Mines Physique 1 MP 2009

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.
ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT­ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2009
PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere MP
(Duree de l'epreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, 
TPE­EIVP, Cycle
international

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE I -- MP.
L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages.
­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est invite a le
signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il aura ete
amene a prendre.
­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques) qui vous
sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. 
Le bareme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie.

A PROPOS DE HEINRICH OLBERS
L'astronome allemand H EINRICH W. M. O LBERS (1758--1840) decouvrit les 
asteroides Pallas et
Vesta en 1802 et en 1807 ; en 1831, il realisa la premiere observation de la 
comete qui porte son
nom (13P/Olbers). Les caracteristiques orbitales de cette comete ont ete 
determinees initialement par
C. F. G AUSS et F. B ESSEL. Elle a ete observee pour la derniere fois lors de 
son passage au perihelie
(distance minimale au Soleil) le 10 janvier 1956. Certaines proprietes de cette 
comete sont examinees
dans la Partie I.
O LBERS a aussi etudie le paradoxe qui porte aujourd'hui son nom : si l'univers 
contient une multitude
d'etoiles distribuees a peu pres regulierement, un observateur terrestre qui 
observe le ciel dans une
direction arbitraire devrait toujours voir au moins une etoile, aussi lointaine 
soit-elle ; tout point du ciel
devrait donc sembler brillant, de jour comme de nuit. Certains aspects de cette 
affirmation paradoxale
seront discutes dans la partie II.
Les vecteurs sont notes en caracteres gras : v, F et leurs normes en italique 
kvk = v, kFk = F. Dans
le systeme de coordonnees spheriques (r,  ,  ) et dans la base orthonormee (er 
, e , e ), on rappelle
f
1f
1 f
dx
er +
la derivee d'une fonction x(t).
que grad f (r,  ,  ) =
e +
e . On note x =
r
r 
r sin   
dt

A PROPOS DE HEINRICH OLBERS

I. -- La comete 13P/Olbers
Les parties I.A et I.B de ce probleme peuvent etre abordees independamment.

I.A. -- Mouvements cometaires
On etudie dans cette partie le mouvement d'un corps ponctuel M de masse m, 
soumis a l'action d'un
centre attracteur fixe a l'origine O des coordonnees d'un referentiel galileen 
R. On posera r = kOMk.
L'action de ce centre attracteur est decrite par une force unique F = -m · 
gradU(r), ou U est une
fonction supposee connue. On note aussi v la vitesse de M dans R, LO = m OM  v, 
L = kLO k > 0
et C = L/m
1 -- Montrer que le mouvement de M est plan.
On choisira d'appeler (Oxy) ce plan, oriente par la convention LO = L ez ; 
l'etude du mouvement de
M dans (Oxy) s'effectuera en coordonnees polaires (r,  ).
2 -- On note E = m l'energie mecanique de M. Exprimer  en fonction de r, C, r 
et U(r).
Le point M est en fait le centre d'une comete spherique et homogene se 
deplacant dans le champ
de gravitation du Soleil (de masse M ). Pour tout le reste de la partie I.A, on 
adopte l'expression
U(r) = -K/r ou K est une constante, et l'on se place dans le referentiel 
supposee galileen dans
lequel le Soleil est fixe, homogene et spherique. De plus, on neglige 
l'influence des tous les autres
corps du systeme solaire.
3 -- Exprimer K en fonction de la constante de la gravitation universelle G et 
de la masse du
Soleil M .
4 -- A quelle condition sur  le mouvement de M verifie-t-il rmin 6 r 6 rmax < avec rmin 6= rmax ? Les constantes rmin et rmax sont respectivement appelees perihelie et aphelie de la trajectoire. On suppose desormais que la condition de la question 4 est verifiee. L'origine des instants (t = 0) et des angles polaires ( = 0) sera choisie de sorte que r(t = 0) = rmin ,  (t = 0) = 0. rmax + rmin et 5 -- Exprimer  et C en fonction de K, rmin et rmax puis en fonction de K, a = 2 rmax rmin p= . a 6 -- Quelle est, sans demonstration, la nature de la trajectoire de M ? Indiquer en justifiant votre rmax - rmin reponse, la signification physique des parametres a, p et e = ? Representer la trajectoire rmax + rmin de M en precisant les points et dimensions remarquables. 7 -- On etudie la partie de la trajectoire pour laquelle 0 <  <  . Quel est alors le signe de r ? Exprimer r en fonction de  , K, C et r. Montrer que la duree  de parcours de rmin a r( ) le long de cette trajectoire s'ecrit r Z r a r( ) p dr = K rmin a2 e2 - (r - a)2 8 -- On effectue le changement de variable r = a(1 - e cos  ). L'angle  est appele anomalie excentrique. Exprimer la duree  du trajet du mobile M depuis l'instant initial jusqu'a sa position actuelle reperee par  , en fonction de  , e, a et K puis de  , e et de la periode T du mouvement de M. Quel est le nom de la relation qui lie T , K et a ? On considere que la trajectoire de la Terre autour du Soleil est circulaire, de rayon a0 = 1 UA (unite astronomique) et de periode T0 = 1 annee = 365, 25 jours. Les caracteristiques orbitales, assez stables, de la comete 13P/Olbers sont les suivantes : excentricite e = 0, 930 ; distance au Soleil au perihelie rmin = 1, 18 UA. On admettra que les relations  ( ) et r( ) se generalisent a tout point de la trajectoire de cette comete. 9 -- A quelle date la comete reviendra-t-elle pour la prochaine fois au perihelie ? A quelle date la comete se trouvera-t-elle la prochaine fois a la distance r = 26, 06 UA du Soleil ? Page 2/7 Physique I, annee 2009 -- filiere MP Comete Ikeya-Zhang photographiee en 2002 a l'observatoire de Haute-Provence. I.B. -- La queue de la comete En 1811, O LBERS proposa pour la premiere fois une theorie quantitative pour expliquer la formation de la queue des cometes, en imaginant que les particules qui la composent sont soumises a une force repulsive d'origine electrique variant comme le carre de l'inverse de la distance au Soleil. On connait aujourd'hui le mecanisme de formation de la queue de la comete, en particulier si elle est formee de poussieres solides. S2 C1 C2 C3 S1 Les poussieres sont entrainees par un flux de particules (le vent solaire) emises par le Soleil et se deplacant a une vitesse de l'ordre de 400 km · s-1 . On etudie pour simplifier (cf. ci-dessus) une comete se deplacant en ligne droite a la vitesse de 30 km · s-1 ; la droite en traits pleins designe la trajectoire de la comete, et les traits pointilles la direction du vent solaire. 10 -- En justifiant votre reponse, indiquer si le Soleil est dispose du cote S1 ou du cote S2 sur la figure ci-dessus. 11 -- En justifiant tout autant la reponse et sur cette meme figure, la comete se deplace-t-elle dans le sens C1  C2  C3 ou dans le sens C3  C2  C1 ? Calculer l'angle  entre la direction Soleil­comete et la direction moyenne de la queue de la comete. FIN DE LA PARTIE I Page 3/7 Tournez la page S.V.P. A PROPOS DE HEINRICH OLBERS II. -- Le paradoxe d'Olbers Les parties II.A, II.B et II.D de ce probleme peuvent etre abordees de maniere independante, a condition eventuellement d'admettre les resultats donnes par l'enonce s'ils n'ont pas pu etre etablis. II.A. -- Equilibre thermique et rayonnement On etudie un gaz parfait en equilibre thermique a la temperature T (uniforme) dans un champ de forces exterieures ; la force F exercee sur une molecule du gaz de masse m est F = mG, ou le champ de forces G = -gradU derive du potentiel U. On note R la constante molaire des gaz parfaits, NA la constante d'AVOGADRO, M = NA m la masse molaire du gaz et k = R/NA la constante de B OLTZMANN. La pression dans le gaz est notee P. z 12 -- On considere un volume elementaire de ce gaz, d'extension suffisamment faible pour que l'on puisse considerer le champ de gravitation G = -Gez z + dz constant sur ce volume. Ce volume sera constitue d'un cylindre de gaz, compris entre les altitudes z et z + dz, de section S et de hauteur dz, en equilibre G mecanique sous l'action du champ de forces G et des forces de pression. Exprimer la derivee dP/dz en fonction de G, P, T , m et k. z 13 -- En deduire une equation differentielle reliant P et U, avec comme parametres m, k et T . Montrer enfin qu'a l'equilibre thermique, la densite parti E culaire dans le gaz (n : nombre de molecules par unite de volume) verifie n = n0 exp - , ou n0 kT est une constante, et E = mU est l'energie potentielle d'une molecule dans le champ U. b b Nous admettrons dans la suite la generalite de ce resultat : le nombre de molecules d'energie E dans une assemblee de molecules a l'equilibre thermique a la temperature T est proportionnel a exp (-E/kT ). On decrit maintenant un corps solide en equilibre thermique a la temperature T . Les atomes formant ce corps sont, dans ce modele, repartis en deux populations, a raison de n1 atomes par unite de volume a l'energie E1 et n2 atomes par unite de volume a l'energie E2 , avec E2 > E1 .
Ce solide absorbe et emet en permanence un rayonnement electromagnetique, que 
l'on decrira ici
comme une assemblee de particules (photons) ; on ne s'interesse ici qu'aux 
photons de frequences
voisines de  = (E2 - E1 )/h (ou h est la constante de P LANCK) susceptibles 
d'etre absorbes ou emis
lors des transitions entre les deux niveaux d'energie.
Selon un modele propose par E INSTEIN, les processus d'emission et d'absorption 
des photons par le
solide se compensent et sont regis par les equations differentielles
dn1
dn2
=-
= A( )n2 + [-B( )n1 +C( )n2 ] u ( , T )
dt
dt
ou u ( , T ) represente la densite volumique spectrale d'energie 
electromagnetique : si l'on note
n ( , T ) le nombre de photons par unite de volume et par unite de frequence, 
on a alors la relation u ( , T ) = h n ( , T ) ; les grandeurs positives A( ), 
B( ) et C( ), appelees coefficients
d'E INSTEIN, ne dependent que de la frequence  .
On suppose finalement que lim n1 = lim n2 = no .
T +

T +

14 -- Quelles sont les unites SI de mesure et la signification physique des 
grandeurs u (T ), A( ),
B( ) et C( ) ?
15 -- Determiner l'expression du rapport n2 /n1 a l'equilibre. En utilisant la 
relation etablie
a la question 13, montrer que l'on peut trouver 2 fonctions F( ) et H( ) telles 
que u ( , T ) =

-1
h
F( ) exp
- H( )
. On exprimera F( ) et H( ) en fonction de A( ), B( ) et C( ).
kT
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Physique I, annee 2009 -- filiere MP

II.B. -- Loi de Planck
La loi dite de P LANCK donne les expressions de la densite volumique spectrale 
d'energie u du
rayonnement a l'equilibre thermique, et du flux surfacique spectral j emis a la 
surface d'un corps
noir :
8 h 3
2 h 3

 et j ( , T ) = 

u ( , T ) = 
h
h

c3 exp
c2 exp
-1
-1
kT
kT
ou c est la vitesse de la lumiere dans le vide.
16 -- Montrer que la loi de P LANCK est compatible avec les resultats de la 
question 15. Determiner
les rapports C( )/B( ) et A( )/B( ).
17 -- Montrer que le flux surfacique total j rayonne par un corps noir se met 
sous la forme
j =  T  ; On justifiera soigneusement la valeur de  et on exprimera la 
constante  en fonction de
R
-1
k, h, c et de l'integrale I = 0 e-x x3 [1 - e-x ] dx.
18 -- En utilisant la relation  |z| < 1 , (1 - z)-1 = zn , exprimer I en fonction de certaines n=0 valeurs des fonctions  d'E ULER et  de R IEMANN, on rappelle que x  R , (x) = Z e-t t x-1 dt , (x + 1) = x(x) et  (x) = 0 1 nx . n=1 On peut calculer (1) = 1,  (4) =  4 /90, et mesurer k = 1, 38 × 10-23 J.K-1 , h = 6, 62 × 10-34 J.s, c = 3, 00 × 108 m.s-1 , determiner la valeur numerique de  . Quel est le nom de cette constante ? II.C. -- Le ciel est clair, le jour. . . On etudie ici un modele simplifie d'univers illimite, les etoiles etant toutes assimilees a des spheres de meme rayon R , de meme temperature de surface T , dont le rayonnement est regi par la loi de P LANCK affirmee a la partie II.B. Ces etoiles sont reparties statistiquement de maniere quasi-uniforme a raison de n etoiles par unite de volume (n R3  1) dans tout l'univers, considere comme une sphere de grand rayon R et de centre O. L'espace compris entre les etoiles est vide. On considere une planete spherique, de centre O, de rayon R p , disposee au voisinage d'une des etoiles ci-dessus (appelee etoile locale) et a beaucoup plus grande distance de toutes les autres etoiles de l'univers. La distance d entre le centre de la planete et celui de son etoile locale verifie d  R > R p .
On neglige toute presence d'atmosphere autour de la planete, et on fait 
l'hypothese que cette derniere
montre toujours la meme face a l'etoile locale.
Pour les applications numeriques, on adoptera les valeurs relatives au couple 
Soleil-Terre : T =
5 700 K, R = 750 000 km, d = 150 × 106 km.
19 -- Dans un premier modele, on ne tient compte que de l'etoile locale. On 
considere d'une part
que la face eclairee de la planete est a temperature uniforme Te et d'autre 
part que cette planete emet
un rayonnement conforme a la loi de P LANCK. Determiner l'expression et la 
valeur numerique de Te
en regime permanent. Quelle est, dans ce modele, la temperature de la face non 
eclairee ?
P
20 -- On etudie maintenant un modele ou la temperature de la partie
eclairee de la planete n'est pas uniforme ; un point P de la face eclairee est
z

caracterise par l'angle  fait par le rayon vecteur CP mene depuis le centre C
C
de la planete avec la direction d'eclairement. Determiner, a l'equilibre 
radiatif local, l'expression de la temperature T ( ) d'un point de la face 
eclairee en
fonction deZZ
T , R , d et  . On definit la temperature moyenne de la planete
1
T (P)dS, l'integrale etant etendue a toute la surface S de la planete. 
Determiner l'expar T =
S
pression et la valeur numerique de T .
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Tournez la page S.V.P.

A PROPOS DE HEINRICH OLBERS

21 -- Ce modele vous parait-il satisfaisant pour decrire la temperature de 
surface de la Terre ?
Comment proposeriez-vous de l'ameliorer ?
On adopte enfin un modele plus complet, destine a rendre compte des echanges 
thermiques entre
les differentes parties adjacentes de la surface de la planete. Celle-ci est 
decrite comme une couche
spherique de rayon R p , de faible epaisseur e  R p , conductrice thermique 
avec la conductivite thermique  constante. En regime permanent, la temperature 
de sa surface T ( ) ne depend que de
l'angle  .
22 -- Rappeler et justifier qualitativement la loi de F OURIER de la conduction 
thermique. En
deduire que la temperature T ( ) verifie l'equation differentielle

dT
1 d
sin 
+  Z 4 ( ) - T 4 ( ) = 0
sin  d
d
on exprimera la constante  en fonction des donnees du problemes et la fonction 
Z( ) en fonction de
T , R et d pour 0 6  6  . On ne cherchera pas a resoudre cette equation 
differentielle.

II.D. -- . . . et la nuit ?
Dans les modeles developpes ci-dessus, la temperature des planetes sur leur 
face sombre apparait
comme tres faible ; elles ne sont en effet eclairees que par « cette obscure 
clarte qui tombe des etoiles »
(C ORNEILLE). Nous allons estimer, avec O LBERS, que la quantite de lumiere 
recue ainsi est pourtant
a priori loin d'etre negligeable.
Dans cette partie, on etudie une planete isolee, sans etoile locale, et donc 
plongee dans une nuit
perpetuelle : la surface de la planete n'est eclairee que par un ciel nocturne. 
Revenant au modele
presente au debut de la partie II.C, on suppose les etoiles reparties 
uniformement a raison de n
par unite de volume, a une distance variable r du centre C de la planete, 
spherique de rayon R p . On
rappelle que r varie de r0 > R p a R  r0 .

Une etoile

r
Le rayonnement de chaque
etoile est isotrope
Planete (le schema n'est pas a l'echelle)

2R p

23 -- Exprimer le nombre dN d'etoiles comprises entre deux spheres de centre C 
et de rayon r et
r +dr. En deduire la puissance thermique recue par la planete de la part de ces 
etoiles. On negligera ici
tout phenomene d'absorption ou d'ombre : les etoiles ne s'occultent pas. En 
deduire que la puissance
totale recue par la planete s'ecrit P =  R , ou on exprimera  en fonction de la 
constante  des
questions 17 et 18 ainsi que de T , R , R p et n .
24 -- Le paradoxe de la nuit noire ou paradoxe d'Olbers peut etre exprimee 
ainsi : « si l'univers est
infini, le rayonnement provenant des etoiles l'est aussi et le ciel de nuit 
devrait etre clair ; si par contre
l'univers est fini, il n'est pas stable et s'effondrera. » Expliquer brievement 
la nature de l'instabilite
evoquee ici.

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Physique I, annee 2009 -- filiere MP

Le paradoxe de la nuit noire ne se presente plus dans le cadre des modeles 
d'univers modernes (en
particulier dans le modele cosmologique standard, ou « big bang »). Dans ce 
modele, l'univers est
fini et une etoile quelconque situee a la distance r de la planete de 
l'observateur s'eloigne de celui-ci
radialement a la vitesse V = H0 · r, ou H0 = 2, 5 × 10-18 s-1 est la constante 
de H UBBLE.
On sait aussi, en supposant valide la cinematique classique non relativiste, 
que la longueur d'onde a
apparente de la lumiere recue de la part d'une etoile qui emet de la lumiere a 
la longueur d'onde 
est a =  (1 +V /c), ou c = 3, 0 × 108 m · s-1 est la vitesse de la lumiere : 
c'est l'effet D OPPLER F IZEAU.
25 -- En utilisant la loi de P LANCK donnee en II.B, montrer que la longueur 
d'onde m correspondant au maximum d'emission de rayonnement d'energie thermique 
d'un corps solide a la temperature
T , verifie la relation m = µ /T . On exprimera la constante µ en fonction de 
h, k, c et x solution non
nulle de l'equation 3 - x = 3e-x . Comment s'appelle cette loi ?
26 -- En utilisant la loi precedente et en supposant valide la cinematique 
classique non relativiste,
determiner la temperature apparente Ta d'une etoile situee a la distance r de 
l'observateur. Faire
l'application numerique pour une etoile semblable au Soleil, mais situee a dix 
milliards d'anneeslumiere de la Terre (une annee-lumiere est la distance 
parcourue dans le vide par la lumiere pendant
une annee).
27 -- En considerant toujours la cinematique classique non relativiste, montrer 
que l'effet D OPPLER F IZEAU permet de lever le paradoxe d'O LBERS dans un 
univers infini. On donne n  10-57 m-3
ainsi que le flux surfacique moyen recu du Soleil sur la Terre j  1 kW.m-2 .
28 -- Le modele du « big bang » prevoit que l'univers est age d'environ 13,7 
milliards d'annees.
Montrer que dans le cadre de ce modele et sans meme considerer l'effet D OPPLER 
-F IZEAU, le paradoxe d'O LBERS ne tient plus. On notera Rth la distance 
maximale de l'etoile observable dans le cadre
du modele du « big bang ».
29 -- La longueur d'onde du maximum du rayonnement thermique du Soleil est  = 
520 nm.
Les processus physiques les plus anciens observes, et donc les plus lointains, 
sont associes au rayonnement diffus cosmologique. Ce rayonnement a une 
temperature apparente Ta = 2, 7 K. Quelle est
la longueur d'onde apparente a associee au maximum d'emission du rayonnement 
diffus cosmologique ? Dans quel domaine spectral se situe-t-elle ? Savez-vous 
quand et par qui ce rayonnement a ete
decouvert ?
FIN DE LA PARTIE II
FIN DE L'EPREUVE

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