Mines Physique 1 MP 2022

A2022 --- PHYSIQUE I MP

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2022
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE I - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Physique I, année 2022 -- filière MP

L'anémométrie à fil chaud

L'anémométrie à fil chaud est une technique permettant de mesurer
la vitesse d'écoulement d'un fluide. Elle est basée sur l'influence de la
vitesse d'écoulement du fluide sur le transfert thermique conducto-
convectif d'un solide conducteur plongé dans ce fluide.

Le système le plus couramment utilisé est un petit fil cylindrique,
d'un diamètre typique d, de l'ordre de quelques micromèêtres, par-
couru par un courant et donc chauffé par effet Joule.

Ce petit fil est fixé à des broches d'alimentation par l'intermédiaire
d'une gaine d'adaptation qui permet notamment l'alimentation du
fil et de fixer la longueur active du fil, notée L,, qui est ici de l'ordre
de quelques millimètres.

Quelques valeurs numériques concernant certaines caractéristiques
physiques du fil chaud sont rassemblées dans le tableau ci-dessous.

Broche

Gaine ---->
d'adaptation

Broche

Matériau Résistivité à Conductivité Masse Capacité
20°C : p20 thermique : Ày volumique : Hw thermique
[uQ - cm] [W:cm !.K-!] [kg -m *] x 104 mMassiqUue : Cy
kJ-kg"-K71)]
Tungstène 9,9 1,9 1,93 0,14
Platine 9,8 0,72 2,15 0,13
Platine-iridium 32 0,17 2,16 0,13

Les applications numériques seront réalisées avec au plus 2 chiffres 
significatifs.

I Étude énergétique de l'anémomètre

LA Bilan d'énergie dans le fil chaud

FIGURE 1 --- Anémomèêtre

Le fil conducteur (en tungstène par exemple) est parcouru par un courant 
électrique continu
d'intensité J. Il est plongé dans un fluide en écoulement. On utilisera les 
notations suivantes :

e Caractéristiques du fil (que l'on repère avec l'indice « w » pour wire en 
anglais)
volumique LH, Capacité thermique massique EUR, température T},, résistivité 
(inverse de la

conductivité) électrique p%, conductivité thermique À,,, longueur L,, et 
diamètre d,,.

. MASSE

e Caractéristiques du fluide (généralement de l'air que l'on repère lorsqu'il à 
ambiguïté avec
l'indice « f» pour fluide) et de l'écoulement : masse volumique us, viscosité 
7, température

Tr, pression pr, vitesse de l'écoulement V. Ces caractéristiques sont supposées 
constantes

pendant la mesure.

Si l'on note À le coefficient de transfert thermique conducto-convectif, la 
puissance thermique

surfacique cédée par le fil au fluide à travers la surface $S est donnée par la 
loi de Newton :

Qr
EE h(T, TT,
 Lh(Te 7)
On notera (Ox) l'axe du fil, ses extrémités étant situées en x = --£,,/2 et x = 
+L,,/2.

(1)

L -- 1. Rappeler la loi d''Ohm locale. Définir les grandeurs intervenant dans 
cette loi et donner
leurs unités usuelles. Etablir l'expression de la résistance électrique totale, 
notée À,,, du

fil en fonction de pw, Ly EURt dy:

En déduire la puissance P, dissipée par effet Joule dans le fil en fonction de 
py, Lw, dy

et J, puis la puissance volumique dissipée par effet Joule : 2, --

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in
dr
Physique I, année 2022 -- filière MP

Li -- 2.

Rappeler la loi de Fourier de la conduction thermique. Définir les grandeurs 
intervenant
dans cette loi. On dit souvent qu'il s'agit d'une loi phénoménologique. Que 
cela signifie-
t-il? La température est supposée homogène sur chaque section du fil d'abscisse 
x. Que
peut-on en déduire ?

Établir l'équation de diffusion thermique dans le cas d'un fil à la température 
T (x,t) où
seuls les transferts thermiques par conduction ont lieu.

On se place en régime permanent dans tout le reste de la partie I et on suppose 
la vitesse V
de l'écoulement uniforme et indépendant du temps. En plus des transferts 
thermiques par
conduction, on prend en compte les transferts thermiques par 
conducto-convection et ceux
provenant de l'effet Joule. Les transferts thermiques sont intégrés dans le 
terme conducto-
convectif.

LU -- 3.

Dans la loi de Newton (1), la grandeur À dépend de la vitesse V de 
l'écoulement. Quelle
est son unité? Expliquer qualitativement comment varie À en fonction de V -- lv

Expliquer alors comment évolue T, quand V augmente.

. En effectuant un bilan énergétique sur un élément de volume de fil compris 
entre les

abscisses x et x + dx, établir l'équation aux dérivées partielles vérifiée par 
la température
Ty(t,t).

La résistivité du fil dépend en fait de la température T,, de ce dernier. 
Expérimentalement, on
mesure que si le fil est en contact avec un fluide à la température T+, sa 
résistivité p, vérifie la
relation :

Pu = pr +a (Ts --T) (2)

où p£ est sa résistivité à la température du fluide et « -- 10° K-! est un 
coefficient expérimental
supposé constant. On note enfin T1(x) = Ty(x) -- Tf.

D -- 5.

Mettre l'équation obtenue à la question 4 sous la forme :

d°T;(x)

dr? + K:T(x) +- K -- ( (3)

Exprimer les constantes X, et K;, en fonction de l'intensité J et des 
caractéristiques du
fil, du fluide et de l'écoulement. On montrera, en particulier, que aK2 = K3 
+4h/(\ydw).
Dans la plupart des anémomètres à fil chaud, X; est négatif. Déterminer la 
condition
correspondante sur le coefficient conducto-convectif h. On se place dans ce cas 
dans toute
la suite et on pose :

 VIKi

On considère que le contact thermique assuré par les gaines d'adaptation entre 
les extrémités
du fil et les broches de l'anémomètre (voir figure 1) se fait sans résistance 
thermique (contact
parfait). Les broches et les gaines sont à la température T+ du fluide.

LU -- 6.

Rappeler la définition d'une résistance thermique ainsi que son unité. Quelle 
est la consé-
quence d'un contact sans résistance thermique ?

Déterminer la solution générale de l'équation différentielle (3).

En tenant compte des conditions aux limites dans le problème et de sa symétrie, 
montrer
que Ti(x) s'exprime assez simplement à partir de la fonction cosinus 
hyperbolique. En

déduire l'expression du profil de température T,,(x) dans le fil de la sonde en 
fonction de
T, Le, K5, T£ et Ly.

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Physique I, année 2022 -- filière MP
LD -- 7. Déterminer la puissance thermique Qs cédée par le fil à l'ensemble des 
deux gaines d'adap-

tation en fonction de {,, Ko, Ly, ÀAw EURt dw:
1 -- 8. Montrer que la moyenne spatiale (T,,) de la température du fil s'écrit 
selon la relation
Li
2e

(Ty) = T5 + Kol : -- Atanh

dans laquelle on précisera l'expression du paramètre A.
La figure 2 représente la distribution de température dans le fil chaud pour 
différentes valeurs

. La fonction tracée est
Ty T£
avec

f(y) -- Ty = TR

y=X/Ly

W

du rapport k --

(y)

1,5

1.0

0,2 0,4

0

° --0,2

--0,4
FIGURE 2 --- Représentation graphique de la fonction f(y) pour quatre valeurs 
du paramètre k.

D -- 9. Pour un fil de tungstène de diamètre d, = 5m, de longueur Z,, -- 1,2mm 
et fonc-
tionnant dans un régime de température 7, tel que {, = 304d,, évaluer, en 
faisant les

Ty, max

approximations pertinentes, la valeur numérique du coefficient
_T,
a --
(Ty) = Tf

OÙ Ty max est la température maximale atteinte dans le fil. En exploitant la 
figure 2,

commenter la valeur trouvée.

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Physique I, année 2022 -- filière MP

LB Puissance thermique cédée au fluide

DJ -- 10. Commenter les courbes de la figure 2. Quelle approximation peut-on 
faire quant à la
température 7, dans le cas d'un fil long (on précisera ce que « long » signifie 
ici) ?

La résistivité p, du fil est toujours supposée dépendre de la température du 
fluide avec lequel
il est en contact selon la relation (2).

LU -- 11. Calculer la résistance À, d'un fil supposé long en fonction de sa 
résistance Rf à la
température 17, de a et des températures (7,,) et T4.

Toujours dans le cadre d'un fil long, on fait l'hypothèse que la puissance 
thermique Q cédée par
le fil aux deux gaines d'adaptation est négligeable devant la puissance Q, 
dissipée par effet Joule
le long du fil ou celle, notée Qr. correspondant aux échanges thermiques 
conducto-convectifs
reçus par le fluide à l'interface entre le fil et le fluide.

D -- 12. Déterminer, en régime permanent, l'expression de Q, en fonction de la 
différence (T,,) --T#.

Pour un fluide de viscosité n et de masse volumique y, qui s'écoule à la 
vitesse V autour d'un
obstacle fixe de taille caractéristique d,,, on définit le nombre de Reynolds 
Re = y Vd,/n. Il
compare deux modes de transport au sein du fluide.

D -- 13. Sachant que la viscosité n s'exprime en Pa -s déterminer la dimension 
de R..
On définit par ailleurs le nombre de Nusselt, W,, = hdy/}r.

1 -- 14. Déterminer la dimension de W,, et proposer une interprétation physique 
de cette quantité.
Comment varie W,, lorsque la vitesse V du fluide s'écoulant autour du fil 
augmente ?

On admet que le nombre de Nusselt vérifie la loi de King W, = À + B VR+ où À et 
B sont des
constantes connues qui ne dépendent que de la nature du fluide en écoulement.

D -- 15. En exploitant l'expression de (7,,) obtenue à la question 8 et les 
résultats de la question 5,
montrer que dans le cas d'un fil long on peut écrire

1 XLR
L = "g p= Ne 4
2 me NX À (4

On précisera la valeur numérique de l'exposant v.

I -- 16. On considère de nouveau un fil de longueur L, quelconque. Établir 
l'expression de la
puissance thermique Qf associée au transfert conducto-convectif du fil vers le 
fluide.

On suppose que la relation (4) reste valable en ordre de grandeur pour un fil 
de longueur
quelconque et que, de plus, le coefficient Y qu'elle fait intervenir est de 
l'ordre de l'unité pour
toutes les mesures effectuées.

LD -- 17. En étudiant le rapport Qr/ Qs: et sachant que dans le contexte 
d'étude W,, = 10 SI, justifier
a posteriori que l'on puisse simplifier le problème en ne considérant pas les 
pertes dans
les gaines d'adaptation sous l'hypothèse d'un fil long.

En utilisant le résultat de la question 12 et en supposant que l'on puisse 
appliquer la loi
de King, montrer que, pour un fil long, la mesure de la vitesse V du fluide se 
ramène à
une mesure de résistance. On déterminera l'expression de V en fonction 
notamment de

Rw.oo : Rs et Î.

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Physique I, année 2022 -- filière MP

II Anémométrie à deux fils

On étudie à présent une autre technique qui utilise deux fils parallèles 
séparés par une distance EUR
comme représenté sur la figure 3 ci-dessous.

Cette technique est plus précise que la précédente car elle permet de faire 
deux mesures : la
première n'utilise que le premier fil ; la seconde étudie la réponse induite 
par le premier dans le
second.

Er

Récepteur

Emetteur

FIGURE 3 -- Disposition des 2 fils.

-- Le premier fil (l'émetteur, repéré par un indice e), froid initialement 
(c'est-à-dire à la tem-
pérature du fluide environnant 7f), est traversé par une impulsion électrique 
d'intensité
1 = 1 À et d'une durée 7 de quelques us, appelée « phase de chauffe », à 
l'issue de laquelle
le fil s'est donc échaufté.
On fait ensuite passer dans l'émetteur un faible courant 1, = 1 mA, dont on 
négligera
l'influence thermique, et on mesure la tension à ses bornes en fonction du 
temps. On
obtient ainsi l'évolution de la résistance électrique R,(t) en fonction du 
temps et donc
celle de sa température T,(t).

-- Un second fil (le recepteur, repéré par un indice r) est placé parallèlement 
au premier, en
aval dans l'écoulement du fluide (ici de l'air), à une distance EUR -- 0,5 mm 
du premier. Sous
l'action de l'écoulement, une trainée d'air chaud (zone échauffée du fluide par 
l'impulsion
thermique de l'émetteur) va atteindre le récepteur.

L'acuité et la durée de cette trainée d'air chaud vue par le second fil vont 
dépendre
notamment de la norme V de la vitesse de l'air.

Hormis leur température et donc leur résistance, les caractéristiques de ces 
deux fils sont sup-
posées identiques à celles du fil utilisé dans la partie I.

On se concentre tout d'abord sur le fil émetteur de l'impulsion thermique afin 
d'étudier la
première possibilité de mesure de la vitesse de l'écoulement. On néglige la 
conduction thermique
dans le fil et entre le fil et les broches. On suppose donc, conformément à ce 
qui a été fait
précédemment, que la température du fil est homogène et ne dépend que du temps, 
tout comme
sa résistance toujours obtenue dans le cadre du modèle de résistivité résumé 
par la relation (2).
Pendant la phase de chauffe, l'impulsion étant très brève, on négligera les 
pertes d'énergie dues
à la convection de l'air autour du fil lors de cette phase. L'origine des temps 
{ -- 0 correspond
au début de l'impulsion électrique.

Qi -- 18. Montrer que, pendant la phase de chauffe, la température T,(t) 
vérifie une équation dif-
férentielle qui peut se mettre sous la forme

dT.-T) TT. RP 5
dt TJ _ C

où l'on exprimera la durée caractéristique 7, de montée en température et le 
paramètre C
en fonction des paramètres du problème. Que représente C'?

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Physique I, année 2022 -- filière MP

1 -- 19. Résoudre cette équation en exprimant finalement 7,(t) en fonction de 
t, Tr, à et 71.

Li -- 20.

En déduire, en fonction de 7, 7, et «&, l'expression de l'amplitude de 
l'impulsion ther-
mique AT, max -- Le,max -- 25 obtenue dans le fil émetteur après qu'il a été 
parcouru par
l'impulsion de courant.

Une fois l'impulsion terminée, 1. e. pour t > T, le fil émetteur ne reçoit plus 
de courant
qui le chauffe, il se refroidit par convection au contact thermique de l'air en 
mouvement.
Déterminer la température de l'émetteur 7,(t) durant cette phase dite de 
relaxation en
fonction de #, T, If, ATé max ainsi que d'une nouvelle durée 2 caractéristique 
de cette
phase de relaxation dépendant notamment de W,..

Sur la figure 4 ci-dessous le graphe de gauche indique l'allure de T,(t) 
mesurée lors des phases
de chauffe et de relaxation au contact de deux écoulements de vitesse 
différente.

Sur cette même figure 4, le graphe de droite montre de façon plus quantitative 
en échelle semi-
logarithmique, des relevés expérimentaux de la phase de relaxation pour 
différentes valeurs de
la norme de la vitesse de l'écoulement.

T4

N

t > T: Phase de relaxation,

+, : Phase de chauffe

V
|
CO

T 0,5 1,0 1.5 2.0 2.5

0 Temps [unités arbitraires]

FIGURE 4 - Mesures au niveau de l'émetteur. Sur la figure de droite on a 
représenté les mesures
et leurs différentes régressions linéaires.

Li -- 21.

Li -- 22.

Pendant la phase de chauffe, on constate sur la partie gauche de la figure 4 
que les
deux courbes sont confondues. Quelle hypothèse émise plus haut ce résultat 
permet-il de
confirmer ?

Expliquer qualitativement comment l'analyse des courbes de la figure 4 permet 
une pre-
mière mesure de la norme de la vitesse de l'écoulement du fluide.

L'air réchauffé par l'émetteur va être transportée par convection jusqu'au 
second fil, le récepteur.
En alimentant ce dernier par un très faible courant {4 = 1 mA, dont on peut 
toujours négliger
l'influence thermique, on peut mesurer sa résistance et en déduire sa 
température.

Certains résultats expérimentaux sont rassemblés dans la figure 5 sur la page 
suivante !.

1. Ils ont été collectés dans l'article « Pulsed-wire technique for velocity 
measurements in natural convection
flow -- a numerical optimisation tool », Grignon et al., 1998, International 
Journal of Heat and Mass Transfer,
volume 41, p. 3121-3129.

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Physique I, année 2022 -- filière MP

T'A

«V = 20 cm/s

AT; max

T: NC

V

Temps unités arbitraires]

FIGURE 5 -- Analyse des températures.

Sur la partie gauche de la figure 5, on a représenté avec les mêmes échelles de 
temps et d'am-
plitude l'allure typique des pics de températures relevés dans chacun des deux 
fils.

De façon plus quantitative, on a représenté sur la partie droite de cette même 
figure, le résultat
des mesures de l'évolution de la fonction normalisée (7; (4) -- T}) /AT; max 
pour différentes
valeurs de la norme de la vitesse de l'écoulement.

D -- 23. Commenter les deux courbes de la partie gauche de la figure 5. 
Proposer des explications
qualitatives pour les différents phénomènes que l'on peut observer.

Lj -- 24. Expliquer qualitativement comment l'analyse des courbes de la figure 
5 permet une se-
conde mesure de la norme de la vitesse de l'écoulement du fluide.

FIN DE L'ÉPREUVE

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