre, c'est a dire
pour que chaque point de la surface terrestre voie au moins un satellite à tout 
instant ? Com-
bien doit-on disposer de satellites en tout ?

D 5 -- Dans cette question, on prend en compte la rotation de la Terre. 
Calculer la période et

l'altitude d'un satellite placé sur orbite géostationnaire. La notion de durée 
de visibilité
garde-t-elle, dans ce cas, un sens ? Quels sont les avantages et les 
inconvénients d'un satellite
géostationnaire comparé au train de la question 4 ?

D 6 -- La Terre est entourée d'une atmosphère qui s'oppose au mouvement du 
satellite. La

force de frottement Ï'a créée par l'atmosphère est proportionnelle au carré de 
la vitesse v du

satellite et elle s'exprime par fa = --05 Ms VÏ' , où a a une valeur positive, 
constante dans
cette question. Déterminer la dimension de a. Écrire le théorème de l'énergie 
cinétique en
supposant que le théorème du viriel établi à la question 2 reste applicable en 
présence de fa .

Établir l'équation différentielle vérifiée par h.

D 7 -- Un satellite placé sur une orbite d'altitude 800 km subit une diminution 
d'altitude

d'environ lm par révolution; sa vitesse est, en norme, très peu affectée au 
bout d'une
révolution. En déduire une estimation au premier ordre de a (ne pas s'étonner 
de la petitesse

Physique 1 2007 : filière MP.

extrême du résultat !). Calculer, avec la même approximation, ce qu'il advient 
de l'altitude
au bout de 10 ans de fonctionnement du satellite. Comparer à la solution 
exacte. Le fait
d'avoir une augmentation de la vitesse en présence d'une force opposée au 
mouvement est-il
paradoxal ?

D 8 -- En réalité, les frottements dépendent de la densité de l'atmosphère et 
donc de

l'altitude. Dans un certain domaine d'altitudes, & varie selon la loi a(h) = 
hLfl , où )/ et ,6'

sont positifs. Le même satellite que celui de la question 7 (perdant 1 mètre 
par révolution
pour h = 800 km) perd, à l'altitude de 400 km, 2 mètres par révolution. 
Calculer yet ,B.

Il STABILISATION DE L'ATTITUDE D'UN SATELLITE SUR
SON ORBITE PAR GRADIENT DE GRAVITE

La méthode de stabilisation d'attitude par gradient de gravité a été mise en 
oeuvre pour les
satellites artificiels afin qu'ils présentent

vers la Terre toujours le même côté. Elle
Il y ne requiert aucune ressource d'énergie
, , embarquée. Le principe de cette méthode
' 9 a été établi par Lagrange, au XVIIème, afin
X' d'expliquer pourquoi la Lune présente
toujours la même face vers la Terre.
Modèle : le satellite est constitué de deux
S points matériels M1 et M2 de masses
1"0 r 2 identiques m = %MS reliés par une tige

Qt

rigide de masse nulle et de longueur 2].
Le barycentre S du satellite décrit autour
de la Terre une orbite circulaire de rayon
@ = RT + h (! << rg). Le référentiel géo- centrique (R) lié au repère (Oxyz) est supposé galiléen. Le plan orbital est Oxy. Le référentiel (R') défini par le repère (Ox 'y 'z) lié au satellite tourne autour de O ><10'6 T. À tout instant, le satellite est stabilisé en position 9: 0. Les points M1 et M2 sont reliés entre eux par un câble conducteur isolé par une gaine en téflon. D 17 -- Tracer l'allure des lignes de champ à l'extérieur de la Terre. Comment est dirigé le champ sur un cercle de centre O et de rayon R (R > RT) dans le plan équatorial ?

D 18 -- Montrer que, lorsque le satellite se déplace dans le champ magnétique 
équatorial de

la Terre, une f.e.m d'induction eM apparait entre M1 et M2 Exprimer eM en 
fonction de RT, h,
B et l, ainsi que de constantes que l'on précisera. Calculer eM dans les cas l 
: 10m et
l = 10 km.

D 19-- Le circuit est fermé par les ions de l'ionosphère ; un courant 
d'intensité ] = 0,44 A

circule dans le câble. Exprimer la force de Laplace exercée sur le câble, long 
de 10 m.
Quelle est, dans le référentiel géocentrique, la puissance de cette force ?

D 20 -- En conservant cette valeur d'intensité, quelle est alors la puissance 
pour l = 10 km ?

D 21 -- Comment la force de Laplace affecte-t-elle le mouvement du satellite ? 
On pourra

comparer l'intensité de cette force a celle de la force de frottement des 
questions 6 et 7.

D 22 -- Grâce à des batteries chargées par des panneaux solaires, la puissance 
disponible est

de l'ordre de 500 W. On suppose que l = 10 m. Quelles sont les conséquences de 
cette cir-
culation de courant sur le mouvement du satellite ? Dans quel sens doit-on 
faire circuler le
courant pour permettre au satellite de se placer sur une orbite plus haute ? 
Combien de temps
serait alors nécessaire pour une élévation d'orbite de 500 m ?

D 23 -- Comparer les résultats obtenus dans la question précédente avec ceux 
obtenus dans
le cas h = 400 km.

D 24 --Dans le Journal << Pour la Science >> de septembre 2004 (n0 323) était 
évoqué un

satellite composé de deux cabines reliées par un fil conducteur rigide. 
Commenter les phra-
ses suivantes publiées dans ce numéro: « En équipant de longs câbles les 
satellites et les
sondes spatiales, les astrophysiciens espèrent produire a bon compte de l 
énergie électrique,
un moyen de propulsion ainsi qu 'une forme de gravité artificielle. Dans cette 
technique, un
câble conducteur est relié a deux cabines en orbite autour de la Terre. Le 
câble de cet engin
spatial échange de la quantité de mouvement avec la planète par l'intermédiaire 
de son
champ magnétique. » On pourra effectuer une approche comparative quantitative 
en sachant
que le contrôle d'attitude d'un satellite s'effectue souvent avec des fusées << vemier >> dont la
poussée est de l'ordre de 0,1 N, et que les modifications d'orbite sont 
effectuées par d'autres
fusées << vemier >> dont la poussée est de l'ordre de 50 N.

IV COMMUNICATIONS SPATIALES

Le satellite communique avec la Terre en émettant ou recevant des ondes 
électromagnéti-
ques. Ces ondes traversent l'atmosphère, assimilée ici au vide, à l'exception 
d'une couche
appelée ionosphère située environ a partir de l'altitude z,- = 100 km de la 
Terre. L'ionosphère
est constituée d'un gaz sous très faible pression et partiellement ionisé par 
le rayonnement

Physique 1 2007 : filière MP.

solaire, encore appelé plasma ionosphérique. Ce plasma contient donc des ions 
positifs de
charge +6 et de masse M et des électrons de charge --6 et de masse me. 
L'ionosphère étant

électriquement neutre, ions positifs et électrons ont même densité particulaire 
n.
On étudie la possibilité de propagation selon une verticale locale (Fig. 4) 
d'une onde élec-

tromagnétique monochromatique plane progressive décrite par les champs E et B :
E : EO ei(oet--kz)ûx
B

_ i(oet--kZ)A
-- BO @ uy

, , , , . . , . 00
avec wreel et constant. On admettra qu etant donne les conditions 
expérimentales, ; % c .

D 25 -- Exprimer la force de Lorentz

z exercée sur les charges. Dans quelle

_:la_ condition peut-on négliger la contri-
bution du champ magnétique devant
E celle du champ électrique ?
. h h' '
B Ionosphere Dans cette ypot ese, exprmrer en
notation complexe la vitesse V 6 prise

par un électron ; exprimer de même la
vitesse Vi prise par un ion. On admet

que l'amplitude des mouvements de
l'électron est très petite devant la lon-
gueur d'onde du rayonnement. En

@? } déduire la densité de courant j qui
? Terre . . . .
apparait dans le plasma. Simplifier
cette expression en tenant compte de
Figure 4 : schéma de l'ionosphèoe. la relation M,-- >> me.

D 26 --Écrire les équations de Max-

well dans le plasma. En déduire l'équation aux dérivées partielles vérifiée par 
le champ Ë ,

1
Puis l'expression de k2 en fonction de 0) et des données. On introduira C =Î. On
50 flo

2
ne

posera ou?, = .
m 80
D 27 -- Discuter suivant la valeur de a) la possibilité de propagation de 
l'onde a travers le

plasma. On montrera que l'ionosphère se comporte comme un filtre passe-haut 
dont on don-
nera la fréquence de coupure fC_

D 28 -- Dans le cas où la propagation est possible, donner la relation de 
dispersion, la vitesse

de phase va la vitesse de groupe vg_ Le milieu est-il dispersif ? Tracer les 
graphes de % et vg
en fonction de a) et donner une relation simple entre % et vg.

Physique 1 2007 : filière MP.

D 29 -- La densité particulaire est n = 2.1010 m'. Comparer cette densité avec 
celle du cui-

vre, que l'on évaluera en admettant par exemple que chaque atome du cristal de 
cuivre métal
fournit un électron libre. Donner le domaine de fréquences qui permet de 
communiquer avec
le satellite.

D 30 -- On considère un canal de communication entre un satellite placé à une 
altitude de

800 km et un observateur terrestre tel que le satellite soit exactement a sa 
verticale. La fré-
quence de ce canal est 1 GHz. Quel sera le retard induit par l'ionosphère en 
supposant que
celle-ci est homogène entre 100 km et 300 km d'altitude (on considérera dans ce 
problème
que l'atmosphère comprise entre 0 km et 100 km d'altitude a un indice égal à l, 
et qu'au
dessus de 300 km, la propagation s'effectue dans le vide) ? Comment se modifie 
ce retard
lorsque la densité particulaire passe de la valeur de no : 2.1010 m'3 {valeur 
typique de nuit) a
nl : 5 1011 m'3 {valeur typique de jour), et en supposant que l'extension de 
l'ionosphère ne
varie pas entre le jour et la nuit ?

FIN DU PROBLÈME

DONNÉES PHYSIQUES

constante de gravitation G = 6,67 10'11 m'.kg".s'2

rayon de la Terre RT : 6400 km
masse de la Terre MT : 6,0 1024 kg
masse du satellite MS : 2,0 103 kg
splitéabilité du vide ... = 47c.10'7 H.m"
vitesse de la lumière c = 3.108 m.s'1

masse de l'électronme : 0,91.10'30 kg

charge élémentaire @ : 1,6.10'19 C

FORMULAIRE

_)

rot(1ît) = grîi(div) -- Â

FIN DE L'ÉPREUVE