Mines Physique 1 MP 2017

A2017 ­ PHYSIQUE I MP

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT Atlantique (ex Télécom Bretagne),
ENSAE PARISTECH.
Concours Centrale-Supelec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.
CONCOURS 2017
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE I - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Physique I, annee 2017 -- filiere MP

LES MEMRISTORS
En 1971, le professeur Leon Chua - qui exerca a l'Universite de Berkeley - 
predit l'existence d'un dipole passif nouveau capable de servir de memoire 1 . 
Ce dipole venant completer la
liste des trois dipoles fondamentaux de l'electricite a savoir le resistor, la 
bobine et le condensateur. Le terme de memristor qu'il inventa resulte de la 
contraction des deux termes memory
et resistor.
En 2008, des chercheurs 2 des HP Labs ont puc
blie un article 3 dans la revue Nature!
intitule The
missing memristor is found, dans lequel ils annoncent
avoir mis au point un memristor presentant les proprietes prevues par Leon Chua 
en 1971. La photographie de la figure 1 montre un ensemble de ces
memristors.
En 2015, HP! et SanDisk! se sont associes
pour developper la technologie des memoires a base
de memristors. Les atouts esperes de ce type de
memoires peuvent laisser reveur : 1 000 fois plus rapides que les memoires 
flashs actuelles, 1 000 fois
plus de cycles lecture-ecriture qu'actuellement et,
1 memristor
pour couronner le tout, une densite inegalee au point Figure 1 ­ Un ensemble de 
memristors
de pouvoir doter un smartphone d'une memoire de (echelle nanometrique) !
c HP Labs
100 To en 2020 !
Le probleme propose comporte 3 parties largement independantes qui abordent 
differents
aspects des memristors. A toutes fins utiles un formulaire est fourni a la fin 
du sujet.
$

I. -- Generalites sur les memristors

5
2

I.A. -- Le quatrieme dipole

!

1
4

?

Les quatre grandeurs fondamentales de l'electrocinetique sont la
#
3
"
charge q, le courant i, le flux propre magnetique  a travers le circuit et
la tension u. Elles sont en general dependantes du temps t. On considere Figure 
2 ­ Carre
les trois dipoles classiques que sont le resistor de resistance R, la bobine 
fondamental
d'inductance L et le condensateur de capacite C. Ces trois dipoles seront 
supposes parfaits. Il
est possible de representer les quatre grandeurs fondamentales de 
l'electrocinetique au sommet
d'un graphe ­ carre en l'occurrence ­ ou les aretes representent des relations 
fondamentales ou
des relations fonctionnelles des dipoles. Ce carre est represente sur la figure 
2. Avant 1971, on
connaissait cinq relations entre les sommets de ce graphe et une etait 
manquante. On se placera
systematiquement en convention recepteur pour tout dipole etudie dans la suite 
du probleme.
1 -- Rappeler les relations fonctionnelles de proportionnalite caracterisant 
les trois dipoles
parfaits classiques. Ces relations correspondent aux aretes 1 , 2 et 3 du carre 
fondamental
de la figure 2. On precisera l'unite usuelle de chaque coefficient de 
proportionnalite.
2 -- Rappeler la relation fondamentale liant q, i et t. A partir d'une equation 
de Maxwell,
justifier que u = d
.
dt
1. IEEE Transactions on Circuit Theory, vol. CT-18, N 5, September, 1971.
2. Dmitri Strukov, Gregory Snider, Duncan Stewart et Stanley Williams
3. Nature, Vol 453-- 1 May 2008-- doi :10.1038/nature06932

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Physique I, annee 2017 -- filiere MP

3 -- Deduire des deux questions precedentes une ecriture de chaque relation 1 a 
5 du
carre fondamental de la figure 2 sous la forme dx = ydz.
4 -- Dans son article de 1971, Leon Chua predit l'existence d'une relation f 
(,q) = 0
que l'on peut soit expliciter sous la forme  = (q), on dit que l'on a un 
memristor controle
par la charge ; soit sous la forme q = q(), on dit alors que l'on a un 
memristor controle
par le flux. La sixieme relation differentielle est posee sous la forme d = M 
(q) dq ou M (q)
est la memristance. Quelle unite rencontree frequemment en electricite est 
aussi celle de la
memristance ? On justifiera precisement sa reponse.
5 -- On associe deux memristors de memristances M1 et M2 en serie. Quelle est 
la memristance M du dipole equivalent ? On justifiera sa reponse. Meme question 
si on associe M1 et
M2 en parallele.
Afin de concretiser la notion de memristor, on propose de le modeliser par la 
relation
(q) =  q + 3 q 3 ou  et  sont des coefficients reels positifs. On impose dans 
le memristor une
intensite i(t) = i0 sin t pour t  0 et on suppose que pour t < 0, i = 0. Enfin, on considere qu'a la date t = 0, on a q(t = 0) = 0. "(!) 0 6 -- Determiner l'expression de q(t) et tracer sur un meme graphique les courbes representatives de i(t) et q(t). #/$ 2#/$ 3#/$ Figure 3 ­ Graphe de (t) ! 7 -- On donne sur la figure 3 la courbe representative de (t). Reproduire cette courbe en y rajoutant sans calcul l'allure de la courbe representative de u(t). $ 8 -- En analysant la courbe u(i) du memristor precedent representee sur la figure 4, pourquoi peut-on dire, en simplifiant un peu, que le memristor etudie presente deux regimes de fonctionnement : l'un dans lequel il laisse passer le courant et l'autre dans lequel ce n'est pas le cas ? 0 9 -- La courbe u(i) de la figure 4 presente donc un " phenomene particulier. De quoi depend la resistance du memristor ? Expliquer la possibilite d'utiliser le memristor pour memoriser une information. 10 -- Leon Chua qualifia le memristor de non volatile memory, c'est-a-dire de memoire permanente. Quel element sur le graphique de la figure 4 permet de dire que Figure 4 ­ Courbe u(i) du memle memristor est une telle memoire ? ristor propose I.B. -- Conductivite On considere un milieu conducteur ou les porteurs de charge possedent chacun une charge q et une masse m. Ils sont presents dans le milieu conducteur suppose homogene et isotrope a raison d'une densite volumique n en m-3 . Ces porteurs sont soumis a un champ electrique qui va les mettre en mouvement pour creer un courant. Lorsqu'elles se deplacent, ces charges interagissent avec d'autres porteurs en mouvement mais aussi avec leur environnement fixe constitue par le reseau cristallin du conducteur. Elles subissent alors des interactions que l'on m peut assimiler a des chocs. Il resulte de l'ensemble des interactions une force de type - &v ou &v est la vitesse des porteurs mobiles et  la duree moyenne qui separe deux chocs successifs subis par une charge q. Cette duree est de l'ordre de 10-12 s. Le poids des charges sera neglige. Page 2/6 Tournez la page S.V.P. Physique I, annee 2017 -- filiere MP On etudie un conducteur cylindrique de section S, de rayon a et de longueur constitue du milieu conducteur defini ci-dessus. Ce conducteur est soumis a une difference de potentiel U0 & 0 uniforme et independant du temps. independante du temps qui impose un champ electrique E 11 -- Etablir l'equation differentielle a laquelle satisfait la vitesse des porteurs de charge. Donner la solution &v (t) sans se preoccuper de determiner la constante d'integration. Quelle est l'expression de la vitesse en regime permanent ? Sauf precision contraire, on considere que l'on est en regime permanent. Cette hypothese est-elle contraignante ? 12 -- La mobilite µ des porteurs de charge est definie de telle sorte que &v = µE&0 . Donner l'expression de la mobilite d'une charge q. Apres avoir rappele la definition de la densite volumique de courant &j0 , etablir l'expression de la conductivite electrique 0 du conducteur definie par la loi &j0 = 0 E&0 . Quel est le nom de la loi precedente ? 13 -- Determiner l'expression de la resistance electrique R0 du cylindre conducteur en fonction de 0 ,  et S. 14 -- Leon Chua indiqua dans son article fondateur que la resistance etait un dipole memory less 4 car le signal associe a la tension suivait instantanement les evolutions du signal associe au courant. Justifier cette affirmation. & 0 mais un champ 15 -- On impose maintenant au dipole non plus le champ electrique E & & & electrique E1 toujours uniforme mais dependant du temps selon E1 = E1m cos t. Montrer que le dipole peut etre decrit au moyen d'une impedance complexe Z correspondant a l'association de deux dipoles et que la tension ne suit plus instantanement les evolutions de l'intensite. On exprimera Z en fonction, entre autres, de R0 . A quelle condition retrouve-t-on la situation ou le dipole est un resistor de resistance R0 ? Qualifier le comportement du conducteur et l'interpreter. & 0 impose est independant du temps. On On revient a la situation ou le champ electrique E etudie a nouveau la situation du regime permanent. & 0 ? Quelle 16 -- Quelle est la puissance transferee a la charge q par le champ electrique E est la puissance volumique associee a ce transfert d'energie ? 17 -- En considerant l'ensemble du conducteur cylindrique, montrer que la puissance qu'il recoit est p = u i. Cette expression peut etre generalisee aux regimes lentement variables puisque la puissance instantanee p(t) est alors donnee par : p(t) = u(t) i(t). 18 -- Dans le cas ou le dipole est un memristor, exprimer la puissance qu'il recoit en fonction de sa memristance et de l'intensite du courant. FIN DE LA PARTIE I II. -- Le memristor des HP Labs Le memristor mis au point aux HP Labs est constitue par un mince film de dioxyde de titane de 5 nm d'epaisseur et de longueur  = 10 nm. A chaque extremite de ce dipole, le contact electrique est assure par 2 electrodes de platine. La particularite de ce memristor est que le dioxyde de titane presente dans une zone des lacunes en oxygene, la formule brute du dioxyde de titane etant alors TiO2-x si x represente les lacunes. On admet que cette situation est equivalente a celle d'un milieu dope dans lequel les charges mobiles portent deux charges elementaires positives q = +2e. Dans le reste du film, on trouve du dioxyde de titane sans lacune de formule TiO2 . Si le film est totalement dope, sa resistance electrique est faible et vaut Ron  1 k. Au contraire, si le film n'est pas dope du tout alors sa resistance electrique est elevee : Roff  100 Ron . Supposons que la frontiere entre la zone dopee et la zone non dopee soit situee a l'abscisse z, voir le schema de la figure 5. Page 3/6 Tournez la page S.V.P. Physique I, annee 2017 -- filiere MP dopée non dopée ! ! ! ! ! ! Pt ! ! ! ! ! ! !! ! " TiO2¡% 0 Pt TiO2 % & % Figure 5 ­ Representation schematique du memristor des HP Labs 19 -- Donner l'expression de la resistance electrique du memristor lorsque la frontiere entre la zone dopee et la zone non dopee se situe a l'abscisse z0 , on notera cette resistance Rmemo . La particularite du film de dioxyde de titane est que la position de la frontiere evolue au cours du temps en fonction de l'intensite du courant qui est passee mais aussi en fonction du sens de ce courant. C'est cela qui en fait un memristor. On peut donc passer d'un dispositif bon conducteur a un autre presque isolant. On note dorenavant z(t) la position de la frontiere entre la zone dopee et la zone non dopee. Pour le deplacement de la frontiere, on reprend le modele lineaire de la mobilite etudie a la question 12 ou l'on note toujours µ la mobilite des charges mobiles. On propose alors d'ecrire la relation dz = µ Roni(t) dans laquelle le courant i(t) est algebrique et son sens conventionnel dt precise sur la figure 5. 20 -- Interpreter la relation precedente. 21 -- On suppose que i(t < 0) = 0, puis que i(t  0) %= 0 et enfin qu'a la date t = 0, la frontiere +4 ' [mA] est situee en z = z0 . Etablir l'expression de z(t) en fonction, entre autres, de la charge q(t) qui a circule +2 depuis la date t = 0. Quelle est la charge minimale Qmin necessaire, dans le cas le plus defavorable, pour que le memristor soit dans l'etat le plus conducteur 0 possible ? Pt 22 -- Etablir l'expression de la memristance M (q) TiO2 en fonction, entre autres, de Rmemo . Expliquer pour- +2 quoi le memristor a ete realise pour la premiere fois Pt avec un systeme nanometrique. +4 & [V] 23 -- Pour simplifier les calculs, on considere que Roff  Ron , z0 = 0 et (t = 0) = 0. On impose dans 0 +1 +1 le memristor, a partir de la date t = 0, un courant Figure 6 ­ Courbe i(u) experimentale d'intensite i(t) = i0 sin t. Etablir les expressions de du film de TiO2 q(t), (t) et u(t). 24 -- Dans leur article de 2008, les chercheurs 5 des HP Labs ont obtenu experimentalement la courbe i(u) de la figure 6. Commenter cette courbe. FIN DE LA PARTIE II 4. sans memoire 5. D. Strukov, G. Snider, D. Stewart & S. Williams The missing memristor is found Nature Vol 453-- 1 May 2008-- doi :10.1038/nature06932 Page 4/6 Tournez la page S.V.P. Physique I, annee 2017 -- filiere MP ( (') III. -- Une falaise de potentiel ? ) 0 On etudie l'evolution d'un quanton de masse m qui ' milieu 1 milieu 2 aborde, avec une energie E > 0, une falaise de potentiel
- (0
de hauteur V0 constante situee en x = 0, voir le schema
de la figure 7. L'etude est undimensionnelle conduite sur Figure 7 ­ Falaise de 
potentiel et
energie du quanton
un axe Ox.
25 -- A partir de l'equation de Schrodinger, etablir l'equation differentielle 
verifiee par
la fonction d'onde spatiale (x) associee au quanton.
26 -- Dans le cas ou le quanton arrive depuis x  -, etablir les expressions de 
la fonction
d'onde 1 (x) dans le milieu 1 et 2 (x) dans le milieu 2. Il n'est pas 
necessaire de determiner
les constantes d'integration.
27 -- Etablir l'expression du coefficient r rapport de l'amplitude de la 
fonction d'onde
spatiale correspondant a l'onde reflechie et de l'amplitude de l'onde 
incidente. De la meme
facon, etablir l'expression du coefficient t rapport de l'amplitude de la 
fonction d'onde spatiale
correspondant a l'onde transmise et de l'amplitude de l'onde incidente.
28 -- En deduire les coefficients R et T de reflexion et de transmission de la 
densite de
courant de probabilite. Faire l'application numerique lorsque 8E = V0 .
Dans le cas du memristor des HP Labs, les charges constituant le courant i(t) 
traversent
le film de dioxyde de titane facilement dans un sens et beaucoup plus 
difficilement dans l'autre
sens. On s'interroge pour savoir si ces charges peuvent etre decrites comme le 
quanton des
questions precedentes abordant une falaise de potentiel par un cote ou bien par 
l'autre pour
expliquer la difference de conductivite du memristor en fonction du sens du 
courant.
29 -- Qu'en pensez-vous ? Que proposeriez-vous ?
FIN DE LA PARTIE III

Formulaire
Formules de Green
Soit S une surface fermee entourant un volume  . Le flux d'un vecteur sur la 
surface S orientee
vers l'exterieur est egal a l'integrale de la divergence de ce vecteur sur tout 
le volume  :
!
"
& · dS
&=
& d
Theoreme de Green - Ostrogradski
A
div A
S

 /S

Soit C une courbe fermee sur laquelle s'appuie une surface . La circulation 
d'un vecteur le
long de C est egale au flux du rotationnel de ce vecteur a travers  orientee 
selon la regle du
tire-bouchon.
!
#
&
&
& · d
&
Theoreme de Stokes
A · d =
rot A
C

/C

Mecanique quantique
On note ! = h/2 avec h la constante de Planck. On rappelle l'equation de 
Schrodinger
pour un quanton de masse m possedant l'energie E, evoluant en milieu 
unidimensionnel d'axe

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Physique I, annee 2017 -- filiere MP

Ox dans un potentiel 6 V (x) independant du temps. Le quanton est represente 
par la fonction
d'onde (x,t). On a :
~2  2 (x,t)
(x,t)
=-
+ V (x) (x,t)
i~
t
2m x2
Dans le cas d'un potentiel V (x) independant du temps, les etats stationnaires 
du quanton sont
decrits par la fonction d'onde es (x,t) telle que :
E
es (x,t) = (x) exp -i t
~
ou (x) est la fonction d'onde spatiale.
On rappelle enfin que la densite de courant de probabilite de presence est 
definie par :
~k
J~ = ±
|(x)|2 ~ex
m
ou k est le module du vecteur d'onde associe au quanton et ~ex est un vecteur 
unitaire.
FIN DE L'EPREUVE

6. Attention : en Mecanique quantique, on nomme potentiel V (x) en realite une 
energie potentielle.

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